Problema: Dos trenes A y B se desplazan en rieles paralelos a 70 km/h y a 90 km/h, respectivamente. Calcular la velocidad relativa de B con respecto a A, cuando:

a) Se mueve en la misma dirección

Representando los vectores respectivos asociados a sus velocidades, los cuales designaremos como v⃗A y v⃗B.

v⃗ AB = v⃗B - v⃗A

|v⃗BA| = | v⃗B - v⃗A |

|v⃗BA| = | v⃗B + (- v⃗A) |

|v⃗BA| = | v⃗B | - | v⃗A |

|v⃗BA| = 90 – 70 km/h

|v⃗BA| = 20 km/h

b) Se mueven en direcciones opuestas

Asumir que el tren se desplaza hacia el Este y en consecuencia, A se desplaza hacia el Oeste, por tanto:

v⃗ AB = v⃗B - v⃗A y tenemos

|v⃗BA| = | v⃗B + ( - v⃗A) |

|v⃗BA| = | v⃗B | + | v⃗A | de la desigualdad triangular, puesto que los vectores que se suman tienen el mismo sentido.

|v⃗BA| = 90 + 70 km/h

|v⃗BA| = 160 km/h

v⃗A

v⃗B

Problema: Un tren sale de la ciudad A, a las 12 del día yendo hacia la ciudad B, situada a 400 km de distancia, con una velocidad constante de 100 km/h. otro sale de B a las 2:00 pm y mantiene una velocidad constante de 70 km/h.

Determine el tiempo en el cual los trenes se encuentran y la distancia medida a partir de la ciudad A si:

a) El segundo tren se dirige hacia A

La posición del que sale A es:

X A = 100 km/h (t - 12)

La posición del otro es:

X B = 400 km - 70 km/h (t - 14)

Se encuentran cuando sus posiciones son iguales.

100 (t - 12) = 400 – 70 (t - 14)

100 t – 1200 = 400 – 70 t + 980

170 t = 2580

t = 15.176 horas

X A = 100 (15.176 - 12) = 317.6 km

b) El segundo tren se aleja de A

La única diferencia es el signo de la velocidad de B

100 (t - 12) = 400 + 70 (t - 14)

100 t – 1200 = 400 + 70 t – 980

30 t = 620

t = 20.67 h

X B = 400 + 70 (20.67 - 14) = 867 km

Problema: Un hombre de grúa a través de una tormenta a 80 km/h, observa que las gotas de lluvia dejan trazas en la ventana laterales haciendo un ángulo de 80 grados con la vertical. Cuando el detiene su auto, observa que la lluvia está cayendo realmente en forma vertical. Calcular la velocidad relativa de la lluvia con respecto al auto.

a) Cuando está detenido

Designemos por v⃗A y v⃗¿ las velocidades para el auto y la lluvia respectivamente.

v⃗¿

PEO

N

S

Como v⃗A = 0⃗ entonces la velocidad relativa de la lluvia con respecto al

auto, que designamos por v⃗ LLA se define como:

v⃗ LLA = v⃗¿ - v⃗A

v⃗ LLA = v⃗¿ - 0⃗

v⃗ LLA = v⃗¿

b) Cuando se desplaza a 80 km/h

En este caso, la velocidad relativa de la lluvia al auto, es la misma velocidad de la lluvia.

| v⃗ LLA | = v⃗ A

cos10 °

v⃗ A

cos10 ° =

80cos10 °

km/h

v⃗ A

cos10 ° = 81.23 km/h

Problema: Dos autos que se desplazan en caminos perpendiculares viajan hacia el norte y el este respectivamente. Si sus velocidades con respecto a la tierra son de 60 km/h y de 80 km/h. Calcular su velocidad relativa. ¿Depende la velocidad relativa de la posición de los autos en sus respectivos caminos? Repetir el problema suponiendo que el segundo auto se desplaza hacia el oeste.

80°

v⃗ LLA

v⃗¿

v⃗A

V⃗ 2

V⃗ 1

Y

Tomaremos un sistema de ejes de coordenadas tal como se muestra en la figura, de modo que el eje X coincide con la dirección Oeste – Este y el eje Y con la dirección Sur – Norte.

V 1 = 60 j

V 2 = 80 i

La velocidad relativa del coche 2 respecto del 1, teniendo en cuenta que el coche 1 está en la traslación, será:

V 1 /2 = V 1 - V 2

V 1 /2 = - 80 i + 60 j

En módulo:

V 1 /2 = √802+602

V 1 /2 = 100 km/h

Problema: Un bote se mueve en la dirección de NO 60° a 4 km/h con respecto al agua. La corriente tiene tal dirección que el movimiento resultante con respecto a la tierra es hacia el oeste a 5km/h. Calcular la velocidad y la dirección de la corriente con respecto a la tierra.

Sea

V b , t : Velocidad del bote en tierra

V b , a : Velocidad del bote en agua

V b , t = - 5 km/h (negativo porque va hacia el Oeste).

V b , a = 4 km/h pero con 60° medidos de N a O.

Descomponiendo:

sin 60 º = opuesto

hipotenusa

V⃗ 2

X

60°

N

E

S

O

Opuesto = 40 * sin 60 º

Opuesto = 35 km/h

cos60 ° = adyacentehipotenusa

Adyacente = 40 * cos60 °

Adyacente = 20 km/h

Acabamos de descomponer la velocidad, ahora nos quedaría lo siguiente:

V b , a = - 35 km/h i + 20 km/h j

Utilizando la transformación de Galileo Galilei:

V a , t = V b , t - V b , a

V a , t = - 15 i – 20 j

Problema: ¿Cuál es la magnitud del diámetro de la tierra para un observador situado en el sol? (velocidad orbital de la tierra con respecto al sol es de 30 km/h, y el radio de la tierra es 12.61 x106 m)

D = 149 600 000 Km

t = DC

v = 30 km/h

t = 149600000300000000

m/s v = 30 * 5/18 m/s

t = 498.6650 v = 8.33

d’ = d + v * t

d’ = 12,61 * 106 + (8,33) (498,66)

d’ = 12,61 * 106 + 4153,83

d’ = 12,6515 * 106 m

Problema: Determine la velocidad relativa de una varilla que tiene una longitud media igual a la mitad de su longitud en reposo.

L = L'2

L = L’ * √1− v2

c2

L'2

= L’ * √1− v2

c2

14

= 1− v2

c2

v2

c2 = 1 -

14

v2 = 34

c2

v = 34

c

v = 0.86

Problema: Una nave espacial que se dirige hacia la luna pasa por la tierra con una velocidad relativa de 8.0 C.

a) ¿Qué tiempo demora el viaje de la tierra a la luna, de acuerdo a un observador terrestre?

La distancia Tierra – Luna, de acuerdo con un observador terrestre (en reposo con respecto a T – L) es de D = 3.84 * 108 m. Como la velocidad de la nave es de 0.8 c = 0.8 * 3 * 108 m/s, el tiempo que tardará en recorrer esa distancia será:

t = Dv

= 3.84∗108

2.4∗108 = 1.6 s

b) ¿Cuál es la distancia tierra – luna, de acuerdo a un pasajero de la nave? ¿Qué tiempo demora el viaje, de acuerdo con el pasajero?

La distancia Tierra – Luna para un pasajero de la nave debe ser menor que la distancia T – L para un observador terrestre, ya que, para el pasajero de la nave, el sistema T – L se está moviendo con una velocidad de 0.8 c. El tiempo que demora en el viaje también será menor que para el observador terrestre.

D'=D∗√1− v2

c2

D'=3.84∗108 * √1−0.82

D'=2.3∗108

t '=t∗√1− v2

c2

t '=1.6∗√1−0.82

t '=0.96 s

Problema: Los observadores O y O’ están en movimiento de traslación relativa con V = 0.6 C, y coincide cuando t = t’ = 0. Cuando han transcurrido cinco años de acuerdo

O. ¿Cuánto demora en llegar una señal de O a O’?. Con esta información conocida por O y O’ que tiempo ha transcurrido de acuerdo a O’ desde que O y O’ coincidieron? Una señal de luz colocada en O es encendida durante un año. ¿Qué tiempo está encendida de acuerdo O’?

v = 0.6

t = 5 años

t’ = ? Una señal demora 5 años en llegar:

t’ = t * √1− v2

c2t’ = L * √L−0.62

t’ = 5 * √1−0.62 t’ = 0.8 años

t’ = 5 (0.8) Para O’ ha estado encendida 0.8 años

t’ = 4 años

Problema: Un estudiante toma un examen que tendrá una duración de una hora según el reloj de su profesor. El profesor se mueve a una velocidad de 0.97 C con respecto al estudiante y envía una señal de luz cuando su reloj marca una hora. El estudiante deja de escribir cuando recibe la señal. ¿Qué tiempo tuvo el estudiante para el examen?

T = 1h = 60 min ∆ t ' = 2hc

v p = 0.97 C0 ∆ t ' = 2cc

∆ t ' = 2

Luego:

∆ t =

∆ t

√1− v2

c2

∆ t =

2

√1−(0.97c )2

c2

∆ t = 2

√1−0.972

∆ t = 2

√1−0.8833

∆ t = 2

0.34117

∆ t = 5.88

Problema: Un electrón tiene una energía cinética de 10MeV. Determinar el módulo de su cantidad de movimiento.

P = m * V

E k = 10 MeV = 10 * 106 * 1.6 * 10−19 J

mo = 9.11 * 10−31 kg

C = 3 * 108 m/s

E k = (m−m0) c2

10 * 106∗1,6∗10−19 = (m−9.11∗10−31) (3∗108)2

m = 0,1786* 10−27

m=mo

√1− v2

c2

V = cm √m2−(mo

2)

V = 3 * 108

P = m * V = 0,1786* 10−27 * 3 * 108

P = 0.5358 * 10−19

Problema: Un astronauta viaja a Sirio, localizado a 8 años luz de la tierra: El astronauta viaja en una nave que se desplaza con una rapidez de 0.8 C. ¿Cuánto dura el viaje medido por el astronauta?

Si Sirio está a 8 años luz de distancia, eso quiere decir que la luz demora 8 años en llegar a Sirio si sale de la Tierra. Pero como el astronauta viaja a 0.8 C es decir 2/5 partes de la velocidad de la luz, entonces:

Luz ( 1 C ) --------------------------------- 8 años llegar a Sirio

Astronauta ( 0.8 C ) -------------------- X

X = 80.8

X = 10 años.

t= t '∗1

√1− v2

c2

t= 10∗1

1−(0.8c )2

c2

t=10∗10.36

t=16.6Años

Es el tiempo que pasa para los que se quedan en casa.

Tiempo total = 33. 3 años

Para el astronauta paso 20 años entre ida y vuelta y para los que se quedaron en casa 33.3 años.

Problema: Con qué rapidez debe moverse un electrón para que su masa relativista sea igual al triple de su masa en reposo.

m = 3 mo , C = 3 * 108m/s

De la masa relativista

m =

mo

√1− v2

c2

3 mo =

mo

√1− v2

c2

v = 2√23

C

Problema: La cantidad de movimiento de un protón que se mueve en una circunferencia y perpendicular a un campo magnético de 1 Tesla, tiene una magnitud constante de

2.4 x 10−22 kg .m /s. Calcular el radio de la circunferencia descrita.

q * v * β = m∗v2

R

q * β = m∗vR

; m * v = ρ

1,6 * 10−19C * (1 Kg/ C * S) = 2,4∗10−22

Rkg * m/s

1,6 * 10−19 = 2,4∗10−22

R

R = 1, 5 * 10−3 m