TEORÍA DE MECANISMOS 4.- DINÁMICA DE MECANISMOS

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 1

TEORÍA DE MECANISMOS

4.- DINÁMICA DE MECANISMOS


Principio de superposición de fuerzas sobre mecanismos

� En un eslabón de un mecanismo, en un instante t, hay equilibrio dinámico

� Principio de superposición de fuerzas.

i

sol. total sol. parciales=∑

siendo i el número de fuerzas actuantes

{ }{ }

{ }

1

2

k

1P F en P1

2P F en P2

kP F en Pk

F R , M

F R , M

F R , M

⇒

⇒

⇒

JJG

JJG

JJG

JG JG JJGJJG JG JJG

# #JJG JG JJG

i

k

P iPi 1

k

F en PPi 1

R R

M M

=

=

=

=

∑

∑ JJG

JJJG JJJG

JJJG JJGReducción del

sistema de fuerzas en P


Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl

� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema

mecánico (1 gdl)+

Sistema de fuerzas

actuantesF∑G

Mecanismo manivela de salida (1 gdl)

+Fuerza reducida

RJG

Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo

producido por la fuerza reducida en el punto de

reducción P es el mismo que el

producido por el sistema de fuerzas

actuantes (externas)

R ≡JG

Fuerza reducida en A



� (1) Si un sistema mecánico no está en equilibrio, en un instante t, SI QUEREMOS CALCULAR LA FUERZA E QUE HABRÍA QUE PONER EN EL PUNTO ADE UN ESLABÓN DADO PARA LOGRAR EL EQUILIBRIO, SE DEBE CUMPLIR (2):

Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.

EJG

i

3

i P Ai 1

P v E v 0=

⋅ + ⋅ =∑JG JJG JGJJG

i

3

i Pi 1

P v 0=

⋅ ≠∑JG JJG

EJG

(1) (2)


Equivalente dinámico/energético mecanismo de 1gdl

� E, EQUILIBRA LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN.

� –E , EQUIVALE A LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN, EN EL SENTIDO DE PRODUCIR EL MISMO TRABAJO QUE ELLAS.

� EN LA FIGURA DE LA IZQUIERDA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR TRES FUERZAS SIN EQUILIBRAR

� EN LA FIGURA DE LA DERECHA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR LA FUERZA REDUCIDA, QUE SUSTITUYE A LAS FUERZAS.

Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.

FR A=–E

X XX


Reducción en un punto A de una manivela (equilibrio)

� Se considera que no hay rozamiento entre eslabones ya que si no habría una indeterminación en y por tanto en , debido a que fluctúa entre:

RJG

EJG

min maxroz rozF , F⎡ ⎤⎣ ⎦G G

R E= −JG JG

Fuerza reducida sobre el punto A del mecanismo

RJG

Fuerza con la que se opone el mecanismo

EJGFuerza reducida Fuerza equilibrante

RJG


� La dinámica del mecanismo de 1 g.d.l.:

� La dinámica del mecanismo es reproducida por el modelo dinámico reducido en A.

� Estudio energético comparado del mecanismo y su reducción


i AP , i F , A⎡ ⎤ ⎡ ⎤→⎣ ⎦ ⎣ ⎦JG JJG

cinetica cinetica 1 2Mecanismo eslabonesi

cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielasi k

E E i j k j k k

E E E

= = + = + +

= +

∑

∑ ∑


1 2

i 1 k k 22 21 2 2

cinetica cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielas bielasi k k

traslacion tras rot

2 2 2 2cinetica O i biela k biela G G kMecanismo i k k k

cineticaMecanismoreduc

E E E E

1 1 1 1E I M V M V I2 2 2 2

E

+

= + +

⎛ ⎞= ω + + + ω⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

2

i K21 2 2

cineticaMecanismo2

A A reducida A A 2A

ido A

22 2kG i

reducida A bielas O Gk ,k i kA A A

E1 M V M M 22 V

VM M I IV V V

= = =

ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Dado un mecanismo, la masa reducida es independiente de la velocidad adquiridaG

reducida AA

VM fV

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠



Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1 gdl

Fuerza resistente reducida en A

Masa reducida en A Fuerza

reducida en A

Fuerza motriz reducida en A

Par reducido en A9 Balance de pares reducidos en A:

A AA m rM M M= −JJJG JJJJJG JJJJG

9 Balance de fuerzas reducidas en A:

A AA m rF F F= −JJG JJJG JJG

AA eqF F= −JJG JJJJJG


Fuerza equilibrante en A

Reducida de los esfuerzos motrices Reducida de los

esfuerzos resistentes

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


Análisis del mecanismo en el punto A de la manivela de salida

AmFJJJG

ArFJJG

AFJJG

Fuerza reducida en A FUERZA MOTRIZFUERZA RESISTENTEFUERZA REDUCIDA

Punto de reducción

m -> motrizr -> resistente

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


Reducción de fuerzas sobre mecanismos

� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes

en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas


Principio de los trabajos virtuales sólidos rígidos articulados sin rozamiento en equilibrio dinámico

� Un movimiento virtual del mecanismo compatible con los enlaces, el trabajo virtual producido por las fuerzas activas es nulo.

i iP , PδJG JJJG

i iP P 0⋅ δ=∑JG JJJG

ii PP v 0⋅ =∑JG JJG

i

i

P ,

Pδ

JGJJJG

Fuerzas actuantes sobre los eslabones del mecanismoDesplazamiento virtual en el punto de aplicación de cada fuerza


PTV (aplicación a los n eslabones de un mecanismo, a las m fuerzas en cada eslabón)

ddtα

ω =

iP iv CIR P= ω⋅ ⋅ τJJG G

i iP d CIR Pδ = α ⋅ ⋅ τJJJG G

ii PP v dtδ = ⋅JJJG JJG

Luego,

i iP P 0⋅δ =∑JG JJJG

ii PP v 0⋅ =∑JG JJG


Método de las velocidades virtuales

� Aplicando el principio de los trabajos virtuales.Mecanismo en

equilibrioCada miembro

extF

R (reacciones apoyos)

+∑

JJJG

JG

'extF (elemento)

R ' (apoyos)

+∑

JJJG

JJG

En equilibrio

Consideramos un desplazamiento virtual

El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre elmecanismo en un instante dado t será nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son

reacciones entre eslabones)NOTA: el trabajo virtual de las reactivas es nulo. En las articulaciones se anulan 2 a 2. En los apoyos fijos el trabajo realizado es nulo

PTV


Aplicación del PTV al cálculo de la fuerza reducida en A, ante las fuerzas motrices Pi

Datos:1 1

2 2

3 3

P , v

P , v

P , v

JG JJGJJG JJGJJG JJG

Reducción en A

i

3

i Pi 1

P v 0=

⋅ ≠∑JG JJG

(1) Puesto que el sistema mecánico no está en

equilibrio

1 2 3 A1 1 P 2 2 P 3 3 P R AP v cos P v cos P v cos ( F v ) 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + − ⋅ =

Proyección sobre de iPv

JJGiP

JG

(2) Si reduzco el sistema de fuerzas en A:1 2 3P , P , P

JG JJG JJGARF

JJJG

(3) El sistema de fuerzas:

Si está en equilibrio{ }A1 2 3 RP , P , P , F−JG JJG JJGJJJG

i j

3

i P j Ri 1 j

P v R v 0=

⋅ + ⋅ =∑ ∑JG JJG JJG JJJG


Caso particular

1 fuerza activa: 1PJG

1 1 2 2P v P v 0⋅ + ⋅ =JG JJG JJGJJG

1 21 1 P 2 2 PP v cos P v cos 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α =

1

2

1 P 2

2 P 1

P cos vP cos v⋅ α

= −⋅ α

( )( )

11 P 2

2 P2 1

proy P , v vproy P , v v

= −

( )2P E Fuerza _equilibrante=JJG JG


Análisis gráfico. Fuerza reducida

� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema

mecánico (1 gdl)+

Sistema de fuerzas

actuantesF∑G

Mecanismo manivela de salida (1 gdl)

+Fuerza reducida

RJG

Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo

producido por la fuerza reducida en el punto de

reducción P es el mismo que el

producido por el sistema de fuerzas

actuantes (externas)

R ≡JG



Reducción de fuerzas sobre mecanismos

� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes

en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas


Método de reducción en P (gráficamente)

� NOTA: descomposición vectorial. Llevando una fuerza a P y las restantes componentes aplicarlas en:� Apoyos fijos

ó� Las direcciones que puedan ser

absorbidas

las fuerzas que pasan por los puntos fijos no crean trabajo externo


Reducción de una fuerza aplicada sobre A en el punto de reducción P

F1 Absorbida por el apoyo fijo O1


Técnicas gráficas de reducción de fuerzas exteriores a un punto cualquiera

� En una pieza donde actúan fuerzas exteriores aplicar la teoría de los vectores deslizantes

FG

� Para pasar los vectores fuerza de una pieza a otra hay que utilizar los puntos comunes de las articulaciones.


Hallar la fuerza reducida en A debido a F1


Ejemplo de reducción de la fuerza P en D al punto A

Secuencia:D D D1) P Q R , Q= +

JJG JJJG JJJG JG

D C2) R R ,=JJJG JJJG

C N3) R R ,=JJJG JJJG

N N N4) R S T ,= +JJJG JJG JJG

N A5) T T ,=JJG JJG

A A A6) T F V ,= +JJG JJG JJG

pasa por el punto fijo O6transfiero R del eslabón 5 al e

N ∈ al eslabón 3. Punto de encuentro de RC con la dirección del eslabón 4

SN pasa por el punto fijo O4

A ∈ al eslabón 3. V pasa por el

punto fijo O2

6 4 2D O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJG

Luego:El trabajo mecánico de PD= El trabajomecánico de FA

Trabajo mecánico = 0


Ejemplo de reducción de la fuerza P en E al punto A

Secuencia: E M1) P P ,=JJG JJG

6M M M M O2) P R Q , Q Q= + =JJG JJJG JJJG JJJG JJJJG

4C M N C N N N N O3) R R , R R , R S T , S S= = = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJG JJG JJJG

2A N A A A A O4) T T , T V F , V V= = + =JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJJG

M punto de intersección de P con la dirección del eslabón 6

Pasa por el punto fijo O6

O4 punto fijo

O2 punto fijo

6 4 2E O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJGLuego:

El trabajo mecánico de PE

El trabajomecánico de

FA

Trabajo mecánico = 0

=


CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN MECANISMO:Sistema de masas puntuales mi

equivalentes dinámicamente al eslabón (sólido rígido)

Dinámica eslabón: T GM , ISólido rígido

G

Sistema de i masas puntuales localizadas sobre

el eslabón sin masaG’

m1

m2 mi

(1)T T iM M m⎯⎯→ =∑

( 2) 2G G i iGI I m r⎯⎯→ = ⋅∑

( )(3)i iGG G ' G m r 0⎯⎯→ = ⋅ =∑

JJG G

Condiciones de equivalenciaCaso (0): 1 T 1 1

2G 1 1G 1G

1 1G

i 1, m (1) M m m 0

(2) I m r r 0

(3) m r 0

= → = ⇒ ≠

= ⋅ ⇒ ≠

⋅ =JJG G No se cumple

Luego, no podemos reducir un sólido rígido a una única masa.


Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido

Caso (1): en el plano1 2 T 1 2

2 2G 1 1G 2 2G

1 1G 2 2G

i 2, m , m (1) M m m

(2) I m r m r

(3) m r m r 0

= → = + ∗

= ⋅ + ⋅ ∗

⋅ + ⋅ =JJG JJG G

Los dos puntos deben alinearse con el centro de masas

1 1G 2 2G(3) m r m r 0⋅ + ⋅ = ∗

Gm2

m2

m1

m1

G

MTIGG

Tres ecuaciones con 4 incógnitas: m1, m2, r1G, r2G, luego deberemos seleccionar un dato, para obtener los demás.



Caso (2): en el plano1 2 3 T 1 2 3

2 2 2G 1 1G 2 2G 3 3G

1 1G 2 2G 3 3G

i 3, m , m , m (1) M m m m

(2) I m r m r m r

(3) m r m r m r 0

= → = + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ =JJG JJG JJG G

G

m2m1

m3r1

r2

r3

G1

1

Imr

=

3 ecuaciones con 9 incógnitas

1 2 3

1x 1y

2x 2 y

3x 3y

m , m , mr , r

r , r

r , r



Caso (3): en el plano3 masas alineadas en el punto G3 ecuaciones con 6 incógnitas

G

m1

m2

m3

Caso (4): en el plano3 masas alineadas con el punto G. Y en el punto G disponemos de una de ellas3 ecuaciones con 5 incógnitas

3 Gm m=

1 2 3

1G 2G 3G

m , m , mr , r , r

1 2 G

1G 2G

m , m , mr , r

1G 2Gr , r9 Si suponemos elegidos (datos), podemos obtener:

1 2 Gm , m , m

( )

( )

G1

1G 1G 2G

G2

2G 1G 2G

GG T

1G 2G

Imr r r

Imr r r

Im Mr r

=⋅ +

=⋅ +

= −⋅

GT G

1G 2G

Isi M m 0r r

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠


REPRESENTACIÓN GRÁFICA

b) alineadas T 1 2 3

i 1 1 2 2 3 3

2 2 21 1 2 2 3 3 G

1) M m m m

2) r (G); m r m r m r 0

3) m r m r m r I

= + +

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ =

G JG JG JG G

1 1m r⋅JG

2 2m r⋅JG

3 3m r⋅JG



Caso (5): en el plano3 masas alineadas con el punto G, y en G disponemos la terceraSi imponemos la condición:

3 Gm m=

T1 2G

1G 2GGT G

T1G 2G2 1G

1G 2G

Mm rr rIsi M m 0

Mr r m rr r

⎧ = ⋅⎪ +⎪= ⇒ = ⎨⋅ ⎪ = ⋅⎪ +⎩

G

m1

m2

mG=0

2G T G

T T1G 2G 1G 2G

I M rM Mr r r r

⋅= ≡ =

⋅ ⋅

Radio de giro

2G 1G 2Gr r r= ⋅

El sistema se ha simplificado y queda reducido a 2 masas posicionadas en

Que son conjugados respecto al punto G

1G 2Gr , r

1 2m , m dato⇒

NOTA: recordando el concepto de punto de percusión en un eslabón al articularse sobre un punto fijo, 2 será el centro de percusión, del eslabón considerado, suponiendo al eslabón girado alrededor de 1.


Cálculo gráfico del punto E conjugado del A sobre el G

NOTA 1: hay ∞parejas E, A puntos conjugados sobre GNOTA 2: Normalmente A es una articulación

MTIG

TA

Mm GEAE

= ⋅

Gm 0=

iG radio de giro del eslabón

TE

Mm GAAE

= ⋅


Sistema dinámico equivalente.Casos prácticos:

Sistema dinámico equivalente para:9 Manivela, balancín:

9 Biela:

Centro de percusión

Em

Gm 0=

om No tiene efecto dinámico

Am

Gm 0=

Em


Sistema dinámico equivalente.Caso del cuadrilátero articulado

(a) Localización de los puntos dinámicamente interesantes.

G, E

(b) Localización de los sistemas de masas equivalentes en cada eslabón

{ARTICULACIÓNi,Ei}Centros de masa

Centros de percusión

4O 44

2O 22

m |O

m |O

I 0

I 0

=

=2

4

O

O

a 0

a 0

=

=

JJJG GJJJG G4O4inercia (m )Par 0=

JJJG G

4O4inercia (m )F 0=G G

*

*

**

**

***

***

Al estar posicionadas en puntos fijos, no tiene efectos dinámicos

2 42O 4Om y m

22Om 44Om

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