Teorema de las alturas y catetos.

Teorema de la altura

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa.

Es decir que h2 = m·n

Este teorema nos permite calcular la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa

También nos dice que en un triángulo rectángulo, la altura

relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2

segmentos que dividen a ésta.

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.

Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Respuesta: h=6

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo

con los datos que se muestran en la figura:

En un triángulo rectángulo, la altura

correspondiente a la hipotenusa mide 16 cm y la

proyección ortogonal de uno de sus catetos mide

32 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa de dicho

triángulo?

Luego, la otra proyección mide 8 cm.

Por tanto, la hipotenusa mide 32 + 8 = 40 cm.

Teorema del cateto El cuadrado de un cateto es igual al producto de

la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Como consecuencia tenemos las siguientes fórmulas:

b2 = m·a

c2 = n·a Siendo a = m + n y m la proyección del

cateto b sobre la hipotenusa y n la del cateto c, tal y como se puede observar en el triángulo anterior.

La media proporcional (o geométrica) de dos números es la

raíz cuadrada de su producto. Esto nos indica que; si

extraemos la raíz cuadrada a cada término de las dos

expresiones, tenemos que los catetos son la media

proporcional de sus proyecciones y la hipotenusa.

Estas fórmulas nos permiten calcular los catetos, conocidas

sus proyecciones o bien calcular un cateto conocida su

proyección y la hipotenusa.

Una maqueta de barco usa dos cablecitos para tensar el mástil mayor, debiendo quedar como muestra la figura.

Calcula la distancia a la que debemos colocar el segundo cable.

¿Cuál debe ser la longitud de dicho cable?

¿Sabrías decir cuál es la altura del mástil?

En primer lugar observemos que se trata de un triángulo rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del cateto y de la altura.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular la distancia a la que se debe encontrar el segundo cable:

9 − 4 = 5

Debemos colocar el segundo cable a5 cm de distancia de la base de mástil.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular la medida del lado c:

La medida del lado c es de 6.71 cm

Aplicamos el teorema de la altura para calcular la altura del mástil:

El mástil tiene una altura de 4.47 cm

Observa el tobogán en el que juegan Lucía y Marcos. Calcula la medida del lado n.

¿Cuál es la altura del tobogán?

En primer lugar observemos que se trata de un triángulo

rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema del

cateto y de la altura.

Aplicamos el teorema del cateto para calcular la medida

de n.

De las dos soluciones obtenidas sólo es válida la solución positiva, pues el dato que buscamos es una medida, que no puede ser negativa.

Por tanto, la distancia pedida es de1.6 m

Usamos el teorema de la altura para calcular la altura del tobogán.

Luego, la altura del tobogán es de 1.2m.