CALCULO DE DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

Teorema de Castigliano: Consideremos una estructura, que la esquematizamos con una línea cerrada. Es decir, que el área encerrada por la misma se desarrolla una estructura resistente, isostática o hiperestática, o sea que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos).

Consideremos ahora un sistema de cargas actuando sobre la misma, con valores tales que todos los elementos estructurales estén sometidos a esfuer-zos, para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn, sistema que está en equilibrio, es decir que, o bien son sistema de fuerzas externas, o alguna de ellas son fuerzas externas y otras son reacciones de vínculo.

P1

P2

Pj

Pn

Pn-1

1

2

2' n-1

j

n

Δ2

δ2

Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2'. Cada fuerza realiza un trabajo elástico de valor:

½ . P . δ

Siendo δ la proyección del despalzamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza. El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:

jjnj

PAe δ= ∑ =1 21

lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema. Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdría:

jj

dPPAeAe∂∂

+

donde jP

Ae∂∂

es la variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad.

Consideramos ahora que primero se aplique dPj y luego el sistema P1 a Pn. El trabajo total, en este caso resulta:

Página 1 de 16

AedPddP jjjj +δ+δ ..21

Donde: • El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dPj, al aplicar dicha fuerza creciendo

desde cero a su valor final. • El 2° sumando, representa el trabajo físico de dPj debido al desplazamiento que

provoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales. • El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn. Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:

AedPddPdPPAeAe jjjjj

j+δ+δ=

∂∂

+ ..21

Simplificando los valores Ae de las dos ecuaciones y despreciando el primer sumando del segundo miembro por ser un diferencial de orden superior, se obtiene:

jjjj

dPdPPAe

δ=∂∂ .

jj P

Ae∂∂

=δ

o lo que es equivalente : que es la expresión del Teorema de Castigliano Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula como energía interna elástica, podemos escribir:

Ae = Ai Y por lo tanto:

jj P

Ai∂∂

=δ

Página 2 de 16

Ello implica poder enunciar: "En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistema se encuentre en el régimen elástico." Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Ae, necesitamos las deformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ai. Dado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deforma-ciones por deformaciones específicas, el trabajo interno estará dado por unidad de volumen: Ai* = "trabajo interno de deformación por unidad de volumen", el cual estará expresado de la siguiente manera:

τγ+σε=21

21*Ai

Por la ley de Hooke G

, τ=γ

σ=ε

E, reemplazando en la expresión anterior:

GEAi

22

21

21* τ

+σ

=

Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:

∫ ∫∫ ∫ ∫τ

+σ

==x Ax A

dAdxG

dAdxE

dVAiAi22

21

21*

Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

AQ , α=τ+=σ y

JM

AN

donde JbSA

=α

Reemplazando:

dAdxAQ

GdAdxy

JM

EydAdx

JM

AN

EdAdx

AN

EAi

x Ax Ax Ax A∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ α+++= 2

222

2

2

2

2

21

211

21

Página 3 de 16

Del primer término tenemos (área), AdA

A

=∫del segundo (momento estático en toda el área), 0=∫

A

ydA

del tercero (momento de inercia), JdAyA

=∫ 2

y del cuarto llamamos χ=α∫ dA

AA

2 (coeficiente de forma de la sección), por lo tanto:

dxGAQdx

EJMdx

EANAi ∫∫∫ χ++=

222

21

21

21

Aplicando el Teorema de Castigliano:

GAdx

PQQ

EJdx

PMM

EAdx

PNN

PAi

jjjjj ∫∫∫ ∂

∂χ+

∂∂

+∂∂

=∂∂

=δ

Aplicación del Teorema al cálculo de deformaciones:

P A

B M x

L

ϕB

MB

MA

ϕB

δB

Sea el caso de una viga empotrada en A y cargada en el extremo libre B con una fuerza y un momento. El diagrama de momentos, varía de MB = -M a MA = -(M+PL). En la explicación que sigue vamos a considerar que las deformaciones por flexión son mucho mayores que las produ-cidas por el esfuerzo de corte, es decir despreciamos el efecto del corte, por lo tanto el trabajo interno a considerar, es solo el debido al momento flector.

Página 4 de 16

La expresión general del trabajo interno por flexión vale dxEJ

MxAi ∫=2

21

En tal caso, si queremos calcular el desplazamiento vertical del punto B, de acuerdo al Teorema de Castigliano, debemo hacer la deribada respecto de P y considerando que el momento de inercia y el módulo de elasticidad son constantes:

dxPMxMx

EJPAi

L

B ∫ ∂∂

=∂∂

=δ0

1

En el ejemplo planteamos Mx = -(M+Px) y derivando dMx/dP = -x

( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=δ ∫

LLL

BxPxM

EJdxxPxM

EJ0

3

0

2

0 3211

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=δ32

1 32 PLMLEJB

Observando y analizando la ecuación obtenida podemos deducir que la elástica final, es la suma de la debido a M y a la debida a P separadamente , haciendo tender a cero a P y a M respectivamente. Si el problema planteado, correspondería al caso en el que la carga sea solamente un momento M en B, no tendríamos una carga puntual en B, para calcular el desplazamiento vertical de ese punto.

F A

B

Pero si consideramos que además de M actúa en B una fuerza F, infinitamente pequeña, podemos escribir: Mx = -(M+Fx), y por lo tanto dMx/dF = -x.

Luego podemos decir que F es tan pequeña que se puede despreciar y el desplazamiento vertical quedará:

EJMLdxxM

EJdx

FMxMx

EJFAi

LL

B

2

00

))((11==

∂∂

=∂∂

=δ ∫∫

Página 5 de 16

Con este ejemplo, hemos demostrado que no es necesario que en el punto donde nos interesa calcular el desplazamiento, se tenga una fuerza real, para poder usar el Teorema de Castigliano. Ejemplo 1:

Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:

M

C A

B

x L/2

M

F

FL/2

dxF

MxMxEJF

AiL

C ∫ ∂∂

=∂∂

=δ0

1

donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento. Así tendremos:

] ] ( )[ ]2 ;2

20

LxFMMMM LLx

Lx −+−=−=

( )2 ;02

2

0

LxdF

dMdF

dM L

L

xL

x −−=⎥⎦

⎤=⎥⎦

⎤

( )( ) ( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−+−= ∫ ∫∫ ∫L

L

L

L

l L

Lc dxLMMxdx

EJdxLxMdxM

EJ2 2

2

0 22

1201δ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

4831

22421 2

22

2 LMMLEJ

LLMLLMEJcδ

EJML

c 8

2

=δ

Página 6 de 16

Ejemplo 2:

Viga en voladizo con carga en el extremo libre B. Calcular el giro de la sección C.

C

A

B

m

x L/2

PL

P

m

Como en C no actúa un momento, debemos aplicar en dicho punto un momento m infinitamente pequeño. Para el cálculo tenemos:

dxm

MxMxEJm

Ai L

C ∫ ∂∂

=∂∂

=0

1ϕ

] ] [ ]PxmMPxM LLx

Lx +−=−=

22

0 ;

1 ;02

2

0

−=⎥⎦⎤=⎥⎦

⎤L

L

x

L

x

dmdM

dmdM

Nuevamente haciendo tender m a cero:

( )( ) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−+−= ∫ ∫ 4211101 2

22

0 2

LLPEJ

dxPxdxPxEJ

L L

Lcϕ

EJPL

c 83 2

=ϕ

Si entramos en el análisis detallado de las integrales que hemos realizado, vemos que la derivada del diagrama de momentos es igual al diagrama de momentos de una carga unitaria aplicada en el punto donde queremos calcular la deformación. Por lo tanto para el cálculo de deformaciones, debemos integrar el producto de dos funciones: La del momento real de las cargas actuantes en la estructura.

La del momento que provoca una carga unitaria aplicada en el punto del que se

quiere conocer la deformación y dirección de la misma. Los momentos probocados por las citadas cargas unitarias (fuerza o momento), vamos a denominarlos como Mx1.

Página 7 de 16

Ejemplo 3: Viga simplemente apoyada, de momento de inercia constante y carga unifirme. Se pide:

A B

C

L

qL2/8

M

m = 1

1

F = 1

L/4

q

Mx1 caso a)

Mx1 caso b)

a) Giro de la sección en el apoyo A b) Desplazamiento vertical del punto medio

del tramoAB. a) Giro

dxMMEJ

dxm

MxMxEJm

Ai

x

L

x

L

A

10

0

1

1

∫

∫

=

=∂∂

=∂∂

=ϕ

2

22xqxqLM x −=

Lx

mM

M xx −=

∂∂

= 11

423232221

22

4332

0

2 LLqLqLqLqLdx

LxxqxqLEJ

L

A +−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ϕ

EJqL

A 24

3

=ϕ

b) Desplazamiento vertical

dxMMEJ

dxF

MxMxEJF

Aix

L

x

L

c 100

11∫∫ =

∂∂

=∂∂

=δ

Página 8 de 16

2

22xqxqLM x −= ] x

FMM xL

x 5.0201 =

∂∂

=

( )( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ 4

243

24

25.022

2

432/

0

2LqLqLdxxxqxqLEJ

L

cδ

EJqL

c 3845 3

=δ

Ejemplo 4:

Viga empotrada en A, con extremo libre en C y carga vertical P en C. Calcular:

A

P

L1, J1 C

B

L2, J2

a) Desplazamiento vertical del punto C = δvc b) Desplazamiento horizontal de C = δhc c) Giro del nudo C = ϕc d) Giro del nudo B = ϕB B L1 = 100 cm J1 = J L2 = 200 cm J2 = 2J

Diagrama de momentos M

a) Para el cálculo del desplazamiento vertical, dado que P está en el punto y con la dirección del desplazamiento que queremos calcular, el diagrama Mx1 será el correspondiente para P = 1.

( )( ) ( )( )dyLPLEJ

dxxPxEJ

LL

vc ∫∫ −−+−−=21

011

201

11δ

A

P

C B

PL1

x

y

221

31 2

13

LPLLPEJ vc +=δ

Página 9 de 16

b) Desplazamiento horizontal de C

A

1

C B

L2

Mx1

Realizando las integrales por tabla.

( )( )

( )( )2

221

2

211

21

211

EJLLPL

EJL

MMdxMMEJ

B

ABxxhc

−−=

=⎥⎦

⎤== ∫δ

1224

1 LPLEJ hc =δ c) Giro de C

( )( ) ( )( )B

AB

C

BB

xxc

EJLMM

EJLMM

dxMMEJ

⎥⎦

⎤+⎥

⎦

⎤=

== ∫

2

21

1

11

1

21

1ϕ

A

1

C B

1

Mx1

( )( ) ( )( )B

A

C

Bc EJ

LPLEJLPL ⎥

⎦

⎤−−+⎥

⎦

⎤−−=

2

21

1

11 11

21ϕ

21

21

21

2LPLPLEJ c +=ϕ

Página 10 de 16

d) Giro en B

( )( ) ( )( )2

21

2

211 11

EJLPL

EJLMMdxMM

EJ

B

AxxB −−=⎥

⎦

⎤== ∫ϕ

A

1

C B

Mx1

2121 LPLEJ B =ϕ

Problemas cuando se tiene en cuenta el esfuerzo de corte Q y el esfuerzo axil N Teniendo en cuenta todos los esfuerzos, el trabajo interno de deformación vale:

dxGAQQdx

EJMMdx

EANNAi x

xx

xx

x ∫∫∫ ++= χ21

21

21

donde χ es el coeficiente de forma de la sección, siempre positivo con valores: χ = 1,2 para sección rectangular χ = 1,185 para sección circular llena χ = 2 a 3 para sección doble T (según las medidas)

Página 11 de 16

Ejemplo de aplicación: Para la estructura de la figura se pide: a) Desplazamiento vertical del punto D = δvD b) Desplazamiento vertical del punto B = δvB c) Desplazamiento horizontal del punto C = δhc d) Giro de la sección B de la barra 4 = ϕB4 e) Giro de la sección B de la barra 3 = ϕB3 Material: Acero E = 2.100.000 Kg/cm2 G = E/2(1+μ) ≈ 800.000 Kg/cm2

L1 = L2 = 70,7 cm L3 = L4 = 100 cm Secciones: Barras 1 y 2 A1,2 = 2 cm2

Barra 3 A3 = 3 cm2

Barra 4

A4 = 54 cm2

J4 = 1458 cm4

18 cm

3 cm

P1 = 6000 Kg P2 = 2000 Kg

A

B

C

D

P2

P1

2 1

4 3

45° 45°

M Mx = -3000 x

Q = 3000 Kg

MA = -300000 Kg cm

N = 2000 Kg

Esfuerzos en las barras: S1 = S2 = -0,707 P1 S1 = S2 = -4243 Kg S3 = P2 + 0,5 P1 = 5000 Kg

Página 12 de 16

a) Desplazamiento vertical del punto D = δvD

A

B

C

D

1

2 1

4 3

M1 M1x = -0,5 x

Q1 = 0,5

M1A = -50 Esfuerzos en las barras: S11 = S21 = -0,707 S31 = 0,5 N1 = 0

i

ii

iixxxxxxVD EA

LSSdxNNEA

dxQQGA

dxMMEJ

13

11

100

041

100

041

100

04

11 ∑∫∫∫=

+++=χδ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1005,05000250707,0424321005,030002,110050)300000(3

1

3144 EAEAGAEJVD +−−

++−−=δ

833332121188750342936 +++=δVDE

cmVD 308,0=δ

Página 13 de 16

b) Desplazamiento vertical del punto B = δvB

A

B

C

D 1

2 1

4 3

M1 M1x = -x

Q1 = 1

M1A = -100 Esfuerzos en las barras: S11 = S21 = S31 = 0 N1 = 0

dxQQGA

dxMMEJ xxxxVB 1

100

041

100

04

1∫∫

χ+=δ

( ) ( )( )100130002,1100100)300000(3

1

44 GAEJVB +−−=δ

17500685871+=δVBE Nota: Observar que entre el valor de la elástica teniendo en cuenta el Q y cuando se lo desprecia, la diferencia es menor del 2,6%

cmVB 335,0=δ c) Desplazamiento horizontal del punto C = δhcS11 = S21 = 0, S31 = 1, N1x = 1, M1x = 0, Q1x = 0

A

B

C

D

1

2 1

4 3

Página 14 de 16

i

ii

iixxHC EA

LSSdxNNEA

13

11

100

04

1 ∑∫=

+=δ

( )( ) ( )( )1001500010012000

34 EAEAHC +=δ

cmHC 081,0=δ

d) Giro de la sección B de la barra 4 = ϕB4

A

B

C

D

1

2 1

4 3

Mx1 = -1, Qx1 = 0, Nx1 = 0, S11 = S21 = S31 = 0

( )( ) 0049,01300000211

41

100

044 =

−−==ϕ ∫ EJ

dxMMEJ xxB

"'4 51 16=ϕB

e) Giro de la sección B de la barra 3 = ϕB3

A

B

C

D 2 1

4

3

δVB

ϕB3

ϕB3 = δVB/L3

Página 15 de 16

ϕB3 = 0,335 cm / 100 cm = 0,00335 "'

3 13 11=ϕB

f) Giro relativo en B:

4 3 B

Giro relativo

Giro Relativo = 16' 51" + 11' 31"

"' 22 28=ϕ Brelativo

Página 16 de 16