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Teorema de Cantor: Un conjunto no puede ponerse en correspondencia uno-a-uno con su conjunto de partes. (Prueba de Fitting) Suponga que hay una manera de emparejar subconjuntos de algún conjunto con elementos de . Llamemos a cada miembro de , asociado con un subconjunto particular de , el código de ese subconjunto. Se requiere que cada miembro de sea un código, y nada puede ser un código de más de un subconjunto, aunque los subconjuntos pueden tener más de un código. En consecuencia, algún subconjunto de carece de código. Sea , la relación “ pertenece al subconjunto de codificado por . Así, ⟨ . , ⟩ representa al subconjunto de de los , codificado por . Ahora bien, la siguiente sentencia expresada en el lenguaje de segundo orden resume el teorema:

∀ ∃ ∀ ¬ ⟨ . , ⟩ = Es decir, para toda relación hay un conjunto tal que ningún subconjunto de de los

, codificado por , es igual a . Para quitar la igualdad tenemos la expresión equivalente:

∀ ∃ ∀ ∃ , ∧ ¬ ∨ ¬ , ∧

Esta fórmula dice que para toda , o bien codifica mediante al subconjunto que tiene a algún y no pertenece a algún subconjunto , o bien no codifica al subconjunto que tiene a y

pertenece a . Para que esta fórmula sea válida no puede tener contra modelo, esto es, no puede ser falsa en algún modelo. Para hacer la prueba sencilla, construimos el árbol de su negación. Dicho árbol no debe ser satisfacible, debe estar cerrado en cada rama (aparece una fórmula y su negación en cada rama. Veamos las reglas para hacer este árbol:

Reglas para realización del árbol Un término fundamental se define como un término que no tiene variables libres. es una variable de tipo . De manera análoga es un término fundamental (nombres propios, constantes de individuo, constantes de predicado, etc.) de tipo :

∀:∀ Φ

Φ ∃:

¬ ∃ Φ

¬Φ

En este caso , … , son variables del mismo tipo y , … , son términos fundamentales del mismo tipo:

:⟨ , … , . Φ , … , ⟩ , … ,

Φ , … ,

:¬⟨ , … , . Φ , … , ⟩ , … ,

¬Φ , … ,

Para la aplicación de estas reglas hay restricciones. Las variables las sustituiremos por parámetros. Un parámetro es una variable no ligada. Hay tantos parámetros como variables, con la diferencia de que estas últimas no aparecen ligadas. Así las cosas, tenemos las siguientes reglas:

∀:¬ ∀ Φ

¬Φ ∃:

∃ Φ

Φ

En este caso es un parámetro que no ha aparecido antes en el contexto.

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¬¬ ,

,

¬

,

¬

¬¬⟨ . ¬ , ⟩ ∧

¬ ∀ ∃ ∀ ∃ , ∧ ¬ ∨ ¬ , ∧

¬ ∃ ∀ ∃ , ∧ ¬ ∨ ¬ , ∧

¬ ∀ ∃ , ∧ ¬⟨ . ¬ , ⟩ ∨ ¬ , ∧ ⟨ . ¬ , ⟩

¬ ∃ , ∧ ¬⟨ . ¬ , ⟩ ∨ ¬ , ∧ ⟨ . ¬ , ⟩

¬ , ∧ ¬⟨ . ¬ , ⟩ ∨ ¬ , ∧ ⟨ . ¬ , ⟩

¬ , ∧ ¬⟨ . ¬ , ⟩

Hipótesis

∀ /

∃ ⟨ . ¬ , ⟩/

∀ /

∃ /

∨

¬ ¬ , ∧ ⟨ . ¬ , ⟩ ∨

¬ , ∧

¬⟨ . ¬ , ⟩ ∧

¬¬ ,

∧ ¬ ,

⟨ . ¬ , ⟩ ¬

¬⟨ . ¬ , ⟩ ∧

¬¬ ,

∧

¬¬ ,

,

¬

,

¬

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El proceso es similar al de otros árboles: cada fórmula se interpreta hasta no poder aplicarse más reglas, y se interpreta en cada rama abierta. En este caso es un parámetro. es un predicado de primer orden y es una variable de individuo. Al lado derecho de cada nodo indico con / que la expresión sustituyó a la expresión en el paso anterior. Esta prueba es automática, en el sentido de que los pasos pueden ser aplicados automáticamente. Sin embargo, no es realizable por una máquina, dado que encontrar el ⟨ . ¬ , ⟩ para sustituir puede tardar toda la cantidad de segundos que tiene el universo. Para ello se requiere la habilidad del matemático humano. Recuérdese que ⟨ . ¬ , ⟩ es un término fundamental, de manera que no tiene variables libres y por ello la ∀ no afecta las variables dentro de los ángulos ⟨⟩. Alfonso Cabanzo, enero de 2017.

Bibliografía Fitting, M. (2002). Types, Tableaus, and Gödel's God. Dordrecht: Kluwer.