Teoría Avanzada en Polinomios Ortogonales Multivariados ... · de cuándo los grados de las...

Minicurso

Teoría Avanzada enPolinomios Ortogonales Multivariados

(Quinta sesión)

Teresa E. Pérez

Departamento de Matemática AplicadaUniversidad de Granada (España)

e–mail: [email protected]

V EIBPOA – Encuentro Iberoamericano de polinomios ortogonalesy sus aplicaciones

Instituto de Matemáticas, UNAM del 8 al 12 de junio de 2015.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 1 / 30

Problemas abiertos

1 Aplicaciones

2 Problemas abiertosPolinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariadosAnálogos a los clásicos de T. KoornwinderPolinomios de Krall en dos variablesModificación de UvarovPolinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesRelaciones lineales entre OPS

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Problemas abiertos

1 Aplicaciones


3 Más...


Aplicaciones

Construcción de fórmulas de cubatura

Aproximación de funciones multivariadas: series de Fourier

Aproximación simultánea de funciones multivariadas y sus derivadas:productos escalares de Sobolev

Resolución numérica de EDP: métodos espectrales o de Galerkin

Problemas relacionados con sistemas cuánticos descritos por medio deHamiltonianos cuadráticos (en teoría cinética de gases, sistemasópticos, . . . )

Teoría de la señal

Descripción de frentes de onda y pantallas pixeladas

Reconstrucción de la forma de la córnea. Detección de aberraciones

Problemas relacionados con el pulido de superficies ópticas

Transformada de Radon atenuada: Tomografía computerizada (TC) ytomografía de emisión (PET)

...


Problemas abiertos

1 Aplicaciones


3 Más...


Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)

Estudio y clasificación de los polinomios ortogonales en dos variablessolución de la EDP

awxx + 2 bwxy + cwyy + dwx + ewy = λnw

a, b, c de grado ≤ 2,d, e de grado ≤ 1,λn ∈ R depende del grado total del polinomio solución

Generalización de la ecuación diferencial de Bochner en unavariable

σ(x) y′′ + ρ(x) y′ = λn y

con gradoσ ≤ 2, grado ρ ≤ 1, λn ∈ RGeneralización de la EDP de los polinomios de Hermite, Appell,bola en dos variables,...


Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)

Deducen nueve clases de polinomios ortogonales clásicos en dosvariables:

Productos de Hermite y/o Laguerre por Hermite y/o LaguerrePolinomios de AppellPolinomios sobre la bolaTres más asociadas a funcionales no definidos positivos

Las clases adicionales de P. K. Suetin (1999)

Obtiene seis clases más.Algunas son afínmente equivalentes a otras, pero suspropiedades son considerablemente distintas.

NO incluyen los productos de polinomios de Jacobi, pues λ dependede los grados parciales


Suetin, pág. 130Por otra parte, el problema de la clasificación en detalle de todas lasecuaciones admisibles de segundo orden asociadas con polinomiosortogonales en dos variables continua esperando su solución.

Problema abiertoAnálisis de las seis clases adicionales de Suetin. Investigar en quéforma afectan los cambios de variable afín a las propiedades de lospolinomios ortogonales en dos variables.


Clásicos bivariados (Fernández, Pérez, Piñar, 2005)

Un OPS Pnn es clásico sii existen matrices Λn tales que

L[Ptn] = Pt

n Λtn

dondeL[Pt

n] ≡ div(Φ∇Ptn) + Ψt∇Pt

n

con

Φ =

(a bc d

), gr(Φ) ≤ 2, Ψ =

(de

), gr(Ψ) ≤ 1, Ψ = Ψ− div Φ

L[Ptn] = a ∂xxPt

n + 2 b ∂xyPtn + c ∂yyPt

n + d ∂xPtn + e ∂yPt

n

Caso Krall y Sheffer: Λn = λn In+1

Incluye todos los productos tensoresExtensión de la definición: ejemplos nuevos


Caracterizaciones

Son equivalentesEDP matricial

div(Φ∇Ptn) + Ψt∇Pt

n = Ptn Λt

n

Ecuación matricial de tipo Pearson

div(Φu) = Ψt u

Relación de estructura

Φ∇Ptn = (I2 ⊗ Pt

n+1)Fnn+1 + (I2 ⊗ Pt

n)Fnn + (I2 ⊗ Pt

n−1)Fnn−1

Ortogonalidad de los gradientes

〈u, (∇Ptm)tΦ∇Pt

n〉 = Knδn,m, n,m ≥ 1


Problemas abiertos

Problema abiertoClasificar, salvo cambio de variable, todos los OPS clásicos en dosvariables, esto es, todos los OPS solución de una ecuación diferencialen derivadas parciales matricial de la forma anterior.

2a rel. de estructura (Marcellán, Branquinho, Petronilho, 1994)Una SPOM univariada es clásica si y sólo si

Pn(x) =P ′n+1(x)

n+ 1+ bn

P ′n(x)

n+ cn

P ′n−1(x)

n− 1, n ≥ 2, cn 6= 0

Problema abiertoExtender a dos variables la caracterización anterior.


Semiclásicos en dos variables (Álvarez de Morales,Fernández, Pérez, Piñar, 2007)

u es semiclásico sidiv(Φu) = Ψt u

donde

Φ =

(a bc d

), Ψ =

(de

)grado Φ = p ≥ 0, grado Ψ = q ≥ 1

CaracterizacionesRelación de estructuraCuasi–ortogonalidad de los gradientesRelación difero–diferencial


Problema abierto

u puede satisfacer más de una ecuación de tipo Pearson:

div(Φu) = Ψt u, Φ =

(a bc d

), Ψ =

(de

)

Problema abiertoDeterminar si una ecuación de tipo Pearson es minimal, en el sentidode cuándo los grados de las matrices coeficientes son mínimos.


Análogos a los clásicos (Koornwinder 1975)

Class V

1 1x

1

1

y

Class V

1 1x

1

1

y

Class VI

1 1u

1

1

v

Class VI

1 1u

1

1

v

Class VII

x

y

Class I & II

1 1x

1

1

y

Class I & II

1 1x

1

1

y

Class III

0 1x

1

1

y

Class III

0 1x

1

1

y

Class IV

0 1x

1

y

Class IV

0 1x

1

y

Clases I & II: Polinomios sobre la bolaClase IV Polinomios de Appell

Clase V Producto tensor de polinomios de Jacobi

Clases II, III, IV y V generadas por una técnica especial

Fernández, Pérez, Piñar demostramos que todos son clásicos


Técnica de Koornwinder (1975)

ω1(x) función peso en (a1, b1),

ω2(y) función peso en (a2, b2),

ρ(x) función positiva en (a1, b1) tal que

ρ(x) es un polinomio de grado ≤ 1, o

ρ2(x) es un polinomio de grado ≤ 2, y ω2(x) es simétrica.

p(k)n (x)n≥0 OPS asociada a ρ2k+1(x)ω1(x), k ≥ 0.

qn(x)n≥0 OPS asociada a ω2(x).


Técnica de Koornwinder (1975)

Para 0 ≤ k ≤ n

Pn−k,k(x, y) = p(k)n−k(x) ρk(x) qk

( y

ρ(x)

)son polinomios de grado (total) n, ortogonales con respecto a

〈Pn−k,k, Pm−h,h〉 =

∫ΩPn−k,k(x, y)Pm−h,h(x, y)W (x, y) dx dy,

donde

W (x, y) = ω1(x)ω2

( y

ρ(x)

)en

Ω = (x, y) : a1 < x < b1, a2 ρ(x) < y < b2 ρ(x).

Si ρ(x) = 1, obtenemos el producto tensor de polinomios en unavariable.


Problemas abiertos

Determinar una expresión explícita para el núcleo en dosvariables en términos de los núcleos de los polinomios en unavariable.

Relacionar el comportamiento asintótico de los núcleos

Estudiar la existencia y localización de los ceros del OPS en dosvariables en términos de los ceros de los polinomios univariadosque lo define

Cálculo de los coeficientes de las fórmulas de cubatura


Problemas abiertos

Relaciones entre la simetría en una variable y la simetría central ocuasi–central de los pesos construidos por la técnica deKoornwinder.

Determinar condiciones bajo las cuales los polinomiosortogonales bivariados construidos con la técnica de Koornwindera partir de funciones peso clásicas en una variable son clásicosen dos variables


Polinomios de Krall en dos variables (Fernández,Pérez, Piñar, 2011)

Pnn≥0 un OPS asociado a u regular. Se dice Bochner–Krall si existe

LN [·] ≡N∑

h=1

h∑i=0

ah−i,i(x, y)∂h

∂xh−i∂yi,

y matrices Λn ∈Mn+1(R), n ≥ 0, tales que Hn Λtn = ΛnHn, y

LN [Ptn] = Pt

n Λtn

Teorema〈LN [p]u, q〉 = 〈LN [q]u, p〉,El orden del operador debe ser par


Problemas abiertos

Para N = 2 y matriz escalar, recuperamos el caso de Krall & Sheffer

Problemas abiertosClasificar los OPS que son funciones propias de un operador decuarto orden asociado a una matriz escalar (operadores tipo Krally Sheffer) (Martínez, Piñar, 2015)

Estudiar los OPS en dos variables que son funciones propias deoperadores en derivadas parciales de cuarto orden asociados amatrices Λn en general


Modificación de Uvarov

ξ1, ξ2, . . . , ξN ∈ Rd, N ≥ 1

Λ matriz N ×N semidefinida positivav perturbación de un funcional de momentos regular u

〈v, f g〉 = 〈u, f g〉+ (p(ξ1), p(ξ2), . . . , p(ξN )) Λ

q(ξ1)q(ξ2)

...q(ξN )

Resultados:

Condición necesaria y suficiente para la regularidad de vRelaciones explícitas entre los respectivos OPSs y los respectivosnúcleosAsintótica en casos particularesNuevas desigualdades para PO clásicos en una variable



2010 Fernández, Pérez, Piñar, Xu: Bola con masa en el origen

2010 Delgado, Fernández, Pérez, Piñar, Xu: Appell con masas enlos vértices

2012 Delgado, Fernández, Pérez, Piñar: Bola en R2 con masasigualmente espaciadas en el borde



Problemas abiertosSi u es semiclásico, demostrar que v lo es y relacionar lasecuaciones de tipo Pearson.

Encontrar un OPS asociado a una modificación de Uvarov de unfuncional clásico que sea solución de una EDP de cuarto ordencon matriz escalar (tipo Krall).

Conexiones entre las matrices–coeficientes de las relaciones atres términos

Relaciones entre los ceros

Modificaciones añadiendo masas a lo largo de aristas, fronteras,etc. de las regiones de ortogonalidad


Polinomios ortogonales de Sobolev en varias variablesProductos escalares que involucran operadores de derivación

Año Bd EDP 2 orden Td Type en general2006 Xu Lee, Littlejohn2008 Xu2009 Piñar, Xu2010 Bracciali, Delgado,

Fernández,Peréz, Piñar

2011 Mello, Paschoa,Pérez, Piñar

2013 Delgado, Aktas, XuPérez, Piñar

Pérez,Piñar, Xu

Li, Xu (arXiv)2015 Dueñas, Garza,

Piñar


Problemas abiertos

OPS, ceros, núcleos, asintótica, series de Fourier, EDPs, etc.,Productos de Sobolev continuos:

〈f, g〉S = 〈u, f g〉+ 〈v, (∇f)t(θ0 θ1

θ1 θ2

)∇g〉

Productos de tipo Sobolev

〈f, g〉S = 〈u, f g〉+∇f(ξ)t Λ∇g(ξ) = 〈u, f g〉+d∑

i,j=1

λi,j ∂if(ξ) ∂jg(ξ)

Productos de Sobolev discreto–continuos

〈f, g〉S = f(ξ) g(ξ) + λ 〈u, (∇f)t∇g〉

Otros operadores de derivación: divergencia, laplaciano, etc.


Relaciones lineales entre OPS

Pnn≥0 y Qnn≥0 PS verificando Q0 = P0 y

Qn = Pn +Mn Pn−1, n ≥ 1,

donde Mn ∈Mrdn×rdn−1

ResultadosSi ambas son ortogonales =⇒ u = λ(x) v, con gr(λ(x)) ≤ 1.Además

o bien Qn ≡ Pn, n ≥ 0o bien el rango de Mn es máximo n ≥ 0

Si sólo una es ortogonal, determinar cuándo lo es la otraRelaciones entre familias adyacentes: Polinomios de Appell,producto de Jacobi, producto de Laguerre

Alfaro, Peña, Pérez, Rezola, 2014


Problemas abiertos

Extensión de la definición de pares coherentes a varias variables

Relación con productos escalares de Sobolev

Estudiar las relaciones lineales para PS centralmente simétricos.Los polinomios sobre la bola unidad son centralmente simétricos,y satisfacen una relación lineal simétrica. ¿Qué relación existeentre ambos conceptos?

Estudiar relaciones lineales a tres o más términos entre dos PS.


Problemas abiertos

1 Aplicaciones


3 Más...


Más...

Polinomios multivariados de variable discreta (Area, Godoy,Rodal, Universidade de Vigo)

q–polinomios de varias variables

Polinomios multivariados excepcionales (X–multivariados)

Multivariados matriciales

...


Continuará...

Muchas gracias!


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