Minicurso

Teoría Avanzada enPolinomios Ortogonales Multivariados

(Primera sesión)

Teresa E. Pérez

Departamento de Matemática AplicadaUniversidad de Granada (España)

e–mail: tperez@ugr.es

V EIBPOA – Encuentro Iberoamericano de polinomios ortogonalesy sus aplicaciones

Instituto de Matemáticas, UNAM del 8 al 12 de junio de 2015.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 1 / 32

Contenidos

1 Motivación

2 Herramientas básicas

3 Una variable frente a varias variables

4 Referencias

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 2 / 32

Contenidos

1 Motivación

2 Herramientas básicas

3 Una variable frente a varias variables

4 Referencias

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 3 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

x

y

10

1

T = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, 1− x− y ≥ 0}

Función pesoW (x, y) = 1

Momentos para la función peso sobre el triángulo:

µi,j =

∫Txi yj dx dy =

∫ 1

0yj[∫ 1−y

0xi dx

]dy =

i! j!

(i+ j + 2)!

para i, j ≥ 0.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 4 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

x

y

10

1

T = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, 1− x− y ≥ 0}

Función pesoW (x, y) = 1

Momentos para la función peso sobre el triángulo:

µi,j =

∫Txi yj dx dy =

∫ 1

0yj[∫ 1−y

0xi dx

]dy =

i! j!

(i+ j + 2)!

para i, j ≥ 0.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 4 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

x

y

10

1

T = {(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, 1− x− y ≥ 0}

Función pesoW (x, y) = 1

Momentos para la función peso sobre el triángulo:

µi,j =

∫Txi yj dx dy =

∫ 1

0yj[∫ 1−y

0xi dx

]dy =

i! j!

(i+ j + 2)!

para i, j ≥ 0.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 4 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Ejemplo: Simplex en dimensión d = 2

Producto escalar (o producto interno) sobre el triángulo

〈p, q〉 =

∫Tp(x, y) q(x, y) dx dy =

∫ 1

0

[∫ 1−y

0p(x, y) q(x, y)dx

]dy

Ortogonalicemos la base de los polinomios en dos variables concoeficientes reales de grado menor o igual a 1

Espacio vectorial

Π21 = {p(x, y) = a0 + ax x+ ay y/a0, ax, ay ∈ R}

dim Π21 = 3

1 Búsqueda de una base apropiada

2 Uso del algoritmo de Gram–Schmidt

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 5 / 32

Contenidos

1 Motivación

2 Herramientas básicas

3 Una variable frente a varias variables

4 Referencias

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 6 / 32

Herramientas básicas

Dimensión del espacio: d ≥ 1

Monomio en d variables:

xν = xν11 xν22 · · · xνdd

donde x = (x1, x2, · · · , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0

Grado del monomio: n = |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd ≥ 0.

Para n ≥ 0, el cardinal del conjunto

Pdn = {xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n}

es rdn =

(n+ d− 1

n

).

Pdn ∪ {0} es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos degrado (total) exacto n, y tiene dimensión rdn.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 7 / 32

Herramientas básicas

Dimensión del espacio: d ≥ 1

Monomio en d variables:

xν = xν11 xν22 · · · xνdd

donde x = (x1, x2, · · · , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0

Grado del monomio: n = |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd ≥ 0.

Para n ≥ 0, el cardinal del conjunto

Pdn = {xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n}

es rdn =

(n+ d− 1

n

).

Pdn ∪ {0} es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos degrado (total) exacto n, y tiene dimensión rdn.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 7 / 32

Herramientas básicas

Dimensión del espacio: d ≥ 1

Monomio en d variables:

xν = xν11 xν22 · · · xνdd

donde x = (x1, x2, · · · , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0

Grado del monomio: n = |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd ≥ 0.

Para n ≥ 0, el cardinal del conjunto

Pdn = {xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n}

es rdn =

(n+ d− 1

n

).

Pdn ∪ {0} es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos degrado (total) exacto n, y tiene dimensión rdn.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 7 / 32

Herramientas básicas

Dimensión del espacio: d ≥ 1

Monomio en d variables:

xν = xν11 xν22 · · · xνdd

donde x = (x1, x2, · · · , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0

Grado del monomio: n = |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd ≥ 0.

Para n ≥ 0, el cardinal del conjunto

Pdn = {xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n}

es rdn =

(n+ d− 1

n

).

Pdn ∪ {0} es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos degrado (total) exacto n, y tiene dimensión rdn.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 7 / 32

Herramientas básicas

Dimensión del espacio: d ≥ 1

Monomio en d variables:

xν = xν11 xν22 · · · xνdd

donde x = (x1, x2, · · · , xd), ν = (ν1, ν2, . . . , νd) ∈ Nd0

Grado del monomio: n = |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd ≥ 0.

Para n ≥ 0, el cardinal del conjunto

Pdn = {xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n}

es rdn =

(n+ d− 1

n

).

Pdn ∪ {0} es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos degrado (total) exacto n, y tiene dimensión rdn.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 7 / 32

Herramientas básicas

Polinomio de grado (total) n:

p(x) =∑|ν|≤n

aν xν , aν ∈ R.

Πdn = {p(x)/deg p(x) ≤ n}

dim Πdn =

(n+ d

n

)

Πd =⋃n≥0

Πdn

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 8 / 32

Herramientas básicas

Polinomio de grado (total) n:

p(x) =∑|ν|≤n

aν xν , aν ∈ R.

Πdn = {p(x)/ deg p(x) ≤ n}

dim Πdn =

(n+ d

n

)

Πd =⋃n≥0

Πdn

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 8 / 32

Herramientas básicas

Polinomio de grado (total) n:

p(x) =∑|ν|≤n

aν xν , aν ∈ R.

Πdn = {p(x)/ deg p(x) ≤ n}

dim Πdn =

(n+ d

n

)

Πd =⋃n≥0

Πdn

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 8 / 32

Herramientas básicas

Polinomio de grado (total) n:

p(x) =∑|ν|≤n

aν xν , aν ∈ R.

Πdn = {p(x)/ deg p(x) ≤ n}

dim Πdn =

(n+ d

n

)

Πd =⋃n≥0

Πdn

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 8 / 32

Contenidos

1 Motivación

2 Herramientas básicas

3 Una variable frente a varias variables

4 Referencias

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 9 / 32

Una variable frente a varias variables

C. F. Dunkl & Y. Xu, 2001, p. 32Una diferencia esencial entre los polinomios en una variable y envarias variables es la falta de un orden natural. El orden natural en losmonomios en una variable es el orden por el grado; es decir, seordenan los polinomios en Π1 usando su grado: 1, x, x2, . . . En cambio,para los polinomios en varias variables, hay muchas formas deordenar los monomios, y todas esos órdenes están bien definidos.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 10 / 32

Una variable frente a varias variables

Para d = 1, entonces

Π1 = L〈xn : n ≥ 0〉 = L〈1, x, x2, x3, . . . , xn, . . .〉.

Se ordenan los monomios por el grado.

Para d ≥ 2, entonces

Πd = L〈xν = xν11 xν22 · · ·x

νdd : |ν| = n, n ≥ 0〉.

¿Cómo ordenar los monomios cuando d ≥ 2?

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 11 / 32

Una variable frente a varias variables

Para d = 1, entonces

Π1 = L〈xn : n ≥ 0〉 = L〈1, x, x2, x3, . . . , xn, . . .〉.

Se ordenan los monomios por el grado.

Para d ≥ 2, entonces

Πd = L〈xν = xν11 xν22 · · ·x

νdd : |ν| = n, n ≥ 0〉.

¿Cómo ordenar los monomios cuando d ≥ 2?

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 11 / 32

El orden para d ≥ 2

Sean ν = (ν1, ν2, . . . , νd), η = (η1, η2, . . . , ηd), dos multi–índices, y|ν| = ν1 + ν2 + . . .+ νd, |η| = η1 + η2 + . . .+ ηd.

El orden lexicográficoν � L η si la primera componente no distinta de cero en la diferencia

ν − η = (ν1 − η1, ν2 − η2, . . . , νd − ηd)

es positiva.

En este caso, para d = 2, n = 2

Π22 = L〈1, y, y2, x, x y, x2〉,

puesto que

(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < (1, 0) < (1, 1) < (2, 0)

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 12 / 32

El orden para d ≥ 2

Sean ν = (ν1, ν2, . . . , νd), η = (η1, η2, . . . , ηd), dos multi–índices, y|ν| = ν1 + ν2 + . . .+ νd, |η| = η1 + η2 + . . .+ ηd.

El orden lexicográficoν � L η si la primera componente no distinta de cero en la diferencia

ν − η = (ν1 − η1, ν2 − η2, . . . , νd − ηd)

es positiva.

En este caso, para d = 2, n = 2

Π22 = L〈1, y, y2, x, x y, x2〉,

puesto que

(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < (1, 0) < (1, 1) < (2, 0)

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 12 / 32

El orden para d ≥ 2

Usado por J. Geronimo, P. Iliev (Georgia Institute of Technology,Atlanta, Georgia) y sus co–autores.

El orden lexicográfico no respeta el grado total de los polinomios

En este caso, para d = 2, n = 2, los monomios se ordenan

1, y, y2, x, x y, x2

puesto que

(0, 0) < (0, 1) < (0, 2) < (1, 0) < (1, 1) < (2, 0)

El monomio y2, de grado total 2 se coloca antes que el monomio x quees de grado 1.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 13 / 32

El orden para d ≥ 2

El orden lexicográfico graduadoν � GL η si |ν| > |η|, o si |ν| = |η|, se ordenan usando el ordenlexicográfico graduado inverso.

Ahora, para d = 2,

Π2 = L〈 1︸︷︷︸, x, y︸︷︷︸, x2, x y, y2︸ ︷︷ ︸, x3, x2 y, x y2, y3︸ ︷︷ ︸, . . . , xn ym, . . .〉.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 14 / 32

El orden para d ≥ 2

El orden lexicográfico graduadoν � GL η si |ν| > |η|, o si |ν| = |η|, se ordenan usando el ordenlexicográfico graduado inverso.

Ahora, para d = 2,

Π2 = L〈 1︸︷︷︸, x, y︸︷︷︸, x2, x y, y2︸ ︷︷ ︸, x3, x2 y, x y2, y3︸ ︷︷ ︸, . . . , xn ym, . . .〉.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 15 / 32

El orden para d ≥ 2

El orden lexicográfico graduadoν � GL η si |ν| > |η|, o si |ν| = |η|, se ordenan usando el ordenlexicográfico graduado inverso.

Ahora, para d = 2,

Π2 = L〈 1︸︷︷︸, x, y︸︷︷︸, x2, x y, y2︸ ︷︷ ︸, x3, x2 y, x y2, y3︸ ︷︷ ︸, . . . , xn ym, . . .〉.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 16 / 32

El orden para d ≥ 2

El orden lexicográfico graduadoν � GL η si |ν| > |η|, o si |ν| = |η|, se ordenan usando el ordenlexicográfico graduado inverso.

Ahora, para d = 2,

Π2 = L〈 1︸︷︷︸, x, y︸︷︷︸, x2, x y, y2︸ ︷︷ ︸, x3, x2 y, x y2, y3︸ ︷︷ ︸, . . . , xn ym, . . .〉.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 17 / 32

Sistema de polinomios (M. Kowalski, 1982)

#{xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n} = rdn =

(n+ d− 1

n

)> 1, d ≥ 2

Sistema de polinomios (SP)Sucesión de vectores de polinomios {Pn}n≥0 de tamaño creciente rdn,

Pn = Pn(x) = (Pnν )|ν|=n =(Pnν1(x) Pnν2(x) . . . Pnν

rdn

(x))trdn×1

donde ν1, ν2, · · · , νrdn ∈ {ν ∈ Nd0 : |ν| = n} están ordenados en orden

lexicográfico inverso, y {Pnνi(x)}rdni=1 son polinomios linealmente

independientes de grado total n.

Un SP es una base de Πd.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 18 / 32

Sistema de polinomios (M. Kowalski, 1982)

#{xν : |ν| = ν1 + ν2 + · · ·+ νd = n} = rdn =

(n+ d− 1

n

)> 1, d ≥ 2

Sistema de polinomios (SP)Sucesión de vectores de polinomios {Pn}n≥0 de tamaño creciente rdn,

Pn = Pn(x) = (Pnν )|ν|=n =(Pnν1(x) Pnν2(x) . . . Pnν

rdn

(x))trdn×1

donde ν1, ν2, · · · , νrdn ∈ {ν ∈ Nd0 : |ν| = n} están ordenados en orden

lexicográfico inverso, y {Pnνi(x)}rdni=1 son polinomios linealmente

independientes de grado total n.

Un SP es una base de Πd.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 18 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 19 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 20 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 21 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 22 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 23 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 24 / 32

Ejemplo de SP: base canónica para d = 2

La base canónica habitual en Π2, {Xn}n≥0 puede escribirse como unSistema de polinomios

X0 = (1), X1 =

(xy

), X2 =

x2x yy2

, X3 =

x3

x2 yx y2

y3

,

X4 =

x4

x3 yx2 y2

x y3

y4

, X5 =

x5

x4 yx3 y2

x2 y3

x y4

y5

,X6 =

x6

x5 yx4 y2

x3 y3

x2 y4

x y5

y6

, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 25 / 32

Ejemplo: Base monomial para d = 2

Tomemos

Ph,k(x, y) = ah,kxhyk + términos de grado (total) inferior,

ah,k 6= 0, h, k = 0, 1, 2, · · · .

P0 = (p0,0) = (a0,0); P1 =

(p1,0p0,1

)=

(a1,0x+ α0

a0,1y + α1

);

P2 =

p2,0p1,1p0,2

=

a2,0x2 + β0x+ γ0y + δ0a1,1x y + β1x+ γ1y + δ1a0,2y

2 + β2x+ γ2y + δ2

Mónica si ah,k = 1, h, k = 0, 1, 2, · · ·

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 26 / 32

Ejemplo: Base mónica para d = 2

Tomemos

Ph,k(x, y) = xhyk + términos de grado inferior.

Entonces

P0 = (p0,0) = (1); P1 =

(p1,0p0,1

)=

(x+ α0

y + α1

);

P2 =

p2,0p1,1p0,2

=

x2 + β0x+ γ0y + δ0x y + β1x+ γ1y + δ1y2 + β2x+ γ2y + δ2

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Sistemas de polinomios. Propiedades

Sistema de polinomios canónico

{Xn}n≥0 = {(xν1 , xν2 , . . . , xνrdn )t : |νi| = n}n≥0.

Un PS {Pn}n≥0 puede expresarse en la forma

Pn(x) = Gn,nXn +Gn,n−1Xn−1 + · · ·+Gn,0X0

donde Gn,i son matrices de constantes de dimensión rdn × rdi .

Además la matriz cuadrada Gn,n es inversible.

Coeficiente líderGn(Pn) := Gn,n

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Sistemas de polinomios. Propiedades

Sistema de polinomios canónico

{Xn}n≥0 = {(xν1 , xν2 , . . . , xνrdn )t : |νi| = n}n≥0.

Un PS {Pn}n≥0 puede expresarse en la forma

Pn(x) = Gn,nXn +Gn,n−1Xn−1 + · · ·+Gn,0X0

donde Gn,i son matrices de constantes de dimensión rdn × rdi .

Además la matriz cuadrada Gn,n es inversible.

Coeficiente líderGn(Pn) := Gn,n

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 28 / 32

Sistemas de polinomios. Propiedades

Sistema de polinomios canónico

{Xn}n≥0 = {(xν1 , xν2 , . . . , xνrdn )t : |νi| = n}n≥0.

Un PS {Pn}n≥0 puede expresarse en la forma

Pn(x) = Gn,nXn +Gn,n−1Xn−1 + · · ·+Gn,0X0

donde Gn,i son matrices de constantes de dimensión rdn × rdi .

Además la matriz cuadrada Gn,n es inversible.

Coeficiente líderGn(Pn) := Gn,n

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 28 / 32

Sistemas de polinomios. Propiedades

PS mónicoPnνk(x) = xνk +R(x), 0 ≤ k ≤ rdn,

donde |νk| = n, y R(x) ∈ Πdn−1.

Equivalentemente,

Gn(Pn) = Irdn , n ≥ 0

Dos PS {Pn}n≥0 y {Qn}n≥0 tienen el mismo coeficiente líder si

Gn(Pn) = Gn(Qn), n ≥ 0

Esto es, si las entradas del vector Pn −Qn son polinomios enΠdn−1, para n ≥ 1.

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Sistemas de polinomios. Propiedades

PS mónicoPnνk(x) = xνk +R(x), 0 ≤ k ≤ rdn,

donde |νk| = n, y R(x) ∈ Πdn−1.

Equivalentemente,

Gn(Pn) = Irdn , n ≥ 0

Dos PS {Pn}n≥0 y {Qn}n≥0 tienen el mismo coeficiente líder si

Gn(Pn) = Gn(Qn), n ≥ 0

Esto es, si las entradas del vector Pn −Qn son polinomios enΠdn−1, para n ≥ 1.

Teresa E. Pérez (UGR, Spain) Teoría Avanzada en P.O.Multivariados 08/06/2015 – V EIBPOA 29 / 32

Contenidos

1 Motivación

2 Herramientas básicas

3 Una variable frente a varias variables

4 Referencias

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Referencias

C. F. Dunkl, Y. Xu, Orthogonal polynomials of several variables,Encyclopedia of Mathematics and its Applications 81. CambridgeUniversity Press, 2001.

P. K. Suetin, Orthogonal polynomials in two variables, Gordon andBreach, Amsterdam (1999).

Y. Xu, On multivariate orthogonal polynomials, Siam J. Math. Anal. 24(1993), 783–794.

Y. Xu, Lecture notes on orthogonal polynomials of several variables,Inzell Lectures on Orthogonal Polynomials, W. zu Castell, F. Filbir, B.Forster (eds.), Advances in the Theory of Special Functions andOrthogonal Polynomials, Nova Science Publishers, Vol. 2, 2004,135–188.

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Referencias

C. F. Dunkl, Y. Xu, Orthogonal polynomials of several variables, 2ndedition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 155,Cambridge Univ. Press, 2014.

P. K. Suetin, Orthogonal polynomials in two variables, Gordon andBreach, Amsterdam (1999).

Y. Xu, On multivariate orthogonal polynomials, Siam J. Math. Anal. 24(1993), 783–794.

Y. Xu, Lecture notes on orthogonal polynomials of several variables,Inzell Lectures on Orthogonal Polynomials, W. zu Castell, F. Filbir, B.Forster (eds.), Advances in the Theory of Special Functions andOrthogonal Polynomials, Nova Science Publishers, Vol. 2, 2004,135–188.

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