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Teorıa de Anillos y CamposPresentacion 2: anillos, homomorfismos e ideales

Luis Felipe Gonzalez Rivas

UANL

21 de agosto de 2018

Contenido

1 Anillos

2 Homomorfismos

3 Ideales

Luis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Anillos y Campos 21 de agosto de 2018 2 / 29

Indice

1 Anillos

2 Homomorfismos

3 Ideales


Anillos

Definicion 1 (Anillo)

Un conjunto no vacıo R se dice que es un anillo asociativo si en R estandefinidas dos operaciones, denotadas por + y ⋅ respectivamente tales quepara cualesquiera a,b, c de R:

R es un grupo abeliano bajo la suma (+),

a ⋅ b ∈ R,

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c,

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c y

(b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a.


Anillos

Definicion 2

Si R es un anillo, entonces un subanillo de R es un subconjunto S de Rtal que es un anillo bajo las mismas operaciones de R.

Definicion 3 (Anillo con elemento unitario)

Si en un anillo R existe un elemento 1 tal que a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a para todaa ∈ R, diremos que R es un anillo con elemento unitario.

Definicion 4 (Anillo conmutativo)

Si en un anillo R ocurre que a ⋅ b = b ⋅ a para toda a,b ∈ R, se dice R es unanillo conmutativo.


Anillos

Ejemplo 1

Sea R el conjunto de los enteros Z con + y ⋅ como la suma ymultiplicacion usual de enteros. Entonces R es un anillo conmutativo conelemento unitario.

Ejemplo 2

Sea R el conjunto de los enteros Z pares con + y ⋅ como la suma ymultiplicacion usual de enteros. Entonces R es un anillo conmutativo sinelemento unitario.

Ejemplo 3

Sea R el conjunto de los enteros modulo 5, R = {0, 1, 2, 3, 4}, con la suma+ y ⋅ usuales modulo 5. R es un anillo conmutativo con elemento unidad.Mas aun, R ∖ {0} forma un grupo abeliano con la multiplicacion. Un anillocon esta propiedad se le llama campo.


Anillos

¿Otros ejemplos?


Anillos

Lema 1

Sea S un subconjunto no vacıo de un anillo R tal que ab, a ± b ∈ S paratodo a,b ∈ S . Entonces S es un subanillo de R.


Anillos

Definicion 5 (Divisor cero)

Si R es un anillo conmutativo entonces a ≠ 0 ∈ R se dice que es un divisorcero si existe un b ∈ R, b ≠ 0, tal que ab = 0.

Definicion 6 (Dominio entero)

Un anillo conmutativo es un dominio entero si no tiene divisores cero.


Anillos

Definicion 7

Un anillo se dice que es un anillo con division si sus elementos distintosde cero forman un grupo bajo la multiplicacion.

Definicion 8 (Campo)

Un campo es un anillo conmutativo con division.


Anillos

Lema 2

Si R es un anillo, entonces para todo a,b ∈ R

a0 = 0a = 0 para todo a ∈ R,

a(−b) = (−a)b = −(ab),

(−a)(−b) = ab.

Si ademas, R tiene un elemento unitario, 1, entonces,

(−1)a = −a,

(−1)(−1) = 1.


Principio del palomar

Lema 3

Si n objetos se distribuyen sobre m lugares y si n > m entonces algun lugarrecibe al menos dos objetos.


Anillos


Anillos

Lema 4

Un dominio entero finito es un campo.

Corolario 1

Si p es un numero primo, entonces Zp, el anillo de los enteros modulo p,es un campo.


Anillos

Definicion 9

Decimos que un anillo R es booleano si x2 = x para todo x ∈ R.

Lema 5

Un anillo booleano es conmutativo.


Indice

1 Anillos

2 Homomorfismos

3 Ideales


Homomorfismos

Definicion 10

Una aplicacion φ del anillo R en el anillo R se dice que es unhomomorfismo (de anillos) si

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) y

φ(ab) = φ(a)φ(b),

para cualesquiera a,b ∈ R.


Homomorfismos

Ejemplos triviales

Sean R y R dos anillos arbitrarios y definamos φ(a) = 0 para todo a ∈ R.Este mapeo es un homomorfismo.Si R = R, el mapeo ψ(x) = x para toda x ∈ R. Este mapeo tambien es unhomomorfimos.

Ejemplo 4

Sea R el conjunto de funciones continuas con valores reales en el intervalo[0,1]. R es un anillo bajo la suma y multiplicacion usuales de funcionescontinuas. Sea F el anillo de los numeros reales y definamos φ ∶ R → Fcomo φ(f (x)) = f (1

2). El mapeo φ es un homomorfismo sobreyectivo.


Homomorfismos

Definicion 11

Sea φ ∶ R ∶→ R un homorfismo entre anillos R y R. Si φ es 1 − 1 decimosque es un monomorfismo. Si φ es sobreyectivo decimos que es unepimorfismo. Si φ es 1 − 1 y sobreyectivo decimos que φ es unisomorfismo y que R y R son isomorfos.


Homomorfismos

Lema 6

Si φ es un homomorfismo de R en R entonces

φ(0) = 0

φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ R.


Homomorfismos

Definicion 12

Si φ es un homomorfismo de R en R entonces el nucleo o kernel de φ,Ker(φ), es el conjunto definido como Ker(φ) = {a ∈ R ∣ φ(a) = 0 ∈ R} 1.

Ejemplo

Si φ es como en el Ejemplo 4, el Kernel consistirıa en todas las funcionescontinuas en el intervalo [0,1] tales que su valor en 1

2 es 0.

1Lema 6 nos asegura que el Kernel de un homomorfismo nunca es vacıo.Luis Felipe Gonzalez Rivas (UANL) Teorıa de Anillos y Campos 21 de agosto de 2018 21 / 29

Homomorfismos

Lema 7

El homomorfismo φ de R en R es 1 − 1 si y solo si Ker(φ) = {0}.

Demostracion.

Sea φ un homomorfismo del anillo R en el anillo R. Suponga que φ es1 − 1, y sea a ∈ Ker(φ). Luego se tiene que φ(a) = 0 = φ(0). Como φ es1 − 1, a = 0; hemos demostrado que si a ∈ Ker(φ), necesariamente a = 0.

Ahora bien, suponga que Ker(φ) = {0} y sean a,b ∈ R tales queφ(a) = φ(b). Luego φ(a) − φ(b) = φ(a − b) = 0, es decir, a − b ∈ Ker(φ).Pero Ker(φ) = {0}, entonces a − b = 0, lo cual quiere decir que a = b. Conesto demostramos que φ es 1 − 1.


Indice

1 Anillos

2 Homomorfismos

3 Ideales


Ideales

Definicion 13

Un subconjunto no vacıo U de un anillo se dice que es un ideal (por losdos lados) de R si:

U es un subgrupo de R bajo la adicion.

Para toda u ∈ U y r ∈ R, se tiene que ur ∈ U y ru ∈ U.

Lema 8

El kernel de un homomorfismo de anillos es un ideal.


Ideales

Lema 9

Si U es un ideal del anillo R, entonces R/U es un anillo bajo lasoperaciones suma y multiplicacion definidas como(a +U)+ (b +U) = (a + b)+U y (a +U)(b +U) = ab +U respectivamente.Mas aun, el mapeo φ ∶ R → R/U definido como φ(a) = a +U es unhomorfismo de R sobre R/U cuyo kernel satisface Ker(φ) = U. Por tanto,R/U es una imagen homomorfa de R.


Ideales

Teorema 1 (Primer teorema de homomorfismos)

Sea φ ∶ R → R un homomorfismo de anillos de R sobre R con kernel K .Entonces R/U es isomorfo a R. El mapeo ψ ∶ R/K → R definido comoψ(a +K) = φ(a) un isomorfismo.


Ideales

Teorema 2 (Teorema de correspondencia)

Sean R y R anillos y φ un homomorfismo de R sobre R con kernel K . SiU es un ideal de R, sea U = {a ∈ R ∣ φ(a) ∈ U}. Entonces U es un ideal deR, K ⊂ U y U/K ≈ U. Esto establece una correspondencia 1 − 1 entre losideales de R y los ideales de R que contienen a K .


Ideales

Teorema 3 (Segundo teorema de homomorfismos)

Sea A un subanillo de un anillo R y U un ideal de R. EntoncesA +U = {a + u ∣ a ∈ A,u ∈ U} es un subanillo de R, U es un ideal de A +Uy (A +U)/U ≈ A/(A ∩U).


Ideales

Teorema 4 (Tercer teorema de homomorfismos)

Sea φ ∶ R → R un homomorfismo de R sobre R, con kernel K . Si U es unideal de R y U = {a ∈ R ∣ φ(a) ∈ R}, entonces R/U ≈ R/U.Equivalentemente, R/U ≈ (R/K)/(U/K) si K ⊂ U y U es un ideal de R.


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