Ecuaciones diferenciales. Profesor Bogart Mndez 1/17

Captulo 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Qu es una ecuacin diferencial? Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que contiene derivadas de alguna funcin desconocida. Al resolver la ED se encuentra esta funcin, la cual generalmente representa un modelo matemtico de algn fenmeno fsico. Por ejemplo, si se necesita conocer la posicin de un objeto en cada libre para cualquier tiempo t, respecto del suelo, es posible plantear una ecuacin diferencial o modelo matemtico mediante la segunda ley de Newton. Considere la figura siguiente:

W = mg

m

F = kv

+

W = mg

m

F = kv

+

(a) (b)

Figura 1. (a) Objeto en cada libre. (b) Diagrama de cuerpo libre del objeto En la figura 1(a) se muestra una persona arrojando un objeto desde la cima de un edificio de altura h0. Luego, en la figura 1(b) se presenta el diagrama de cuerpo libre del objeto arrojado. En el diagrama se muestran las fuerzas actuantes en la masa, m, del objeto: la fuerza ejercida por el campo gravitacional sobre la masa del objeto (su peso), W, y se muestra tambin la fuerza de friccin, F, que ejerce el aire al rozar con el contorno del objeto. Esta fuerza puede modelarse como proporcional a la velocidad de cada del objeto, ya que a mayor velocidad, mayor ser la fuerza de rozamiento, mientras que si el objeto est en reposo, esta fuerza valdr cero.

h0

h(t) = 0

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Haciendo un equilibrio dinmico de fuerzas mediante la segunda ley de Newton tenemos lo siguiente:

maF = Considerando la direccin positiva hacia abajo (fig. 1a) y despreciando la friccin del aire tenemos:

mamg = De la mecnica sabemos que la aceleracin es la razn de cambio de la velocidad respecto del tiempo, o en trminos de desplazamiento, la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo. Entonces:

2

2

dthdmmg =

Rescribiendo la ecuacin anterior:

gdt

hd =22

(1)

La expresin 1 es una ecuacin diferencial (ya que es una expresin que contiene derivadas), cuya funcin desconocida es la posicin del objeto, h, que depende del tiempo t. En este caso se trata de una ecuacin diferencial muy sencilla, por lo que para encontrar a la funcin h basta con realizar una doble integracin:

1)( Cgtgdtthdtd +==

( ) +=+= dtCtdtgdtCgtth 11)(

212

21)( CtCgtth ++= (2)

La funcin (2) es un modelo matemtico que describe la posicin, h, del objeto en cualquier tiempo t. Hay que recordar que este modelo matemtico no considera la friccin del aire con el objeto en cada libre. Si deseamos obtener un modelo que s considere esta fuerza, ser necesario plantear una nueva ecuacin diferencial a partir de la segunda ley de Newton. Haciendo sumatoria de fuerzas de nuevo:

makvmg = Escribiendo la velocidad y la aceleracin del objeto en trminos de derivadas:

2

2

dthdm

dtdhkmg =

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Rescribiendo la ecuacin anterior:

mgdtdhk

dthdm =+2

2

(3)

La expresin (3) tambin es una ecuacin diferencial, que a diferencia de (1), involucra tanto la primera como la segunda derivada de la funcin buscada. La expresin (3) no es tan sencilla de resolver como en el caso de (1), ya que se requiere aplicar mtodos de solucin que an no conocemos. La solucin de (3) es

21)( CeCtkmgth

tmk

++=

(4)

La funcin (4) es un modelo matemtico que describe la posicin, h, del objeto en cualquier tiempo t considerando la friccin con el aire. Es interesante observar que la posicin de un objeto en cada libre a lo largo del tiempo, es independiente de su masa cuando se desprecia la fuerza de friccin del aire, mientras que por el contrario, cuando se considera esta fuerza, la masa del objeto influye en su posicin. Como hemos visto, una ecuacin diferencial puede utilizarse para modelar fenmenos de la naturaleza. En general podemos decir que cuando un fenmeno fsico involucra la razn de cambio de una variable respecto de otra, aparece una ED. Ecuacin diferencial ordinaria Cuando una ED involucra derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con respecto de una sola variable independiente, se llama ecuacin diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo,

)cos(22

=++ uddu

dud y vu

ddv

ddu +=+ 2

son ecuaciones diferenciales ordinarias, donde observamos que la segunda contiene ms de una variable dependiente (u y v) pero slo una independiente (). De igual manera, las ecuaciones diferenciales (1) y (3) que resolvimos anteriormente, son ecuaciones diferenciales ordinarias, donde la variable independiente en ambos casos es el tiempo. Adems del problema de cada libre, existe gran cantidad de modelos matemticos que utilizan ecuaciones diferenciales para resolver problemas fsicos. Por ejemplo, en ingeniera civil la deflexin, y(x), de una viga (ver figura 2) de material uniforme con mdulo de elasticidad E y seccin transversal con momento de inercia I, con una carga uniformemente distribuida, w0, puede calcularse al resolver la ecuacin diferencial ordinaria:

04

4

wdx

ydEI =

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0

w0y( L/2)x = 0 x

Figura 2. Viga de seccin transversal constante con carga uniformemente distribuida

= m1m2

k2

k1

Figura 3. Modelo de masas concentradas para el anlisis de la respuesta dinmica de un edificio sujeto a un sismo en su base

Otro ejemplo del uso de una ecuacin diferencial ordinaria para resolver un problema fsico, es el del anlisis de la respuesta dinmica de un edificio. El problema se simplifica al modelar el edificio como un sistema de masas concentradas acopladas con resortes que representan la rigidez del edificio. Para el caso de la figura 3, el anlisis dinmico se realiza mediante dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas (sistema de ecuaciones diferenciales), una para cada piso del edificio (masas concentradas). En notacin matricial, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema se escriben como

{ { 32144 344 2143421QyKyM

tQtQ

yy

kkkkk

yy

mm

=

++

)()(

00

2

1

2

1

22

221''2

''1

2

1

Donde [M] es la matriz de masas del modelo, [K]la matriz de rigideces, [Q]el vector de cargas aplicadas en cada masa (piso del edificio) y los vectores [y], [y] contienen las funciones desconocidas y sus correspondientes segundas derivadas, respectivamente. En este caso la solucin de estas ecuaciones diferenciales ordinarias describe el desplazamiento de cada piso del edificio bajo la accin del sismo aplicado en su base. El modelo de masa resorte utilizado para el edificio, es muy comn en la ingeniera. Otro ejemplo del uso de este modelo sera el que se presenta en la figura 4, donde se tiene un automvil representado con una masa con resorte y amortiguador.

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=

Figura 4. Modelo de un automvil transitando sobre un puente deformado La figura 4 muestra que el automvil recorre un puente que ha sufrido deformacin y se necesita calcular el comportamiento del auto para evaluar su desempeo. Para esto se plantea nuevamente una ecuacin diferencial ordinaria cuya solucin representar el desplazamiento vertical del automvil:

)(tUkUUCUm g&&&&& =++ En esta ecuacin la funcin desconocida es U(t), y los puntos sobre la letra U indican el diferenciacin respecto de la variable independiente t. Esta notacin de los rdenes de derivacin se utiliza comnmente en mecnica para indicar derivacin respecto del tiempo. Los problemas expuestos hasta ahora para el planteamiento de una ecuacin diferencial han sido todos dentro de la mecnica. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales pueden surgir de una infinidad de problemas fsicos. Por ejemplo, en el anlisis de circuitos elctricos, como el de la figura 5, surgen ecuaciones diferenciales cuya solucin representa la variacin de la corriente en el circuito en el tiempo.

LE(t)

Figura 5. Circuito elctrico con inductancia L y resistencia R

La ecuacin diferencial que gobierna el problema de la figura 5 es

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)(tERidtdiL =+

donde L representa la inductancia y R la resistencia del circuito elctrico, y E(t) es la corriente de entrada al mismo. Ecuacin diferencial parcial Cuando una ecuacin diferencial contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes de dos o ms variables independientes se llaman ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Por ejemplo, las ecuaciones siguientes son ecuaciones diferenciales parciales.

tu

xuc

=

2

2

y 022

2

2

=+

yu

xu

Orden de una ecuacin diferencial Las derivadas que aparecen en una ecuacin diferencial, ya sea EDO o EDP, pueden ser de distintos rdenes. La derivada de mayor orden presente en una ED indica el orden de sta. Es decir, si en una ED el mayor orden de sus derivadas es dos, entonces el orden de la ED es dos. Por ejemplo, la ecuacin

022

=++ kxdxdya

dxyd (3)

es de segundo orden ya que el mayor orden de sus derivadas es dos. Grado de una ecuacin diferencial Las derivadas de mayor orden en una ED pueden estar afectadas por algn exponente. El exponente que afecte a la derivada de mayor orden en una ED indica el grado de sta. Por ejemplo, la ecuacin (3) es una EDO (ya que contiene solamente derivadas ordinarias con respecto a una sola variable independiente, x, en este caso) de segundo orden (porque la derivada de mayor orden en la ecuacin es dos) y de primer grado porque el exponente que afecta a la derivada de mayor orden en la ecuacin es uno. Si este exponente fuera diferente de uno, como en el caso de la ecuacin (4), entonces el grado de la ecuacin cambia:

02

2

2

=++

kxdxdya

dxyd (4)

As, la ecuacin (4) es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden y de segundo grado. Forma general y normal de una ecuacin diferencial ordinaria Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n puede expresarse en la forma general

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0,...,,, =

n

n

dxyd

dxdyyxF (5)

donde F es una funcin de la variable independiente x, la variable dependiente y y las derivadas de y hasta el orden n; es decir, F es una funcin de n+2 variables: x, y, dy/dx,..., dny/dxn. Se asume que x est dentro de un intervalo I que puede ser cualquiera de los intervalos usuales (a,b), [a,b], [a,b), y as sucesivamente. Cuando se despeja la derivada superior de una EDO que est en la forma general (5), en trminos de las n+1 variables restantes, la ecuacin diferencial

=

1

1

,...,,, nn

n

n

dxyd

dxdyyxf

dxyd (6)

donde f es una funcin continua de valores reales, se denomina forma normal de (4). Por ejemplo, la forma normal de la ecuacin (3) de segundo grado es

kxdxdya

dxyd =2

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales La forma de una EDO lineal es la siguiente:

)()()(...)()( 0111

1 xgyxadxdyxa

dxydxa

dxydxa n

n

nn

n

n =++++

(7)

Las tres propiedades caractersticas de una EDO lineal son las siguientes:

La variable dependiente y y todas sus derivadas nn

dxyd

dxyd

dxdy ,...,, 2

2

son de primer grado

Los coeficientes naaa ,..., 10 , dependen slo de la variable independiente x o son constantes El trmino g(x) depende slo de la variable independiente x o es constante Una ecuacin diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal, es decir, una que no cumple con la forma (7) y las tres condiciones mencionadas. Si en la ecuacin (7), g(x) = 0, entonces se dice que la ecuacin lineal es homognea, de lo contrario, la ecuacin es no homognea. Por otro lado, si los coeficientes naaa ,..., 10 , en la ecuacin (7), son constantes, se dice que la ecuacin lineal es de coeficientes constantes, mientras que si alguno de stos es funcin de x, entonces se dice que la ecuacin lineal es de coeficientes variables. En la figura 1 se resumen las clasificaciones de las ecuaciones diferenciales tratadas hasta ahora.

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Ecuacionesdiferenciales

Ordinarias

Parciales

Lineales

No lineales

HomogneasNo homogneasDe coeficientes constantesDe coeficientes variables

Lineales

No lineales

HomogneasNo homogneasDe coeficientes constantesDe coeficientes variables

Figura 1. Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

1.2 Solucin de la ecuacin diferencial: general, particular y singular Solucin de una ecuacin diferencial ordinaria Una solucin de una EDO de orden n, es una funcin (x) definida en un intervalo I con al menos n derivadas continuas en I que al sustituirla en la ecuacin diferencial la reduce a una identidad. Por ejemplo, la funcin (8), definida para todo ),( x , es la solucin de la ecuacin diferencial (9).

Cxxfy +== 2)( (8)

xdxdy 2= (9) Para que (8) sea una solucin de (9), sta debe tener al menos una derivada continua en el intervalo ),( (ya que la ecuacin diferencial es de primer orden). Derivando (8) tenemos,

xCdxdx

dxdCx

dxdy 2)(' 22 =+=+= (10)

La ecuacin (10) es la derivada de (8), la cual, segn se observa, est definida en el intervalo

),( . Ahora, sustituyendo (10) en (9):

xxdxdy 22 == (11) Puesto que la ecuacin (11) es vlida para todo ),( x , la funcin Cxxfy +== 2)( es una solucin de (9) en el intervalo ),( .

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Solucin general de una ecuacin diferencial Al observar la ecuacin (8), la cual hemos comprobado que es solucin de la ecuacin diferencial (9) de primer orden, notamos que tiene una sola constante de integracin C. Ahora, considere la ecuacin (12) quien es la solucin de (13) en el intervalo ),( .

)sin(cos)( 21 xCxCxfy +== (12)

0'' =+yy (13) En este caso observamos que (12) tiene dos constantes de integracin C1 y C2, que coinciden [al igual que en el caso anterior con las ecuaciones (8) y (9)] con el orden de la ecuacin diferencial (13). A este tipo de soluciones que contienen constantes de integracin en un nmero igual al orden de la ecuacin diferencial se les llama solucin general de la ecuacin diferencial. Solucin particular de una ecuacin diferencial Cuando se asignan valores particulares a las constantes de integracin de una solucin general de una ED, se obtienen soluciones a las que se les llama soluciones particulares de la ecuacin diferencial. En la prctica estas soluciones particulares se obtienen de la solucin general por condiciones dadas del problema, que la solucin particular ha de satisfacer. Ejemplo. Obtener una solucin particular de (13) tal que

1)0(',2)0( ==== xyxy (14) Solucin. Como conocemos la solucin general de (13), dada por (12), el procedimiento a seguir ser obtener y a partir de la solucin general y luego evaluar y y y en x = 0 para obtener el valor de C1 y C2 de forma que cumplan con (14). Derivando (12):

)cos()sin(' 21 xCxCy += (15) Evaluando (15) en x = 0

1)0cos()0sin(1)0(' 2221 ==+=== CCCCxf Una vez conocido el valor de C2, evaluamos la condicin y(x = 0) = 2 en (12)

2)0)(1()1()0sin()0cos(2)0( 11121 ==+=+=== CCCCCxf Sustituyendo C1 y C2 en la solucin general [ecuacin (12)] obtenemos la solucin particular deseada:

)sin(cos2 xxy = (16)

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Puesto que la ecuacin (16) se cumple para todo ),( x , se trata de una solucin particular (dado que C1 y C2 tienen valores particulares) de (13) en el intervalo ),( . Si se grafican mltiples soluciones particulares de (12), se obtienen curvas como las que se muestran en la figura 2.

x

yC 1 = 1

C 2 =0

C 2 =2C 2 =3

C 2 =1

x

yC 2 = 1

C 1 =0C 1 =1C 1 =2C 1 =3

Figura 2. Algunas soluciones de la ecuacin (12)

x

y

C

V(0,C)

Figura 3. Algunas soluciones de la ecuacin (9)

Es claro que se puede obtener un nmero infinito de soluciones particulares de (12) al asignar valores a las constantes C1 y C2. Al grupo de todas las soluciones de una ecuacin diferencial, expresadas en forma general por la solucin general de la ED, se le llama familia de soluciones. As, las soluciones de la ecuacin (12) mostradas en la figura 2, son una familia biparamtrica de soluciones de (12). Se le llama biparamtrica porque cada curva queda definida por dos parmetros C1 y C2 en este caso. En el caso de la familia de soluciones de la ecuacin (9), representadas por su solucin general (8), se trata de una familia de soluciones monoparamtricas, ya que cada curva est definida por una constante. En ese caso se trata de una familia de parbolas de eje paralelo al eje y que abren hacia arriba y cuyo vrtice se encuentra sobre el eje y en el punto (0, C) (ver figura 3). Solucin singular de una ecuacin diferencial Este tipo de solucin es una solucin particular que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuacin, es decir, es una solucin que no se puede obtener al asignar un valor a alguno de los parmetros de la familia de soluciones. En otras palabras, es una solucin extra. Por ejemplo, es posible demostrar que la solucin general de la ecuacin diferencial (17) es la ecuacin (18):

Cxy += 2

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2/1xy

dxdy = (17)

22

41

+= cxy (18)

Sin embargo, la solucin trivial y = 0 tambin es una solucin de (17), pero esta solucin no puede obtenerse de la familia de soluciones dada por (18), ya que no hay ningn valor de c que produzca y = 0. Soluciones explcitas e implcitas de ecuaciones diferenciales Las soluciones de una ED, tanto generales como particulares, pueden expresarse de forma explcita o implcita. Una solucin explcita de una ED es una funcin (x) tal que al sustituirla por y en (5), satisface la ecuacin para todo x en el intervalo I. Ejemplo. Muestre que 12)( = xxx es una solucin explcita de

02222

= xdx

d (19)

Solucin. Se obtendrn (x) y (x) y se sustituirn en (19) para resolver el problema. Calculando (x) y (x):

22 += xxdxd (20)

32

2

22 = xdxd (21) Las ecuaciones (20) y (21) estn definidas para todo 0x . Sustituyendo (21) en (19) obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) 02222222 331223 == xxxxxx Puesto que esta igualdad es vlida para todo 0x , la funcin 12)( = xxxf es una solucin explcita de (19) en el intervalo ),0()0,( . En el caso de las soluciones implcitas, se dice que una relacin G(x,y) = 0 es una solucin implcita de (5) en el intervalo I, si define una o ms soluciones explcitas en I. Ejemplo. Muestre que la solucin particular (22) es una solucin implcita de (23)

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042 = xy (22)

012

=

dxdyx (23)

Solucin. Se resolver la ecuacin (22) para x y se obtendr y para sustituirla en (23). Resolviendo (22) para x tenemos

xxy 24 == Al resolver (22) en trminos de x obtenemos dos resultados: xy 2= y xy 2= . De acuerdo con la definicin de solucin implcita, ambos resultados tendran que ser una solucin explcita de (23), por lo que procedemos a averiguar si lo son. Derivando xy 2=

xx

dxdy 1

212 2/1 =

= Sustituyendo este valor de y en (23) obtenemos:

0001112

===

xx

xx

Esto demuestra que xy 2= es una solucin explcita de (23). Ahora probamos la solucin

xy 2= :

xx

dxdy 1

212 2/1 =

= Sustituyendo en (23):

0001112

===

xx

xx

Esto prueba que xy 2= es tambin una solucin explcita de (23). Entonces, la relacin

042 = xy es una solucin implcita de (23) ya que da origen a dos soluciones explcitas de (23).

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1.3 Problema de valor inicial En ocasiones se plantean modelos matemticos de un problema que debe satisfacer ciertas condiciones, como por ejemplo el caso de un cuerpo en cada libre tratado anteriormente que debe cumplir con una velocidad y un desplazamiento iniciales. La solucin de este modelo matemtico (o ecuacin diferencial) da como resultado una solucin general con dos constantes de integracin (ecuacin 2) que define la posicin del objeto como funcin del tiempo. Para obtener una solucin particular del problema, como por ejemplo una funcin de desplazamiento que describa la posicin del objeto cuando se deja caer desde un edificio de 10 m de altura, es necesario conocer las condiciones iniciales a las que se sujetar el problema. En este caso se trata de una velocidad inicial 0 (ya que se deja caer desde el reposo) y de una altura inicial de 10 m de altura (altura del edificio). Matemticamente, esto se escribe como sigue:

Resolver gdt

hd =22

Sujeta a 0)0(' =h velocidad en t0, i.e., velocidad inicial v0

10)0( =h posicin en t0, i.e., posicin inicial h0

Un problema de este tipo se llama problema de valores iniciales (PVI). En forma general se escribe

Resolver

=

1

1

,...,,, nn

n

n

dxyd

dxdyyxf

dxyd (24)

Sujeta a 10)1(

1000 )(,...,)(',)( === nn yxyyxyyxy

Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y0, y1, . . . , yn-1 se llaman condiciones iniciales. Estos valores son constantes reales especificadas arbitrariamente. El problema expresado en (24) se llama problema de valores iniciales de n-simo orden. De forma particular, un problema de valores iniciales sujeto a una y dos condiciones iniciales (como en el caso del cuerpo en cada libre), se llaman problemas de valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. Interpretacin geomtrica de un problema de valores iniciales Para la interpretacin geomtrica considere un problema de valores iniciales de primer orden:

Resolver ( )yxfdxdy ,= , sujeta a y(x0) = y0 (25)

En este caso se busca una solucin y(x) de la ecuacin y(x) = f(x,y) en el intervalo I que contiene a x0, de modo que su grfica, y(x), pase por el punto especificado por las condiciones iniciales: (x0, y0) (ver figura 4a). Ahora, en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden (como el modelo de cada libre)

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Resolver

=dxdyyxf

dxyd ,,2

2

, sujeta a y(x0) = y0, y(x0) = y1 (26)

se busca una solucin y(x) de la ecuacin y(x) = f(x,y,y) en el intervalo I que contiene a x0, que adems de que y(x) pase por el punto (x0, y0), tenga una pendiente y1 en ese punto (ver figura 4b).

(x0, y0)

Ix

y y

xI

(x0, y0)

m = y1

Solucionesde la ED

Solucionesde la ED

(a) (b)

Figura 4. Interpretacin geomtrica de un PVI de primer (a) y segundo (b) orden El nombre de condiciones iniciales de los valores y0, y1, . . . , yn-1 proviene de sistemas fsicos donde la variable independiente es el tiempo t y y(t0) = y0 y y(t0) = y1 representan la posicin y la velocidad, respectivamente, de un objeto en algn tiempo inicial t0, como en el caso del modelo de cada libre. El procedimiento para resolver un problema de valores iniciales como (24), implica encontrar una familia de soluciones n paramtrica (solucin general de la ecuacin general de orden n) de la ecuacin diferencial en cuestin y luego usar las n condiciones iniciales en x0 para determinar las n constantes en la familia. La solucin particular as obtenida se define en algn intervalo I que contenga al punto inicial x0. Ejemplo. Determinar el problema de valor inicial siguiente:

0'' =+ yy sujeta a 1)0(' ,2)0( ==== xyxy Este ejemplo se resolvi en la seccin de soluciones particulares de una ecuacin diferencial. Cuando se habla de resolver un problema de valores iniciales lo que eso significa es encontrar una solucin particular que cumpla con las condiciones dadas. As, el problema del ejemplo se resuelve como sigue: En la seccin de soluciones particulares se demostr que la ecuacin

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)sin(cos)( 21 xCxCxfy +==

es la solucin general de 0'' =+ yy . Por lo tanto, hay que encontrar y para poder evaluar la condicin inicial y(0) = -1.

)cos()sin(' 21 xCxCy += Evaluando y(0): 1)0cos()0sin(1)0(' 2221 ==+=== CCCCxf Una vez conocido el valor de C2, evaluamos la condicin y(x = 0) = 2:

2)0)(1()1()0sin()0cos(2)0( 11121 ==+=+=== CCCCCxf Sustituyendo C1 y C2 en la solucin general obtenemos la solucin particular deseada:

)sin(cos2 xxy = Problemas de valores en la frontera A diferencia de un problema de valores iniciales en donde la funcin incgnita y sus n-1 derivadas se evalan en el mismo punto, 10

)1(1000 )(,...,)(',)(

=== nn yxyyxyyxy , las condiciones que la solucin de una ecuacin diferencial debe satisfacer en un problema de valores en la frontera, se obtienen en ms de un punto:

11)1(

1100 )(,...,)(',)( === nnn yxyyxyyxy . Por ejemplo, es posible demostrar que la ecuacin

diferencial (27) representa la variacin del momento flexionante M en una viga con carga distribuida w, donde x es la distancia a lo largo de la viga.

= dxxwdxdM )( (27) Las condiciones lmite (valores en la frontera) relacionadas con la ecuacin (27) dependen de cmo estn apoyados los extremos de la viga. Por ejemplo, una viga en voladizo (figura 5a) est empotrada en un extremo y libre en el otro, mientras que una viga simplemente apoyada (figura 5b) tiene un apoyo simple en cada extremo. En este caso las fronteras del problema son los extremos de la viga, y el valor que el momento flexionante (momento interno que se desarrolla en la viga) puede tomar en estos puntos depende de la condicin de apoyo. As, una viga en voladizo tendr un momento flexionante cero en el extremo libre y diferente de cero en el extremo empotrado, mientras que una viga simplemente apoyada tendr una condicin de frontera de momento flexionante cero en ambos extremos.

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(a) (b)

Figura 5. Viga en voladizo (a) y simplemente apoyada (b)

Ejemplo. Resolver el problema de valores en la frontera siguiente:

Resolver = dxxwdxdM )( con las condiciones de frontera M(x = 0) = 0 y M(x = L) = 0 Para el caso de la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura 6.

xx = 0

Figura 6. Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida

Solucin. Primero hay que plantear la ecuacin diferencial que rige el problema de acuerdo al caso particular de la carga w aplicada en la viga. Se trata de una carga uniforme, por lo que tiene valor constante en toda su longitud de la viga, i.e., w(x) = 10. Entonces la ecuacin diferencial que rige el problema es

10110 CxdxdxdM +== (28) Al resolver la ecuacin diferencial (28) se encuentra la funcin M(x) que describe el comportamiento del momento flexionante a lo largo de la viga. En este caso la ecuacin se resuelve fcilmente:

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212

1

11

1021

10

1010

CxCxM

dxCxdxM

dxCxdxdMCxdx

dM

++=+=

+=+=

21

25 CxCxM ++= (29) La ecuacin (29) es la solucin general de (28). La funcin encontrada debe cumplir con las condiciones de frontera del problema. Por lo tanto, evaluamos las constantes C1 y C2: Primera condicin de frontera: M(x = 0) = 0

00)0()0(5)0( 2212 ==++= CCCM

Segunda condicin de frontera: M(x = 0) = 0

100220)2(0)2()2(5)2(

11

12

==+==+=

CCMCM

Entonces, la solucin de (27) para el problema en cuestin, i.e., solucin particular, es

xxM 105 2 += (30) La ecuacin (30) describe la variacin del momento flexionante en la viga de la figura 6.