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Carolina Villagrán Altamirano, Constanza Saez Delpino Educadoras Diferencial PIE.

Temario de la prueba obligatoria de Matemática Eje Temático: Números

Conjunto Números

Naturales:

Representados por N, reúne los números que usamos para contar y es infinito: * +

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los números.

Enteros:

Representados por , está formado por los números enteros positivos, el cero los números enteros negativos. El cual se dentota:

* +

*Los números enteros negativos se escriben con un signo (-) delante del número (para indicar que es menor que cero).


Valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero coincide con su valor numérico sin tener en cuenta el signo. Se representa con unas barras verticales alrededor del número, así: |x|

Ejemplo,|2| representa el valor absoluto de 2.

Inverso Aditivo:

El inverso aditivo de un número es su opuesto, es decir, es aquel número que al sumarse con él mismo, haciendo uso de un signo contrario, arroja un resultado equivalente a cero.

Por ejemplo, el inverso aditivo de 4 es -4 o cuatro negativo. Puedes ver que en la recta numérica, 4 y -4 están a la misma distancia de 0 , pero en lados opuestos.

Operatoria con números enteros:

Adición con números enteros: a) Suma de números enteros de igual signo: Se suman sus valores absolutos y se

mantiene el mismo signo que tienen los sumandos. b) Suma de números enteros de distinto signo: se restan sus valores absolutos y se

conserva el signo del número con mayor valor absoluto.

Uso de paréntesis a) Paréntesis precedidos por el signo +: Al eliminar un parentesis precedido por un

signo + se suprime el paréntesis y los números que se “ubican en el interior” conservan su signo.

Ejemplo: 23 + (25 - 46 + 25) 23 + 25 – 46 + 25

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b) Paréntesis procedidos por el signo -: Al suprimir un paréntesis procedido por el signo -, se suprime el paréntesis y los términos ubicados “dentro del paréntesis” se remplazan por sus opuestos aditivos.

Ejemplo: 12 + 40 – ( 16 + 22 – 20) 12 + 40 - 16 - 22 + 20

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Multiplicación con números enteros: - Si tienen el mismo signo el resultado es POSITIVO - Si tienen signos distintos el resultado es NEGATIVO

Ejemplos:

División con números enteros: - Si tienen el mismo signo el resultado es POSITIVO - Si tienen signos distintos el resultado es NEGATIVO

Ejemplos: ( ) ( ) ( )

¡Recuerda!

+ por + = + - por - = + + por - = - - por + = -

Orden de las operaciones Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolver es la siguiente:

1º paréntesis. 2º Potencias y raíces 3º multiplicaciones, divisiones, de izquierda a derecha. 4º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Algunos criterios de divisibilidad

Un número es divisible por 2 cuando su último dígito es 0 o par.

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 o 5.

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

Un número es divisible por 10 cuando su último dígito es 0.

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar impar y la suma de los dígitos de lugar par es 0 o múltiplo de 11.

Números primos:

Un número B es primo si sólo tiene dos divisores: el mismo y la unidad. Es decir si b es primo entonces sus divisores únicos son B y 1.

Ejemplo: el 7, Es un número primo porque solo es divisible por 7 y por 1.


Números compuestos:

Un número es compuesto si tiene tres o más divisores. Un número compuesto se puede descomponer como producto de otros factores.

Ejemplo: 25 es un número compuesto, es divisible por 1, por 25 y por 5. Es decir, 25/25= 1, 25/1= 25 y 25/5=5.

Racionales:

El conjunto de números racionales está representado por Q.

Son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Está formado por todos los números que pueden ser escritos de la forma

ó p /

q, con p y q enteros y q ≠ 0:

{

⁄ }

Algunos ejemplos:

,

, 3.4, ̅ ̅

Representante de un número racional Cada número racional puede ser representado por infinitas expreciones fraccionarias

equivalentes entre sí. Por ejemplo, el número racional

puede ser representado por


En este caso, el representante de la clase de equivalencia, que es

, corresponde

al número racional. Es decir un número racional es el representante de la clase de

equivalencia de todos aquellos números que se pueden representar de la forma

, donde

m y que satisface las condiciones para ser conjunto numérico.

Concepto de Fracción:

La notación fraccionaria tiene variadas interpretaciones, ya que existen diferentes

situaciones que se pueden interpretar mediante la misma representación

Una fracción es un número, que se obtiene de dividir un entero en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

Representación de un número racional en la recta numérica

Para ubicar números racionales en una recta numérica se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Se divide cada segmento que representa una unidad, en el número de partes iguales que indica el denominador.

2. A partir del cero, se cuenta el número de partes que indica el numerdor. Esta ubicación indica la posición racional en la recta numérica.

Ejemplo:


Adición y sustracción de números racionales: Para la adición y sustracción de números racionales se consideran dos casos:

escritos como expresión fraccionaria y escritos como expresión decimal.

I. Adición y sustracción con racionales escritos como expresión fraccionaria.

Adición y sustracción de números racionales con igual denominador: Para sumar fracciones con igual denominador, se conserva en denominador y se suman los numeradores. Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma:

Adición y sustracción de números racionales con distinto denominador:

1. Obtener el mínimo común multiplo (m.c.m) de los denominadores. 2. Amplificar cada expresión, de modo de obtener expresiones equivalentes a ellas

con igual denominador. 3. Sumar o restar los numeradores y conservar el denominador.

II. Adición y sustracción de números racionales expresados como número decimal:

Para sumar o restar números racionales expresados como número decimal, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Alinear los números en columnas, de forma que los valores posicionales tengan la misma cantidad de cifras.

2. Sumar o restar siguiendo el mismo procedimiento que con números naturales ubicando la coma en el resultado bajo la “columna de las comas”:

Ejemplo: 5,26 + 2,3 5,26 2,30 7,56

Nota: la operación en su forma decimal, solo se puede hacer con decimales finitos.

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.

Máximo común divisor (m.c.d.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.


Cálculo del M.C.M. y M.C.D mediante descomposición en factores primos Se descomponen los números en factores primos:

1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.

2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando

aquel que posea el exponente menor Ejemplo:

Multiplicación de números racionales Se consideran dos casos: multiplicación de números racionales escritos como expresión fraccionaria y escritos como expresión decimal.

Multiplicación de racionales escritos como expresiones fraccionarias Se multiplican los número adores entre sí y los denominadores entre sí y simplificando cuando sea posible. Ejemplo:


Multiplicación de racionales escritos como número decimal Para multiplicar números racionales escritos como número decimal esto se multiplican como números naturales y la, se ubica en el producto contando de derecha izquierda tantas cifras como decimales como cifras decimales sumen entre los dos factores. Ejemplo: 1,17 · 4,8 1,17·4,8 = 5,616

Para convertir de decimal a fracción:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción

Paso 1: Escribe:

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100

0.75 =

75

1 100

× 100

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25

75 =

3

100 4

÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común!

117 · 48

936 + 468

5616

https://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fracciones-simplificando.html


Expresión fraccionaria de un número decimal:

Se deben considerar tres cassos: número decimal finito, número decimal infinito periodico y número decimal infinito semiperiodico.

Los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse de la forma

, por lo tanto, no son números racionales.

Expresión fraccionaria de un número decimal finito

Se debe amplificar el número decimal por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga la parte decimal del número.

Ejemplo: 0,4 = 0,4 ·

Expresión fraccionaria de un número decimal infinito periódico

En el numerador se escribe la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y el número que aparece en la parte entera; y en el denominador, se escriben tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ejemplo: ̅

Expresión fraccionaria de un número decimal infinito semiperiódico

En el numerador se escribe la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y el número que aparece antes del periodo; y en el denominador, se escriben tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.

Ejemplo: ̅

Cantidades conmensurables e inconmensurables:

La razón (K) de dos cantidades p y q, expresadas en la misma unidad de medida, es

el valor que resulta al dividir la cantidad p en q, es decir,

Según el valor de la razón (k), dos cantidades son: o Conmensurables, si k es un número racional o Inconmensurable, si k es un número irracional

Ejemplo: La razón de las cantidades 7 m y 3 m resulta 2,3. Luego, estas cantidades se dicen conmensurables ya que, el valor de la razón es un número racional.


Irracionales:

El conjunto de números irracionales. está representado por , está formado por todos los números que no pueden ser expresados con una expresión fraccionaria,

es decir, que no se pueden expresar de la forma forma

, donde a y b son números

enteros y b 0.

La expresióndecimal de los números irracionales es un decimal infinito no periódico.

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Recopila números decimales no exactos con una representación infinita, no periódica:

Ejemplo: El número √

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

159 26535.

Reales:

El conjunto de números reales está representado por R. Este conjunto consta de los números racionales (Q) e irracionales (I). Por lo tanto, tenemos que R = Q ∪ I. Además, N, Z, Q e I son subconjuntos de R. Pero tenga en cuenta que si un número real es racional, tampoco puede ser irracional. Del mismo modo, si es irracional, no es racional.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Representación de los números reales en la recta numérica A cada punto de la recta numérica le corresponde un númeor real y viceversa, es dicir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica reales. Por lo tanto, no quedan espacios por llenar.

El conjunto R se representa en la recta numérica de la siguiente forma:

https://www.smartick.es/blog/wp-content/uploads/Diapositiva61.png





Definición de intervalo

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

( ) * +

Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

, - * +

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

( - * +

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

, ) * +


Nomenclatura para varios conjuntos Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos

intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

Semirrectas Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él. x > a

( ) * +

x ≥ a

, ) * +

x < a

( ) * +

x ≤ a

( - * +

Valor Absoluto Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0


Porcentaje %

Un tanto por ciento o porcentaje es una razón de consecuente 100 (o fracción con Denominador 100) y se expresa utilizando el símbolo % es decir a% significa a partes de un total de 100 partes iguales y se lee “a por ciento” esto se puede

expresar como razón mediante la expresión fraccionaria

Si decimos 50 % significa la mitad de cien; el 100 % es el total.

Un porcentaje también se puede expresar como un número decimal

transformando la expresión a su expresión

decimal equivalente

Cuando queremos calcular determinado porcentaje de un número, multiplicamos el porcentaje que necesitamos por el número, y luego lo dividimos por cien. 25 % de 70:

70 x 25=1.750, y a ese resultado lo dividimos por 100 lo que nos da: 17,50.

Representación gráfica de porcentajes La superficie pintada representa el 25%:

Porcentaje y proporcionalidad El porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa, en el cual uno de los términos de la proporción es 100. Para el cálculo de porcentajes se puede

plantear la proporción:

Donde es a parte del total, b es el total, c porcentaje del total al cual equivale a. Ejemplo:

el 20% de 300 corresponde a 60, ya que

, donde x = 60

Porcentaje de una cantidad Para calcular el c% de una cantidad b, se puede utilizar la siguiente expresión:

Ejemplo:

El 5% de 50 es 2,5 ya que


Parte de un total Para calcular a qué porcentaje corresponde una cantidad a de otra cantidad b, se

puede utilizar la siguiente expresión

Ejemplo:

5 es el 10% de 50, ya que

· 10 = 10%

Total dada una parte Si se sabe que a corresponde a c% de una cantidad, entonces dicha cantidad se

puede calcular con la siguiente expresión:

Ejemplo:

Si el 25% de una cantidad es 12, la cantidad total es 48, ya que


Potencias, raíces y logaritmos

Potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores

iguales. La potencia representa el producto que tiene veces el número .

El número se llama base y el número se llama exponente.

Exponente negativo La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:

La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo −n−n es el inverso del número elevado a nn:

Producto y cociente de potencias El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:

El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:

Potencia de una potencia La potencia de una potencia con base aa es la potencia con base aa y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

Potencia del producto y del cociente

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La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:

La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:

Potencia de una fracción con exponente negativo

El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa (intercambiar el numerador y el denominador):

La potencia de una fracción con exponente negativo −n−n es la potencia del inverso de la fracción con exponente nn:

Potencias de Base Racional y Exponente Racional:

Potencia de un número racional: En una fracción elevado a un exponente, este último se distribuye como exponente del numerador y denominador.

Potencia de exponente negativo: Un número racional elevado a un exponente negativo se intercambian numerador con denominador y el exponente cambia de signo.

Notación científica

Potencias base 10 Potencia base 10 y exponente positivo

El valor de una potencia de base 10 y exponente positivo es igual a la unidad (1) acompañada de tantos ceros indique el exponente.

Ejemplo:


Potencia base 10 y exponente negativo

El valor de una potencia de base 10 y exponente negativo equivale a un número decimal que tiene tantas cifras decimales como indica el exponente. Ejemplo:

Notación Científica:

La notación científica es una manera abreviada de escribir números reales, por ser muy grandes o muy pequeños, resultan difíciles de expresar usando todas sus cifras. Para escribir un número en notación científica se expresa el número como el producto entre un número real entre uno y 10, y una potencia de base 10. Si se quiere escribir un número real X utilizando notación científica, se tiene: x= a · con 1 un número entero. Ejemplo:

1. Escribir en notación científica. El número “a”, en este caso debe ser el que tiene como parte entera “7”, que es el primer dígito. Es decir, Observar que la coma se ha movido 6 espacios a la izquierda. Por lo tanto la potencia de 10 debe ser

Entonces, (escrito en notación científica) Otros ejemplos

a. b. c.

Nota: observar que, si la coma se mueve a la izquierda, el exponente de la potencia de 10 es positivo. Mientras que, si la coma se mueve a la derecha, el exponente de la potencia de 10 es negativo.


Raíces

Raíz enecima:

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial.

Este es el símbolo especial que significa √

"raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima.

Pregunta: √

, = 5 ¿cuánto es "n"? Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación)

Cálculo de raíces Para calcular el valor numérico de una raíz se debe tener en cuenta el valor del índice y el

signo de la cantidad subradical. Si consideramos la raíz √

se tiene que: Si n es par Si n es impar

a > 0, el valor de la raíz es único a = 0, entonces el valor de la raíz es 0 a < 0, no existe ningún número real que cumpla la condición = a por lo que la raíz no tiene ningún valor real.

El valor de la raíz es único, sin importar el signo de la cantidad subradical.

Adición y sustración de raíces

Para que dos o más países se pueden sumar o restar es necesario que estén definidas en los números reales y que sean semejantes, es decir, deben tener el mismo índice y misma casa cantidad subradical Ejemplo:

√ - √ - √ + √ = √ - √ + √ - √ = - √ + - √

Propiedad 1: Multiplicación de raíces con el mismo índice


El producto de dos o más países, definidas en los números reales, con igual índice es otra raíz que tiene el mismo índice y cuya cantidad sub radical es el producto de las cantidades subradicales de los factores.

√ √

√

, con n 0

Propiedad 2: División de raíces con el mismo índice

Lo mismo sucede con la división de dos raíces con el mismo índice. Esa división es equivalente a la raíz de la división.

La raíz de una división es igual a la división de las raíces.

√

√

√

Propiedad 3. Raíz elevada a un exponente

Otra de las propiedades de las raíces es cuando tienes una raíz elevada a un exponente, es equivalente a que ese exponente estuviera dentro de la raíz elevando al radicando:

(√ ) = √

Propiedad 4. Raíz de otra raíz

Una raíz elevada a otra raíz es igual a otra raíz cuyo índice es el producto los dos índices.

√ √

= √

Propiedad 5. Anulación de la raíz

Como ya sabes, la raíz es la operación contraria a la potencia.

Entonces si tienes un número o una variable elevada a un exponente que está dentro de una raíz con el mismo índice, la potencia con la raíz se anula:

√

= a

Logaritmos:

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.


Propiedades de los logaritmos 1.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

( ) 2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

3.- El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

( )

4.- El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

( √ )

5.- Cambio de base:

Relación entre potencia y radical:

Relación entre potencia y logaritmo:

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