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Tema 7

.IES SNECA -Departamento de Filosofa-


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LGICA PROPOSICIONAL

NDICE

PPPAAARRRTTTEEE 111 : LGICA PROPOSICIONAL O LGICA DE ENUNCIADOS

1.- Introduccin: lenguaje natural, lenguaje artificial y lenguaje formal.

2.- Las proposiciones y la Lgica proposicional.

3.- El razonamiento: verdad y validez.

4.- El lenguaje lgico:

4.1. El lenguaje formal de la lgica proposicional.

4.2. Sintaxis: frmulas bien formadas.

5.- Formalizacin.

6.- Tablas de verdad:

6.1. Valores de verdad de las conectivas.

6.2. Construccin de tablas de verdad.

6.3. Demostracin de la validez de los razonamientos mediante tablas deverdad.

PPPAAARRRTTTEEE 222: COMPROBACIN DE REGLAS Y ESQUEMAS DEINFERENCIA: EL CLCULO DE LA DEDUCCIN NATURAL (C.D.N.)

7.- Clculo con reglas bsicas.

8.- Clculo con reglas derivadas.

PPPAAARRRTTTEEE 333: LAS FALACIAS

PPPAAARRRTTTEEE 444::: ACTIVIDADES

RECURSOS EN INTERNET:

Aprende Lgica:http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

Gua bsica para formalizar I:

http://antesdelascenizas.com/2009/12/17/materiales-para-la-logica-de-bachillerato/

Gua para formalizar II:

http://www.xtec.cat/~lvallmaj/passeig/enunfor2.htm

Falacias:

http://www.xtec.cat/~lvallmaj/preso/fal-log2.htm


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PPPAAARRRTTTEEE 111: LGICA PROPOSICIONAL O LGICA DE ENUNCIADOS

1. INTRODUCCIN: LENGUAJE NATURAL, LENGUAJE ARTIFICIAL YLENGUAJE FORMAL

Los lenguajes naturales, es decir, las distintas lenguas que habitualmente utilizanlos miembros de distintas comunidades humanas para comunicarse, poseen, como todolenguaje, un conjunto de smbolos (lxico) y una serie de reglas para manejarlos (sintaxis)y operar con ellos (formacin, concatenacin y transformacin de oraciones). Todos loslenguajes naturales son el producto de muchos siglos de evolucin y son tan infinitamentericos en matices que los mismos smbolos o expresiones pueden significar cosas diferentesen funcin factores tales como el contexto, la entonacin, la situacin, etc. Estasambigedades, dobles sentidos, vaguedades, relajacin en el uso de las reglas nospermiten construir paradojas, chistes, metforas, poemas, etc.

Los lenguajes naturales poseen, sin duda, una gran

riqueza y capacidad expresiva que resulta deseable, pero endeterminados momentos es preferible un lenguaje menosambiguo y, por tanto, ms preciso y operativo. Para el usocientfico, por ejemplo, los lenguajes naturales presentanciertas deficiencias: desde el punto de vista del lxico, falta deunivocidad; desde el punto de vista de la sintaxis, relajacin enlas reglas; y desde el punto de vista operacional, dificultad pararealizar cualquier clculo.

Por este motivo, las distintas ciencias construyenlenguajes artificiales, asignando a sus smbolos significadosprecisos y unvocos, y estableciendo con precisin reglas

operativas eficaces que permitan construir razonamientosfiables. Se trata de ganar en exactitud y seguridad a costa de

perder en expresividad. La Fsica y la Qumica, por ejemplo, usan este tipo de lenguaje deforma que una expresin tan metafrica como el tiempo es oro, al traducirla atal lenguajet = Aupierde todo su sentido. Por eso, tales lenguajes slo se emplean encampos muy restringidos.

Incluso puede haber ocasiones en las que el significado de los smbolos no nosinterese, sino ms bien las relaciones que podamos establecer entre dichos smbolos, comopor ejemplo ocurre en las Matemticas y la Lgica. Decimos entonces que estamos anteun lenguaje formal, porque slo interesa la forma, no el contenido o significado emprico

de sus smbolos. Lo nico que cuenta es que la utilizacin de los smbolos, las frmulas ylas operaciones se ajuste a las reglas establecidas.

2. LAS PROPOSICIONES Y LA LGICA PROPOSICIONAL

Todos los lenguajes estn construidos a partir de combinaciones de signos quereciben el nombre de expresiones. Pero no cualquier combinacin es vlida, sino quedicha combinacin debe realizarse de acuerdo con una serie de reglasgramaticales (morfolgicas, sintcticas, etc.). Cuando una expresin del lenguaje naturales gramaticalmente correcta y tiene un sentido completo recibe el nombre de oracin.

Hay muchos tipos de oraciones en los lenguajes naturales: enunciativas,desiderativas, de posibilidad, dubitativas, exhortativas, interrogativas, exclamativas, etc.Aqu nos interesan las oraciones enunciativas, tambin llamadas enunciados o


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proposiciones, que son aquellas oraciones que tienen un sentido completo y pueden sercalificadas como verdaderas o falsas. La Lgica proposicional (denominada tambinLgica de enunciados) se ocupa de las proposiciones.

Tanto lgica como gramaticalmente, las oraciones pueden ser sometidas a anlisis.Tomemos, por ejemplo, la proposicin Las moscas son insectos. Gramaticalmente,

podemos analizar esta oracin comenzando por distinguir un sujeto y un predicado.Lgicamente, podemos analizarla sealando que en ella se establece una relacin entredos clases o conjuntos, en cuyo caso la interpretaremos como afirmacin de que losmiembros de la clase de las moscas son tambin miembros de la clase de los insectos: asse hace en la Lgica de clases.

Pero en la Lgicaproposicional las proposiciones no seanalizan, sino que se toman como untodo, en bloque. Las proposiciones sonlos elementos ltimos sobre los cuales

opera esta rama de la Lgica. Lasproposiciones Las moscas soninsectos y La Tierra es un planetason proposiciones simples. En cambio,Las moscas son insectos y la Tierra esun planeta y Si las moscas soninsectos, entonces la Tierra es un planeta son proposiciones complejas.

Una proposicin simple es aquella que no puede descomponerse en partes que, asu vez, sean proposiciones. Las proposiciones simples se denominan tambin atmicas.

Una proposicin compleja tambin denominada molecular es aquella que

puede descomponerse en proposiciones simples. Las proposiciones complejas secomponen, pues, a partir de proposiciones simples por medio de partculas como y,si entonces, etc., que sirven para conectar o unir proposiciones entre s.

En definitiva, la Lgica proposicional es aquella parte de la lgica que se ocupade los razonamientos tomando las proposiciones que los componen como un todo, sinanalizarlas, sin entrar en sus relaciones internas.

3. EL RAZONAMIENTO: VERDAD Y VALIDEZ

Un razonamiento es una serie de enunciados en la cual, a partir de unosenunciados iniciales (premisas) y siguiendo unas reglas determinadas, se infiere unaconclusin.

Por ejemplo:

En el mes de enero cada da anochece un poco ms tarde.

Estamos en el mes de enero.

__________________

Por lo tanto, maana anochecer un poco ms tarde que hoy.

As pues, razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en l seproduce el paso de uno o ms enunciados (las denominadas premisas) a otro posterior (loque denominamos conclusin) que se deriva necesariamente de aquellos.


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Denominamos premisas de nuestro razonamiento a cada uno de los enunciadosque utilizamos para defender la idea o enunciado que queremos demostrar.

Denominamos la conclusin de nuestro razonamiento al enunciado que intentamosdemostrar o defender y para el que hemos construido nuestro razonamiento.

Se dice que el razonamiento es vlido si la conclusin se deduce necesariamentede las premisas. En ese caso, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusintambin ser necesariamente verdadera. Un razonamiento, por tanto, es o no vlido envirtud de su forma o estructura, no en virtud de la verdad o falsedad de las premisas. Losenunciados pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos slo pueden servlidos o no vlidos, correctos o incorrectos.

Veamos tal diferencia con un ejemplo. Partamos de dos razonamientos simples:

R1:

P1: Si tienes la gripe entonces tienes fiebre.

A B

P2: No tienes fiebre.

B

C: Por lo tanto, no tienes la gripe.

A

R2:

P1: Si crece la inversin entonces disminuye el paro.

A BP2: No disminuye el paro.

B

C: Por lo tanto, no crece la inversin.

A

Observamos que:

Tienen distinto contenido: R1 : medicina.

R2 : economa.

Tienen la misma forma:

P1: Si A entonces B.

P2: No B.

C: Por lo tanto, no A.

Sustituimos las proposiciones por letras maysculas.

Por lo tanto, en los razonamientos hay que distinguir entre:


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Forma: es la estructura lgica del razonamiento: el cmo se hayan relacionadasentre s las proposiciones en las premisas y la conclusin: qu relaciones lgicas existenentre ellas.

Contenido: es lo expresado por las premisas y la conclusin, el conjunto deafirmaciones que stas realizan del mundo, el conjunto de sucesos que stas describen.

El objetivo de la lgica es decir qu tipo de razonamientos son correctos, y esto sedefine exclusivamente en virtud de su estructura formal. La lgica prescinde del contenidopues slo analiza la correccin formal de los razonamientos. No corresponde a la Lgicadeterminar la verdad o falsedad de los enunciados, de ello se ocupan los cientficos oquienes los propongan (depender del mbito al que pertenezca el razonamiento).Tampoco le importa si son verdaderos o falsos. Que, de hecho, las premisas seanverdaderas o falsas no afecta a la validez del argumento, a su correccin formal.

RAZONAMIENTO VLIDO RAZONAMIENTO NOVLIDO

RAZONAMIENTO VLIDO

P1: Todos los perros son mamferos.

P2: Todos los caniches son perros.

C: Todos los caniches sonmamferos.

P1: Todos los primates sonmamferos.

P2: Todos los gatos sonmamferos.

C: Todos los gatos sonprimates.

P1: Todos los perros sonreptiles.

P2: Todos los gatos son perros.

C: Todos los gatos son reptiles.

4. EL LENGUAJE LGICO

El inters de la lgica es el anlisis de los razonamientos en el mbito formal. Los

razonamientos se hacen en el lenguaje cotidiano, tambin denominado lenguajeordinario o natural Puesto que el lenguaje natural est cargado de ambigedades eimprecisiones resulta difcil de analizar lgicamente.

La lgica necesita extraerdel lenguaje natural su estructura formal, reduciendo suvariedad a unas cuantas expresiones lgico - formales. Para hacer esto con precisin lalgica necesita crear un lenguaje artificial, con sus propias reglas de construccin, que seael reflejo de la estructura formal del razonamiento.

Todo lenguaje artificial (por ejemplo: las seales de trfico, los iconos delordenador, etc.) est construido y pensado como medio para lograr un fin determinado. Enel caso del lenguaje formal, su fin es destacar en los razonamientos su estructura formal.

4.1. EL LENGUAJE FORMAL DE LA LGICA PROPOSICIONAL

Describimos aqu:

Los elementos que componen este lenguaje, y, a la vez, damos

Las reglas de simbolizacin que nos permitirn pasar de las expresiones dellenguaje natural a las del lenguaje formal (formalizar).

A) VOCABULARIO.

Est constituido por las variables proposicionales que simbolizan o representan lasproposiciones del lenguaje natural. Se denominan variables porque representan

cualquier proposicin del lenguaje natural.


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REGLA DE SIMBOLIZACIN I

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituir por variablesproposicionales simbolizadas mediante las letras minsculas: p, q, r, s, t, u, v, w. Sihubiera ms se pondrn subndices. Ejemplos:

"ste fue un verano caluroso": p

"La fidelidad es una quimera": q

"Al final de los tiempos resucitarn los cuerpos": r

"Tengo sueo": s

B) SMBOLOS DE ENLACE

Estn constituidos por las constantes lgicas (se denominan tambin conectivas

o juntores) que representan las relaciones lgicas existentes entre las proposiciones.Simbolizan los elementos del lenguaje natural que ponen en relacin las diferentesproposiciones. Hay cinco tipos bsicos de relacin lgica entre proposiciones:

1) La negacin.

Significa la negacin de la proposicin que ponemos a su derecha.

REGLA DE SIMBOLIZACIN II

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el casoque", "es falso", "es imposible", etc. se sustituirn por el smbolo "".

Ejemplos:

"No vendr a cenar esta noche p": p"Es imposible que pueda olvidar lo sucedido q": q

"No es cierto que no se lo dijera r": r

2) La conjuncin.

Significa que ambas proposiciones suceden de forma conjunta

REGLA DE SIMBOLIZACIN III

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni", "pero", " que", "e","mas", una simple coma ",", etc. se sustituirn por el smbolo "".

Ejemplos:

"Viene cansado p y deprimido q: p q

" Ana quiere a Lus p pero no es tonta q": pq

"No es cierto que sea viuda p y no tenga hecha la ciruga q ": (pq)

3) La disyuncin.

Significa que sucede una proposicin, sucede la otra, o suceden ambas. Es lo quese denomina disyuncin inclusiva, frente a la disyuncin exclusiva, que usualmenteutilizamos en el lenguaje natural y que significa que sucede una u otra, pero no ambas a la

vez.


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REGLA DE SIMBOLIZACIN IV

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "oo", "bienbien","yaya", etc. se sustituirn por el smbolo "v".

Ejemplos:

"O vamos al cine p o nos aburrimos soberanamente q ": p v q"Es imposible que pueda volver p o olvidar lo sucedido q": (p v q)

"O no es cierto que le gusten los nios p o tiene muy mala leche q ": p v q

4) El Condicional.

Significa que si se da la primera (a la izquierda de la flecha) entonces se dar lasegunda (a la derecha de la flecha). Es una relacin de consecuencia entre dos

proposiciones: la primera es la condicin (antecedente) y la segunda es el resultado(consecuente).

En el lenguaje natural es habitual encontrarlas expresadas en orden inverso, por lo

que al simbolizar hemos de tener cuidado para entender bien el sentido de la relacinlgica expresada. Por ejemplo: "Sera sumamente feliz si os callarais" [ p q ] [siendo p:"os callarais" y q: "Sera sumamente feliz"].

REGLA DE SIMBOLIZACIN V

Las expresiones del lenguaje natural tales como "sientonces", "luego","por tanto", "en consecuencia", "cuando", "se infiere de","se deduce

de","se deriva de","se demuestra", etc. se sustituirn por el smbolo " ".

Ejemplos:

"Si hubiera venido en coche p aun estara buscando aparcamiento q ": p q

"Cuando traigas el taladro p, te arreglar la cortina q": p q

"Si no cambias de hbitos p entonces se acabar cansando de ti q ": p q

5) El Bicondicional.

Significa que las dos proposiciones se implican mutua y necesariamente. Equivalea un condicional en ambas direcciones: slo ocurrir la primera si sucede la segunda yslo suceder la segunda si sucede la primera.

REGLA DE SIMBOLIZACIN VI

Las expresiones del lenguaje natural tales como "si y slo si", "equivale

a", "es igual a", "vale por", "es lo mismo que", etc. se sustituirn por elsmbolo "".

Ejemplos:

"Un pueblo es democrtico p si y slo si hay elecciones libres q ": p q

"Slo si cambias de actitud p, estar dispuesto a ir tus quejas q": p q

"Sers feliz p slo si buscas el placer q y no te dejas esclavizar por los deseos r": p (q r)

C) SIGNOS AUXILIARES.

a) Son las llaves, los parntesis y los corchetes.


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b) Indican cmo estn agrupados los smbolos de una expresin de nuestrolenguaje formal, y cul es el smbolo de enlace principal en ella. Si no hay parntesis, hayuna jerarqua para determinar el signo dominante (1, 2 , 3 V). Ejemplo: p rV q es lo mismo que p (r V q).

4.2. SINTAXIS: FRMULAS BIEN FORMADAS.

Todos los lenguajes se componen de unos smbolos y de unasreglas sintcticas que nos indican qu combinaciones de smbolos soncorrectas y cules no lo son. Por ejemplo, en castellano no podemosdecir:

Mis amigos y yo voy al cine.

La oracin del ejemplo est mal formada porque no hay laconcordancia debida entre el nmero del sujeto (plural) y el nmerodel verbo (singular). Tambin en matemticas hay unas reglas que nosindican qu combinaciones de smbolos podemos hacer, de modo que

si nos presentaran lo siguiente:%=4+(78-)

no sabramos qu hacer simplemente porque la expresin est malformada, no respeta las reglas de formacin de frmulas matemticas.Del mismo modo, cualquier combinacin de smbolos lgicos noconstituye una frmula bien formada. As por ejemplo, no estn bienformadas las frmulas

p

pq

petc

No es difcil descubrir intuitivamente, a partir de ejemplos, qufrmulas estn bien formadas y cules no, pero no est de msofrecer las siguientes reglas para la formacin de frmulas bienformadas (fbf):

Regla 1: Toda proposicin atmica es una fbf.

Regla 2: Si A es una fbf, entonces A tambin es una fbf.

Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (AB), (AB) y (AB)tambin son fbf.

En consecuencia, podemos obtener dos tipos de frmulas: frmula atmica yfrmula molecular. La primera es una frmula constituida tan slo por una variableproposicional (por ejemplo: p , q , r , t ...). La segunda es una frmula constituida por unavariable proposicional y la negacin, o por varias variables proposicionales unidas poruna o ms conectivas (por ejemplo: p , p q , r v ts ...).

5. FORMALIZACIN

Formalizar consiste en analizar las expresiones del lenguaje natural y

traducirlas al lenguaje formal reducindolas a su forma. Su objetivo es reducir el


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razonamiento a su estructura formal separndola de su contenido pues slo sta nosinteresa para poder determinar su validez.

La trascripcin del lenguaje natural al lenguaje formal no es automtica ni literal:requiere un anlisis minucioso del sentido de las expresiones que vamos a transcribir.

Se ha de tener en cuenta:

Slo se formalizan las proposiciones, no las frases o expresiones incluidas en elrazonamiento que no lo sean por pertenecer a otros usos del lenguaje que no sea eldescriptivo. Esto es as porque esas expresiones carecen de valor lgico.

Por ejemplo: Ay de m!, Ojala fuese as!, Hazlo!, Vendr esta noche?,...

A veces en el lenguaje natural dos frases pueden significar lo mismo expresado atravs de otras palabras. En este caso se simbolizarn ambas con la misma variable

proposicional (siempre segn el contexto).

Por ejemplo: "aumenta la temperatura corporal", "tiene fiebre" [ p ];

"Sac ms de cinco puntos en el examen", "aprob el examen" [ q ].Hay que tener cuidado, de igual forma, con una proposicin y su contraria. Se

simbolizan con la misma variable proposicional pero aadiendo la negacin.

Por ejemplo: "aprobar" [ p ] , "suspender" [ p ].

Cuando aparezcan dos proposiciones unidas por un condicional hay que tener encuenta cul es el antecedente y cul es el consecuente, no siempre aparecen en este orden.Para aclarar el sentido hay que tener presente qu expresa, ya que para que se d elconsecuente (resultado) se ha de dar primero necesariamente el antecedente (condicin).

Por ejemplo: "Escribira un libro si tuviera tiempo" [ p q ] [siendo p: "tuviera

tiempo" y q: "Escribira un libro"]. Un buen mtodo es parafrasear la expresin quequeremos formalizar: decirla con otras palabras pero sin cambiarle el sentido para poderaclarar ste ltimo. Por ejemplo:"Si tuviera tiempo entonces escribira un libro"

Pasos a seguir: esquema de un razonamiento.

Ejemplo: Si me abandona, me sentir muy solo. Si contina conmigo,seguiremos pelendonos sin parar. Si me siento solo o nos seguimos peleandocontinuamente, tendr una fuerte depresin. Es obvio que, tanto si me deja como si sigueconmigo, entrar en una fuerte depresin.

Determinacin de las premisas y la conclusin.

Destacamos y numeramos correlativamente en el razonamiento cada una de laspremisas. Normalmente, en el lenguaje natural aparecen unas separadas de las otras por unpunto y seguido.

La conclusin, que aparece normalmente al final (o al principio en rarasocasiones), en el lenguaje natural est introducida por expresiones tales como: "Por lotanto...", "En consecuencia...", "Se deduce de esto...", "Por consiguiente...", etc.

Determinacin de las variables proposicionales.

Subrayamos cada una de las proposiciones asignndoles una variableproposicional. As como las vamos subrayando, hacemos con ellas una lista y as, si serepiten, sabemos como las hemos simbolizado y podemos asegurarnos que dos no sean lamisma expresada con otras palabras.


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Si me abandona p me sentir muy solo q. Si contina conmigo p seguiremospelendonos sin parar r. Si me siento solo q o nos seguimos peleando continuamente tendruna fuerte depresin s. Es obvio que tanto si me deja p como si sigue conmigo p entrar enuna fuerte depresin s.

Variables Proposicionales:

p: "me abandona"

q: "me sentir slo"

r: "nos seguiremos peleando continuamente"

s: "tendr una fuerte depresin"

Determinacin de las conectivas.

Analizamos las relaciones lgicas existentes entre las proposiciones en cada una delas premisas y en la conclusin simbolizndolas.

Realizacin del esquema del razonamiento.

Hacemos el esquema del razonamiento que contiene las premisas y la conclusinsimbolizadas y refleja su estructura formal.

Esquema del razonamiento:

P1: p q

P2: p r

P3: ( q v r ) s

_____________

C: ( p v p) s

Otros ejemplos:

- La comida no le supo bien: p

- Maana es sbado y nos iremos a la playa: p q

- Aunque t no me quieras, yo te amo: p q

- O bien te lo comes o no vers la tele: p q

- O lo recoges todo o no vas de excursin y no te regalo el vestido:

p ( q r )

- Si vienes, no te lo olvides en casa: p q

- Si no estuvo aqu el asesino, entonces no lleg a verle o lo supo demasiado tarde:

p ( q r )

- No por mucho madrugar amanece ms temprano: ( p q )

- Slo si baja la Bolsa 15 puntos, debers vender el 10% de las acciones de laempresa y no comunicarlo al Consejo: p ( q r )

- Slo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos preguntas en la 2casilla del examen, debers contestar nicamente a la primera de ellas:


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( p q ) r

- Si Pedro sabe hablar ingls, entonces no habla francs, aunque si no supiesehablar ingls, tampoco hablara francs: ( p q ) ( p q )

- Si llegas despus de las 10, te encontrars con la puerta cerrada y no podrscenar: p ( q r )

- Juan abrir la puerta y saldr a la calle, slo en el caso de que, si viene Mara conel coche, no venga con ella Pedro: ( p q ) ( r s )

- No es verdad que si Antonio estudia, entonces Mara no trabaje: ( p q )

- Slo si t no lo has matado, te dejaremos libre: p q

6. TABLAS DE VERDAD

6.1. VALORES DE VERDAD DE LAS CONECTIVAS.

Una vez que hemos formalizado una proposicin resulta mucho ms fcil operarcon ella. Lo primero que podemos hacer con ella es averiguar en qu casos es verdadera yen qu casos no. La Semntica es aquella parte del lenguaje que se ocupa de la relacinentre los smbolos y su significado, pero ya dijimos que a la Lgica no le interesa elsignificado emprico de las proposiciones; lo nico que le interesa de su significado es suvalor veritativo: su verdad o falsedad. Como la verdad de las proposiciones complejasdepende del valor veritativo de sus proposiciones simples (variables) y del tipo de relacinque las une (constantes o conectores), la Lgica usa un mtodo para demostrarsemnticamente una frmula cualquiera: el mtodo de las tablas de verdad. Estemtodo consiste en calcular en qu casos una proposicin compleja es verdadera y enqu casos es falsa.

Interpretar un smbolo consiste en darle un significado. La Lgica proposicional,como la mayora de los tipos de lgica, es una lgica bivalente, lo cual quiere decir quecada proposicin simple o variable slo puede tener dos interpretaciones o significados:verdadero (1) o falso (0). Un caso es una posible combinacin de tales valores en susvariables, de forma que mientras ms variables tenga una frmula ms casos posibleshabr.

As, en una frmula que contenga una nica variable (p.e., p p) slo hay doscasos posibles: que p sea verdadera o que sea falsa, mientras que en una que contengados variables (p.e., pq) hay cuatro casos posibles: 1) que ambas sean verdaderas; 2) queambas sean falsas; 3) que p sea verdadera y q falsa; y 4) que p sea falsa y q

verdadera. En una frmula de tres variables hay ocho posibles casos; en una de cuatro,diecisis, y as, sucesivamente. Hay una frmula para hallar el nmero de casos (x) deuna proposicin molecular: x = 2n, donde n es el nmero de variables de la frmula.

Cada uno de los conectores o constantes lgicas se define semnticamente mediante unatabla de verdad que muestra sus posibles valores veritativos segn los casos. Estas sonlas tablas de verdad de los conectores y del negador:

NEGADOR:

A A

1 0


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0 1

CONJUNTOR:

A B A B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

DISYUNTOR:

A B A V B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

IMPLICADOR (O CONDICIONAL):

A B A B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

COIMPLICADOR (O BICONDICIONAL:

A B A B

1 1 1

1 0 0


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0 1 0

0 0 1

6.2. CONSTRUCCIN DE TABLAS DE VERDAD.

Cualquier frmula tiene su propia tabla de verdad, que variar en funcin de lacantidad de proposiciones atmicas que la integran y de su propia complejidadlgica. Para realizar la tabla de verdad de una frmula, hay que determinar, enprimer lugar, de cuntas columnas (vertical) y filas (horizontal) consta r .

Para determinar el nmero de columnas de una tabla, es necesario recur r i ral concepto de historia formacional de una frmula. La historia formacionalde una frmula es el conjunto de todas sus subfrmulas, incluyndola a ellamisma. Es algo as como desandar el camino que nos ha llevado desde lasproposiciones atmicas a la proposicin molecular a analizar.

Supongamos, por ejemplo, que tenemos la frmula p q, suhistoria formacionalser el conjunto {p, q, pq}. Otro ejemplo, en el caso de la frmula (p q) (r q),

su historia formacionalser el conjunto {p, q, r, q, pq, rq, (pq)(rq)} formadopor 7 elementos.

Una vez hemos determinado la historia formacional de una frmula, podemoscontinuar con la confeccin de su tabla de verdad, que tendr tantas columnascomo elementos tenga la historia formacional de la frmula, y a cada

columna le corresponder uno de esos elementos, desde los ms simples hasta losms complejos. As, la tabla de verdad de la frmula anterior(pq) (rq)tendr 7

columnas.Determinar el nmero de filas de la tabla es fcil, pues slo debemos

aplicar la siguiente frmula: Nmero de filas de la tabla = 2n , donde n es el nmero deproposiciones atmicas de que consta la frmula. As, si observamos la

historia formacional de la frmula (pq)(rq), observaremos que consta de las 3proposiciones atmicasp, qyr(recordemos que las proposiciones que se repiten slodeben ser contadas una vez). Aplicando la frmula arriba indicadaobtenemos que nuestra tabla debe tener 23 filas, es decir, 8 filas.Por supuesto, a estas 8 filas habr que aadir una, que ser la

primera, que rellenaremos con las subfrmulas de la historiaformacional. La tabla quedar como sigue:

p q r q pq rq (pq)(rq)


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Ahora viene un momento peliagudo de la elaboracin de la tabla, pues eshora de completarla. En primer lugar, tendremos que completar las columnas

correspondientes a las proposiciones atmicas, pues el valor del resto de celdas d ela tabla depender de los valores de las proposiciones atmicas. Olvidmonos, demomento, de las columnas correspondientes a frmulas moleculares y fijmonosslo en las columnas de las frmulas atmicas:

p q r

En primer lugar, lo que haremos es dividir la primera columna endospartes iguales y completar la primera de esas partes con 1 y lasegunda con 0. En este caso tenemos 8 filas, de modo que las 4

primeras filas de la columna correspondiente a p se c ompletarn con 1y las cuatro siguientes con 0. Si en vez de 8 filas tuviramos 16, la

operacin sera semejante, aunque en vez de dos grupos de 4,tendramos dos grupos de 8, uno con 1 y el otro con 0. Ennuestro caso la tabla quedar as:

p q r

111

10000

Si hemos dividido en 2 partes la primera columna, la segunda ladividiremos en 4 partes iguales y completaremos con 1 la primera, con 0 lasegunda y as sucesivamente hasta agotarlas. En este caso, como tenemos 8 filaspor columna y 8/4=2, dividiremos la columna correspondiente a q en cuatropartes de 2 celdas cada una y las completaremos como se ha indicado, demodo que obtendremos lo siguiente:


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16

p q r

1 11 11 0

1 00 10 10 00 0

Dividida la primera columna en 2 partes y la segunda columna en 4,dividiremos la tercera en 8 partes y las completaremos con 1 y 0alternativamente (ntese que las columnas han sido divididas,respectivamente por 21, 22 y 23, de modo que si hubiera una cuartacolumna correspondiente a una cuarta frmula atmica, sera dividida por 24,y as sucesivamente). Al final tendremos:

p q r

1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 1

0 0 0

Como podemos observar, mediante este procedimiento hemos obtenidotodas las combinaciones posibles de valores de verdad de las frmulasatmicas de nuestra tabla, que ahora tendr este aspecto:


1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

Queda ahora por completar las columnas correspondientes a las frmulasmoleculares. Como sabemos, el valor de verdad de estas frmulas depender del


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valor de verdad de las frmulas atmicas que las integran. Comencemospor la columna correspondiente a q. Sabemos, por la tabla de verdad de lanegacin, que cuando q es 1, q es 0, y viceversa. En consecuencia,asignaremos a cada celda de la columna q un valor en relacin con el valor quepara esa fila tenga la columna q. La tabla quedar como sigue:


1 1 1 01 1 0 01 0 1 11 0 0 10 1 1 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1

Para completar la columna correspondiente a pq, debemosaplicar la tabla de verdad de la conjuncin a cadapar de valores de las columnas correspondientes a p y aq de modo que obtenemos la siguiente distribucin de valores deverdad:


1 1 1 0 1

1 1 0 0 11 0 1 1 01 0 0 1 00 1 1 0 00 1 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 0

A continuacin hay que completar la columna correspondiente

a la frmula rq. El primer trmino de la disyuncin es r, por lotanto deberemos atender a los valores de la columna r para establecer los de(rq). Pero. como vemos, el segundo trmino que hay que tener en cuenta es

q, esto significa que tenemos que basarnos en los valores de lacolumna q y no en los de la columna q. Siguiendo la tabla deverdad de la disyuncin, quedar como sigue:


1 1 1 0 1 1

1 1 0 0 1 0


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18

1 0 1 1 0 11 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 1 0 0 0 00 0 1 1 0 1

0 0 0 1 0 1

Para completar la ltima columna, correspondiente a la frmula entera,aplicaremos la tabla de verdad del condicional, tomando como referencia lascolumnas correspondientes a(pq) y a (rq) de modo que obtenemos:


1 1 1 0 1 1 11 1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 11 0 0 1 0 1 10 1 1 0 0 1 10 1 0 0 0 0 10 0 1 1 0 1 10 0 0 1 0 1 1

Contingencias, tautologas y contradicciones

Consideremos las tablas de verdad de las frmulas (pq), (pp) y (pp),

respectivamente:

p q p q

1 1 11 0 00 1 10 0 1

p p p p1 0 10 1 1

p p p p

1 0 00 1 0


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De las tres frmulas analizadas, slo podemos afirmar con absolutacerte z a la verdad d e (pp), pues, como observamos, sea cual sea el valor de suscomponentes, la frmula resulta ser siempre verdadera. A este tipo defrmulas las llamamos tautologas, y son consideradas verdadeslgicas.

Por otra parte, la frmula (pp) es el caso opuesto a la anterior,pues para todos los valores de sus subfrmulas, resulta ser falsa. A estasfrmulas las llamamos contradicciones. En efecto, diga p lo que diga, siafirmo (pp) me estoy contradiciendo y por lo tanto mi afirmacin tiene queser necesariamente falsa.

El tercer tipo de frmulas son aqullas cuya verdad o falsedad nopuede decidirse simplemente por medios lgicos, como la tabla de verdad, sinoque es necesario el recurso a la observacin. Es el caso de la frmula (pq).

Sabemos que la frmula pp es siempre verdadera, signifique p lo quesignifique, y tambin sabemos que pp es siempre falsa, valga p lo que

valga; y esto losabemos nicamente mediante el mtodo lgico de la tablade verdad. Pero la ta b la de verdad de pq nos dice que la frmula puede se rverdadera o puede ser falsa, y nos indica en qu casos es verdaderay en qu casos es falsa, pero no nos resuelve el problema de

si es efectivamente verdadera o falsa. Este tipo de frmulasson contingencias (o indeterminaciones) porque no son ninecesariamente verdaderas ni necesariamente falsas, sino que su verdad o

falsedad es relativa, depende del significado de las frmulas atmicas y es, por lotanto, contingente.

6.3. DEMOSTRACIN DE LA VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTETABLAS DE VERDAD.

Todos los razonamientos argumentos pueden convertirse en uncondicional, pues, despus de todo, lo que un argumento est afirmando es quesilas premisas son v e rdaderas , entonces la conclusin tambin lo es, o dicho deotro modo:

P1 P2

n C

Es decir, un argumento es, en realidad, un condicional en el que elantecedente es la conjuncin de todas las premisas (P1 P2 Pn) y elconsecuente e s lac o n cl u si n ( C ).

Como sabemos, la tabla de verdad del condicional nos dice que steslo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuentefalso, y verdadero en el resto de casos.

Esto coincide completamente con la definicin deargumento vlido, segn la cual, una argumento ser vlido exactamente


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en los mismos casos en que el condicional que lecorresponde lo sea. Como un condicional no puede serverdadero si el antecedente es verdadero y el consecuente

falso, un argumento no podr ser vlido si laspremisas son verdaderas y la conclusin falsa.

No siempre es fcil averiguar intuitivamente si un argumento es vlidoo no, por lo que en ocasiones es necesario recurrir a mtodos ms fiablesque la intuicin. Dado que podemos convertir cualquier argumento en uncondicional, podemos usar el mtodo de las tablas de verdad para averiguar si unargumento dado es vlido o no. Evidentemente, un argumento slo ser vlidocuando el condicional correspondiente sea una tautologa y n o se r vlidoe n el resto d e casos ( s i e s una contradiccin o s i e s una contingencia) . Veamosesto con dos ejemplos.

. . . . Evaluando el primer ejemplo:

Premisa 1) Si estudio entonces aprobar.Premisa 2) No he estudiado.

Conclusin: No aprobar.

Lo primero que debemos hacer para evaluar o decidir si elargumento es vlido o no, es formalizarlo:

premisa 1): p q (si estudio entonces aprobar)

premisa 2): p (no estudio)

concusin: q (no apruebo)En segundo lugar, tenemos que convertir el argumento en un

condicional. Como hemos visto, el antecedente del condicional estarformado por laconjuncin de todas las premisas, y el consecuente por laconclusin, de modo que obtenemos lo siguiente: [(pq) p]q

ste es, en consecuencia, el condicional que le corresponde alargumento delejemplo. Es el momento de hacer su tabla de verdad, que quedarcomo sigue:

p q p pq (pq)p [(pq)p]q

1 1 0 1 0 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 1 0

Como vemos, la tabla de verdad nos revela que el condicional analizadoes una contingencia, lo que significa que puede ser verdadero o

no, es decir, que es posible que sus premisas sean verdaderas y suconclusin falsa.

Evaluando el segundo ejemplo:


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Premisa 1) Si Alicia llega tarde a casa, ser castigada.

Premisa 2) Alicia ha llegado tarde a casa.

Conclusin: Alicia ser castigada.

Como en el caso anterior, obtenemos el condicional que le corresponde alargumento que vamos a evaluar, que, tras formalizar cada una de las premisas y laconclusin, quedar como sigue: [(pq)p]qY al realizar la tabla de verdad correspondiente obtenemos:

p q pq (pq)p [(pq)p]q

1 1 1 1 11 0 0 0 1

0 1 1 0 10 0 1 0 1

La tabla de verdad nos indica que la frmula evaluada es unatautologa, por lo tanto, podemos concluir que el argumentocorrespondiente es vlido, y la tabla de verdad correspondiente es la

prueba de su validez.

PPPAAARRRTTTEEE 222 COMPROBACIN DE REGLAS Y ESQUEMAS DE INFERENCIA: ELCLCULO DE LA DEDUCCIN NATURAL (C.D.N.)

Hemos definido ms arriba el concepto de argumento vlidoafirmando que un argumento es vlido si y slo si esimposible que las premisas sean verdaderas y la conclusin falsa.Esta definicin utiliza el concepto de verdad y falsedad, por loque podemos decir que es una definicin semntica. Pero lavalidez lgica puede definirse sin hacer referencia a la verdad ola falsedad. Se tratara, en este caso, de una definicin sintctica.

Desde el punto de vista sintctico un argumento es vlido si laspremisas pueden ser transformadas en laconclusin aplicando unas reglas de transformacin

de frmulas a las que denominaremos reglas dederivacin. Veamos con un poco ms de detalle a qu nosreferimos cuando hablamos detransformacin.

En el lenguaje natural es corriente transformar unasexpresiones en otras que consideramos equivalentes. Esto lo hacemos,

por ejemplo, cuando pasamos una frase de activa a pasiva:

a) El perro se come el hueso.

b) El hueso es comido por el perro.


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La oracin a) puede ser transformada en laoracin b) siguiendo unas determinadas reglas. Tambin enmatemticas transformamos unas expresiones en otras equivalentes:

c) x+5=y

d) x=y-5

Sabemos que la expresin c) puede ser transformada en la expresind) (y viceversa) a p lic an d o u n a r eg la c o no c id a p o r to d o s.

La posibilidad de transformar unas expresiones en otras aplicandoreglas fijas nos permitederivarunas de otras de modo que en la expresin finalquiz se pongan de manifiesto cosas que en un principio no eran tan evidentes.

En el lenguaje formal de la lgica de proposicionestambin hay unas reglas que nos permiten transformar unasfrmulas en otras, de modo que, dadas unas premisas, yaplicando esas reglas, podemos obtener una determinada conclusin(aunque no cualquier conclusin). Las reglas quenosotros estudiaremos constituyen lo que denominamos un clculode deduccin natural y si una frmula A puede ser transformada en

otra frmula B con ayuda de estas reglas, decimos que B se siguede A y que el argumento en el que A es una premisa y Bla conclusin, es vlido.

Adems, te imaginas lo que supondra demostrar la validez de unrazonamiento que tuviera ms de 6 variables mediante una tabla deverdad? Por ello, el clculo de deduccin natural es un mtodomucho ms prctico para tales tipos de razonamientos.

En una deduccin encontraremos unos supuestos y unas reglas deinferencia. Los supuestos pueden ser premisas (supuestos previos) o biensupuestos provisionaleso subsidiarios, que sirven momentneamente de apoyoen el curso de la deduccin pero de los cuales hay que desembarazarse antes delfinal de la misma (llamndose esto descarga o cancelacin de supuestos).

La deduccin formal es una secuencia finita de frmulas tales que cada unade ellas es un supuesto previo, un supuesto provisional o una frmula que sederiva lgicamente de otra u otras anteriores por inferencia inmediata (por laaplicacin de una sola regla de inferencia).

Lanotacin simblicade una derivacin es la siguiente: la deduccin se indicao anota poniendo en hilera las premisas separadas por comas y a continuacin delas mismas el deductor seguido de la conclusin: p q r, p s, s r m, p m.

La deduccin se realiza as: se colocan en columna las premisas y lasfrmulas inferidas de la siguiente manera:


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Se numeran en la izquierda a partir del nmero 1.

Las premisas llevan un guin a la izquierda del nmero.

Los supuestos provisionales se sealan con un ngulo recto () antes delnmero, que se unir con una lnea recta a otro ngulo () correspondiente

a la lnea que los cancela. Se pone a la derecha un comentario: las siglas de la regla por la que se

infiere la lnea y los nmeros de las lneas a las que se ha aplicado la regla.

7. CLCULO CON REGLAS BSICAS

Las reglas de inferencia se clasifican en reglasbsicas yderivadas. Las reglas bsicas son verdades por definicin, nicamente definen

conectivas.

Lasreglas derivadas se demuestran a partir de las reglas bsicas.

Lasreglas bsicas se corresponden con cada una de lasconectivas, bienpara introducirlas o bien para eliminarlas.

Las Reglas Bsicas.

a. Las Reglas Bsicas del conjuntor son dos:

La deIntroduccin del Conjuntor.

De una proposicin tomada como premisa y otra proposicin tambin tomadacomo premisa, podemos concluir que la conjuncin de ambas es necesariamenteverdadera. Esquema:

A

B

|-----------A B I.C. (Introduccin del Conjuntor)

La deEliminacin del Conjuntor.

De una conjuncin tomada como premisa podemos concluir que cualquiera delas dos proposiciones que la componen es verdadera. Esquema:

A B A B|---------

A|---------

B E.C (Eliminacin del conjuntor)


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Ejercicio n 1.

1. p q |-- q r

2. r

3. q E.C. (1)4. q r I.C. (2,3)

Ejercicio n 2.

1. p q r |---- r s

2. s3. r4. rs

b. Reglas del disyuntor.

Regla de Introduccin del disyuntor: de una proposicin cualquiera tomadacomo premisa podemos concluir su disyuncin con cualquier otra.

A

|--------- AA B I.D |--------

BA I.D

Ejercicio n 1.

1. p q |--- (r s) p

2. r3. r s I.D. (2)

4. p E.C. (1)

|-----------------------------------------5. (r s) p I.C. (3,4)

Nota: LaIntroduccin al disyuntor se aplica a ms de una sola lnea.

Regla de Eliminacin del Disyuntor (o Prueba por Casos): de una disyuncin


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tomada como premisa s suponiendo cada una de las proposiciones que la componenllegamos a la misma conclusin, dicha conclusin es necesariamente verdadera.

A BA...C

B..

.C

|---------------C E.D.

Nota: Lo que hay dentro del parntesis son suposiciones, no est demostrado.Puede haber tantas lneas como sean necesarias.

Ejercicio n 1.

1. (p q) (p r) |-------- p

2. p q

3. p E.C (2)

4. p r

5. p E.C (4)

|-----------------------------

6. p E.D.(1, 2-3, 4-5)

Ejercicio n 2.

1. (pq ) (p r) |-------- p r

2. p q

3. p E.C (2)4. p r I.D. (3)

5. p r


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6. p E.C (5)7. p r I.D. (6)

|--------------------------------------8. p r E.D (1, 24, 5 - 7)

c. Reglas del Implicador.

Eliminacin del implicador o Modus Ponens: De una implicacin y suantecedente tomados como premisas, podemos concluir que el consecuente esnecesariamente verdadero

A BA

|-----------B

Ejercicio n 1.

1. p q

2. p |------ s3. q r s

4. q M. P. (1,2)5. q r I.D. (4)

6. s M. P. (3,5)

Introduccin del Implicador (o Teorema de la Deduccin): Si suponiendouna premisa cualquiera llagamos a otra premisa, podemos afirmar que la implicacin,en la que el antecedente es la premisa supuesta y el consecuente la proposicin a la quehemos llegado, es verdadera.

A

B

.

-

C

|---------------

B C I.I. (Introduccin del implicador)

Ejercicio n 1.

1. p q |---- p r


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2. q r

3. p

4. q M.P. (1,3)

5. r M.P. (2,4)

|-----------------------------

6. p r I.I. (35)

Se usa para demostrar implicaciones:

1. Se supone el antecedente.

2. Se sacan lneas hasta llegar al consecuente.

3. Una vez logrado, la implicacin est demostrada.

Ejercicio n 2.

1. p q |---- p s t

2. q r s

3. p

4. q M.P. (1, 3)5. q r I.D. ( 4 )

6. s M.P. (2,5)7. s t I.D. ( 6 )

|--------------------------------------------8. p s t I.I. ( 3 -7)

d. Reglas del negador.

Eliminacin del Negador o Doble Negacin: La doble negacin equivalea una afirmacin, y a la inversa, una afirmacin equivale a una doble negacin.

A

|--------- A

Ejercicio n1.

1. p |---- r2. p q3. (q r)4. p E.N. (1)5. q M.P. (2,4)

6. q r E.N. (3)|-----------------------------------------


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7. r M.P (5,6)

Regla de Introduccin del Negador o procedimiento de reduccin alabsurdo: No es estrictamente una regla sino un procedimiento alternativo a todo lo

que hemos hecho hasta ahora. Hemos utilizado hasta el momento la denominadadeduccin natur al o va directa, que consiste en transformar las premisasmediante reglas hasta alcanzar la conclusin. Sin embargo, el procedimiento dereduccin al absurdo consiste ensuponer lo contrario de lo que queremos demostrar(la conclusin negada), se procede despus deductivamente hasta alcanzar cualquiercontradiccin. Una contradiccin es una formula del tipo A A.

A

B (Siendo B lo contrario de la conclusin)

C C

|----------- B

8. CLCULO CON REGLAS DERIVADAS

Las Reglas Derivadas.

a. Modus Tollens: de una implicacin y la negacin de su consecuente,tomadas como premisas, podemos concluir la negacin del antecedente.

A B

B

|--

--------- A

Ejercicio n 1.

1. p q |------- p

2. q

|------------------------


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3. p M.T. (1,2)

Ejercicio n 2.

1. p q |---- r2. q

3. r p

4. p M.T. (1,2)

|------------------------------

5. r M.T. (3,4)

Ejercicio n 3. Combinacin de Reduccin al absurdo y Modus

Tollens.1. p q |---- r

2. p

3. q r

4. r

5. q M.T. (3,4)

6. p M.T. (1,5)7. p p I.C. (2,6)

|----------------------------------

8. r R.A. (4 -7)

b. Regla de Contraposicin: de una implicacin podemos deducir otraimplicacin, en la que el antecedente y el consecuente se inviertan y ambas se nieguen.

AB|---------------- B A C.P. Contraposicin

c. Silogismo Disyuntivo: de una disyuncin y la negacin de una de lasproposiciones que la componen, podemos concluir que la otra es necesariamenteverdadera.

A B A B A

|---------B S.D.

B|-----------

A S.D.

Ejercicio n 1. Aplicacin de Modus Ponens, Modus Tollens y Silogismo


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disyuntivo.

1. p q

2. q3. p r |------ t

4. s r

5. s t

6. p S.D. (1,2)

7. r M.P. (3,6)

8. s M.T. (4,7)

|----------------------

9. t S.D. (5,8)


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d. Dilemas: de una disyuncin y dos implicaciones tomadas comopremisas, podemos deducir el consecuente de las implicaciones o el antecedente delas implicaciones, o una disyuncin, siguiendo los siguientes esquemas:

A B A B A C C A B C C B

|------------ |--------------- C C

A B A

B A C C A B D D B

|------------ |--------------- C D C D

e. Propiedad Transitiva de la Implicacin o Silogismo Hipottico: de dosimplicaciones tomadas como premisas, si el consecuente de una de ellas es elantecedente de la otra, se puede concluir una nueva implicacin con el antecedente de

la primera y el consecuente de la segunda.

A BB

C|--------------

A C S.H

f. Leyes de Interdefinicin: estas leyes se utilizan para transformarunas conectivas en otras.

Las ms conocidas de estas leyes son las llamadasLeyes de Morgan, que seutilizan para trasformar conjunciones en disyunciones, y a la inversa. Elprocedimiento es el siguiente:

- Se niega la frmula completa, se niega cada una de las proposicionesque forman la conjuncin o la disyuncin, y se cambia la conectiva.


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(A B)

...

AV B D.M.

(AV B)...............

AB D.M.

g. Interdefinicin del Implicador: Una implicacin se puede trasformar en unaconjuncin negando toda la frmula, el antecedente se mantiene con el mismo valor yel consecuente se niega.

A B

|------------------ (A B)

PPPAAARRRTTTEEE 333: LAS FALACIAS

Vamos a ver un tipo de razonamientos que no pueden ser vlidos desde ningnpunto de vista. Para determinar su no validez no es necesario utilizar el clculo lgico bastacon poner un poco de atencin y un poco de prctica.

Es una forma de razonamiento que parece correcta pero que resulta no serlo cuandose analiza cuidadosamente.

Algunos razonamientos son tan claramente incorrectos que no engaan a nadie,pero en lgica se reserva el nombre de falacia para aquel razonamiento que, aunqueincorrecto, es "persuasivo", tiene una apariencia de correccin.

En ocasiones su incorreccin surge por una falta de atencin a la materia, esdecir, el asunto o tema del razonamiento, no siendo dicha falta de atencin fcil deser detectada por aquellos que no dominan el tema. En otras ocasiones viene dadapor errores de razonamiento provocados por la inadvertencia o la ambigedad dellenguaje usado para realizarlo.

Si se hace a sabiendas, con el nimo de engaar, recibe el nombre de sofisma. Elorigen de esta palabra est en la utilizacin del lenguaje que hicieron algunos pensadores(siglo V de a. C.) de los denominados sofistas. Maestros de la retrica y la elocuencia, yposeedores de un saber enciclopdico (dominaban casi todos los terrenos del saber),algunos de los sofistas, se especializaron en ganar pleitos utilizando su gran dominio dellenguaje y el saber. Fue el uso continuo de falacias por parte de algunos de estos

pensadores lo que hizo aparecer el trmino sofisma.

TIPOS DE FALACIAS.

Nos centramos en las denominadas falacias de pertinencia, que tienen como

caracterstica comn a todas ellas el que sus premisas carecen de atenencia lgica con


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respecto a la conclusin que quieren establecer. Sus premisas no son pertinentes, esdecir, no son apropiadas para poder justificar la conclusin.

1.- Argumentum ad populum.

Es un intento de ganar el asentimiento popular para una conclusindespertando pasiones y el entusiasmo del pblico , sin dar razones pertinentes y sinargumentar con pruebas. Es el recurso preferido del publicista y el demagogo.(Tambin el preferido de algunos sofistas)

Por ejemplo: "X, para gente inteligente", La gente que sabe utiliza X, Porqueyo no soy tonto o "Un discurso apologtico sobre la juventud con la intencin de

manipularlos"

2.- Argumentum ad baculum.

A veces si no se consigue adulando se busca el otro extremo: la amenaza.

Significa "al bastn".A. Amenaza velada.

Se comete esta falacia cuando se apela a la fuerza o a la amenaza para provocarla aceptacin de una conclusin. No se debe confundir con una simple amenaza, ha detener la forma de un razonamiento y estar constituido por proposiciones. Por ejemplo, nosera una falacia de este tipo:

"Debes estudiar, ya que si no te pondr un cero"

Sera una falacia de este tipo:

"Es bueno que el alumno estudie, ya que as lo afirma el profesor, que es quienpone la nota".

Su esquema es el siguiente:

B. Consecuencias catastrficas.

Otra forma de plantearla es hacer derivar consecuencias catastrficas,desastrosas o negativas del hecho de no aceptar la conclusin que nosotrosproponemos.

A afirma "p"

A es una persona que tiene algn tipo de poder

__________________________________________________________

Por lo tanto, "p" es verdadero

A afirma "p"

No aceptar p tendra causas terribles y desastrosas

__________________________________________________________

Por lo tanto, "p" es verdadero


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3.- Argumentum ad hominem.

En otras ocasiones no se tienen argumentos y se intenta desautorizar a quien

defiende una postura distinta a la nuestra en vez de dar razones que intenten demostrarnuestras ideas.

Significa "argumento dirigido contra el hombre". En lugar de refutar laverdad de lo que se afirma se ataca a la persona que hace la afirmacin. Hay dostipos:

A. Ofensivo.

Por ejemplo:

"Los ecologistas afirman que los vertidos txicos son peligrosos. Pero losecologistas siempre han sido unos ingenuos. Por lo tanto, es falso que los vertidos sean

peligrosos."Su esquema es:

Circunstancial.

B. Circunstancial.Cuando se refuta la afirmacin de una persona argumentando que su opinin no es

fiable por hallarse la persona en determinadas circunstancias que invalidan su opinin. Escuando se dice de alguien que es juez y parte a la vez.

Por ejemplo:

"Los empresarios de las compaas elctricas afirman que las centrales nuclearesson seguras y no contaminan. Pero claro, stos tienen grandes cantidades de dineroinvertidas en las centrales nucleares. Por lo tanto, su afirmacin es falsa.

Su esquema es:

A afirma "p"

A no es fiable (por diversos motivos)

__________________________________________________________

Por lo tanto, "p" es falso.

A afirma "p"

A no es fiable (por sus circunstancias)

__________________________________________________________

Por lo tanto, "p" es falso.


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4.- Argumentum ad verecundiam.

Muchas veces que nos encontramos sin razones para argumentar recurrimos a loque ha dicho gente que es famosa o prestigiosa, a lo que hemos odo a alguien que paranosotros tiene autoridad.

Cuando el nio pequeo dice "pues mi pap dice..."Significa "apelacin a la autoridad" y se comete cuando se recurre al

sentimiento de respeto (intelectual o de cualquier otro tipo) por alguna persona paraganar el asentimiento a una conclusin.

No todos los razonamientos de este tipo son falaces. A veces en una discusinrecurrir a la opinin de un experto puede apoyar nuestras afirmaciones. Se incurre en unafalacia cuando:

1. La apelacin a la autoridad pretende establecer una validez absoluta delargumento. Es muy usado por todos los movimientos religiosos, dogmticos y

fanticos. Un ejemplo es la infabilidad papal, hay quien afirma que slo laposee en asuntos teolgicos y hay quien la extiende a todo tipo de asuntos.

2. Cuando se apela a la opinin de un especialista que, por muy entendido quesea en otros asuntos, no lo es en el que se est tratando.

Por ejemplo:

Todos los anuncios en los que un famoso recomienda algo:

"Michael Jordan es el mejor jugador de baloncesto del mundo y dice que loscalzoncillos X son muy cmodos. Por lo tanto, stos son muy cmodos".

El esquema es:

5.- Argumentum ad ignorantiam.

Cuando se pretende que porque algo no se sepa o no se haya probado que esverdadero, entonces es falso o viceversa: que es verdadero porque no se ha demostra-do que es falso.

Por ejemplo:

1. Nadie ha podido demostrar que Dios existe, por lo tanto, Dios no existe.

2. Nadie ha podido demostrar que Dios no existe, por lo tanto, Dios existe.

Su esquema es:

A afirma "p"

A es una persona que tiene un cierto prestigio, saber o autoridad.

__________________________________________________________

Por lo tanto, "p" es verdadero.


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"No te arrepientes de haber cometido un crimen tan horrendo?" (Responda lo queresponda da por sentado que el crimen es efectivamente horrendo)

9.- Falacia de la Falsa Causa.

Por una simple coincidencia entre dos fenmenos se establece sin que haya unabase suficiente una conexin causal entre ellos.

Por ejemplo:

"El hecho que haya tocado dos veces seguidas la lotera en Sort es una prueba deque los nmeros de lotera comprados a Sort tienen ms probabilidades de serpremiados"

Su esquema es:

10.- Falacia del Argumento Circular.

Se denomina tambin Peticin de principio (Petitio principii) Es cuando laspremisas presuponen la conclusin que se pretende demostrar . En la demostracinse utiliza la misma conclusin como premisa aunque de manera implcita.

Por ejemplo:

La justificacin del principio de induccin a partir del mismo principio deinduccin: "El principio de induccin funciona porque ha funcionado bien en la mayorade los casos".

"La porcelana se rompe porque es frgil"

"La gasolina arde porque es inflamable

Sucede el hecho "p" y a continuacin ocurre el hecho "q"

__________________________________________________________Por lo tanto, "p" es la causa de "q".


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PPPAAARRRTTTEEE 444::: ACTIVIDADES

ACTIVIDADES INTRODUCTORIAS

1.- Invntate razonamientos expresados en lenguaje natural que respondan a las siguientescombinaciones:

1. Premisas Falsas - Conclusin Falsa.2. Premisas Falsas - Conclusin Verdadera.3. Unas Premisas Falsas y otras Verdaderas - Conclusin Falsa.4. Unas Premisas Falsas y otras Verdaderas - Conclusin Verdadera.5. Premisas Verdaderas - Conclusin Verdadera.6. Premisas Verdaderas - Conclusin Falsa.

2.- Lee las siguientes frmulas e indica cul es la conectiva principal en cada una de ellas:

1. q v r

2. (p q) v r

3. p (q r)

4. p q r

5. (p v r) q

6. p r s

7. p

r v s8. p ( r s)

ACTIVIDADES DE FORMALIZACIN.

1.- No es cierto que no me guste bailar.2.- Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficcin.3.- Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustara acariciarlos.4.- Si y slo si viera un marciano con mis propios ojos, creera que hay vida extraterrestre.

5.- Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un loco.6.- Si los elefantes volaran o supieran resolver races cuadradas, pensara que estoy como unaregadera y dejara que me internaran en psiquitrico.7.- Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir atrabajar.8.- O ests seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.9.- Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo; entonces no realizar mis sueos.He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizar mis sueos.10.- Vinieron, pero llegaron muy tarde.11.- Aunque va mal vestido, da gusto verlo.12.- Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde ir solo.13.- Si ha sido l, o bien es un ingenuo o un delincuente; y si es un delincuente, ir a prisin.14.- Slo aprobar Matemticas si consigo que me presten los ejercicios de integrales.

15.- Tener malos pensamientos equivale a practicarlos.


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16.- O estudias y trabajas o sers un desgraciado.17.- Todo lo que t dices es falso.18.- No es verdad que todo lo que t digas es falso.19.- Es imposible que no sea cierto lo que dices.20.- La riqueza ayuda a ser feliz, pero la cultura todava ms.21.- Si eres licenciado, no es posible que no sepas leer ni escribir.22.- Es imposible que una misma cosa sea y no sea.23.- Un mineral es un metal si y slo si es un buen conductor de la electricidad.24.- Si no crees en Dios pero blasfemas, te ests contradiciendo.25.- No es cierto que slo aplicando la racionalidad tenga sentido la vida.26.- A qu hora vas a venir esta noche? Ojal vengas pronto!27.- Sintate de una vez. No me has odo?28.- Si voy al cine, me divertir y no tendr que ponerme a estudiar. As que voy al cine.29.- O veo Antena 3 o Telecinco, pero es imposible que vea ambas a la vez.30.- El libro est sobre la mesa, pero no he tenido tiempo para leerlo y resumirlo.31.- Si no como ni duermo, me pondr enfermo.32.- Si leo la prensa, estar informado de los asuntos econmicos, y si esto es as, invertir enbolsa con xito. Por lo tanto, si leo la prensa me asegurar el xito en la bolsa.33.- Que no es cierto que llueve y hace sol equivale a decir que no llueve o no hace sol.

34.- Irak dice que si los aviones norteamericanos sobrevuelan su territorio, los derribar. Si estoltimo ocurre, la ONU endurecer sus sanciones econmicas contra Irak. Por lo tanto, si losaviones norteamericanos sobrevuelan Irak, se llevarn a cabo las sanciones de la ONU.

35.- O la Televisin modifica sus esquemas y renueva su programacin o se producir una huidamasiva de telespectadores y veremos las calles inundadas de gente.

36.- Si se ganan las elecciones y nuestros representantes acceden al poder, confiaremos en ellossi y slo si cumplen sus promesas y el poder no les corrompe.

37.- Aristteles naci en Estagira y fue tutor de Alejandro Magno. Pero si naci en Estagira fuede nacionalidad macednica. Por tanto Aristteles fue de nacionalidad macednica.

38.- Si contina la investigacin, surgirn nuevas evidencias. Si surgen nuevas evidencias,entonces varios dirigentes se vern implicados. Si varios dirigentes estn implicados, losperidicos dejarn de hablar del caso. Si la continuacin de la investigacin implica que losperidicos dejen de hablar del caso, entonces, el surgimiento de nuevas evidencias implica quela investigacin contina. La investigacin no contina. Por tanto, no surgirn nuevasevidencias.

39.- O los libros de la Biblioteca de Alejandra contienen las enseanzas del Corn o no las

contienen. Si contienen las enseanzas del Corn son superfluos, y si son superfluos debenser quemados. Si no contienen las enseanzas del Corn son nocivos, y si son nocivos debenser quemados. Por consiguiente, los libros de la Biblioteca de Alejandra deben ser quemados.

40.- Si el Rh de la futura madre es negativo, debe analizarse inmediatamente despus de cadaparto la sangre del recin nacido y, si sta es Rh positivo, ha de administrarse a la parturientael suero apropiado si se desean evitar complicaciones a otros hijos.

41.- Si el nmero n es positivo, entonces n2 es positivo. Si n es negativo, entonces n2 espositivo. Nes positivo o negativo. En consecuencia, n2es positivo.


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ACTIVIDADES CON TABLAS DE VERDAD.

A) Construye las tablas de verdad d e las siguientes frmulas, indicando si se trata de

una tautolo ga, indetermi nacin o con tradiccin.1. p p

2. q v p

3. (p ^ q) v p

4. (p ^ q) (p v q)

5. [ p (q r) ^ (p v r)]

6. (p v q) p

7. [ p (q v r)] [ (p ^ q) v (p ^ r)]

8. [ (pq) ^ (qr)] (p r)

9. [ (p ^ q) v (rp)] (p ^ r)

10. [p (q v r)] [p (q v r)]

11. [ (p q) ^ r] v (p r)

B) Formal iza los argumentos s igu ien tes y const ruye sus tab las de verdadcorrespondientes:

1. Si trabajo, gano dinero, y si estoy ocioso, me divierto. O bien trabajo o bien estoyocioso. Luego, o gano dinero o me divierto.

2. Si trabajo, no me divierto, y si estoy ocioso, no gano dinero. O bien trabajo o bienestoy ocioso. Luego, o no gano dinero o no me divierto.

3. Si alguien es sabio, es una persona inteligente. Si una persona es inteligente,entonces calla sobre aquello que no sabe. Por tanto, si alguien es sabio, calla sobre lo que nosabe.

4. Si hace fro, el lago se helar. El lago se hel. Por tanto, hizo fro.


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5. Si los jvenes de izquierdas apoyan a Zapatero, renuncian a su programa dereivindicaciones. Y si combaten a Zapatero, entonces favorecen a la oposicin del PartidoPopular. Pero, una de dos: o apoyan a Zapatero o lo combaten. Por consiguiente, habrn derenunciar a su programa de reivindicaciones o favorecer a la oposicin del Partido Popular.

6. O el animal no es un pjaro o tiene alas. Si el animal es un pjaro, entonces ponehuevos. El animal no tiene alas. Por tanto, no pone huevos.

7. O ahorro el sueldo cada mes o me lo gasto para vivir. Si ahorro, no puedo vivir. Perosi quiero vivir no puedo ahorrar. Por tanto, no es posible vivir y ahorrar.

8. Para que te nombren jefe de tu partido poltico has de mostrarte sumiso einteresado. Normalmente eres bastante sumiso. Por tanto, con tal de que te muestresinteresado, conseguirs ser jefe del partido.

ACTIVIDADES DE CLCULO DEDUCTIVO.

A) -1. p q

-2. q v r r

-3. p

B) -1. p ^ q-2. r q s v p

-3. rs

C) -1. pq

-2. qr r

-3. p

D) -1. pq

-2. r v s p

-3. sq

-4. r

E) -1. p q

-2. q v r r

-3. ps

-4. s


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) -1. q t

-2. q p p r

-3. r t

O) -1. p v p

-2. (pq) ^ (qr) r

-3. (ps) ^ (sr)

P) -1. (p q) r q r

-2. p

Q) -1. p v p-2. (pq) ^ (qr) r

-3. (ps) ^ (sr)

R) Realiza por reduccin al absurdo las actividades A-G.

FORMALIZA LOS SIGUIENTES RAZONAMIENTOS Y DEMUSTRALOS EN ELCLCULO:

1) O la Tierra gira alrededor del Sol o el Sol alrededor de la Tierra. Si la Tierra giraalrededor del Sol, deberamos apreciar una variacin en el brillo de las estrellas a lo largo de losaos o en su posicin con respecto a un observador terrestre. No se aprecia variacin en el brillode las estrellas a lo largo del ao, ni se aprecia una variacin en su posicin con respecto a unobservador terrestre.Luego, el Sol gira alrededor de la Tierra.

2) Si hay una situacin de crisis econmica, el ndice de natalidad disminuye. Si avanza lamedicina, las expectativas de vida sern mayores. Si el ndice de natalidad disminuye y lasexpectativas de vida se hacen mayores, entonces la sociedad ir envejeciendo rpidamente.La crisis econmica es un hecho y los avances en la medicina son constantes. Luego, lasociedad envejecer con rapidez.

3) O no hay partculas de materia con una masa mayor que cero o el libro est equivocado. Siel libro est equivocado, entonces Luis tiene razn y deberamos olvidarnos del tema. Luego,si hay partculas de materia con una masa mayor que cero, entonces deberamos olvidarnos deltema.

4) No es cierto que ni vaya al ftbol ni vaya al cine. Pero si voy al cine, siempre vuelvopronto a casa. Sin embargo, hoy no he vuelto pronto a casa. Luego, si no he ido al cine,entonces he ido al ftbol.

5) La ballena es un mamfero y no necesita branquias. Si no necesita branquias, debe respirar

por la boca.Luego, no es cierto que la ballena sea mamfero y no respire por la boca.


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6) Si llueve y salgo a la calle y no llevo paraguas, me mojo. Sin embargo, he salido a la calle,no llevo paraguas, pero no me mojo.Luego, no llueve.

7) Si descubro las ruinas de la Atlntida, ser un arquelogo famoso. Si encuentro las minasdel rey Salomn, me har rico. O bien encuentro las minas del rey Salomn o bien encuentrolas ruinas de la Atlntida.Luego, me har rico o ser un arquelogo famoso.

8) Slo si llueve mucho, entonces o bien la cosecha ser grande o bien los pantanos sellenarn de agua. Pero si llueve mucho, habr demasiados mosquitos. Resulta que la cosechaes grande. Luego, habr mosquitos a montones.

9) Si se es joven, no hay que vacilar en filosofar. Si se es viejo, no hay que cansarse defilosofar. Luego, si eres joven o si eres viejo, o bien no debes vacilar en filosofar o bien nodebes cansarte de ello.

10) Slo si se provoca a los tiburones mediante amenazas o detectan sangre, atacarn. Luego,si no se quiere ser atacado por los tiburones, hay que considerar vital evitar que detectensangre o evitar amenazarles provocativamente

ACTIVIDADES SOBRE FALACIAS

1) Roberto ha dicho que maana hay clase, pero seguro que no la hay, porque Robertoes un despistado.

2) Doctor, usted no me puede prohibir el tabaco por mi problema respiratorio, porque yos que usted tiene el mismo problema que yo y, sin embargo, fuma.

3) Nadie ha demostrado que no existan los extraterrestres, por tanto, existen.

4) Cmo insistes tanto en que no deje los estudios, si t los dejaste y te pusiste atrabajar a los 16 aos?

5) Cmo vas a ser pacifista si eres militar?

6) Por qu Cervantes escribi novelas? Porque era escritor.

7) En ese melanclico libro titulado El futuro de una ilusin, el doctor Freud, que esuno de los ltimos grandes tericos de la clase capitalista europea, ha formulado con simpleclaridad la importancia de la creencia religiosa para el hombre culto de hoy (John Strachey, Lafutura lucha por el poder).

8) Clinton fue un mal presidente porque le fue infiel a su esposa.

9) Pero puede usted dudar de que el aire tenga peso, cuando tiene el claro testimoniode Aristteles, quien afirma que todos los elementos tienen peso, inclusive el aire, y con la solaexcepcin del fuego? (Galileo Galilei, Dilogos concernientes a dos nuevas ciencias).

10) Por supuesto que existe Pap Noel, pero no les lleva regalos a los nios que nocreen en l.

11) Sr. Profesor, la calificacin que usted me ha dado no es adecuada. Piense quetrabajo todo el da en una oficina siempre repleta de pblico y luego en casa con mis doce

hermanos. Tengo ciertamente, muy poco tiempo para preparar el material que usted da.


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12) La llamada conjetura de Coldbach, que dice que todo nmero par es la suma dedos nmeros primos, no ha sido an demostrada. Esa conjetura no es, por tanto, una conjeturacientfica.

13) La construccin de la presa hidrulica requiere mucha mano de obra, Sr. Alcalde.Estar de acuerdo conmigo en que es un proyecto til y necesario. Acaso los cuatro mil

parados de este valle no tienen depositadas sus esperanzas en la persona a quien votan?14) Slo dir que me parece extrao que seas t el que d esos argumentos en contra

del plan propuesto. Hace unos aos eras t quien lo defenda con una tenacidad que no dejabade asombrarnos.

15) Hoy tendr un buen da en los negocios porque mi horscopo as lo dice.16) Has de saber esta leccin para maana, porque si no cuntas veces la vas a

copiar?17) El plan de no aparcamiento en el centro de la ciudad nos perjudica a todos. Porque

usted, Sr. Cliente, tendr que desplazarse cargado con sus compras hasta el aparcamientoms cercano si es que en l logr encontrar un lugar y porque usted, Sr. Comerciante, vercmo sus clientes deben proveerse en las pequeas y deficientes tiendas de los alrededoresde la ciudad, y le ser imposible atenderlos con las viejas comodidades de antes, todo ello en

detrimento de la sana actividad comercial.18) Los buenos mdicos curan a sus pacientes porque los pacientes son curados por

los buenos mdicos

19) Los ecologistas afirman que el vertido nuclear en el mar es una accin de elevadoriesgo para la humanidad, sin embargo, no hay que estar tan preocupado por ello, ya que losecologistas tienen ideas demasiado pesimistas sobre el futuro.

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