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SISTEMAS LINEALES

Tema 4. Anlisis de Fourier para Seales y Sistemas de Tiempo Continuo (Sesin

2)

F. JAVIER [email protected]

18 de noviembre de 2010

ITT Sistemas TelecomunicacinSISTEMAS LINEALES.

TEMA 4

Contenidos.

Relacin con la transformada de Laplace. Desarrollo en Serie de Fourier para seales peridicas. Representacin de seales sinusoidales en frecuencia.

Ecuacin de sntesis. Ecuacin de anlisis. Condiciones de Dirichlet y propiedades del DSF. Ejemplos de DSF.

Transformada de Fourier para seales en tiempo continuo. Ecuaciones de anlisis y sntesis. Relacin con el DSF. Propiedades. Relacin de Parseval.

Respuesta en frecuencia de los sistemas.


DEL DSF A LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Supongamos una seal no peridica, como la mostrada en la figura:

t

A

x(t)

Consideremos ahora que x(t) es parte de una seal peridica:

t

A

x(t)

x(t) = limT0

x(t)

T0 2T0


DEL DSF A LA TRANSFORMADA DE FOURIER

La seal peridica anterior puede expandirse mediante su DSF:

x(t) =P

k=ake

jk0t

Donde los ak se pueden calcular mediante:

ak =1T0

R T02

T02

x(t)ejkotdt = 1T0R T0

2

T02

x(t)ejkotdt = 1T0R x(t)e

jkotdt

Definiendo akT0 como:

X() =R x(t)e

jt

Por tanto, podemos poner la expresin:

ak =1T0X()|=k0 = 1T0X(k0)

x(t) =P

k=ake

jk0t =P

k=1T0X(k0)ejk0t = 12

Pk=

X(k0)ejk0t0


LA TRANSFORMADA DE FOURIERx(t) = lim

T0x(t)

Si T0 Entonces 0 0

x(t) = 12

Pk=

X(k0)ejk0t0

x(t) = 12RX()e

jtd

X() =R x(t)e

jtdt

Transformada inversa de Fourier o ecuacin de sntesis

Transformada de Fourier o ecuacin de anlisis.

Tambin se denomina que es el espectro de x(t)X()

Por tanto, para seales no peridicas, encontramos la transformada de Fourier como una seal continua en la frecuencia o


LA TRANSFORMADA DE FOURIEREjemplo: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente seal.

t

A

2

2

x(t) X() =R x(t)e

jtdt =

Podemos observar cmo para la seal

t

A

2

2 T0

Los ak coinciden con

ak =1T0X(k0)

2A sen

2= A sen(

2 )

2

X() = Asinc2


LA TRANSFORMADA DE FOURIEREjemplo: Determinar la trasnformada de Fourier de

t

x(t) X() =R x(t)e

jtdt =

Ejemplo: Obtener la transformada inversa de la seal

(t)

R (t)e

j0dt = 1

X() = 1

( 0)x(t) = 12

RX()e

jtd = 12R (w w0)ejw0td =

12 e

jotR ( 0)d = 12 ejot


TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICASEjemplo: Determinar la trasnformada inversa de Fourier de la seal:

X()

00

X() = 2 [( + 0) + () + ( 0)]

x(t) = 12R 2 [( + 0) + () + ( 0)] ejtdt = ej0t+e0+ ej0t

x(t) =k=1Pk=1

ejk0t

A partir de este resultado, la transformada inversa de

ser: x(t) =P

k=ake

jk0t

X() = 2P

k=ak( k0)


TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICAS

Del resultado anterior se deduce que la transformada de Fourier de una seal peridica es un tren de deltas ponderadas por los coeficientes del DSF (y un trmino de 2) y situadas en los mltiplos del primer armnico

t

A

2

2 T0

x(t) X()

02030 0 20 30

2a0 2a1 2a2 2a32a12a22a3

X()

0

20

30 0 20 30

X() = 2P

k=ak( k0)


TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICAS

Seales Peridicas DSFak =

1T0

RT0x(t)ejkotdt

x(t) =P

k=ake

jk0t

X() = 2P

k=ak( 0)

Seales Aperidicas. X() =R x(t)e

jtdt

x(t) = 12RX()e

jtd


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Dado que la T. de Fourier se puede considerar una particularizacin de la T. de Laplace para s=j muchas de las propiedades demostradas en el anterior tema se vuelven a cumplir:

1) Linealidad: x1(t) X1()

x2(t) X2()

x3(t) = X3() =x1(t) + x2(t)

X1() + X2()

Ejemplo: Calcular la transformada de la seal

t

x(t)

12

12

2

11

X() =



2) Desplazamiento en el tiempo. x1(t) X1()x1(t t0) X1()ejt0

Ejemplo: Calcular y representar la transformada de la siguiente seal

t

x(t)

2

1X() = 2sinc( )e

j

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15|X()| X()



3) Desplazamiento en la frecuencia.x1(t) X1()x1(t)e

j0t X1( 0)

4) Escalado en tiempo y en frecuenciax1(t) X1()x1(at) 1|a|X1(a )

Ejemplo: Comprobar las tranformadas de las siguientes seales.

t

Ax(t)

t

Ax(t)

-15 -10 -5 0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X() =

X() =

11

22

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


5) Simetra conjugada:x1(t) X1()

Esta propiedad tiene conclusiones importantes:

x1(t) X1 ()

Si x(t) es real, x(t) = x(t) X() = X()|X(w)| = |X()|X() = X()

Para seales reales en el tiempo el mdulo del espectro tiene simetra par y la fase tiene simetra impar.

Si x(t) es real y par X() es real con simetra par.

Si x(t) es real e impar X() es imaginaria pura e impar.




6) Convolucin en el tiempo:

Ejemplo: Calcular la transformada de la siguiente seal.

t

x(t)

$

2

$

A

Sabemos que la seal anterior se puede expresar como la convolucin de

$

2

$

xs(t)

t2

2

B

xs(t)

t2

2

BA = B2

x(t) = xs(t) xs(t)

X() = Xs()Xs() = B22sinc2(2 ) = Asinc2(2 )

x1(t) x2(t) X1()X2()



7) Multiplicacin en el tiempo:

Ejemplo: De una seal x(t) conocemos su espectro. Obtener la representacin del espectro a la salida del siguiente sistema

t

x1(t)x2(t) 12X1() X2()

X()

10

2

10

x(t) x2(t) y(t)

p1(t) = cos(15t)p2(t) = cos(5t)

x2(t) = x(t)p1(t) X2() = 12X() P1()



t

X()

10

2

10

Calculamos la transformada de Fourier de la seal x(t) = cos(w1t)

Como es una seal peridica: X() = 2P

k=ak( 0)

Siendo los ak (Tablas) a1 = 12 (resto de ak son cero)

P1() = [( 15) + ( + 15)]X2() = 12X() P1() = 12X() [( 15) + ( + 15)] =

X2() = 12X( 15) + 12X( + 15)

t1515

P1()

t15 15

1 1

X2()


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIERRecordamos el sistema:

t

t15 15

1 1

X2()

x2(t) y(t)

p2(t) = cos(5t)

P2()

55

t

Y ()

201020 10

12


PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER8) Dualidad

x(t) X()X(t) 2x()

t

A

Grficamente con un ejemplo:

x1(t) F

B

B

t

x2(t)

Ft

AX2()

X1()



Ejemplos: Calcular la T. de Fourier de las siguientes seales

2( ) sinc2tx t

= 1 2 2( ) sinc sinct tx t

= +

( )21( ) sinc cos 32tx t t

=

Calcule la T. Inversa de la seal que tiene el siguiente espectro:

2 4-2-4

2

4( )X

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