Tema3 Enlaces y equilibrio redux -...

TEMA 3: ENLACES Y EQUILIBRIO

ANTONIO DELGADO TRUJILLOENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓPURIFICACIÓN ALARCÓN RAMÍREZ

Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.

ESTRUCTURAS I

ÍNDICE

[1] Las soluciones de enlace

[2] Coacción y reacción

[3] Tipos de enlaces exteriores

[3.1] El apoyo

[3.2] La articulación

[3.3] El empotramiento

[4] Tipos de enlaces interiores

[4.1] La unión articulada

[4.2] La unión rígida

[5] Cómo sostener una estructura

[5.1]Estructuras planas

[5.2]Número de coacciones

[5.3] Estructura isostática

[5.4] Estructura hiperestática

[5.5] Mecanismo

[5.6] Disposiciones de los enlaces

1

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

PRIMERA PARTE: LOS ENLACES

[6] Equilibrio estático

[7] Vectores fuerza y resultantes

[8] Equilibrio estático y ecuaciones de equilibrio

[9] Cómo calcular las reacciones en una estructura isostática.

[9.1]Cómo calcular las reacciones

[9.2]Carga puntual, uniforme y triangular

[9.3]Cálculo de reacciones en una ménsula

[9.4] Cálculo de reacciones en una viga biapoyada

[9.5]Cálculo de reacciones en un pórtico isostático

[9.6] Cálculo de reacciones en cables o bielas

SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

• Determinar qué reacciones y coacciones implica cada una de las soluciones de enlace.

• Calcular las reacciones en una estructura isostática con las ecuaciones de equilibrio.

2

PRIMERA PARTE: LOS ENLACES3

1_LAS SOLUCIONES DE ENLACE

Los enlaces se pueden definir como:

Las soluciones de unión de los elementos estructurales entre sí (enlaces interiores) o entre los elementos y el medio externo que los recibe (enlaces exteriores).

Las funciones de los enlaces son:

• Asegurar el equilibrio de la estructura.• Transmitir las cargas de unas barras a otras (enlaces interiores) y al suelo (enlaces exteriores).

Enlace interior

Enlace exterior

Terreno

4

2_COACCIÓN Y REACCIÓN

Los enlaces tienen una doble característica:

• En el campo de los , el enlace implica un desplazamiento o un giro impedido.

• En el campo de las , el enlace implica una fuerza o un momento, que es necesario realizar para impedir el desplazamiento o el giro.

COACCIÓN: es el desplazamiento o giro impedido en el enlace.

REACCIÓN: es la fuerza o momento necesario para impedirlo.

El enlace, por tanto, lleva siempre consigo una COACCIÓN y una REACCIÓN (o varias).

Dado un enlace, su coacción existe siempre, en cambio su reacción, en algunos casos, no se produce (si no hay ninguna acción que intente el movimiento o giro en ese punto).

movimientos

fuerzas

5

P P

ᶿ

Desplazamiento vertical

Deformada

Dirección original de la barra

Tangente Deformada

DEFINICIÓN DE GIRO, DESPLAZAMIENTO Y DEFORMADA.

DESPLAZAMIENTO: movimiento de traslación de un punto de la barra al deformarse (a menudo se descompone en componentes).

GIRO: Ángulo que forma la tangente en un punto de la deformada de la barra con la dirección original de la barra.

DEFORMADA: posición de la barra después de la deformación que alcanza al aplicarle las cargas.

2_COACCIÓN Y REACCIÓN6

Giro

3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES

Los distintos tipos de enlace se caracterizan por el nivel de que ejercen contra el movimiento de la barra o barras que llegan a él.

Se definen tres tipos básicos de enlaces exteriores:

1. Apoyos

2. Articulaciones

3. Empotramientos

coacción

7

[3.1] EL APOYO

Tipos de representación:

3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES8

COACCIONES DEL APOYO:

El apoyo :

• El desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de apoyo.

impide

Permite:

• El desplazamiento en la dirección de su plano de apoyo.

• El giro.


Eje de movimiento impedido

Reacción

REACCIONES DEL APOYO:

La reacción del terreno en un apoyo es una sola fuerza en la dirección al plano de apoyo (necesaria para impedir el desplazamiento en esa dirección).

perpendicular

VA VB

A B


ΔtΔL

USO DEL APOYO:

Normalmente el uso del apoyo está relacionado con la necesidad de permitir el movimiento de la estructura debido a las acciones térmicas.

horizontal


Viaducto AVE Madrid-Segovia

La enorme longitud del pórtico hace recomendable permitir los desplazamientos horizontales para evitar esfuerzos muy importantes de origen térmico (flexión en los pilares).


Edificio Tygesa (Sevilla)

Los apoyos de neopreno permiten el desplazamiento horizontal de las cerchas al dilatarse por efecto de la temperatura. En caso de estar coaccionado este movimiento podría producirse el pandeo de estas fuera de su plano (las cerchas son muy poco rígidas a flexión en su plano perpendicular).



[3.2] LA ARTICULACIÓN


3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES

Giro≠0

COACCIONES DE LA ARTICULACIÓN

La articulación

• El desplazamiento en todas direcciones.

impide:

Permite:

• El giro.


H

V

R

ß

REACCIONES DE LA ARTICULACIÓN.

Las reacciones del terreno son:

• Dos perpendiculares.fuerzas

• O una fuerza, de las dos anteriores. resultante


Nota: Según nos convenga podemos trabajar con las dos componentes, o con su resultante.

En ambos casos tenemos dos incógnitas:

1. H y V

2. R y ß

--

+

-

-

M

USO DE LA ARTICULACIÓN.

Su uso está relacionado con:

• La facilidad de construcción (en acero es fácil construir articulaciones, y en hormigón empotramientos).

• La conveniencia de hacer la estructura .

• NO transmitir momentos al o al muro donde apoya la estructura.

isostática

terreno

D i a g r a m a d e momento flector de un pórtico articulado: el flector es cero en las articulaciones.


[3.3] EL EMPOTRAMIENTO.



Giro=0Giro=0

COACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO

El empotramiento :

• El desplazamiento en todas direcciones.

impide

• El giro.


Movimientos impedidos

REACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO

Las reacciones del terreno son:

• Dos perpendiculares.

• Un .

fuerzas

momento


USO DEL EMPOTRAMIENTO

Su uso está relacionado con:

• La facilidad constructiva.

• La conveniencia de hacer la estructura hiperestática.

• La necesidad de estabilizar la estructura frente a acciones horizontales.

Esta estructura es inestable (mecanismo).Si hay cargas horizontales, gira y cae al suelo.

Esta estructura es estable.


4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES

Los enlaces interiores son la unión entre dos o más elementos estructurales entre sí. Los elementos más comunes a unir son barras y, más concretamente, la viga y el pilar.

Se definen dos tipos básicos de enlaces interiores:

1. Unión articulada.

2. Unión rígida.

22

Nudo articulado

[4.1] LA UNIÓN ARTICULADA

También llamada o rótula rótula interna.

Tipos de representación.

4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES23

En este nudo,la viga gira...

...y el pilar, no gira.

El nudo se desplaza.

La viga no gira

El pilar gira

COACCIONES DEL NUDO ARTICULADO

• el desplazamiento relativo entre las dos barras que une.

• el giro relativo entre las dos barras que une.

Impide

Permite

FUERZAS DEL NUDO ARTICULADO

•direcciones perpendiculares, en el caso más general), pero .

• El flector es cero siempre en la rótula.

La unión articulada transmite fuerzas (en dos

no transmite momentos


[4.2] LA UNIÓN RÍGIDA

Tipos de representación

También llamada unión empotrada


En este nudo, la viga gira...

...y el pilar está obligado a girar lo mismo.

Después de deformarse, el ángulo entre las barras sigue siendo 90º.

El nudo se desplaza.

Viga y pilar giran igual.

COACCIONES DEL NUDO RÍGIDO

• El nudo rígido el desplazamiento relativo entre las dos barras que une

• el giro relativo entre las dos barras que une. Eso significa que:

• Las dos barras giran lo mismo, o que

• El ángulo que forman las barras en el nudo se conserva.

• el desplazamiento del nudo.

impide

Impide

Permite

FUERZAS DEL NUDO RÍGIDO

• La unión rígida transmite (en dos direcciones perpendiculares) y un .

fuerzasmomento


Estructura plana Estructura espacial

5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA

[5.1] ESTRUCTURAS PLANAS

• En todo lo que sigue a continuación nos referiremos a estructuras .

• Una estructura es plana si, tanto la estructura como las cargas, están contenidas en un plano.

• En estructuras planas el número de ecuaciones de equilibrio es (suma de fuerzas horizontales, de fuerzas verticales y de momentos respecto a un punto = 0).

planas

3

27

BA B

A

[5.2] NÚMERO DE COACCIONES

• El número mínimo de coacciones que deben tener los enlaces de una estructura para que se sostenga es c = 3 (c = nº coacciones).

La viga biapoyada tiene dos coacciones en la articulación A y una en el apoyo B:

• Desplazamiento horizontal de A impedido

• Desplazamiento vertical de A impedido

• Desplazamiento vertical de B impedido

La ménsula tiene tres coacciones en el empotramiento A:

• Desplazamiento horizontal impedido

• Desplazamiento vertical impedido

• Giro impedido

Nota: la viga biapoyada suele denominarse así, pero en realidad es apoyada-articulada.

Ambas estructuras se sostienen perfectamente. En ambas, c = 3.

5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA28

A B

¿POR QUÉ C=3?

• Los 3 grados de libertad de un sólido son el desplazamiento vertical, el desplazamiento horizontal y el giro.

• La estructura es un sólido, el cual coaccionamos para que NO esté en . Necesitamos coartar:

1. El desplazamiento en dirección horizontal

2. El desplazamiento en dirección vertical

3. El giro

• Las tres coacciones que llevan a cabo los enlaces son estrictamente . En el caso de la viga biapoyada, si prescindiéramos del apoyo B, la barra no se desplazaría, pero sí giraría respecto a A.

movimiento

necesarias


BA

MA

RAX

RAY

P

RAX

RAY RB

[5.3] ESTRUCTURA ISOSTÁTICA

• Si una estructura tiene el número estrictamente necesario de coacciones para estar en equilibrio, se dice que es .

• El número estrictamente necesario es

• Ejemplos:

isostática

c = 3

• Las estructuras isostáticas tienen por tanto 3 reacciones.

• En ellas, las reacciones pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio.


MA

RAX

RAY RBY

RAX

RAY

RAX

RBX

RBY

[5.4] ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA

• Si la estructura tiene un exceso de coacciones con respecto a las estrictamente necesarias para estar en equilibrio estable, se dice que es .

• El hiperestático es el número de coacciones en exceso.

H = C -3

H = grado hiperestáticoC = nº de coacciones

hiperestática

grado

• Las estructuras hiperestáticas tienen más de 3 coacciones.

• En ellas, las reacciones NO pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio.

• Ejemplo: las estructuras de la figuras tienen 4 coacciones - son hiperestáticas de grado 1.


P

P

RAX

RAY

A B RBA B

[5.5] MECANISMO

• Los mecanismos estático, por tanto, al aplicarles la carga se ponen en movimiento sin deformarse.

• En un mecanismo, las reacciones son incapaces de a la carga externa. El equilibrio no se alcanza.

• Para que una estructura sea estable (no sea un mecanismo) son necesarias dos condiciones:

• El número de coacciones debe ser igual o mayor de 3.

• Las coacciones deben estar deben estar dispuestas de forma para impedir la traslación y el giro.

no están en equilibrio

equilibrar

adecuada

Mecanismo: C=2 Mecanismo:C = 3, pero las coacciones no impiden el desplazamiento.


Para saber si una estructura es un mecanismo basta con aplicarle las ecuaciones de . En un mecanismo, las reacciones son incapaces de alcanzar el equilibrio con la carga.

equilibrio

Mecanismo:En B sólo puede haber reacción

horizontal. Si calculamos momentos respecto a A, la suma no es cero.

Mecanismo:La carga es horizontal. En los apoyos, las reacciones sólo pueden ser verticales. Las

fuerzas horizontales no suman cero.

P

RAX

RAY

B RBA


[5.5] DISPOSICIONES DE LOS ENLACES QUE DEBEN EVITARSE

En general, todas las disposiciones de los vínculos son válidas EXCEPTO aquellas en las que las líneas de acción de las reacciones sean o paralelas concurrentes.

Mecanismo: la barra gira libremente respecto a A

Mecanismo: la barra se desplaza libremente

Líneas de acción de las reacciones: son concurrentes en A

Líneas de acción de las reacciones: son paralelas

P

BA

P

BA


SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO35

6_EQUILIBRIO ESTÁTICO

• Las son artilugios para conducir las fuerzas desde los puntos del edificio donde actúan hasta el terreno donde son finalmente resistidas.

• En su interior hay sistemas de fuerzas que están en un estado de .

estructuras

equilibrio estático

En la estructura de la figura (puente del V Centenario), la fuerza (peso del camión) se transmite a través de la viga del puente a los pilares, y a lo largo de estos hasta el terreno.

36

7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES

• Una fuerza es un , y por lo tanto, para definirla es preciso especificar su magnitud, dirección y sentido.

• Se representa gráficamente por una flecha cuya longitud es proporcional a la magnitud de la fuerza.

vector

F

ᶿ

37

• Cuando dos o más fuerzas no paralelas actúan juntas, su efecto combinado es equivalente al de una sola fuerza que es la del sistema de fuerzas original.

• La magnitud y dirección de la resultante se puede obtener mediante suma de vectores en un “triángulo de fuerzas” o un “polígono de fuerzas”.

resultante

gráficamente

• La resultante es el vector necesario para cerrar el triángulo o el polígono de fuerzas.

Resultante de dos fuerzas:

Resultante de tres fuerzas:

a) b) c)

a) b) c)

7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES38

F1

F2

F1

F2

R

F1

F2F3

F1

F2

F3

R

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN COMPONENTES

• Una fuerza puede ser dividida en partes invirtiendo el proceso anterior, y considerando a la fuerza original como la resultante de dos o más .

• Esta técnica se conoce como de una fuerza en sus componentes y es muy útil para simplificar los sistemas de fuerzas en dos conjuntos de fuerzas actuando en direcciones perpendiculares, lo cual permite realizar la suma de fuerzas algebráicamente en lugar de gráficamente.

componentes

descomposición

a) b)

h

v

ᶿᶿ

h= F.cos v= F.sen

ᶿᶿ

Descomposición de la fuerza F en sus dos componentes perpendiculares: horizontal y vertical.


F F

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

• Las fuerzas ejercen un efecto de giro respecto a un punto que no está en su línea de acción, llamado .

• La magnitud de este efecto es igual al producto de la magnitud de la fuerza por la distancia entre el punto y la línea de acción de la fuerza, y se conoce como .

momento

Momento

A

d

M

El momento de la fuerza F respecto al punto A es M = F·d

F


A

8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Toda estructura debe tener una que sea capaz de producir el número suficiente de reacciones para equilibrar las cargas.

• La naturaleza de las que se producen depende de las características del sistema de cargas y del tipo de enlaces que se disponen.

• Las reacciones cambian cuando cambian las cargas exteriores.

cimentación

reacciones

41

• Las fuerzas no deben ejercer un efecto de vuelco sobre la estructura.

Se cumple si la suma de momentos de las fuerzas respecto a un punto cualquiera es cero.

Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio, debe satisfacer dos condiciones:

• No puede haber una fuerza resultante neta en ninguna dirección.

Se cumple si las componentes de las fuerzas en dos direcciones perpendiculares cualesquiera suman cero.

En dirección vertical, las fuerzas suman cero.

En dirección horizontal, no hay fuerzas (por tanto, también suman cero).

En dirección vertical y horizontal las fuerzas suman cero.

Además, la suma de momentos respecto a A, es también cero(Hay un momento antihorario de 80 m·kN que se compensa con el momento de 20·4 que hace la carga vertical de 20 kN).

2m 4m

10kN

6kN4kN

BA

20kN

10kN4m80m.kN

10kN

20kN

8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO42

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

• Es normal que para comprobar el equilibrio de un sistema de fuerzas algebraicamente, se descompongan estas en dos direcciones perpendiculares (normalmente horizontal y vertical).

• Las tres ecuaciones que deben cumplirse son:

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

∑ M = 0

• Y se llaman .

• Las tres ecuaciones de equilibrio son las relaciones fundamentales en las que se basan todos los métodos de análisis estructural.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO

8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO43

[9.1] CÓMO CALCULAR LAS REACCIONES

ECUACIONES DE EQUILIBRIO:

Para calcular las reacciones en una estructura isostática, basta con dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la estructura (acciones + reacciones), y aplicar las ecuaciones de equilibrio para calcular las reacciones (que son las incógnitas).

- 3 incógnitas: R1, R2 y R3

- 3 ecuaciones:

∑ FH = 0

∑ FV = 0

∑ M = 0

Al conjunto de fuerzas (acciones + reacciones) que actúan sobre un cuerpo, se le llama SOLICITACIONES.

9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA45

Estructura Fuerzas (acciones + reacciones)

10kN

5kN

20kN

10kN

R3

R1 R2

10kN

5kN

20kN

10kN

[9.2] CARGA PUNTUAL, UNIFORME Y TRIANGULAR.

Son los tres tipos de cargas que podemos encontrar en edificación.

La carga uniforme (y la triangular) pueden sustituirse por su resultante para calcular las reacciones (pero no para calcular los esfuerzos internos).

P (kN) q (kN/m)

q (kN/m)


[9.3] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA MÉNSULA.

• El único enlace en las ménsulas es un empotramiento, con una reacción horizontal, una vertical y un momento.

• Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales.

• Para calcular la reacción vertical, aplica el equilibrio de fuerzas verticales.

• Para calcular el momento en el empotramiento, aplica el equilibrio de momentos respecto al punto de empotramiento.

∑ FH = 0 RAX = P2

∑ FV = 0 → RAY = P1

∑ MA = 0 → MA = P1 . L

→ ∑ FH = 0 RA = P

∑ MA = 0 → MA = P . L

→

MA

RAX

RAY

P1

P2

BA L

MA

RA

PB

A

L

L


[9.4] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA VIGA BIAPOYADA

• Las vigas biapoyadas tienen dos enlaces:

• Una articulación (con una reacción horizontal y otra vertical).

• Un apoyo (con una reacción vertical).

• Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales (en el caso de la figura, es nula).

• Para calcular la reacción vertical en el punto B (apoyo), aplica el equilibrio de momentos respecto a A (articulación).

• Para calcular la reacción vertical en A, aplica equilibrio de fuerzas verticales.

∑ MA = 0 → RB . 2 = 20 . 3 → RB = 30 KN

∑ FV = 0 → RA + RB = 20 → RA = -10 KN

RA

A B

20kN

Rb

2m 1m


Ejemplo de carga vertical Ejemplo de carga horizontal

[9.5] CÁLCULO DE REACCIONES EN UN PÓRTICO ISOSTÁTICO

RA

A B

10kN/m

RB

5m

Por simetría, R = RA B

∑ FV = 0 RA + R = 10·5 R = 25 KN

RB = 25 KN

→ B → A

5m 5m

∑ FH = 0 RAH = 4 . 5

∑ FV = 0 → RAV + RB = 0 → RAV = - RB

∑ MA = 0 → 5 . 4 . 2 = RB . 5 → RB = 8 KN

→ → RAH = 20 KN

5kN/m

5m

4m

RAV RB

A BRAH


• En estructuras soportadas por cables, o bielas, que sólo pueden transmitir fuerza en la dirección de su eje, por tanto las reacciones tienen siempre LA DIRECCIÓN DEL EJE DEL CABLE/BIELA.

• Se calculan haciendo equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.

[9.6] CÁLCULO DE REACCIONES EN CABLES O BIELAS

RR

P

ß ß

∑ FV = 0 → P = R.sen + R.sen → senß ß R = P / 2 ß

Las reacciones en cables/bielas tienen siempre la dirección del eje de la barra


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