tema3

1Simulacin y Optimizacin4 Ingeniera Informtica

Tema 3. Modelado de sistemas continuos

Objetivos Distinguir entre modelo matemtico dinmico y esttico. Distinguir entre modelo matemtico dinmico continuo y discreto. Distinguir modelado e identificacin. Conocer las etapas del modelado dinmico de sistemas. Modelar sistemas sencillos. Conocer que es la estimacin de parmetros y como puede realizarse. Conocer los principales errores que se comenten en modelado y

simulacin. Conocer los diversos tipos de validaciones de un modelo de

simulacin. Conocer algunas tcnicas de validacin de un modelo de simulacin.

Simulacin y Optimizacin4 Ingeniera Informtica

Tema 3. Modelado de sistemas continuos

Contenidos Tipologa de los modelos matemticos de los sistemas

continuos. Formalizacin de los modelos matemticos. Obtencin de modelos matemticos: modelado e

identificacin. Ejemplos de modelado de sistemas sencillos. Estimacin de parmetros. Validacin de modelos.


1. Tipologa de los M.M. de sistemas continuos Cualitativos:

Caractersticas: Modelado con incertidumbres Tcnicas de Inteligencia Artificial (sistemas expertos, fsica cualitativa )

Cuantitativos Caractersticas:

Conjunto de relaciones matemticas entre las variables del sistema. La resolucin de dichas ecuaciones tiene resultados numricos similares a las

medidas en el sistema que representa. Clasificacin:

Atendiendo a su conducta con respecto al tiempo Dinmicos/estticos

Atendiendo a la naturaleza de sus ecuaciones Lineales/no lineales Continuos/discretos


2. Formalizacin de los modelos matemticos El modelo matemtico dinmico de un sistema es:

Conjunto de relaciones matemticas entre las variables del sistema, tales que las soluciones para este conjunto de ecuaciones, ante los mismos estmulos que se aplican al sistema real, tengan valores numricos similares a los que podramos medir en dicho sistema real.

El modelo matemtico dinmico de un sistema constar de: Ecuaciones algebraicas (estticas)

)()()()( 222

txdtxbdt

tdyadt

tyd ++=

)2()()()( ttucttybtyatty ++=+

zebxay 2 +=

z*6 xSINO 5. xENTONCES ) 0z' and 0.(z SI

==

>=

Ecuaciones en diferencias (discretas)

Eventos Cambios estructurales en el modelo Cambio instantneo del valor de las variables.

Ecuaciones diferenciales


3. Obtencin de modelos matemticos Modelado

Se caracterizan por generar conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas, normalmente no lineales, que se obtienen a partir de un estudio analtico del sistema basado en:

Una serie de hiptesis sobre dicho sistema. El uso de leyes de comportamiento fsico-qumicas (leyes de

conservacin, equilibrio entre fases, dependencias entre variables,...), o bien expresiones obtenidas a partir de datos experimentales.

Identificacin Se caracterizan por considerar el sistema como una caja negra,

sin hacer ninguna hiptesis ni tener en cuenta los mecanismos internos de funcionamiento del sistema, y se basan en medidas experimentales para deducir las relaciones entrada salida.

Diferencias modelado/identificacin


Metodologa de modelado Conceptualizacin

Conocer de forma general el proceso que se quiere modelar Definir de los objetivos del modelo Realizar un modelo conceptual basado en hiptesis sobre el sistema bajo estudio

que debe ser tan simple como sea posible. Conocer las leyes que rigen los fenmenos del sistema y su causalidad fsica

(leyes de conservacin de la masa, energa y momento ) Dividir el sistema en subsistemas interconectados.

Formalizacin

Parametrizacin

Resolucin

Validacin

Correcto?NO

SI

Lenguaje desimulacin

Datos tcnicosy del proceso

Conocimiento,experiencia,bibliografa

Conceptualizacin

Datosexperimentales

Formalizacin Formular el modelo en forma dede

ecuaciones diferenciales y/o algebraicas y una serie de condiciones lgicas).

Parametrizacin Determinacin de los parmetros del

modelo y condiciones iniciales. Resolucin del modelos en un ordenador Validar el modelo.


Metodologa de identificacin Seleccionar una clase de modelos: Continuos o discretos, lineales o no.

Ec. DiferencialEc. AlgebraicaParmetros?

U(t) Y(t) Ec. en diferenciasRED NEURONAL...

Parmetros?

{U(Kt)} {Y(Kt)}

Obtener un conjunto de datos experimentales. Seleccionar, de acuerdo con algunas de las caractersticas de los

datos experimentales y previo minucioso anlisis de dichos datos, un modelo entre los de clase seleccionada.

Tratamiento de los datos experimentales (filtrado en un rango defrecuencias, eliminacin de datos espreos,...) y estimacin de los parmetros del modelo. Las tcnicas de estimacin del modelo dependen de la clase de modelo a identificar y de los datos de los que se dispongan.

Probar la validez del modelo.


Ventajas y desventajas del modelado vs identificacin Ventaja del modelado:

Genera modelos aplicables en un extenso rango, debido a que llevan incorporados los mecanismos bsicos que describen el comportamiento del sistema.

Inconveniente del modelado El modelado suele ser una tarea larga que requiere un conocimiento

preciso del sistema que se trata de modelar, adems de experiencia en la tarea de modelado.

Ventaja de la identificacin Los modelos obtenidos mediante las tcnicas de identificacin suelen estar

orientados a algoritmos de control y deteccin de fallos. Suelen ser ms sencillos de obtener que los basados en tcnicas de

modelado. Inconveniente de la identificacin

Su entorno de validez suele estar restringido a las condiciones en las que se tomaron los datos experimentales (esto es especialmente cierto para los modelos lineales, no debera ser as para los modelos basados en redes neuronales).


4. Ejemplos de modelado de sistemas

Sistemas hidrulicos Sistemas mecnicos

Traslacionales Rotacionales

Sistemas elctricos Sistemas trmicos Sistema multidominio: bomba centrfuga Sistemas complejos: planta de produccin


Sistemas hidralicos: ejemplo depsito Conceptualizacin (1)

Descripcin general del sistema


Conceptualizacin (2) Objetivos del modelo:

Evolucin temporal del nivel y de los flujos de entrada y salida, en funcin de los valores de las presiones en los extremos de la conducciones.

Formulacin de hiptesis de comportamiento. Densidad del lquido que entra constante. No existe intercambio energtico con el exterior. La presin en la superficie del lquido es constante (Patm). Lquido incompresible. Depsito agitado.

Divisin en subsistemas interconectados: Depsito Tuberas de entrada y salida


Formalizacin Uso de la conservacin de la masa = 21)( FFdt

hAd

Esttica de fluidos

Dinmica de fluidos

21 FFdtdhA =

2

22

111

ppCvF

ppCvF

=

=

hgpP += 0

Geometra del depsito

222

111

21

0

0

phgpCvF

hgppCvF

AFF

dtdh

+=

=

=


Formalizacin Altura del depsito limitada Flujo de lquido en las dos

direcciones

maxhth )(0

2222

1111

0)0(

0)0(

phgpphgpsignoCvF

hgpphgppsignoCvF

++=

=

2222

1111

21

0)0(

0)0(

)(0;

phgpphgpsignoCvF

hgpphgppsignoCvF

hthA

FFdtdh

max

++=

=

=


Parametrizacin Parmetros fsicos Condiciones iniciales

MODELOEntradas:

p1(t) , p2(t)

Parmetros:A , hmax, p0, , Cv1 , Cv2

Condiciones iniciales: h(t=0)

Salidas: h(t) , F1(t) , F2(t)

2222

1111

21

0)0(signo

0)0(signo

)(0;

phgpphgpCvF

hgpphgppCvF

hthA

FFdtdh

max

++=

=

=


Sistemas mecnicos traslacionales: ejemplo amortiguador

Objetivo: Conocer el desplazamiento del bloque (x), en funcin de la fuerza aplicada

y de los parmetros del muelle (k) y la friccin viscosa (a).

Conceptualizacin del sistema: Segn el esquema

Formalizacin Segunda ley de Newton Muelle cumple la ley de Hooke Friccin viscosa proporcional a la velocidad y opuesta al desplazamiento

As: Como y asumiendo que medimos el desplazamiento desde la

longitud nominal del muelle xnominal=0.

= Fam)( min alnomuelle xxKF =

xfFfriccin &=( ) xfxxkFFFFFam alnofriccinmuelle =++== min

xa =


Entonces se tiene que:

Definiendo la velocidad como: Se tiene que: As el modelo matemtico resulta ser:

Manipulando el modelo simblicamente le podemos poner en forma de ODEs

( )xa

xfxkFam=

=

xv =vxa ==

==

=

vaxv

xfxkFam

=

=vx

mvfxkFv

=

=vx

mvfxkFv

Entrada: F(t)

Condiciones iniciales: x(t=0) y v(t=0)

Parmetros: k,f y m

Salida: x(t)


Sistemas mecnicos rotacionales Objetivo:

Conocer la velocidad de giro del eje () en funcin del par aplicado (T) y considerando que existe un rozamiento viscoso (b) y que el momento de inercia del cilindro es conocido (J).

Conceptualizacin del sistema: Segn el esquema es la aceleracin angular

= J bT friccion = bTJ =

==Sustituyendo

Sabiendo que:

Entonces: TbJ =+

)()()( tTtbdt

tdJ =+

Jy b:parmetros)0(:c.i. 0 ==t

)(tT )(t

Formalizacin Segunda Ley de Newton aplicada a la rotacin Friccin viscosa proporcional a la velocidad de giro


Sistemas elctricos Objetivo:

Conocer la tensin de salida del circuito de la figura (Us) en funcin de la tensin de entrada (Ui).

Formalizacin: Uso de las leyes de Kirchhoff

=

++=

dttiC

tU

dttiC

tiRtiLtU

s

i

)(1)(

)(1)()()(

)()()()()()(

=++=

tUCtitUtiRtiLtU

s

si

)()()()( tUtUtUCRtUCL isss =++

CtitU

LtiRtUtUti

s

si

)()(

)()()()(

=

=

10


Sistemas multidominio: ejemplo bomba centrfuga

Dominio elctrico: Motor AC o DC.

Dominio mecnico: Velocidad de giro del eje de la

bomba funcin del par motor par antagnico (funcin del caudal suministrado).

Dominio hidrulico: Caudal suministrado por la bomba

funcin de la velocidad de giro del eje de la bomba y de las presiones en el exterior de la bomba.


Sistemas complejos. Ejemplo: procesos de fabricacin

Sistemas demasiado complejos para modelarles ecuacin a ecuacin

11


5. Estimacin de parmetros Uno de los grandes problemas de la simulacin es conocer el

valor de los parmetros de un modelo, en ocasiones se pueden obtener de: Datos tcnicos del proceso (dimensiones, resistencia elctrica, nmero

de tubos, ) Balances estacionarios Por tcnicas numricas a partir de un conjunto de datos

entrada/salida

ModeloVariables de entrada (t)

Variables de salida (t)

Condiciones iniciales (t=0)

Parmetros?

CtitU

LtiRtUtUti

s

si

)()(

)()()()(

=

=


Estimacin de parmetros por minimizacin de una funcin de coste:

12


Seleccionar la funcin de coste:

[ ] = =

=muestrasn

K

salidasn

jsistemaeloj TKyTKyfF

1

2

1mod )()(

T es el periodo de muestreo de toma de datos. fj el peso asociado a cada variable Los problemas pueden ser estimar los valores de los

pesos (fj) y seleccionar el periodo de muestreo (T). Seleccionar el algoritmo de minimizacin y un

programa informtico donde est implementado. Dicho algoritmo buscar los valores de los

parmetros desconocidos del modelo de modo que el valor de la funcin de coste sea lo ms prximo a cero.

El principal problema es que el algoritmo de optimizacin debe ser lo suficientemente bueno como para no caer en mnimos globales.

Seleccionar los datos de entrada (deben ser datos con una adecuada informacin dinmica).

Filtrar los datos


5. Validacin de modelos

Objetivo de la validacin de modelos: Establecer la credibilidad de un modelo para un propsito especfico

Tipos de errores en modelado: Error tipo I: modelo es bueno pero es descartado por el modelador

El error consiste en que el diseador de modelos perder el tiempo reformando un modelo que no hay que reformular.

Error tipo II: modelo no es bueno pero no es descartado por el usuario (afecta a la credibilidad del modelo).

El error es que el usuario toma decisiones basadas en un modelo incorrecto.

Claramente el primer tipo de errores no afectan a la credibilidad del modelo, pero el segundo si. As, para conseguir la credibilidad de un modelo deben recurrirse atcnicas de control de calidad en el desarrollo de modelos y la posterior documentacin para su uso por usuarios finales.

13


Verificacin o validacin del modelo software, que requiere: Depurar el programa. Que los algoritmos de integracin y solucin de ecuaciones sean numricamente estables y

apropiados al tipo de problema. Comprobar las condiciones numricas: unidades correctas? robusto ante errores de

clculo? problemas stiff? Presentacin de datos: los resultados son fciles o ambiguos de interpretar? Implementacin: exportable a otras mquinas? precisin adecuada? interface de usuario?

Validacin operacional: Determinar si la salida del modelo posee el grado de aproximacin al sistema para el

propsito requerido y en el dominio que va a ser usado. Si el modelo no es vlido suele deberse a: falta de adecuacin del modelo conceptual, falta

de correccin al implementar el modelo conceptual, datos de entrada no vlidos.

Tipos de validaciones de modelos: Validacin de los datos a usar en el

modelo Son necesarios para construir el modelo,

evaluarlo y verificarlo. Validacin del modelo conceptual:

Validez de las teoras y suposiciones que subyacen en el modelo (relaciones causales y estructuras sean lgicas, fenmenos con suficiente grado de detalle ...)


Tcnicas de validacin: Cualitativas:

Fenmenos asociados Qu pasa si? Verificacin basada en conocimiento

de expertos Qu opinas sobre ...? Cuantitativas:

Comparacin de datos

Sensibilidad del modelo ante cambios en ciertos parmetros

Repetitibilidad de las simulaciones

tema3

Documents

Transcript of tema3