Mtodos Matemticos (Grado ADE) 53

2. FORMAS CUADRTICAS.

Ejemplo

Con el fin de reducir el dficit pblico, el gobierno est estudiando la posiblidad de introducirun nuevo impuesto T complementario del IRPF y del impuesto del petrimonio, de tal formaque dependa de ellos segn la expresin:

T (P, R) = 2R2 + 4P2 4PRdonde R y P son, respectivamente, las cantidades ingresadas por el impuesto sobre larenta y el de patrimonio.

Le puede salir a algn contribuyente dicha declaracin a devolver?

T (P, R) = 2(R2 + 2P2 2PR)= 2(R2 + P2 2PR + P2)= 2[(R + P)2 + P2]

Para qu valores de P y R toma la funcin valores negativos? Cul es el signo de estafuncin?

Existe un mtodo general para clasificar el signo de este tipo de funciones.

2.1. Conceptos bsicos.

Definicin de forma cuadrtica.

Una forma cuadrtica es una aplicacin q : Rn R cuyo valor numrico viene dado porun polinomio cuadrtico, esto es, un polinomio cuyos trminos tienen todos grado dos, dela forma

p(x1, ... , xn) =n

i=1

nj=1

aijxixj ,

donde las aij R son los coeficientes y las xi son las variables.

En funciones de una variable, un polinomio cuadrtico es de la forma

p(x) = ax2.

En dos variables,p(x , y ) = ax2 + bxy + cy2.

Ejemplo:

54 Sara Cuenda

p(x , y ) = x2 + y2.

p(x , y , z) = 2x2 4xy y2 + z2.p(x , y ) = x2 4y2 + 2x .

Observaciones:

El resultado de una forma cuadrtica es un escalar.

Para cualquier forma cuadrtica, q(0) = 0.

Una forma cuadrtica no es lineal, es decir, en general no se cumple que q(x1 + x2) =q(x1) + q(x2).

Representacin matricial.

Dada la matriz

A =(

a11 a12a21 a22

),

se puede definir la aplicacin p(x) = xT Ax, x R2, y obtenemos la forma cuadrtica

p(x1, x2) =(x1 x2

)(a11 a12a21 a22

)(x1x2

)=(x1 x2

)(a11x1 + a12x2a21x1 + a22x2

)=

= a11x21 + (a12 + a21)x1x2 + a22x22 .

Ejemplo:

p(x , y ) =(x y

)(1 23 4

)(xy

)= x2 + 5xy + 4y2.

Para una matriz 3 3, se cumple que

p(x1, x2, x3) =(x1 x2 x3

)a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

= a11x21 + a22x

22 + a33x

23 + (a12 + a21)x1x2+

+ (a13 + a31)x1x3 + (a23 + a32)x2x3

En general, para una matriz n n,

El coeficiente de cada tmino x2i es el elemento de la diagonal aii .

Mtodos Matemticos (Grado ADE) 55

El coeficiente de cada trmino cruzado xixj es la suma (aij + aji ).

Ejemplo: calcular las formas cuadrticas asociadas a las siguientes matrices.

A1 =

1 1 03 0 21 2 1

A2 =

1 5 11 0 12 1 1

Observacin:

Todas las matrices que den el mismo resultado aij + aji dan lugar a la misma formacuadrtica.

Si elegimos una matriz simtrica, puesto que aij = aji , el coeficiente del trmino cruza-do xixj fija el valor de los coeficientes de la matriz.

La matriz simtrica Q se obtiene a partir de cualquiera de las otras, tomando su partesimtrica, Q = A+A

T

2 (o dividiendo entre dos los coeficientes de los trminos cruzadosde la forma cuadrtica q).

56 Sara Cuenda

Ejercicio: Cules son las partes simtricas de las matrices A1 y A2?

A1 =

1 1 03 0 21 2 1

A2 =

1 5 11 0 12 1 1

Dada una forma cuadrtica q : Rn R, existe una nica matriz simtrica Q Mn tal que

q(x) = xT Qx.

A dicha matriz Q se le denomina matriz asociada a la forma cuadrtica q, o expresinmatricial de q.

Ejemplo: la matriz

A =

1 2 122 0 012 0 1

es la matriz asociada a la forma cuadrtica

p(x , y , z) = x2 z2 + 4xy + xz.

Forma cannica.

Se dice que una forma cuadrtica est en forma cannica cuando no tiene ningn trminocruzado (y, por tanto, la matriz que la representa es diagonal).

Ejemplos:

q(x , y ) = x2 + y2 (

1 00 1

)

q(x , y ) = 2x2 (

2 00 0

)

q(x , y , z) = 4x2 z2 4 0 00 0 0

0 0 1

.

Mtodos Matemticos (Grado ADE) 57

2.2. Clasificacin de formas cuadrticas.

Signo de una forma cuadrtica.

Dada una forma cuadrtica q : Rn R, se dice que es

Definida positiva (dp) cuando q(x) > 0 para todo x 6= 0.Definida negativa (dn) cuando q(x) < 0 para todo x 6= 0.Semidefinida positiva (sdp) cuando q(x) 0 para todo x 6= 0 y existe algn x0 6= 0 talque q(x0) = 0.

Semidefinida negativa (sdn) cuando q(x) 0 para todo x 6= 0 y existe algn x0 6= 0tal que q(x0) = 0.

Indefinida cuando existen x1 y x2 tales que q(x1) > 0 y q(x2) < 0.

Cada forma cuadrtica tiene que ser de uno de estos tipos.

Ejemplos:

q(x , y ) = x2 + y2 es definida positiva.

q(x , y ) = x2 y2 es definida negativa.q(x , y ) = x2 es semidefinida positiva.

q(x , y ) = x2 es semidefinida negativa.q(x , y ) = x2 y2 es indefinida.

Nota: En forma cannica, es muy fcil clasificar una forma cuadrtica.

Operaciones con formas cuadrticas.

Sean q(x) y p(x) dos formas cuadrticas de Rn a R, y A y B sus respectivas matricessimtricas asociadas. Entonces,

Producto por un escalar: (q)(x) = xT (A)x, R.Suma: (q + p)(x) = xT (A + B)x.

Observaciones:

Para cualquier > 0, el signo de q es el mismo que el signo de q.

58 Sara Cuenda

Para cualquier < 0, si q es (semi)definida positiva, entonces (q) es (semi)definidanegativa. Si es indefinida, no cambia su carcter.

Si p y q son ambas definidas positivas (negativas), entonces p+q tambin es definidapositiva (negativa).

Si p es definida positiva (negativa) y q es semidefinida positiva (negativa), entoncesp + q es definida positiva (negativa).

El resto de los casos no se puede generalizar.

Clasificacin en forma cannica.

Sea una forma cuadrtica en forma cannica,

q(x1, ... , xn) =n

i=1

dix2i ,

q es definida positiva di > 0 para todo i = 1, ... , n.

q es definida negativa di < 0 para todo i = 1, ... , n.

q es semidefinida positiva di 0 para todo i = 1, ... , n, y algn dj = 0.

q es semidefinida negativa di 0 para todo i = 1, ... , n, y algn dj = 0.

q es indefinida existe algn di > 0 y algn dj < 0.

Cmo clasificar una forma cuadrtica que no est en forma cannica?

Criterio de los menores principales.

Ejemplos:

q(x , y ) = x2 2xy + y2 = (x y )2

q(x , y ) = 4xy = (x + y )2 (x y )2

q(x , y ) = x2 + 2xy + 2y2 = (x + y )2 + y2

Lo que estamos haciendo es completar cuadrados.

Mtodos Matemticos (Grado ADE) 59

En general, para n = 2, y suponiendo que a11 6= 0:q(x1, x2) = a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 =

= a11

[x21 +

2a12a11

x1x2

]+ a22x22 =

= a11

[x21 +

2a12a11

x1x2 +a212a211

x22

]+(

a22 a212

a11

)x22 =

= a11

(x1 +

a12a11

x2

)2+|A|a11

x22

Dada la matriz simtrica A Mn asociada a la forma cuadrtica q : Rn R, se definenlos menores principales D1, D2, ..., Dn a los menores

D1 = a11, D2 =a11 a12a21 a22

, D3 =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, ... , Dn = |A|.Ejemplo:

1. A =(

1 11 1

): D1 = 1, D2 = |A| = 0.

2. A =(

0 22 0

): D1 = 0, D2 = |A| = 4.

3. A =

1 1 11 2 11 1 1

: D1 = 1, D2 = 1, D3 = |A| = 4.Sea q(x) = xT Ax una forma cuadrtica en las variables x = (x1, x2, ... , xn) y A Mn sumatriz simtrica asociada, entonces se verifica que:

a) Si |A| 6= 0, q es definida positiva Di > 0 para todo i = 1, 2, ... , n. q es definida negativa (1)iDi > 0 para todo i = 1, 2, ... , n. q es indefinida en otro caso.

b) Si Di 6= 0 para todo i = 1, ... , r = rg(A) y Di = 0 para i = r + 1, ... , n, q es semidefinida positiva Di > 0 para todo i = 1, ... , r . q es semidefinida negativa (1)iDi > 0 para todo i = 1, ... , r .

60 Sara Cuenda

q es indefinida en otro caso.c) Si existe algn Di = 0 con i r = rg(A), el mtodo no decide.

Observaciones:

Si |A| 6= 0 slo puede ser definida positiva, definida negativa o indefinida.Si |A| = 0 entonces slo puede ser semidefinida positiva, semidefinida negativa oindefinida.

Si se cumple la condicin del apartado c) entonces el mtodo no decide, es decir, nopodemos afirmar de qu tipo es (que no es lo mismo que decir que es indefinida!).

Ejemplos:

q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x22 + x

23 4x1x2.

Matriz simtrica asociada:

A =

2 2 02 2 00 0 1

Menores principales:

D1 = 2, D2 = 0, D3 = 0.

Y, como rg(A) = 2, el mtodo no decide.

q(x1, x2, x3) = 3x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x22 6x2x3 + 7x23 .Matriz simtrica asociada:

A =

3 1 11 2 31 3 7

Menores principales:

D1 = 3, D2 = 7, D3 = 30.Por tanto, q es indefinida.

Criterio de los autovalores.

Dada una matriz cuadrada A Mn,

su polinomio caracterstico es p() = |A In|,su ecuacin caracterstica es |A In| = 0,

Mtodos Matemticos (Grado ADE) 61

sus autovalores son las races de su polinomio caracterstico o, lo que es lo mismo,las soluciones de su ecuacin caracterstica.

Ejemplo: dada la matriz A =

2 2 02 2 00 0 1

,su ecuacin caracterstica es

p() =|A I3| =2 2 02 2 00 0 1

==(1 )

2 22 2 = (1 ) [(2 )2 4] =

= (1 )(4 ) = 0.

por tanto, sus autovalores son: 1 = 0, 2 = 1, 3 = 4.

Ntese que:

Los autovalores siempre estn asociados a matrices cuadradas.

Para una matriz n n, su polinomio caracterstico tiene grado n, y por tanto tiene nraces (es decir, n autovalores).

Los autovalores de una matriz simtrica siempre son reales (no as ocurre con lasmatrices que no son simtricas).

Sea q(x) = xT Ax una forma cuadrtica con matriz simtrica asociada A Mn, y sean1,2, ... ,n los autovalores de A. Entonces se verifica que:

q es definida positiva i > 0 para todo i = 1, ... , n.q es definida negativa i < 0 para todo i = 1, ... , n.q es semidefinida positiva i 0 para todo i = 1, ... , n, con algn j = 0.q es semidefinida negativa i 0 para todo i = 1, ... , n, con algn j = 0.q es indefinida existen i > 0 y j < 0 para algn i , j .

Observaciones:

62 Sara Cuenda

El signo de q es el mismo que el signo de la forma cuadrtica en forma cannicaasociada a la matriz diagonal de A.

Este criterio no deja ningn caso sin resolver.

Es ms complicado, puesto que hay que estudiar los autovalores de A.

Pero slo nos basta conocer el signo de los autovalores para saber el signo de q (nonecesitamos conocer su valor).

Dados los autovalores 1,2, ... ,n de la matriz A Mn, definimos D como la matrizdiagonal asociada a A, de la forma

D =

1 0 ... 00 2 ... 0...

... . . ....

0 0 ... n

,entonces se verifica que

tr(A) = tr(D), por lo que tr(A) = 1 + 2 + + n.|A| = |D|, por lo que |A| = 1 2 n.

Esto nos ayuda en ocasiones a conocer el signo de los autovalores.

Ejemplos:

El que no pudimos resolver antes:

q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x22 + x

23 4x1x2.

Matriz simtrica asociada:

A =

2 2 02 2 00 0 1

Autovalores: 1 = 0, 2 = 1, 3 = 4 q es semidefinida positiva.

q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x23 + 2x1x3.Matriz simtrica asociada:

A =

2 0 10 0 01 0 2

Mtodos Matemticos (Grado ADE) 63

Podemos clasificarla sin calcular los autovalores?

Clasificacin en funcin de un parmetro.

Ejercicio de examen: Clasificar la forma cuadrtica

q(x , y , z) = x2 + 4y2 + 3z2 4axy

en funcin del parmetro a.

FORMAS CUADRTICAS.Conceptos bsicos.Clasificacin de formas cuadrticas.