Tema10-Pandeo
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Tema 10: Pandeo
Tema 10 : PANDEO
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x
Ncr
(1)
(2)
2 . E . I z
L
Ncr
2
y
L
x
y
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Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008
1
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10.1.- INTRODUCCIÓN
Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden “fallar” por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos.
Muchos de estos tipos de “fallos” se podrán evitar, dimensionando dichos elementos de tal forma, que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los límites admisibles y así se efectuarán los dimensionamientos a Resistencia y a Rigidez, estudiados en los temas precedentes.
Pero existen otros tipos de “fallos”, como es el “f allo por inestabilidad o pandeo”, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresión. En estos casos, en el elemento puede ap arecer una flexión lateral que puede llegar a ser grande y hacer “fallar” al elemento
N N
La aparición de dicha flexión estabilidad del elemento y el estudio del Pandeo.
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Flexión lateral ( PANDEO) lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de consiguiente colapso de la estructura, constituyen el
Ejemplos de elementos estructurales donde puede aparecer el Pandeo:
Pandeo en las barras de las
Estructuras Articuladas
Pandeo en los pilares de los edificios
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2
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Sección 10.2: Estudio teórico del Pandeo de piezas sometidas a compresión
10.2.- ESTUDIO TEÓRICO DEL PANDEO DE PIEZAS SOMETID AS A COMPRESIÓN
Las piezas sometidas a compresión pueden agruparse en dos grupos:
PIEZAS SIMPLES
PIEZAS COMPUESTAS
1.-Las PIEZAS SIMPLES pueden estar constituidas por:
a) Un solo perfil
b) Varios perfiles o chapas unidas mediante tornillos o soldadura
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Si el enlace se hace por medio de tornillos, se deberá cumplir:
s 8.as 15.e
s: distancia entre ejes de uniones a: diámetro de los agujeros
mínimo espesor de las piezas a unir
Si el enlace se hace con soldadura discontinua, se deberá cumplir:
s 15.e s 300 mm
s
s: distancia entre ejes de soldaduras e: mínimo espesor de las piezas a unir
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3
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Tema 10: Pandeo
c) Perfiles unidos con forros discontinuos de chapa o presillas
s
En este caso se deberá cumplir: s 15.i
i: radio de giro mínimo de los perfiles a unir
2.-Las PIEZAS COMPUESTAS, lo serán, cuando no se cumplan alguno de los supuestos anteriores.
Observación:
En este Tema se hará el estudio del Pandeo para loscasos de PIEZAS SIMPLES. (El Pandeo en Piezas Compuestas se estudia en otras asignaturas, tales como: “Estructuras Metálicas”)
10.2.1.- CARGA CRÍTICA DE EULER
El estudio teórico del Pandeo, que es debido a Eule r, se planteó como un estudio de equilibrio.
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Así, si se tiene una pieza sometida a una fuerza N equilibrio, posición (1), su equilibrio podrá INDIFERENTE
de compresión y se encuentra en ser: ESTABLE, INESTABLE o
N N N
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
Equilibrio
Equilibrio
Equilibrio
ESTABLE
INESTABLE
INDIFERENTE
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Fig. 10.1
Equilibrio Estable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, vuelve a la pos.(1) Equilibrio Inestable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se aleja de la pos.(1) Equilibrio Indiferente: al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se queda en la pos.(2)
4
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Sección 10.2.1: Carga crítica de Euler
El que una pieza dada adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la carga N de compresión a la que se le someta.
Se denomina: CARGA CRÍTICA (Ncr): “ al valor de la carga N de compresión que hace que se alcance el EQUILIBRIO INDIFERENTE ”
Así pues se tendrá:
si
N = Ncr
Equilibrio Indiferente
si
N < Ncr
Equilibrio Estable
si
N > Ncr
Equilibrio Inestable
Naturalmente se deberá hacer trabajar a las piezascon N < Ncr, para que se encuentren siempre en equilibrios estables.
Cálculo del valor de la Carga Crítica de Euler: N
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cr
Fue Euler el que calculó dicho valor.
Considérese una pieza (columna), recta, con sus extremos articulados y sometida a una
carga de compresión centrada, de valor la carga crí tica Ncr.
x
Ncr
(2)
Ly
Fig. 10.2
x
y
Por lo visto anteriormente, la columna se encontrará en la posición (1) en equilibrio INDIFERENTE y por tanto, si la separamos un poco a la posición (2), permanecerá en dicha posición.
Si N = Ncr Equilibrio Indiferente.
La ecuación diferencial de la Elástica en la posición (2) será, (ver 6.2):
d 2 y
M
z
siendo : M z Ncr .y
dx2
E.I
z
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E.I
.
d 2 y
M
N
.y
d 2 y
Ncr
.y 0 ecuación diferencial línea elástica
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z
dx2
z
cr
dx2
E.I
z
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haciendo : k 2
Ncr
(10.1)
d 2 y
k 2
.y 0
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z
E.I
z
dx2
z
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la solución general de esta ecuación diferencial es de la for ma : y C1 .senkz .x C2 .cos kz .x
Cálculo delas cons tan tes C1 y C2 :
x 0 y 0 ⇒ C2 0
x L
y 0
⇒ C1 .senkz .L 0
C1 0 ⇒ y 0 elástica rectilínea( pos.1)
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senkz .L 0 ⇒ kz .L n. (n 1, 2, 3,.....)
kz
n.
2
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n2
. 2
(10.2)
igualando las exp resiones (10.1) y (10.2) :
kz
L
2
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L
5
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Tema 10: Pandeo
N
cr
n2 . 2
2
. E . I
Ncr n2 .
z
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E.I z
2
2
L
L
2
El menor de estos valores se obtendrá para n = 1 yserá:
Ncr
.E.I z
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(10.3)
2
L
Observaciones:
1.-Si el pequeño desplazamiento que se da a la columna para llevarla a la posición (2) se
hiciera en el plano XZ, la expresión de la carga cr ítica FC sería:
Ncr
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2
.E.I y
x
2
x
L
Ncr
Ncr
(1)
(2)
2 .E.I z
(1)
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(2)
N cr
2
. E .I y
N cr
L
z
2
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L
2
y
L
L
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x
z
x
y
y
![Page 35: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/35.jpg)
Fig. 10.3
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¿En cual de los dos planos pandeará finalmente la olumna?c
Conclusión : “ Una columna pandeará en el plano que presente menorrigidez a la flexión, es decir, en el plano respecto del cual el módulo de rigidez a la flexión sea
mínimo: E.Imin “
Así pues la expresión de la carga crítica de Euler será: Ncr
2
.E.Imin
(10.4)
2
L
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Ejemplo:
x
Ncr
y
Ncr
Los ejes Y, Z son ejes principales de inercia (ejes de simetría).
Respecto de ellos se obtendrán: I , I
max min
I y
1
.b.h3
I z
1
.h.b3
12
12
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si
b h
I z
I y ⇒ I min I z
E.I min E.I z
“ la columna pandeará (flexará) en el plano XY, osea alrededor del eje Z”
y
Fig. 10.4
6
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Sección 10.2.1: Carga crítica de Euler
2.-De la fórmula 10.4, que da la carga crítica, se obtienen las siguientes conclusiones:
Ncr
2
. E . I min
2
L
“ El valor de la carga crítica N cr depende del material del que esté fabricada la columna: Eacero, Ehormigón , Ealuminio,…………….”
“ Para un material dado, el valor de N cr no depende de la calidad del mismo, esto es de
su resistencia” ( en la fórmula de N cr no interviene la fy ni la fu )
Ejemplo: material 1: acero tipo 1: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 275 N/mm2 material 2: acero tipo
2: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 350 N/mm2
Conclusión: Los dos aceros tendrán la misma carga crítica N , es decir, se
cr
comportarán igual frente al Pandeo
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“ La carga crítica N cr es directamente proporcional al módulo de rigidez a la flexión: E.I “. Así pues, mejoraremos la resistenci a al Pandeo, utilizando columnas que opongan gran resistencia a la flexión, es decir, que tengan módulos de rigidez a la flexión grandes
“ La carga crítica N cr es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de la
columna: L2 “. Así pues cuanto mayor sea la longitud de la col umna, más posibilidades de que se alcance la carga crítica y se produzca el fallo por Pandeo.
Ecuación de la línea elástica:
Anteriormente se vió que la solución de la integrac ión de la ecuación diferencial de la
elástica era de la forma: y = C.sen1
kz.x + C2.cos kz.x
en donde : C
0
y C .senk
.x
siendo : k
(10.2)
n.
2
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z
z
1
L
![Page 42: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/42.jpg)
y sustituyendo : y C .sen
n.
.x
ecuación línea elástica
1
L
![Page 43: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/43.jpg)
Observaciones: El valor de C1 resulta indeterminado, ello es debido a haber tomado como valor del radio de curvatura:
d 2 y
![Page 44: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/44.jpg)
d 2 y
1
1
en lugar de su valor exacto :
![Page 45: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/45.jpg)
dx2
3 2
r dx2
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r
dy
2
1
![Page 47: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/47.jpg)
dx
![Page 48: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/48.jpg)
Si se dan valores a n = 1, 2, 3,….., se obtienen la
s elásticas correspondientes a los
diferentes estados de equilibrios indiferentes:
7
![Page 49: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/49.jpg)
Tema 10: Pandeo
2 . E . I min
Si n 1
y C1 .sen L .x
siendo : Ncr
L2
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x
dy
L
Ncr
la flecha máximaserá:
0 x
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dx
2
![Page 52: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/52.jpg)
y
y ( x
L
) C .sen
.
L
C .sen
C
max
![Page 53: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/53.jpg)
2
1
L
2
1
2
1
![Page 54: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/54.jpg)
(2)
L
ymax
Esta será la forma que tome la elástica cuando
se consiga el equilibrio indiferente bajo la carga
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L/2
Ncr
2
. E . I min
y
2
![Page 56: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/56.jpg)
L
Fig. 10.5
Si n 2 y C .sen
2.
.x
siendo : N
22. 2
.E
. I
min
![Page 57: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/57.jpg)
1
L
cr
L2
x
Ncr
(1)
ymax
3L/4
L
(2)
L/2 ymax
L/4
y
Fig. 10.6
la flecha máximaserá: dy
0 x L
, x 3.L
dx
4
4
ymax
![Page 58: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/58.jpg)
y ( x
L
) C1
.sen
2.
.
L
C1
.sen
C1
4
L
4
2
ymax
y ( x
3L
) C1 .sen
2.
.
3L
C1
.sen
3
C1
![Page 59: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/59.jpg)
4
L
4
2
Esta será la forma que tome la elástica cuando
se consiga el equilibrio indiferente bajo la carga
Ncr
2 . E . I
22.
2
min
![Page 60: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/60.jpg)
L
Se tomará para el cálculo el menor de los valores edNcr, es decir, la carga Ncr que consiga el primer equilibrio indiferente, o sea para el valor n = 1
8
![Page 61: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/61.jpg)
Sección 10.2.2: Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
10.2.2.- INFLUENCIA DE LOS ENLACES. LONGITUD DE PANDEO
El valor obtenido para la carga crítica FC, corresponde al caso de una columna articulada en sus extremos.
Ncr
L
Ncr
2
. E . I min
2
![Page 62: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/62.jpg)
L
1
Lk L
![Page 63: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/63.jpg)
Fig. 10.7
Con otros tipos de apoyos y siguiendo un proceso similar al seguido en 10.2.1, se
obtendrán los valores de F correspondientes:
C
Ncr Ncr Ncr
L
Ncr
2
. E . I min
LN
cr
2. 2
.E . I min
![Page 64: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/64.jpg)
L
Ncr
4. 2
.E . I min
2
2
2
![Page 65: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/65.jpg)
4.L
L
L
![Page 66: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/66.jpg)
1
![Page 67: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/67.jpg)
0, 7 L 0, 7 L
0, 5 Lk 0, 5L
2 L 2.L
![Page 68: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/68.jpg)
k
![Page 69: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/69.jpg)
2
k
![Page 70: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/70.jpg)
![Page 71: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/71.jpg)
![Page 72: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/72.jpg)
Fig. 10.8
Fig. 10.9
Fig. 10.10
Con el objeto de poder utilizar una sola fórmula qu e englobe a los cuatro casos, se utilizará la siguiente:
![Page 73: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/73.jpg)
Ncr
2
.E . Imin
(10.5)
2
L
![Page 74: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/74.jpg)
k
siendo:
Lk . L
" longitud de pandeo "
(10.6)
![Page 75: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/75.jpg)
Los valores de y por consiguiente de Lk para cada uno de los cuatro tipos de apoyos vistos, se obtendrán comparando la fórmula general 10.5 para la carga crítica, con las obtenidas en cada uno de ellos. Los valores están ndicados en las figuras correspondientes
9
![Page 76: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/76.jpg)
Tema 10: Pandeo
Longitud de pandeo de barras canónicas: L k
Condiciones
biarticulada
biempotrada
empotrada
empotrada
biempotrada
de extremo
articulada
libre
desplazable
Lk
1,0.L
0,5.L
0,7.L
![Page 77: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/77.jpg)
2,0.L
1,0.L
Concepto físico de la longitud de pandeo:
La longitud de pandeo de una barra es: “ la longitud que debería tener una barra, articulada en ambos extremos, equivalente a la dada (mismo material y sección ), para
que tuviese la misma carga crítica Ncr, que la barra dada “
x
Ncr Ncr Ncr
L
ymax Lk = L
L
Lk = 2L
ymax
y
![Page 78: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/78.jpg)
Fig. 10.11
Fig.10.12
Ncr
ymax Lk = 0,7.L
L
Ncr
Ncr
L ymax Lk = 0,5L
Fig. 10.13
![Page 79: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/79.jpg)
Fig.10.14
10
![Page 80: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/80.jpg)
Sección 10.2.3: Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
10.2.3.- TENSIÓN CRÍTICA DE EULER. CONCEPTO DE ESBE LTEZ
Se denomina TENSIÓN CRÍTICA de Euler: “ a la tensión de compresión de una
columna cuando sobre ella actúa la carga crítica Ncr “
cr
Ncr
(10.7)
A
Sustituyendo FC por su valor dado en 10.5, quedará:
![Page 81: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/81.jpg)
2
.E. I
min
N
![Page 82: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/82.jpg)
cr
2
.E.I
min
A
2 .E.i2
2 .E
2 . E
(10.8)
![Page 83: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/83.jpg)
cr
min
![Page 84: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/84.jpg)
2
2
.A
2
2
2
![Page 85: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/85.jpg)
A
Lk
Lk
Lk
L
![Page 86: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/87.jpg)
k
![Page 88: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/88.jpg)
![Page 89: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/89.jpg)
imin
![Page 90: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/90.jpg)
siendo:
Lk
"esbeltez de una columna "
(10.9)
imin
![Page 91: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/92.jpg)
Representando gráficamente, en unos ejes coordenados, la ecuación 10.8 que da la tensión crítica de Euler en función de la esbeltez, se obtiene el siguiente diagrama:
cr
cr
2 . E
" curva de Euler "
cr2
![Page 93: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/93.jpg)
2
cr1
2
1
Fig.10.15
Del análisis del diagrama se deduce que a medida que disminuimos la esbeltez de la
columna (2 < 1 ) la tensión crítica C aumenta (cr2 > cr1 ), es decir aumenta la capacidad de la columna para resistir mas cargas sin que se produzca el Pandeo.
Conclusión : Para mejorar el comportamiento de una columna, de longitud dada, frente al Pandeo, será preciso disminuir su esbeltez. ¿Cómo?. Si la longitud L nos viene
![Page 94: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/94.jpg)
impuesta, en función de la ecuación 10.9 que da la esbeltez, habrá que aumentar el radio
de inercia mínimo imin.
Lk si imin ⇒
imin
11
![Page 95: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/95.jpg)
Tema 10: Pandeo
El aumento de imin sin modificar el área A, se consigue aumentando elmomento de
inercia Imin, osea alejando el material todo lo posible del centro de gravedad de la sección
imin
I min
si I min
⇒ imin
A
Esta es la razón, por ejemplo, por la que las colu mnas de sección hueca son mejores, a efectos de pandeo, que las macizas del mismo área
sección 1 sección 2
![Page 96: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/96.jpg)
G G
A1, Imin1
A2 = A1, Imin2
Fig.10.16
I min 2
I
min 1
i
min 2
i
min 1
2
1
c 2
c1
F
c 2
F
c1
⇒ la sec ción 2 se comportarámejor al pandeo que la sec ción 1
![Page 97: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/97.jpg)
12
![Page 98: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/98.jpg)
Sección 10.2.4: Límites de aplicación de la fórmula de Euler
10.2.4.- LÍMITES DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE EUL ER
El diagrama de la fig.10.15, que representa la curva de la tensión crítica de Euler, sólo va
a ser válida hasta un cierto punto P, que corresponde a una esbeltez lim, que es la
esbeltez para la cual: cr (tensión crítica) = f y (tensión del límite elástico).
cr
cr
2 . E
" curva de Euler "
2
fyP
lim
Fig.10.17
![Page 99: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/99.jpg)
Ello es debido a que en la deducción de la fórmula para la obtención de la carga crítica
Ncr, se utiliza la ecuación diferencial de la elástica y ésta sólo es aplicable para los casos
en que E = cte o lo que es lo mismo cuando ≤ fy ( sección 3.5. diagrama tensiones-deformaciones). Además, al alcanzarse la tensión del límite elástico, el fallo se produciría por haberse alcanzado la resistencia a la compresión de la sección.
En la Fig. 10.18 se representa la curva de pandeo de Euler y los modos de fallo
Fallo por haber rebasado el límite elástico
P
fy
Fallo por pandeo
Curva de pandeo de Euler
![Page 100: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/100.jpg)
lim
Figura 10.18
13
![Page 101: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/101.jpg)
Tema 10: Pandeo
Así pues tendremos que para poder utilizar la curva de Euler se habrá de verificar:
cr f y
2 . E f y
2 . E ⇒
2 . E
(10.10)
2
![Page 102: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/102.jpg)
f y
lim
f y
para esbelteces: lim SI se podrá aplicar la curva de Euler
para esbelteces: lim NO se podrá aplicar la curva de Euler Los valores de lim para los aceros más utilizados en la construcción son:
Acero
fy (N/mm2)
lim
S235
235
93,9
S275
275
86,8
S355
355
76,4
La curva de pandeo expresada en la fig.10.18 puede ser redibujada de forma
adimensional, dividiendo la tensión crítica de Eule r entre el límite elástico: ( / fy ) y la
![Page 103: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/103.jpg)
esbeltez entre la esbeltez límite: ( / lim), dando lugar a la siguiente curva de Pandeo adimensional
/fy
P
1
1 /lim
Figura 10.19
![Page 104: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/104.jpg)
La ventaja de este gráfico es que puede aplicarse abarras de diferentes esbelteces y resistencias
14
![Page 105: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/105.jpg)
Sección 10.3: Pandeo real: Estudio práctico del pandeo de piezas de acero sometidas a compresión
10.3.- PANDEO REAL: ESTUDIO PRÁCTICO DEL PANDEO EN PIEZAS DE ACERO SOMETIDAS A COMPRESIÓN
10.3.1.- INTRODUCCIÓN
El comportamiento real de los pilares difiere del estudio teórico e ideal que acabamos de hacer. Ello es debido a las diversas imperfecciones del pandeo “real” que no se han tenido en cuenta en el estudio teórico, tales como:
Falta de rectitud inicial del eje del pilar
Cargas axiales no aplicadas exactamente en el centro de gravedad de la sección transversal del pilar
Tensiones residuales producidas en la fabricación d el pilar, bien por el proceso de laminación o por las soldaduras
Otras
Así estudios experimentales de pilares reales proporcionan los resultados que se muestran en la siguiente figura:
![Page 106: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/106.jpg)
Esbeltez media Esbeltez elevada
P
fy
Punto de inflexión
lim
Figura 10.20
Comparado con las curvas teóricas, el comportamient o real muestra mayores dispersiones en el intervalo de esbelteces medias que en el intervalo de esbelteces elevadas. En la zona de esbelteces medias (que representa a la mayoría de los pilares), el efecto de las imperfecciones es significativo y debe de ser tenido en cuenta. La mayor
reducción en el valor teórico se produce en la regi ón de la esbeltez límite lim.
La curva límite inferior se ha obtenido de un análisis estadístico de los resultados de los ensayos y representa el límite seguro para la carga.
![Page 107: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/107.jpg)
15
![Page 108: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/108.jpg)
Tema 10: Pandeo
Un pilar puede ser considerado de esbeltez elevada si su esbeltez es mayor que la correspondiente al punto de inflexión de la curva l ímite inferior, mostrada en la fig.10.20. Para la carga última en dichos pilares, de esbeltez elevada, se puede tomar
pues la carga crítica de Euler: Ncr
Son los pilares de esbelteces medias aquellos cuyo comportamiento, tal y como se observa en la fig.10.20, se desvía más de la teoría de Euler. Es pues en ellos donde se observa que más influye la presencia de las imperfecciones, las cuales dan lugar a tensiones adicionales que se añadirán a las obtenidas en el comportamiento teórico, lo que explica que las cargas últimas que serán capaces de resistir los pilares en el pandeo real sean inferiores a las obtenidas en el pandeo teórico.
Son la falta de rectitud del eje del pilar y la presencia de tensiones residuales, las imperfecciones que presentan un efecto más significativo en el comportamiento de este tipo de pilares.
Ejemplo de tensiones adicionales debidas al efecto de las tensiones residuales debidas a la laminación en caliente en la fabricación del pil ar:
0,3.fy compresión
0,2.fy tracción
0,2.fy compresión
![Page 109: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/109.jpg)
Ejemplo de tensiones residuales debidas a laminación en caliente
+ = o
= N/A
Residual
max< fy
max= fy
16
Figura 10.21
![Page 110: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/110.jpg)
![Page 111: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/111.jpg)
Sección 10.3: Pandeo real: Estudio práctico del pandeo de piezas de acero sometidas a compresión
Ejemplo de tensiones adicionales debidas a la falta de rectitud del eje del pilar:
Esta imperfección es debida a los defectos inherent es al propio material, tales como la falta de homogeneidad del material, las imperfecciones geométricas de las piezas, etc….
La forma de introducir estas imperfecciones es a través de dar una curvatura inicial a la barra (Fig.10.22.b). Al aplicar ahora sobre ella la carga N de compresión, hará trabajar a la barra a FLEXIÖN-COMPRESIÖN, con lo cual se curva rá más (Fig.10.22.c)
x
x
x
N
f0
![Page 112: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/112.jpg)
f
y
y
y
Fig. 10.22.a
Fig. 10.22.b
Fig. 10.22.c
= N/A = (N.f).y/Iz max< fy max= fy
+
=
o
Fig.10.23
![Page 113: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/113.jpg)
Naturalmente si se dan varias imperfecciones a la vez, los efectos finales serán la suma de los obtenidos en cada una de ellas.
17
![Page 114: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/114.jpg)
Tema 10: Pandeo
Así pues en el pandeo real tendremos que, en general, a las tensiones producidas por la carga de compresión, les tendremos que sumar las de bidas a las tensiones residuales y las debidas a la flexión, dada la falta de rectitud del eje del pilar, con lo cual la tensión total final máxima será:
La tensión máxima se dará en la sección x = L/2 y valdrá:
x
N
max
N
M z
residuales
N
N . f
residuales
![Page 115: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/115.jpg)
A W
AW
( . A). f
k .
residuales
![Page 116: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/116.jpg)
W
1
L f
L/2
max k1.
(10.11)
![Page 117: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/117.jpg)
y
Fig. 10.24
siendo : k
"coeficiente de amplificación de la tensión de comp resión σ =
N
"
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1
A
Conclusión
:
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PANDEO TEÓRICO: Euler
PANDEO REAL
N
N
COMPRESIÓN +FLEXIÓN+T.residuales
sólo COMPRESIÓN
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max
( N )
N
max ( N ) ( M z ) residuales
A
f
N
M z
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N
cte
residuales
k1.
A
W
A
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Fig. 10.25
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Sección 10.3.2: Introducción al método de cálculo a pandeo con la normativa española DB-SE-A
10.3.2.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE CÁLCULO A PANDEO CON LA NORMATIVA ESPAÑOLA: DB-SE-A (2007)
Comprobación a Pandeo de piezas sometidas a compres ión centrada por el Método de la nueva Normativa española: DB-SE-A: Caso de barras rectas de sección constante y axil constante
La ecuación 10.11 nos da la tensión máxima en el pandeo real, en el que se tiene en cuenta, tal y como indicamos anteriormente, las tensiones debidas a la compresión junto con las tensiones que producen las imperfecciones del pilar (falta de rectitud del eje y las tensiones residuales).
La fórmula propuesta por la Normativa para la compr obación a pandeo es:
*
k . *
k .
N *
f
N *
1
.A. f
N * .A. f
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yd
yd
yd
max
1
1
A
k1
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denominando : Nb ,Rd
"resistencia última de la barra apandeo" .A. f yd(10.12)
= 1
"coeficiente de reducción por pandeo" k1
Así pues la fórmula final para la comprobación a pa ndeo de una barra de sección constante sometida a una compresión centrada consta nte será:
N * N b ,Rd . A. f yd
(10.13)
Los valores del coeficiente de reducción por pandeo χ, que como se ve, es el inverso
del coeficiente de amplificación de tensiones k 1, se pueden obtener a partir de las curvas de pandeo, como veremos a continuación
Observaciones:
1.-Al coeficiente χ<1, se le denomina “coeficiente de reducción por pa ndeo” por lo
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siguiente:
Vimos que la resistencia última, plástica, de unasección a compresión era (ver
ecuación 4.33):
Npl,d = A.fyd
y la comprobación a resistencia de una sección trab ajando a compresión se aplicaba la fórmula dada en la ecuación (4.34)
N * N pl ,d A. f yd
Como en el caso del pandeo y tal como hemos visto, además de las tensiones debidas a la compresión, había que añadir las debidas a la fl exión y las tensiones residuales, la resistencia última de la sección, será inferior a al de solamente debida a la compresión.
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Tema 10: Pandeo
2.- Para los casos de barras de sección variable, d e esfuerzos de compresión variables, de barras de sección compuesta o de elementos trian gulados o de pilares de edificios, ver la Normativa indicada. Su estudio es objeto de otras asignaturas específicas.
10.3.3.- CURVAS EUROPEAS DE PANDEO
Las curvas de pandeo ECCS están basadas en los resultados de más de 1000 ensayos
sobre varios tipos de piezas: I, H, T, [, ∟, , [ ] , Ο, con diferentes valores de esbeltez
(entre 55 y 160). Se han tenido en cuenta una imperfección geométrica de falta de rectitud del eje del pilar, tomando un eje semisinusoidal de magnitud f = L/1000, así como los efectos de tensiones residuales relativas a cada tipo de sección transversal.
Las curvas de pandeo ECCS: ao, a, b, c y d, se muestran en la siguiente tabla 10.1 y el utilizar unas u otras va a depender de la forma de la sección transversal del pilar considerado, de la dirección en la que pueda ocurri r el pandeo (eje y o eje z) y del proceso de fabricación utilizado en el pilar (lamin ación en caliente, soldado o conformado en frío). Ver la tabla siguiente 10.2
Tabla 10.1 Curvas de pandeo
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Éstas curvas nos proporcionan el valor para el coef iciente de reducción por pandeo χ, en función de la curva de pandeo apropiada al caso y de la esbeltez reducida :
A. f y
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"esbeltez reducida"
(10.14)
Ncr
siendo: Ncr
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2
. E . I
(carga crítica de Euler)
2
L
k
![Page 132: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/132.jpg)
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![Page 133: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/133.jpg)
Sección 10.3.3: Curvas europeas de pandeo
Tabla 10.2 Curva de pandeo en función de la secció n transversal
![Page 134: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/134.jpg)
![Page 135: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/135.jpg)
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![Page 136: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/136.jpg)
Tema 10: Pandeo
Los datos de la tabla 10.3 que se indica a continuación, que dan también los valores del coeficiente χ de reducción del pandeo, se obtienen de la tabla 1 0.1 (curvas de pandeo), pero son más operativas a la hora de tomar datos delas mismas.
Tabla 10.3 Valores del coeficiente de pandeo χ
![Page 137: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/137.jpg)
10.3.4.- PANDEO EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN-COMP RESIÓN
La Comprobación a Pandeo debido a la Flexión–Compre sión se estudiará en asignaturas específicas. (Ver normativa DB-SE-A)
![Page 138: Tema10-Pandeo](https://reader037.fdocuments.ec/reader037/viewer/2022110104/5695d0231a28ab9b02912759/html5/thumbnails/138.jpg)
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