Tema i introduccion a la geometria analitica matematica i iutajs

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos

geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de

manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una

interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en

forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del

álgebra se puede aplicar a la geometría y aprovechar la capacidad que tiene el hombre de

comprender diferentes fenómenos a través de la vista (un imagen vale más que mil palabras).

Hoy se conoce que el matemático francés Pierre de Fermat elaboró las primeras ideas acerca de

este asunto (en 1629) y unos años más tarde (en 1637) otro francés, René Descartes, publicó su

obra “Geometrie” en la cual hizo referencia a la misma idea de un “plano coordenado” en el cual

cada punto tuviera una dirección numérica. Este plano coordenado ha recibido el nombre de

“plano cartesiano” (en honor a Descartes).

EL PLANO COORDENADO

Consideremos dos rectas reales como la anterior: una horizontal y otra vertical, de modo que se

intersequen en los respectivos orígenes. Estas dos rectas determinan un plano que llamamos

“plano coordenado” o también “plano cartesiano”. A la recta horizontal la llamaremos “eje de

las x” o “eje de las abscisas” y a la recta vertical “eje de las y” o “eje de la ordenadas”. El origen

común lo designamos con la letra O y lo llamamos “origen del sistema coordenado” o,

simplemente, “origen”. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones que se llaman

“cuadrantes” y se numeran como se muestra en la propia figura mostrada arriba.

1 x

y

1

O

El plano cartesiano.

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

-1

-1



PUNTOS EN EL PLANO

EJERCICIO: Represente los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano y explique el

procedimiento aplicado: A (3, 2); B (0,-3); P (2, 3) y Q (3, 2)

EJERCICIO: De una característica de los puntos que están sobre los ejes coordenados:

Eje x: __________________________________________

Eje y: __________________________________________

FÓRMULA DE LA DISTANCIA

Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la distancia que los

separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es consecuencia directa del teorema de

Pitágoras. Consideremos que los puntos conocidos son P(x1, y1) y Q(x2, y2) y se quiere hallar la

distancia entre P y Q según la figura de abajo:

3 x

y

1

O 1 2

2

3

-3

-3

-2

-1

-1 -2

x

y

P(x1, y1)

O

Distancia entre dos puntos

Q(x2, y2) R

y2 – y1

x2 – x1



En la figura dada arriba tenemos que los puntos P y Q se han representado en el plano y se

muestra el segmento PQ cuya longitud se desea hallar. El segmento PQ es la hipotenusa del

triángulo rectángulo PQR. Los catetos de este triángulo miden respectivamente x2 – x1 y

además y2 – y1. Los módulos se requieren porque estas diferencias pudieran ser negativas, y

aquí estamos calculando longitudes, las cuales no admiten valores negativos.

Llamemos d(P, Q) a la distancia entre estos puntos. Al aplicar el teorema de Pitágoras al

triángulo rectángulo PQR se obtiene para la distancia entre P y Q:

212

2

12),( yyxxQPd

EJERCICIO: Halle la distancia entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).

SOLUCIÓN: Sean 3,4,2 121 yxx y .22 y Luego, aplicando la fórmula de distancia

entre dos puntos:

61),(

2536),(

56),(

3224),(

3224),(

22

22

22

QPd

QPd

QPd

QPd

QPd

FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO

Otra importante fórmula que vale la pena deducir y recordar, es la que permite hallar las

coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos se conocen. Sean los puntos

P(x1, y1) y Q(x2, y2) los extremos de un segmento. Llamemos M(x, y) al punto medio del

segmento PQ, que se muestra en la figura de abajo:

x

y

P(x1, y1)

O

Punto medio entre dos puntos

Q(x2, y2)

M(x, y)

x1 x2 x



EN RESUMEN: La fórmula para hallar las coordenadas del punto medio del segmento PQ es:

2,

2),( 2121 yyxx

QPPM .

OBSERVACIÓN: Nótese que la proyección horizontal de M es exactamente el punto medio de

la proyección horizontal del segmento PQ. Lo mismo sucede para las proyecciones verticales.

Como el número central entre dos números es simplemente su promedio, resulta:

)( 2121 xxx y )( 212

1 yyy

EJERCICIO: Halle el punto medio entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).

SOLUCIÓN: Sean 3,4,2 121 yxx y .22 y Luego, aplicando la fórmula del punto

medio:

2

1,1),(

2

23,

2

2),(

2

23,

2

42),(

QPPM

QPPM

QPPM

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Sean los puntos A (2, 3), B (4, 1) y C (–1, 1). Halle la longitud de la mediana

correspondiente al vértice C del triángulo ABC.

2. Determine la distancia entre los puntos:

a) )3,4( y )1,1(

b) )2,1( y )3,2(

3. Determine el área y el perímetro de la figura determinada por los puntos )1,3( , )3,1( ,

)3,7( y )1,5(

4. Determine el punto medio del segmento de recta con los puntos extremos

4

3,

3

7,

4

9,

3

5



CURVAS Y ECUACIONES

Después de los puntos, los objetos matemáticos más simples son las curvas (suponiendo que una

recta es un tipo especial de curva). Sin embargo, una curva, por más sencilla que pueda parecer,

está formada por infinitos puntos. Por suerte, muchas curvas tienen la característica de que todos

sus puntos cumplen una cierta condición; si esta condición la podemos representar mediante una

ecuación, entonces decimos que dicha ecuación es “la ecuación de la curva” y también que “la

curva es la gráfica de la ecuación”.

En las secciones que sigue se abordarán dos de las curvas más importantes, por su simplicidad

geométrica y por su utilidad: las circunferencias y las rectas.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Definición: La circunferencia es la región del plano en la cual todos los puntos están a igual

distancia fija de uno interior llamado centro. El punto interior es llamado centro C de la

circunferencia y la distancia fija es llamada radio r, veamos la figura de abajo:

Para hallar la ecuación de la circunferencia necesitamos expresar la definición anterior mediante

una ecuación. Antes que nada, hay que referir todos los elementos de la definición a un sistema

cartesiano, como aparece en la figura:

De la fórmula de distancia tenemos que:

22),( kyhxCPd

Y como la distancia es el radio r, tenemos que:

22kyhxr

Elevando al cuadrado ambos miembros nos queda que:

222 kyhxr

Que es la ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) y radio r.

C

P

La circunferencia

r

C(h, k)

P(x, y)

La circunferencia

r

x

y



EJERCICIO: Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 2) y radio 4. Determine

las coordenadas de los puntos en que esta circunferencia corta a los ejes coordenados.

SOLUCIÓN: Como el centro es C(3, 2), entonces h=3 y k=2 y como el radio es r=4, usando la

ecuación anterior tenemos que:

222 234 yx

Desarrollando nos queda que:

3460

1613460

134616

449616

22233216

22

22

22

22

2222

yxyx

yxyx

yyxx

yyxx

yyxx

La figura muestra dicha ecuación gráficamente:

¿Cualquier ecuación de segundo grado con estas características, será la ecuación de una

circunferencia?

EJERCICIOS PROPUESTOS: Dada la ecuación que sigue, determine si su gráfica es una

circunferencia. En caso de que lo sea, halle su centro y su radio y trácela.

a) 0662 22 yyxx

b) 01462 22 yyxx

c) 0114622 yxyx

d) 091222 22 yyx

EJERCICIO: Determine la ecuación estándar de la circunferencia, cuyos extremos de un

diámetro son (1, 3) y (5, 7).

3

C(3,2)

P(x, y)

La circunferencia

r=4

x

y

2



LA RECTA EN EL PLANO

PENDIENTE DE UN SEGMENTO

Consideremos un segmento de recta determinado por dos puntos del plano según la figura de

abajo P1( 1x , 1y ) y P2( 2x , 2y ). La pendiente de este segmento es un número real que mide la

inclinación del segmento.

DEFINICIÓN DE PENDIENTE: La pendiente m del segmento no vertical determinado por

los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, 2y ) es el número: 12

12

xx

yym

ya que ella está relacionada con

tangente del ángulo, es decir, con tan(θ) definido de acuerdo con las razones trigonométricas.

RAZONE SOBRE LO SIGUIENTE:

¿Un segmento vertical tendrá pendiente?, explique su respuesta: _________________________

¿Un segmento horizontal tendrá pendiente?, explique su respuesta: _______________________

EJERCICIO: Hallar la pendiente entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).

SOLUCIÓN: Usemos la fórmula de la pendiente tenemos que como 3,4,2 121 yxx y

22 y :

6

5

24

5

24

32

m

m

m

P1

x1

P2

x2

y2

y1

x

y

Segmento P1P2



EJERCICIOS PROPUESTOS: Calcule la pendiente de los siguientes segmentos. Trácelos y

clasifíquelos en crecientes, decrecientes u horizontales.

a) Segmento AB, donde A = (5, 1) y B = (2, 3).

b) Segmento PQ, donde P = (–1, 1) y Q = (4, 2).

c) Segmento MN, donde M = (3, 2) y N = (–5,2).

FORMA PUNTO - PENDIENTE DE LA RECTA

A partir de la gráfica, deducimos la ecuación de la recta

en su forma punto pendiente, a partir de que la recta pasa

por el punto 110 , yxP y tiene pendiente m:

Como la pendiente es: 1

1

xx

yym

Transponiendo términos nos queda que:

11 xxmyy

EJERCICIO: Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (–2, 3) y tiene pendiente 0,5.

Halle los puntos en que la recta corta a los ejes coordenados.

SOLUCIÓN: Como 3,2 11 yx y 5,0m , entonces de acuerdo con la ecuación punto-

pendiente tenemos que:

45,0

315,0

15,03

25,03

25,03

xy

xy

xy

xy

xy

FORMA PENDIENTE – INTERSECCIÓN

Dada la gráfica, deducimos la ecuación de la recta en la

forma pendiente – intersección con el eje y. De la

ecuación anterior ,0 xmby tomando el punto

por donde pasa la recta (0,b), despejando tenemos que:

bmxy

mxby

P(x, y)

P0

x

y

Forma punto - pendiente

x0

y0

Pendiente: m

L

x

y

b Pendiente: m

Forma pendiente -intersección y



EJERCICIO: Trace la recta y = 2x – 1

RECTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

En el caso de los segmentos y las rectas verticales el concepto

de pendiente no se define. Establezca una característica para las

rectas verticales, les puede ayudar, la recta que pasa por x = 2,

como se muestra en la figura. Por lo tanto, las rectas verticales

poseen ecuaciones del tipo: x =2

El caso de las rectas horizontales es más sencillo porque ellas sí

poseen pendiente. Su pendiente es 0. Haciendo m = 0 en

cualquiera de las ecuaciones vistas anteriormente se aprecia que

la ecuación de las rectas horizontales tiene la forma: y =-1.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas es muy simple determinar cuando se trata de

rectas paralelas, pues en ese caso sus pendientes son idénticas. La perpendicularidad entre rectas

no es tan obvia: se requiere que las pendientes satisfagan la condición: m1m2 = –1. Esta

condición puede probarse por varias vías; la más simple es mediante el uso de vectores, tema

que veremos posteriormente.

EJERCICIO: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y es perpendicular a la

recta y = 2x – 3.

EJERCICIOS VARIADOS

1. Exprese el intervalo 13/ xRxI , en sus diferentes formas.

2. Exprese en notación modular el intervalo 8,4 .

3. Trace cada par de puntos en el plano coordenado y halle la distancia entre ellos:

a) (3, –1) y (6; 3) b) (–3, 1) y (8, 13)

c) (4, 3) y (2; 5) d) (–2, 5) y (5, 3)

4. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (4, 3), (–3, 4) y (9, 8) es isósceles.

5. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (2,–3), (4, 1) y (8, –1) es rectángulo.

6. Encuentre el punto del eje de las x que equidista de (4, 1) y (7, 4).

7. Encuentre la distancia entre los puntos medios de los segmentos AB y CD, donde A = (0, 2),

B = (1, 5), C = (3, 6) y D = (2, 3).

8. Se tiene los puntos baP , y 7,6 Q ; si el punto medio entre ellos es

2

1,2 ,

determinar las coordenadas del punto baP , .

9. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de forma tal, que la

distancia al eje y es igual que la distancia al punto (4, 0).

10. Halle la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones:

x

y

y = – 1

– 1

2



a) Centro en (1, –2), radio 6. b) Centro en (–3, 4), radio 8.

c) Centro en (2, –1), pasa por (5, 3). d) Centro en (4, 3), pasa por (6, 2).

e) Diámetro AB, donde A = (–1, 2) y B = (3, 8).

11. En los siguientes casos, determine el centro y el radio de cada circunferencia y trace la

misma en un sistema coordenado.

a) 02521022 yxyx b) 16622 xyx

c) 0351222 yyx d) 0101022 yxyx

12. Los puntos (1, 3), (5, 3), (5, –1) y (1, –1) son los vértices de un cuadrado. Halle las

ecuaciones de las circunferencias inscrita y circunscrita.

13. Demuestre que las siguientes circunferencias no se intersecan 0114222 yxyx

y 072201222 yxyx .

14. En cada inciso, halle la pendiente de la recta que contiene los dos puntos dados.

a) (2, 2) y (4, 7) b) (4, 2) y (8, 3) c) (5, 2) y (4, 0) d) (2, –5) y (0, 5)

15. Halle la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes condiciones. Escriba su respuesta

en forma simplificada. Trace la recta.

a) Pasa por (2, 3) y tiene pendiente 4 b) Pasa por (3, –4) y tiene pendiente –2

c) La intersección y vale 4 y la pendiente es –2 d) La intersección es 3 y la pendiente es 0

e) Pasa por (4, 8) y (2, 3) f) Pasa por (4, 1) y (8, 2)

16. En cada inciso, halle la intersección x, la intersección y y la pendiente de la recta dada.

Trace la recta.

a) 423 xy b) 252 xy c) 2x + 3y = 6 d) 4x + 5y = –20

17. Escriba la ecuación de la recta que pasa por (3; –3) y satisface, además, la condición dada.

Trace la recta en cada caso.

a) Es paralela a la recta y = 2x + 3 b) Es perpendicular a la recta y = 2x + 3

c) Es paralela a la recta 2x + 3y = 6 d) Es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6

e) Es paralela a la recta que pasa por (–1, 1) y (3, –2) f) Es paralela a la recta x = 6

g) Es perpendicular a la recta x = 6

18. El punto (3, 10) ¿está arriba o debajo de la línea y = 3x – 1?

19. En cada caso, halle las coordenadas del punto en que las rectas se intersecan. Después, halle

la ecuación de la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la primera de las rectas

dadas. a) 2x + 3y = 6 y –3x + y = 5 b) 5x – 2y = 5 y 2x + 3y = 6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números

naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. Volume 6. Spanish

Edition. ISBN-10: 1505270146. https://www.createspace.com/5137020

James Steward. 1994. Cálculo. Grupo Editorial Americana.

Leithold, L. 1992. El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.

Larson, Hostetler, Edwards. 1991. Calculus with Applications. Mc Graw Hill.

Purcell y Vargerg. 1992. Calculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.

Zill, D. 1985. Calculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

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