TEMA 8: Opciones VI: Sensibilidades y Cobertura

A ttAppuunn eess ddee IInnggeenniieerrííaa FFiinnaanncciieerraa

TTEEMMAA 88:: OOppcciioonneess VVII:: SSeennssiibbiilliiddaaddeess yy CCoobbeerrttuurraa

© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE

En el tema 3 se han estudiado cuales son los factores que afectan a la

prima de una opción: precio de ejercicio, cotización del subyacente, volatilidad

del subyacente, plazo a vencimiento, tipo de interés y dividendos. A excepción

del precio de ejercicio, el resto de factores varían o pueden variar a lo largo de

la vida de la opción y es importante aprender cómo se ve afectada la prima

ante esos cambios, es decir, saber cómo de sensible es la prima de la opción a

variaciones en esos factores. Cuanto más sensible más arriesgada será la

opción.

Estas sensibilidades serán la herramienta a utilizar para realizar las

operaciones de cobertura. Si queremos eliminar el riesgo de nuestra cartera de

inversión tenemos que conseguir que sea insensible a esos factores, es decir,

que sus sensibilidades sean cero.

Pero estas sensibilidades no son estáticas sino que pueden variar con el

transcurso del tiempo. Por tanto, para realizar una buena cobertura ésta tiene

que ser dinámica, es decir, es necesario actualizar periódicamente la

composición de cartera cubierta para mantener las sensibilidades iguales a

cero.

1

Apuntes de Apuntes de IngenierIngenieríía Financieraa Financiera

TEMA 8: OPCIONES VI: TEMA 8: OPCIONES VI: SENSIBILIDADES Y COBERTURASENSIBILIDADES Y COBERTURA

© Carlos Forner Rodríguez

Universidad de AlicanteDepartamento de Economía Financiera y Contabilidad

Tema 8: Opciones VI: Tema 8: Opciones VI: SensibilidadesSensibilidades

Apuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner

1. Introducción2. Sensibilidades de las opciones

2.1. Delta2.2. Gamma2.3. Vega2.4. Theta2.5. Rho

3. Sensibilidades de una posición al contado y de una cartera

4. Cobertura:4.1. Cobertura Delta4.2. Cobertura Delta-Gamma4.3. Cobertura Vega

ÍÍndicendice

Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner

2



¿¿CCóómo afectan los cambios en dichas variables al precio de la mo afectan los cambios en dichas variables al precio de la opciopcióón? n? ⇒⇒ ¿¿CuCuáál es la sensibilidad del precio de una opcil es la sensibilidad del precio de una opcióón ante n ante cambios marginales en estas variables? cambios marginales en estas variables? ⇒⇒ DERIVADASDERIVADAS

º , , , ( ) , ,t tCall f P K T t r divσ+ − + + + −⎡ ⎤= −⎣ ⎦

t

t

Call

Put

?º , , , ( ) , ,t tPut f P K T t r divσ− + + − +⎡ ⎤= −⎣ ⎦

tt TT

( ) y , , pueden variar varíant t tt T t P r Call y Putσ↑ ⇒ ↓ − ⇒

1. Introducci1. Introduccióónn



2.1. Delta (2.1. Delta (∆∆) ) ⇒⇒ Sensibilidad a Sensibilidad a cambios en la cotizacicambios en la cotizacióón del subyacenten del subyacente

0 0t tCALL PUT

t t

Call Puty

P P

∂ ∂∆ = > ∆ = <

∂ ∂

CALL

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5Cotización Subyacente (P)

Pri

ma

PUT

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4


Pri

ma

CALL

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5

Cotización Subyacente (P)

DE

LT

A

PUT

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5


DE

LT

A

PtePte==∆∆>0>0

PtePte==∆∆<0<0

OTMOTM ITMITM

OTMOTMITMITM

⎢⎢∆∆⎢→⎢→00 ⎢⎢∆∆⎢→⎢→11

⎢⎢∆∆⎢→⎢→11 ⎢⎢∆∆⎢→⎢→00

2. Sensibilidades de las opciones2. Sensibilidades de las opciones


3



Ejemplo: Ejemplo: ∆∆=0,5 =0,5 ⇒⇒ Ante un cambio Ante un cambio marginalmarginal en la cotizacien la cotizacióón del n del subyacente el precio de la opcisubyacente el precio de la opcióón varn varíía en un 50% de dicho cambioa en un 50% de dicho cambio

1 10€tP =

tt11 TTtt22

2tP

Si PSi Pt2t2=10,1=10,1€€ ⇒⇒ (P(Pt2t2--PPt1t1)=0,10)=0,10€€ ⇒⇒ (Call(Callt2t2--CallCallt1t1) ) ≈≈ 0,5*0,1=0,050,5*0,1=0,05€€

Si PSi Pt2t2=12=12€€ ⇒⇒ (P(Pt2t2--PPt1t1)=2)=2€€ ⇒⇒ (Call(Callt2t2--CallCallt1t1) ) ≈≈ 0,5*2=10,5*2=1€€

La aproximaciLa aproximacióón (n (≈≈) ser) seráá mejor en el primer mejor en el primer caso dado que la variacicaso dado que la variacióón es mn es máás marginals marginal




2.2. Gamma (2.2. Gamma (ɣɣ) ) ⇒⇒ Sensibilidad de Sensibilidad de ∆∆ a a cambios en la cotizacicambios en la cotizacióón del subyacenten del subyacente

0t

tPγ ∂ ∆= >∂

CALL

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5


DE

LT

A

PUT

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5


DE

LT

A

PtePte==ɣɣ>0>0

OTMOTM ITMITM

OTMOTMITMITM

ɣɣ→→00 ɣɣ→→00

ɣɣ→→00 ɣɣ→→00

PtePte==ɣɣ>0>0

CALL

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5


GA

MM

A

PUT

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3


GA

MM

A

OTMOTMɣɣ→→00

ITMITMɣɣ→→00

OTMOTMITMITMɣɣ→→00 ɣɣ→→00



4



2.3. Vega (2.3. Vega (ƲƲ) ) ⇒⇒ Sensibilidad a cambios en la Sensibilidad a cambios en la volatilidad del subyacentevolatilidad del subyacente

0 0t tcall put

t t

Call Putν νσ σ

∂ ∂= > = >

∂ ∂

PUT

0,3

0,8

1,3

1,8

2,3

2,8

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5


VE

GA

CALL

0,3

0,8

1,3

1,8

2,3

2,8

6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5


VE

GA

2.4. Theta (2.4. Theta (θθ) ) ⇒⇒ Sensibilidad al Sensibilidad al transcurso del tiempotranscurso del tiempo

0t tcall put

t t

Call Put

t tθ θ∂ ∂

= < =∂ ∂

2.5. Rho (2.5. Rho (ρρ) ) ⇒⇒ Sensibilidad a cambios Sensibilidad a cambios en el tipo de interen el tipo de interééss

0 0t tcall pyt

t t

Call Put

r rρ ρ∂ ∂

= > = <∂ ∂




Sensibilidades segSensibilidades segúún el modelo Blackn el modelo Black--Scholes:Scholes:

1 1( ) ; ( )CALL putN d N d∆ = ∆ = − −

1'( )

t

N d

S T tγ

σ=

⋅ ⋅ −

( ) ( )1 12 2

'( ) '( )( ) ; ( )2 2

r t t r t tt tCALL PUT

S N d S N dr X e N d r X e N d

T t T t

σ σθ θ− ⋅ − − ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ = − + ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅ −

1'( )tS T t N dν = ⋅ − ⋅

( ) ( )2 2( ) ( ) ; ( ) ( )r T t r T t

CALL PUTX T t e N d X T t e N dρ ρ− ⋅ − − ⋅ −= ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ −



5



3.1. Posici3.1. Posicióón al contado:n al contado: 1 0t

t

P

Pγ ν θ ρ∂

∆ = = = = = =∂

3.2. Una cartera compuesta por N activos:3.2. Una cartera compuesta por N activos:

xxii i=1,2,3,i=1,2,3,……,N ,N ⇒⇒ nnºº de activos de activos ““ii”” compradoscomprados

t ,1

,

1 1

Valor cartera

Valor cartera( , , , ) ( , , , )

N

i i ti

N Ni t

cartera i i ii i

x P

PSensibilidad x x Sensibilidad

Variable P t r Variable P t rσ σ

=

= =

= ⇒

∂∂= = = ⋅∂ ∂

∑

∑ ∑

1

N

cartera i ii

Sensibilidad x Sensibilidad=

= ⋅∑ Carteras con el Carteras con el mismo subyacentemismo subyacente

3. Sensibilidades de una posici3. Sensibilidades de una posicióón al n al contado y de una carteracontado y de una cartera



Ejemplo: 11/12/2001Ejemplo: 11/12/2001

Cartera: 20 contratos Cartera: 20 contratos CALLCALLBBVABBVA(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 compradas compradas ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4394=0,4394

15 contratos 15 contratos PUTPUTBBVABBVA(K(K=16)=16)vtovto:21/12/01:21/12/01 compradas compradas ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,9786=0,9786

250 acciones del BBVA vendidas en descubierto250 acciones del BBVA vendidas en descubierto

10 contratos 10 contratos CALLCALLREPSOLREPSOL(K(K=17)=17)vtovto:21/06/02:21/06/02 vendidas vendidas ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4655=0,4655

5 contratos 5 contratos PUTPUTREPSOLREPSOL(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 compradas compradas ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,44468=0,44468

300 acciones de REPSOL compradas300 acciones de REPSOL compradas

10 contratos 10 contratos PUTPUTMINIMINI--IBEXIBEX(K(K=8600)=8600)vtovto:18/01/02:18/01/02 vendidas vendidas ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4689=0,4689

5 cestas IBEX compradas5 cestas IBEX compradas

(20 100) 0,4394 (15 100) ( 0,9786) ( 250) 1cartera BBVA∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + − ⋅

( 10 100) 0,4655 (5 100) ( 0,4468) 300 1cartera REPSOL∆ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅

( 10 1) ( 0, 4689) 5 1cartera IBEX∆ = − ⋅ ⋅ − + ⋅



6



Ejemplo: 11/12/2001Ejemplo: 11/12/2001

CALLCALLBBVABBVA(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4394=0,4394

PUTPUTBBVABBVA(K(K=16)=16)vtovto:21/12/01:21/12/01 ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,9786=0,9786

CALLCALLREPSOLREPSOL(K(K=17)=17)vtovto:21/06/02:21/06/02 ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4655=0,4655

PUTPUTREPSOLREPSOL(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,44468=0,44468

PUTPUTMINIMINI--IBEXIBEX(K(K=8600)=8600)vtovto:18/01/02:18/01/02 ⇒⇒ ⎢⎢∆∆⎢⎢=0,4689=0,4689

¿¿∆∆ CALLCALLBBVABBVA(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 comprada?comprada? ⇒⇒ 1*(0,4394)1*(0,4394)

¿¿∆∆ CALLCALLBBVABBVA(K(K=15)=15)vtovto:15/03/02:15/03/02 vendida?vendida? ⇒⇒ --1*(0,4394)1*(0,4394)

¿¿∆∆ PUTPUTBBVABBVA(K(K=16)=16)vtovto:21/12/01:21/12/01 comprada?comprada? ⇒⇒ 1*(1*(--0,9786)0,9786)

¿¿∆∆ PUTPUTBBVABBVA(K(K=16)=16)vtovto:21/12/01:21/12/01 vendida?vendida? ⇒⇒ --1*(1*(--0,9786)0,9786)

¿¿∆∆ contrato contrato PUTPUTBBVABBVA(K(K=16)=16)vtovto:21/12/01:21/12/01 vendido? vendido? ⇒⇒ --1*100*(1*100*(--0,9786)0,9786)




Fuente: www.meff.es


7



4.1. Cobertura Delta4.1. Cobertura Delta

Valor Cartera Variación Valor Cartera Variación en tcartera cartera t

t

PP

∂∆ = ⇒ ≈ ∆ ⋅

∂

Variaciones futuras en PVariaciones futuras en Ptt no son conocidas no son conocidas ⇒⇒ no sabemos que va a ocurrir no sabemos que va a ocurrir con el valor futuro de la cartera con el valor futuro de la cartera ⇒⇒ Existe riesgoExiste riesgo

¿¿CCóómo podemos eliminar dicho riesgo?mo podemos eliminar dicho riesgo? Construyendo una cartera Construyendo una cartera que con DELTA CERO (que con DELTA CERO (∆∆=0)=0)

∆∆cartera cartera ⇒⇒ Delta de la cartera que deseamos cubrirDelta de la cartera que deseamos cubrir

∆∆activo activo ⇒⇒ Delta del activo financiero que queremos utilizar para cubrirnoDelta del activo financiero que queremos utilizar para cubrirnoss

xxactivoactivo ⇒⇒ Cantidad del activo financiero que hay que comprar para cubrirnCantidad del activo financiero que hay que comprar para cubrirnosos

0 carteracartera activo activo activo

activo

x x∆

∆ + ⋅∆ = ⇒ = −∆

4. Cobertura4. Cobertura



Cobertura DELTA:Cobertura DELTA:

-- Nos cubrimos ante cambios Nos cubrimos ante cambios marginalesmarginales en la cotizacien la cotizacióón del n del subyacente (Psubyacente (Ptt))

-- ∆∆ no es estno es estááticatica ⇒⇒ cambia ante variaciones en el precio del cambia ante variaciones en el precio del subyacente subyacente ⇒⇒ La cobertura Delta se desajustaLa cobertura Delta se desajusta con el transcurso con el transcurso del tiempo conforme Pdel tiempo conforme Pt t cambiacambia



8



CALL

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


Pri

ma

Ejemplo: Ejemplo: Cartera a cubrir: una acciCartera a cubrir: una accióón comprada n comprada ⇒⇒ PPtt=10=10€€

CALL(KCALL(K=10) =10) ⇒⇒ ATMATM

∆∆= = 0,59 y ɣɣ=0,18=0,18CALL(KCALL(K=5) =5) ⇒⇒ ITMITM

∆∆= = 1 y ɣɣ=0,01=0,01

CALL

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17


Pri

ma

AcciAccióón compradan comprada

--1/0,59=1/0,59=--1,71,7 --1/1=1/1=--11

1,7 1,7 CALL(KCALL(K=10) vendidas=10) vendidas

Cartera cubiertaCartera cubierta

AcciAccióón compradan comprada

1 1 CALL(KCALL(K=5) vendida=5) vendida

Cartera cubiertaCartera cubierta

ƔƔcarteracartera==--1,7*0,18=1,7*0,18=--0,3060,306 ƔƔcarteracartera==--1*0,01=1*0,01=--0,0170,017

∆∆ es sensible a cambios en Pes sensible a cambios en Ptt ∆∆ es muy poco sensible a es muy poco sensible a cambios en Pcambios en Ptt




Conclusiones:Conclusiones:

Cuanto Cuanto menor es el menor es el ⎢⎢ɣɣ ⎢⎢de de unauna carteracartera de de coberturacobertura Delta Delta

Cuanto Cuanto mayor es el mayor es el ⎢⎢ɣɣ ⎢⎢de de unauna carteracartera de de coberturacobertura DeltaDelta

-- MMááss protegidaprotegida estestáá ante ante cambioscambios no no marginalesmarginales en Pten Pt

-- MenosMenos frecuentesfrecuentes son los son los ajustesajustes necesariosnecesariosparapara mantenermantener la la coberturacobertura DeltaDelta

-- MenosMenos protegidaprotegida estestáá ante ante cambioscambios no no marginalesmarginales en Pten Pt

-- MMááss frecuentesfrecuentes son los son los ajustesajustes necesariosnecesariosparapara mantenermantener la la coberturacobertura DeltaDelta



9



1 1 2 2

1 1 2 2

00

cartera activo activo activo activo

cartera activo activo activo activo

x x

x xγ γ γ∆ + ⋅∆ + ⋅∆ =

+ ⋅ + ⋅ =

Para realizar una mejor cobertura ante cambios en PPara realizar una mejor cobertura ante cambios en Ptt : :

4.2. Cobertura Delta4.2. Cobertura Delta--Gamma simultGamma simultááneanea

Necesitamos dos activos:Necesitamos dos activos:

4.3. Cobertura Vega4.3. Cobertura Vega

Posibles variaciones futuras en la volatilidad Posibles variaciones futuras en la volatilidad σσ del subyacente del subyacente ⇒⇒ tendrtendráán n un impacto en el precio de la opciun impacto en el precio de la opcióónn ⇒⇒ Existe riesgoExiste riesgo

¿¿CCóómo podemos eliminar dicho riesgo?mo podemos eliminar dicho riesgo? Construyendo una cartera Construyendo una cartera que con VEGA CERO (que con VEGA CERO (ƲƲ=0)=0)

0 carteracartera activo activo activo

activo

x xνν νν

+ ⋅ = ⇒ = −

En cualquier caso En cualquier caso ⇒⇒ La cobertura tiene que ser revisada La cobertura tiene que ser revisada periperióódicamente dicamente ⇒⇒ COBERTURA DINCOBERTURA DINÁÁMICAMICA



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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER

EJERCICIOS Ejercicio 8.1 El 04/12/2001 a las 13:20 horas un inversor poseía la siguiente cartera: - 2 contratos CALL comprados s/ Mini IBEX con X=8.800 y vto. 21/12/2001. - 3 contratos PUT vendidos s/ Mini IBEX con X=8.000 y vto. 21/12/2001. a) Indique que opciones están “fuera de dinero” (OTM), “en dinero” (ATM) y “dentro de dinero” (ITM). Relacione dicha clasificación con las sensibilidades Delta y Gamma. b) Calcule de forma aproximada como le afectará a la prima de ambas opciones las siguientes variaciones: - Que el activo subyacente pase de cotizar a 8332 a 8334. - Que transcurra un día. - Que la volatilidad pase del 28,9% al 27,9%. - Que el tipo de interés pase del 3,42% al 3,92%. c) Obtenga la estructura de resultados en vencimiento, así como el perfil beneficios/pérdidas en vencimiento de la cartera. Calcule también los puntos de ruptura. d) Calcule las sensibilidades de una cartera compuesta por 10.000 de estas carteras. e) Realice una cobertura Delta-Gamma simultanea utilizando la PUT s/ Mini IBEX con X=8.000 y vto. 21/12/2001 así como la CALL s/ Mini IBEX con X=8.000 y vto. 21/12/2001.

Fuente: www.meff.es

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Fuente: www.meff.es

Fuente: www.meff.es

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Ejercicio 8.2 (continuación del ejercicio 8.1) Tomando las nuevas cotizaciones y sensibilidades a 18/12/2001: a) Calcule las sensibilidades Delta y Gamma de la cartera de cobertura Delta-Gamma simultanea obtenida en el apartado “e” de la Práctica 10. Explique los resultados obtenidos. b) ¿Qué ajuste realizaría usted para mantener la “cobertura Delta-Gamma simultanea” de dicha cartera? Utilice para ello las siguientes opciones: - CALL s/ Mini IBEX con X=8.800 y vto. 21/12/2001. - CALL s/ Mini IBEX con X=8.000 y vto. 21/12/2001.

Fuente: www.mefff.es

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Ejercicio 8.3 El 18/12/2001 un inversor poseía la siguiente cartera: - 65 contratos CALL vendidas s/ ALTADIS con X=18 y vto. 21/12/2001. - 30 contratos PUT vendidos s/ ALTADIS con X=16 y vto. 15/03/2002. - 5 contratos CALL compradas s/ ALTADIS con X=19 y vto. 15/03/2002. - 2700 acciones de ALTADIS vendidas en descubierto. a) Indique que opciones están “fuera de dinero” (OTM), “en dinero” (ATM) y “dentro de dinero” (ITM). b) Calcule las sensibilidades de la cartera. c) Realice una cobertura Delta-Gamma-Vega simultanea utilizando: - la PUT s/ ALTADIS con X=17 y vto. 15/03/2002, - la CALL s/ ALTADIS con X=18 y vto. 21/12/2001. - acciones de ALTADIS. d) Realice una cobertura Delta que no suponga entrada ni salida de tesorería utilizando: - la PUT s/ ALTADIS con X=17 y vto. 15/03/2002, - la CALL s/ ALTADIS con X=19 y vto. 15/03/2002,

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Fuente: www.meff.es

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Fuente: www.meff.es

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Fuente: www.meff.es

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TEMA 8: Opciones VI: Sensibilidades y Cobertura

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