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Máximo Camacho Econometría I - ADE+D 11/12 - Tema 8 1

Tema 8: Heteroscedasticidad

Máximo Camacho


Heteroscedasticidad

i  Bloque I: El modelo lineal clásico

r  Tema 1: Introducción a la econometría

r  Tema 2: El modelo de regresión lineal

r  Tema 3: El método MCO

r  Tema 4: Propiedades de la estimación MCO

r  Tema 5: Inferencia y predicción

i  Bloque II: Extensiones al modelo lineal clásico r  Tema 6: Multicolinealidad

r  Tema 7: Variables ficticias

r  Tema 8: Heteroscedasticidad

r  Tema 9: Endogeneidad


Descripción de la clase

  Introducción a la heteroscedasticidad

  El método MCO bajo heteroscedasticidad

i  ELI, no óptimo

  El método MCG

i  ELIO

  Detección de heteroscedasticidad: gráficos y contrastes

  Métodos prácticos de estimación de modelos con heteroscedasticidad

  Conclusiones


1. Introducción 1.1. Ejemplo de clase

  Imaginemos que en una región (California) los responsables de educación quieren

estudiar notas en 420 colegios. Datos en 1998

i  Notas Yi

i  Ratio estudiantes por profesor X1i (REP)

i  Porcentaje de alumnos que no hablan bien el idioma X2i (PNI)

i  Porcentaje de alumnos que pueden pedir ayuda para comedor X3i (PAC)

  ¿Cómo estimamos esta relación?

  Modelo lineal clásico


1. Introducción 1.2. Supuestos del modelo lineal clásico

  Suponemos relación lineal entre las variables

  Supuestos

  Exogeneidad débil

  Muestras aleatorias ⇒

�  Momentos cuartos finitos

�  No multicolinealidad exacta

�  Normalidad

�  Homoscedasticidad

ikikii XXY εβββ ++++= ...110

( ) ( ) 0== iii EE εχε

( ) ( ) ( ) ∞<<∞<<∞<< 441

4 0,...,0,0 kiii XEXEE ε

esdependient elinealmentson no ,...,1 nXX

NX ~ε

( ) iXi ∀= 2var σε

εβ += XY iiiY εβχ += '

( ) ( ) 0== iji EE εχε ( ) ( ) ( ) 0== jiji EEE εεεε


  Diremos que en un modelo existe heteroscedasticidad cuando

  En el modelo poblacional

2. Concepto de heteroscedasticidad 2.1. Definición

( ) 2var ii X σε =

( )( )

( )

V

X

XX

X

n

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ε

ε

ε

ε

var00

0var000var

)var( 2

1

Notas

REP

f(Y/X=25) f(Y/X=20) f(Y/X=15)

REP

Notas Homoscedasticidad Heteroscedasticidad

f(Y/X=25) f(Y/X=20)

f(Y/X=15)


  ¿Qué ocurre con los datos de nuestro ejemplo?

i  Una vez conocido el valor de X, la dispersión de Y es mayor entorno a la media de X

que para valores muy grandes o muy pequeños de X

i  Intuición económica:

r  Colegios con bajo (alto) REP son buenos (malos) y sus alumnos sacan altas (bajas) notas

r  En los colegios con REP en torno a la media hay de todo y la dispersión de notas es mayor


notas

Ratio estudiante-profesor

ii XY 28.29.698ˆ −=

( )6.19=X

( ) mii XX 22var −= λε


  Ejemplos económicos donde puede existir heteroscedasticidad

i  Ventas de la empresa en función del tamaño

r  Las pequeñas empresas venden poco todas, entre las grandes hay más dispersión

i  Vehículos en la familia en función de la renta

r  Las familias pobres consumen poco todas, entre las ricas hay más dispersión

i  Dividendos a repartir entre accionistas en función del beneficio

r  Las empresas con pocos beneficios tienen poco que repartir, entre las que tienen altos

beneficios hay más dispersión

i  En series temporales también ocurre

r  Desde los 80s hay menos volatilidad en las series macroeconómicas



  ¿MCO sigue siendo ELIO?

i  Parece claro que EL no hay problema

i  ¿Qué ocurre con la insesgadez? Usando

i  Pero, ¿sigue siendo óptimo?

r  Teorema de Gauss-Markov. Si un estimador cumple

r  Para cualquier otro ELI

r  Se cumple que

r  Entonces ya no es óptimo porque es ELI pero no cumple

3. El método MCG 3.1. Consecuencias sobre MCO

( ) ( ) εββ ''''ˆ 11 XXXYXXXMCO−− +== ( ) VX =εvar

( ) ( ) ( ) βεββ =+= − XEXXXXE ''ˆ 1

a

YA'~=β

( ) ( ) 0ˆ'var~'var, * ≥−∀ ββ ccc

a más *β

MCOβ

( ) ( ) ( ) 11 '''ˆvar −−= XXVXXXXXβ


  Busquemos un estimador óptimo: un ELI que cumpla

i  Como V es simétrica y definida positiva, siempre existe P tal que

i  Pre-multipliquemos el modelo original por P

i  ¿Cumple ?

i  Por Gauss-Markov, aplicar MCO al modelo con estrella es óptimo

3. El método MCG 3.2. MCG es óptimo

( ) VX =εvar

1' −=VPPIPVP ='

εβ PPXPY += *** εβ += XY

( ) IPVPX == 'var *ε

( ) ( ) YVXXVXYXXXMCG111**1** ''''ˆ −−−−

==β


  Dividir el modelo original por la desviación típica y aplicar MCO al corregido

i  ¿Cómo es P?

i  El modelo corregido será

r  Observación : damos más peso a observaciones con menor varianza (más precisas)

i  Este modelo es homoscedástico ⇒ MCO da ELIO

3. El método MCG 3.3. Una forma fácil de aplicar MCG

1' −=VPP⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

22

21

00

0000

n

V

σ

σ

σ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

P

σ

σ

σ

100

010001

2

1

εβ PPXPY +=i

i

i

kik

i

i

ii

i XXYσε

σβ

σβ

σβ

σ++++= ...1 1

10

( ) 1var1var 2 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛XX i

ii

i εσσ

ε


  Ejemplo: heteroscedasticidad provocada por agregación de datos

i  Supongamos que queremos estimar consumo regional en función de renta regional

i  Los datos son medias de los municipios de la región

i  Incluso aunque ui sea homoscedásico , εi es heteroscedástico salvo en el

caso que ni = n para todo i

i  ¿Cómo estimamos? MCO al modelo corregido

3. El método MCG 3.3. Una forma fácil de aplicar MCG

iii XY εββ ++= 10

∑= ini yYi

1 ∑= ini xXi

1 ∑= ini ui

1ε

( ) 2var σ=Xui

( ) 211varvar σεi

ii

i nu

nX =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

iiiiiii nXnnYn εββ ++= 10


  Esperanza y varianza

  Distribución: por similitud a los capítulos estudiados para MCO

i  Si suponemos normalidad

i  Si tenemos muestras grandes aunque no supongamos

i  Contrastes

3. El método MCG 3.4. Distribución del estimador

( ) εββ 111 ''ˆ −−−+= VXXVXMCG

( ) ( ) ( ) βεββ =+= −−− XEVXXVXXE MCG111 ''ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1121111111 '''var''ˆvar−−−−−−−−− Ω=== XXXVXXVXXXVXXVXXMCG λεβ

Ω= 2λV

( )( )11',~ˆ −− XVXNXMCG ββ

( )( )11',ˆ −−⎯→⎯ XVXNX dMCG ββ

( ) ( )( ) ( )∞

−

⎯→⎯−−

= ,

1*

ˆ'ˆvar'ˆq

dMCGMCGMCG Fq

rRRRrRF βββ


  Gráfico de los datos con recta de regresión MCO

  Cuadrado de residuos versus variables explicativas

4. Métodos para detectar la heteroscedasticidad 4.1. Métodos gráficos

notas

Ratio estudiante-profesor

ii XY 28.29.698ˆ −=

52.50-2.5-5

50

37.5

25

12.5

0

x

y

x

y

mxy 2−=

0

400

800

1200

1600

2000

2400

12 14 16 18 20 22 24 26

REP

E2


  Contraste de White: si hay hetero la varianza será función de las explicativas

i  Calcula un estimador de la varianza: cuadrado de residuos de MCO en

i  Regresa e2 sobre una constante, las explicativas, sus cuadrados y los productos cruzados sin que se

repita ninguno y obtiene R2. ( q = número de regresores aparte de la constante)

i  Contrasta

i  Nuestro ejemplo

4. Métodos para detectar la heteroscedasticidad 4.2. Métodos estadísticos

ikikii XXY εβββ ++++= ...1102ie

ij jp

pijijpj

jijj

jiji XXXXe εδωαα ++++= ∑∑∑∑<

20

2 2R

homo:0H hetero :aH22qnR χ⎯→⎯

2,αχ q

99.54.802.0*420 205.0,2

2 =>== χnR hetero


  Contraste de Glesjer: si hetero varianza será función una variable (explicativa)

i  Calcula un estimador de la desviación típica: valor absoluto de residuos de MCO en

i  Regresa | ei | sobre una variación de la variable causante de hetero

r  h = ± 1, ± 0.5, ± 2 ⇒ funciones más usuales (criticable)

r  Nos quedamos con h* para el que se produzca más rechazo en contraste significatividad α1

i  Contrastar

i  En nuestro caso


ikikii XXY εβββ ++++= ...110 ie

ihii Xe εαα ++= 110

homo:0H hetero :aH ( ) ∞⎯→⎯= tt 11* ˆravˆ1

ααα

2

)48.915()49.2(61.225931.9ˆ −+= ii REPe 96.146.2 025.0,

*1

=>= ∞ttα hetero


  Contraste de Goldfeld-Quandt: si hetero vari función monótona de variable (explicativa)

i  Reordenamos datos de forma creciente en X1

i  Dividimos la muestra en tres y dejamos c ( 1/3 criticable) datos centrales sin utilizar

i  Estimamos varianza en ambos extremos y las comparamos

i  En nuestro caso

r  No sirve porque la varianza no se relaciona con REP de forma monótona


i i i

i i

i

i

i i i

i i i i i

i

i

i i i

i i i i i i i i

i i

i i i i i

i

i

i i i i

i

i

i

i i

i i i i i

i i 21σ 2

2σ

X1

Y

c

homo:0H hetero :aH KnKnF −− 12 ,12 ~ˆˆ σσ

2.106.169.932.10ˆˆ 38.1,13812 =<== Fσσ homo?


  En las aplicaciones prácticas rara vez conoceremos V ⇒ No podemos aplicar MCG

  Solución: estimar V y usarla en las fórmulas de MCG

  ¿Cómo afecta la estimación de V? La estimamos de forma consistente

i  Si conocemos la estructura de la varianza: ejemplo

4  Estimamos el modelo original por MCO y obtenemos e

4  Regresamos MCO e2 sobre X y estimamos α

4  La usamos para corregir el modelo y aplicamos MCO al corregido (MCGF)

i  Si pensamos que depende linealmente de una variable: Glesjer

i  Entonces

i  Los contrastes t* y F* en grandes muestras se pueden aplicar

5. Solución a la heteroscedasticidad 5.1. El estimador MCGF

( ) YVXXVXMCGF111 ˆ'ˆ'ˆ −−−=β

( ) αχε 'var ii X =

ii

kik

i

i

i

i

i

i uXXYY++++=

αχβ

αχβ

αχβ

αχ ˆ'...

ˆ'ˆ'ˆ'1

10

MCGMCGF ββ ˆˆ ⎯→⎯ ( ) ( )XX MCGMCGF ββ ˆvarˆrav ⎯→⎯


  Normalmente no conocemos las estructura de la varianza

i  No podremos asegurar que obtenemos estimaciones de la varianza sean consistentes

i  Nada asegura que MCGF tienda al óptimo (MCG)

i  Podemos tener varianzas muy grandes

  En nuestro ejemplo: usamos Glesjer para estimar MCGF

5. Solución a la heteroscedasticidad 5.1. El estimador MCGF

( ) ii REPastNo48.0)67.9(21.256.697ˆ −=

MCGMCGF ββ ˆˆ ⎯→⎯ pero ( ) ( )XX MCGMCGF ββ ˆvarˆrav ⎯→⎯

( ) ii REPastNo47.0)46.9(28.293.698ˆ −=

MCGF MCO


  White propone estimar MCO (ELI y consistente)

  Pero tenemos que estimar su varianza de forma consistente

–  Sabemos que

–  Tenemos que estimar σi2 consistentemente sin hacer supuestos sobre la estructura de la varianza

4  Estimamos el modelo original por MCO y obtenemos e

4  Sustituimos ei2 por σi

2

  En nuestro ejemplo

5. Solución a la heteroscedasticidad 5.2. El estimador de White

( ) ii REPastNo51.0)36.10(28.293.698ˆ −=

( ) ii REPastNo47.0)46.9(28.293.698ˆ −=

White MCO

( ) YXXXMCO ''ˆ 1−=β

( ) ( ) ( ) ( ) 11 'var''ˆvar −−= XXXXXXXXMCO εβ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

22

21

00

0000

var

n

X

σ

σ

σ

ε


6. ¿Qué hemos aprendido?

  Heteroscedasticidad: varianza no constante

  MCO ELI y consistente pero no óptimo

  MCG ELIO

  ¿Cómo detectar la heteroscedasticidad?

i  Métodos gráficos

i  Métodos estadísticos: White, Glesjer, Goldfeld-Quandt

g  ¿Cómo resolver heteroscedasticidad?

i  Si conocemos estructura de varianza: MCGF (ELI) y es asintóticamente óptimo

i  Si no conocemos estructura de varianza: MCO (ELI) con varianza de White

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