TEma 7 Sistemas de ecuaciones simultáneas
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UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA ECONOMETRIA I
LIC. FERNANDO ESCOBAR
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
1. Introducción
2. El problema de identificación
3. Estimación de modelos de ecuaciones simultáneas
1. Introducción
En la primera parte del curso vimos la estimación de modelos uniecuacionales. Veamos
algunos ejemplos un tanto distintos, modelos denominados de ecuaciones simultáneas.
1. Consideremos la siguiente función de consumo y la identidad de cuentas nacionales
ttt YC (1)
ttt ZCY (2)
Las ecuaciones (1) y (2) es el sistema de ecuaciones en su forma estructural, donde:
tC Es el gasto de consumo agregado
tY Es el ingreso nacional
tZ Gasto que no representa consumo (inversión, gasto de gobierno, etc.)
t Perturbación estocástica
En este sistema, tC e tY representan variables endógenas y tZ es la variable exógena
del modelo. Los parámetros de las ecuaciones son denominados parámetros
estructurales.
Hagamos los siguientes supuestos:
a) ),0( 2 INt
b) tZ y t son independientes
Reemplazando la ecuación (2) en (1), obtenemos:
ttt
tttt
ZC
CC
)1(
)(
111
t
tt ZC (3)
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y
ttt ZCY
11
1
1
t
tt ZY (4)
A las ecuaciones (3) y (4) se les denomina ecuaciones en su forma reducida. Las
variables endógenas se expresan en función de variables predeterminadas del modelo
(exógenas o endógenas rezagadas) y de la perturbación estocástica del modelo.
Sea
1
t
tv
Si los errores en el modelo original no están correlacionados y son homoscedásticos,
INv
2
2
)1(,0
De la ecuación (4), se puede demostrar que:
)1(),(
2
ttYCov
Habíamos vistos que bajo los supuestos del modelo lineal clásico, para obtener
estimadores con propiedades deseables (insesgados y consistentes) los errores no
deberían están correlacionados con ninguna de las variables explicativas del modelo.
Por tanto, dado que el ingreso está correlacionado con la perturbación estocástica,
concluimos que si aplicamos MCO a la ecuación (1) (es decir, a la función de
consumo), obtendríamos estimadores sesgados e inconsistentes.
2. Consideremos el caso en que ambas ecuaciones son estocásticas:
ttt yy 1112121 (5)
ttt yy 2212121 (6)
En lo que sigue, se utilizará la letra y para denotar variables endógenas y la x para las
variables predeterminadas (las variables no están en desviaciones a la media).
Imponiendo las restricciones 012 y 021 , denotando 1y como el precio e 2y
como la cantidad, podríamos interpretar el sistema como uno de una recta de demanda y
una recta de oferta, respectivamente. A fin de que el intercepto de la demanda sea
positivo, desearíamos imponer la restricción 011
Si 021 tt , el modelo podría ser representado como en la figura 1 donde *1y e
*2y representan el precio y la cantidad de equilibrio, respectivamente.
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Figura 1 (Tarea Dibujar el sistema)
Errores aleatorios, distintos de cero harán desplazarse a la curva de demanda y oferta
generando una nube de puntos ),( 21 yy alrededor del equilibrio ( E )
La pregunta que surge es ¿cómo estimar 2 funciones (oferta y demanda) por separado
conociendo sólo una nube de puntos ( 21 , yy )?. Dicho problema se llama el problema de
identificación.
Éste se refiere a si una ecuación específica de un modelo de ecuaciones simultáneas
puede ser estimada. En particular, si los parámetros estructurales de una de las
ecuaciones que constituye el sistema de ecuaciones simultáneas pueden ser estimados.
Para investigar el problema de identificación en las ecuaciones anteriores, tenemos que
mirar la forma reducida del modelo (expresar las variables endógenas del modelo en
términos de los errores del modelo y las variables predeterminadas).
tttt yy 111221121121 )(
(reemplazando la ecuación (6) en (5))
))(1
12121211211
2112
1 ttty
Y por lo tanto,
))(1
12121211121
2112
2 ttty
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:
tt vy 111 (7)
tt vy 222 (8)
Donde
211211
1
211121
2
tt
tv2121
1
2112
2121
2
1
tt
tv
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Si imponemos:
2221
1211
2
1
)'(
0
0)(
tt
t
t
t
E
EE
Entonces:
0)( tvE
2
12211222121121
2121
2
12212211
2
212
22
2
121222
2
12112
11
)1()(),(
2)()var(
2)()var(
tttt
tt
tt
vvEvvCov
vEv
vEv
Se sigue de (7) y (8) que:
),cov(),(
),var()var()var()var()()(
212º1
22112211
vvyyCov
vyvyyEyE
(9)
Utilizando datos muestrales de 1y y 2y podemos estimar los 5 parámetros de la forma
reducida ( ),cov(),var(),var(,, 212121 vvvv ). Sin embargo, éstos son funciones de los
7 parámetros estructurales del modelo: 12221121112112 ,,,,,, . Por lo tanto, los
parámetros estructurales no son identificables.
Hay 3 vías que básicamente pueden ayudar a identificar una o ambas ecuaciones del
modelo: (1) restricciones en los parámetros estructurales s' y s' , (2) restricciones en
la matriz y (3) reespecificaciones del modelo que incorporen variables adicionales.
Veamos un ejemplo del caso (1) Supongamos en particular, que 021 . Esto reduce el
número de parámetros estructurales a 6, pero el número de parámetros de forma
reducida sigue siendo 5. Aparentemente, los parámetros estructurales siguen no
identificados. Pero si sustituimos la restricción en 1 y 2 obtenemos:
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1
2
21
1121
2
11
1
Lo anterior implica que 21 puede ser estimado como 1
2
21ˆ
y
y (¿Por qué? R. Las
estimaciones MCO de 1 y 2 en (7) y (8) son las medias muestrales de las variables
dependientes). Esto permite identificar la ecuación de oferta pero la ecuación de
demanda sigue sin ser identificada.
Supongamos ahora una restricción del tipo (2), la cual establece que
0)var( 111 t
Esto implica que 012 puesto que t1 es no estocástico.
Ahora las ecuaciones se reducen a:
2
2212
21
2
22
2
2
22
2
12
1
),cov(
)var(
)var(
yy
y
y
Es decir, 3 ecuaciones con 3 incógnitas, de modo que:
),cov(
)var(
)var(
),cov(
)var(
)var(
21
1
2
21
2
1
12yy
y
y
yy
y
y
Ello implica que la pendiente de la función de demanda está identificada.
Tomando la esperanza en (5) da:
212111
11 también es identificable
Lo anterior puede ser graficado como:
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Movimientos de la curva de oferta permiten identificar la curva de demanda
Consideremos reespecificar el modelo incluyendo variables exógenas (tercera
forma).
t
t
xxxyy
xxyy
24243231212121
12121112121
Con 012 y 021
La forma reducida del modelo es:
(10)
2
1
4
3
2
1
24231221211121
2412231212211211
2
1
(
)(1
v
v
x
x
x
x
y
y
Donde 21121 y las sv' son aquellas dadas en las ecuaciones (7) y (8)
Las ecuaciones en (10) pueden ser reescritas como:
2
1
4
3
2
1
24232221
41312111
2
1 1
v
v
x
x
x
x
y
y (11)
Ello implica que 24
14
23
13
12
12
22
21 ,
Una vez que encontramos los s' , los s' pueden ser encontrados de 11 y 21 .
Vemos que hay 8 parámetros de forma reducida pero sólo 7 parámetros estructurales.
Ello proviene del hecho que existen dos estimadores posibles para 12 . A priori, no hay
razón por la cual estas estimaciones sean iguales (el sistema está sobreidentificado).
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2. Problema de identificación
Asumamos un modelo lineal que contiene G ecuaciones, cada una con t observaciones.
La avai ecuación se puede escribir como:
TtGi
XXYY itKTiKtitGtiGiti
...2,1...2,1
....... 11
(13)
Las variables itY son las variables endógenas en t y las itX indican variables
predeterminadas (corrientes o en rezagos) que puede incluir rezagos de las sY ' .
El modelo anterior puede ser escrito matricialmente como:
Tt
xy ttt
,....2,1
donde de dimensión GxG , es la matriz de los coeficientes de las variables
endógenas, de dimensión GxK es la matriz de coeficientes de las variables
predeterminadas. tt y, y tx son vectores columnas de dimensiones 1Gx , 1Gx y 1Kx
respectivamente. Esto es:
GGGG
G
G
...
...
...
21
22221
11211
GKGG
K
K
...
...
...
21
22221
11211
Gt
t
t
Kt
t
t
t
Gt
t
t
t
X
X
X
x
Y
Y
Y
y
.........
2
1
2
1
2
1
Asumimos que es invertible, de otra forma existirían ecuaciones en el sistema que
serían meras combinaciones lineales de otras ecuaciones.
Por lo tanto, si 1 existe, el modelo en forma reducida es:
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Ttxy ttt ,...2,1 (14)
Con tt 11
La matriz es GxK .
El problema de identificación surge porque con una muestra de tx y ty ),...2,1( Tt a
lo más podemos conocer los elementos de y los elementos de la matriz varianza-
covarianza del vector . A fin de identificar los parámetros estructurales en y es
necesario incorporar información adicional al modelo. Tal información usualmente
toma la forma de restricciones en los elementos de y y, a veces, en los elementos
de (matriz de varianzas-covarianzas de los errores estructurales del modelo)
Restricciones de los coeficientes estructurales
El modelo estructural en (13) puede ser escrito como:
t
t
t
tx
yAz
(15)
con A , matriz de todos los coeficientes estructurales,
t
t
tx
yz vector de
observaciones de todas las variables en t .
Consideremos la identificación de la primera ecuación. El procedimiento de
identificación es equivalente para el resto de las ecuaciones.
Sea 1 la primera fila de A . Entonces la primera ecuación estructural puede ser escrita
como:
ttz 11
La mayoría de las restricciones son de exclusión. Por ejemplo la variable tY3 no aparece
en la primera ecuación. Por lo tanto, 013 Esta restricción se puede escribir como:
0
0
0
0
0
1
0
0
...... 111131211
K
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Por ejemplo, si además 1211 , tenemos que
0
0
0
0
0
0
1
1
...... 111131211
K
Si estas son las únicas restricciones a priori sobre 1 , éstas pueden ser resumidas en:
01 (16)
Con
00
......
00
01
10
10
En este caso, es de dimensión 2)( xKG .
Además de las restricciones en (16), existen relaciones entre los coeficientes
estructurales y aquellos de la forma reducida:
0
0AW
con:
A y
IW
Por lo tanto, las restricciones sobre los coeficientes estructurales de la primera ecuación
son:
01 W (17)
combinando las dos restricciones anteriores:
01 W (18)
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Si los elementos de son conocidos, el conjunto de restricciones es un conjunto de
ecuaciones de RK ecuaciones en KG incógnitas.
A fin de identificar la primera ecuación, el rango de W debe ser 1 KG . De
otra forma, 001
1
W ),( W . En este caso, existirían múltiples soluciones
para 1 que pasan por el origen 0 ( es decir, 0 es solución de (18))
Si imponemos 111 (normalización) determinamos 1 de forma única.
Por lo tanto, tenemos la siguiente condición de rango
1 KGWrango (19)
Es una condición necesaria y suficiente para identificar la primera ecuación. (en general,
para la ecuación i-ava debe cumplirse la condición de rango anterior)
En la práctica la condición de rango es difícil de comprobar porque requiere construir
.
Por lo tanto, uno primero chequea condiciones necesarias para la identificación. Dado
que W tiene RK , una condición necesaria para que se dé es que:
1
1
GR
KGRK (20)
es la condición de orden.
Esta establece que el número de restricciones a priori no debe ser inferior al número de
ecuaciones en el modelo menos 1. Si hay sólo restricciones de exclusión, la condición
de orden es que el número de variables excluidas de la ecuación debe ser al menos tan
grande como el número de ecuaciones en el modelo menos 1.
Finalmente, podemos expresar R como:
kKgGR
Entonces la condición, 1GR queda como:
1
1
gkK
GkKgG
kKgGR
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El número de variables predeterminadas excluidas de la ecuación debe ser al menos tan
grande como el número de variables endógenas incluidas menos 1.
Si 1GR , la primera ecuación está exactamente identificada.
Si 1GR se dice que la ecuación está sobreidentificada (esto es, hay más
restricciones que las necesarias para la identificación).
La condición de rango se puede reescribir como:
11 GArangoKGWrango (21)
la forma 1 GArango solo involucra los coeficientes estructurales.
Ejemplo:
Supongamos un sistema de 2 ecuaciones:
ttettt
ttttt
XXYY
XXYY
222121222121
1212111212111
Supongamos que imponemos las restricciones:
00 2112 (restricciones de exclusión)
Para la primera ecuación:
22212221
12111211
1
0
0
0
A
1121)(0
2222
12
GArangoA
Si 022 . Por lo tanto, la primera ecuación está identificada.
Para la segunda ecuación,
0
1
0
0
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1121)(0
11
GArangoA
. Si 011 también está identificada.
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3. Estimación de ecuaciones simultáneas
Mínimos cuadrados indirectos
Este método es factible para una ecuación que está exactamente identificada. El primer
paso consiste en estimar los coeficientes del modelo reducido por MCO ecuación por
ecuación. Luego obtenemos los parámetros del modelo estructural de relaciones
algebraicas entre estos y los del modelo reducido.
El modelo estructural en t puede ser escrito como:
Tt
xy ttt
,....2,1
(22)
Con
Kt
t
t
t
Gt
t
t
t
X
X
X
x
Y
Y
Y
y......
2
1
2
1
Sea:
'
T
'
2
'
1
'
T
'
2
'
1
x
...
x
x
x
y
...
y
y
y
T observaciones
(Por ejemplo 1G2111
'
1 Y...YYy , 1K21111 X...XX'x )
Dado T observaciones, el modelo estructural puede ser escrito como:
'' xy (23)
GTTT
G
G
...
............
...
...
21
22212
12111
El modelo en forma reducida es:
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1
1
)'(
)'('
'
v
vxy
Entonces, la estimación MCO de la forma reducida es:
yxxx ')'('ˆ 1
Supongamos que estamos interesados en estimar la i-ava ecuación:
i1111i xyY
La cual puede ser reescrita como:
i
1
111i
1
xyY
o
i
1
1
2121i
0
0
1
xxyyY
donde 2y y 2x son matrices de gG y kK variables endógenas y predeterminadas
respectivamente, excluidas de la ecuación:
Sabemos además que:
00
1
'
'''
'
1
1
Sabemos que yxxx ')'(ˆ 1 Por lo tanto,
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0
'ˆ
0
ˆ
1
y'x)x'x( 1
1
1
o
0
'ˆ
0
ˆ
1
yyY'x)x'x( 1
121i
1
entonces:
0
ˆˆxy)x'x(Y'x)x'x(
'
1
11
1
i
1
Sea:
0
ˆ)x'x(ˆxyY'x
'
1
11i
Entonces obtenemos:
i2ILS,112ILS,112
i1ILS,111ILS,111
Y'xˆ)x'x(ˆ)y'x(
Y'xˆ)x'x(ˆ)y'x(
Este es un sistema de K ecuaciones con kg 1 incógnitas. Dado que para tener
identificación de la ecuación bajo consideración requerimos 1 gkK , tenemos el
mismo número de ecuaciones que de incógnitas. En consecuencia, existe una solución
única para y .
Notemos que el método anterior puede interpretarse como un método de variables
instrumentales. La ecuación estructural bajo consideración es:
i1111i xyY
Sabemos que 1y está correlacionado con i , por lo que MCO es inconsistente.
Dado que 2x no está correlacionada con i pero sí está correlacionada con 1y (ver
sistema en la forma reducida). Podemos usar 21 xx como instrumentos de 11 yx
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i
1
2
1
11
1
2
IV,1
IV,1Y
'x
'xxy
'x
'x
ˆ
ˆ
que es idéntica a la solución anterior.
Mínimos cuadrado en dos etapas
En la práctica no es común encontrar ecuaciones que estén exactamente identificadas.
Mínimos cuadrados en dos etapas es un método de estimación ampliamente usado que
sirve para ecuaciones que están exactamente identificadas o sobreidentificadas.
Consideremos la ecuación:
i1111T1 xyY
Sabemos que la condición necesaria para identificar es que 1 gkK . MCO
aplicado a la ecuación anterior da estimadores inconsistentes. MC2E reemplaza 1y por
1y
Donde este último es computado como:
1
1
1 ')'(ˆ yxxxxy
Es decir, se corre una regresión de cada variable en 1y en todas las variables
predeterminadas del modelo.
En el segundo paso, corremos la regresión de TY1 en 1y y 1x lo que da:
T11
T11
E2MC,1
E2MC,1
1111
1111
Y'x
Y'y
ˆ
ˆ
x'xy'x
xyyy
Se puede demostrar que el estimador es consistente.
En este caso, el estimador de Mínimos Cuadrados en dos etapas, también puede ser
interpretado como un método de variables instrumentales donde la matriz de
instrumentos para 11 xy es 11ˆ xy