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TEMA 7. FUNCIONES

1. INTRODUCCIÓN. Las funciones estudian la relación existente entre dos variables. Para expresar esta

relación, las funciones se pueden presentar de diferentes formas:

a) Mediante una grafica. Es la forma en la que mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función. Ejemplo:

b) Mediante un enunciado. De esta forma, la idea que nos hacemos del comportamiento global de la función suele ser poco precisa. Ejemplo: Esta función describe el recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio, en función del tiempo: “De casa salió a las 8:30 y fue hasta casa de su amigo Iker. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco y volvió corriendo, la recogió y llegó al colegio a las 9 en punto”. c) Mediante una tabla de valores.

Ejemplo: Mientras ascendíamos por una montaña medimos la temperatura y obtuvimos los siguientes datos:

Altura (m) 0 360 720 990 Temperatura (ºC) 10 8 6 4.5

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d) Mediante su expresión analítica o fórmula. Es la forma más precisa de dar una función, aunque requiere su estudio posterior.

Ejemplo: f(x) = 2x – 3

A partir de la fórmula podemos obtener una tabla de valores, representarla gráficamente y sobretodo, calcular todas las características importantes de la función. 2. DEFINICIÓN

Una función es una relación o correspondencia entre dos subconjuntos de los números reales (A y B) llamados conjunto inicial y conjunto final, en la que se cumple que para cada valor del conjunto inicial le corresponde un único valor del conjunto final.

Es decir, que una función relaciona dos variables, la x y la y, siendo:

x la variable independiente y la variable dependiente

La función, que se denota y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y. Diremos que y es la imagen de x por la función f. Recíprocamente, x es la

antiimagen de y. Ejemplo:

Si y = 3x – 2, para x = 2, y = f(2) = 3·2 – 2 = 4. La representación gráfica de una función se realiza sobre unos ejes cartesianos,

que no son más que dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto (0, 0). En el eje horizontal o eje de abcisas representamos el valor de la variable x, y sobre el eje vertical (o de ordenadas) el valor de la y.

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas (x,y)

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Nota: Al valor de la x no le puede corresponder más de un valor de la y, por lo tanto, la gráfica siguiente no es una función:

3. DOMINIO y RANGO.

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuáles existe la función, es decir, para los cuáles hay un f(x). Dom f es un subconjunto del conjunto inicial.

Las funciones polinómicas se pueden hallar para cualquier valor de x, por lo que

su dominio es el conjunto de todos los números (R); pero el dominio puede quedar restringido por muchas razones. Entre ellas, destacamos: - Denominadores: Los valores que anulan el denominador no pertenecen al dominio

de definición.

Ejemplo: Si f(x) = 4x

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, Dom f = R – {4}

- Raíces cuadradas: Recordemos que no existe la raíz cuadrada (o de índice par) de

un número negativo.

Ejemplo: Si f(x) = 2x , Dom f = [2, +[ - Tangentes: Recordemos que no existe la tangente de 90º, ni de 270º, ni de sus

múltiplos.

Ejemplo: Si f(x) = tg x, Dom f = R – {90º, 270º, …} - Logaritmos: Ya que tan sólo existe el logaritmo de los números positivos.

Ejemplo: Si f(x) = log (x – 3), Dom f = ]3, +[ - Contexto real de la función.

Ejemplo: Si f(x) representa el área de un cuadrado en función de la medida de su lado, al dominio tan sólo pueden pertenecer los números positivos, ya que el lado de un cuadrado no puede ser negativo o cero.

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Se llama rango, recorrido o imagen de una función al conjunto de valores de y que son imagen de algún elemento del dominio. Se representa por Im f, y es un subconjunto del conjunto final.

Ejemplo: Si f(x) = x2, Im f = [0, +[, ya que no existe ningún número que al elevarlo al cuadrado nos de un resultado negativo.

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

Para realizar cualquier representación gráfica de una función hemos de seguir los pasos siguientes:

1) Realizar una tabla de valores de la función. Para ello, damos los valores de x que

nos interesen y calculamos sus correspondientes valores de y.

Ejemplo: Para la función y = 3x - 1

x y -1 0 1

-4 -1 2

2) Dibujar en unos ejes cartesianos los puntos obtenidos.

3) Para finalizar, hemos de saber la forma que tiene la gráfica que estamos

dibujando para poder unir de forma correcta los puntos que hemos dibujado. 5. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Para representar una función es interesante conocer los puntos en que ésta corta a los ejes. Veamos cómo se calculan:

- Corte con el eje Y: Es el punto en que x = 0.

Ejemplo: f(x) = 3x – 6 x = 0 → f(0) = -6 → P(0, -6)

- Corte con el eje X: Son los puntos en los que y = 0. Para calcularlos hemos de

resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: 3x – 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2 → P(2, 0)

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CONTINUIDAD

La idea de función continua es la de que puede representarse de un solo trazo (es decir, sin levantar el lápiz del papel). Lo estudiaremos con más detenimiento en el tema siguiente. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Para estudiar las variaciones de una función hemos de mirar su gráfica de izquierda a derecha y ver cómo varía la y cuando aumentamos la x.

Diremos que una función es monótona creciente cuando al aumentar la x, la y

también aumenta. Es decir, cuando cumple que si x1 < x2, entonces f(x1) < f(x2).

Diremos que una función es monótona decreciente cuando al aumentar la x, la y

disminuye. Es decir, cuando cumple que si x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2).

Cuando la y no varía diremos que la función es constante. También existen funciones que tienen trozos dónde son crecientes y otros dónde

son decrecientes.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Diremos que una función tiene un máximo en un punto cuando éste es el punto más alto de los que le rodean, es decir, cuando su ordenada es mayor que la de los puntos de su alrededor.

A la izquierda del máximo, la función es creciente y a su derecha es decreciente.

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La función presenta un mínimo en un punto cuando este punto es el más bajo de los que le rodean, es decir, cuando su ordenada es menor que la de los puntos de su alrededor.

A la derecha de un mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.

PERIODICIDAD

Una función es periódica cuando su comportamiento se repite cada cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.

Ejemplo: En la siguiente gráfica se representa la altura de la cesta de una noria a medida que ésta da vueltas.

Es el caso de las funciones trigonométricas. SIMETRÍA

Diremos que una función es par siempre que se cumpla que f(x) = f(-x). Esto corresponde gráficamente a una simetría respecto al eje Y

Diremos que una función es impar cuando f(-x) = - f(x). Es una simetría respecto

al origen. 6. OPERACIONES CON FUNCIONES.

Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir de la misma forma que las expresiones algebraicas. También se pueden realizar con ellas operaciones como la potenciación y la radicación.

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Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = 2x + 1

f(x) + g(x) = (x + 3) + (2x + 1) = 3x + 4 f(x) – g(x) = (x + 3) – (2x + 1) = - x + 2 f(x) · g(x) = (x + 3) · (2x + 1) = 2x2 + 7x + 3

f(x) / g(x) = 1x23x

Nota: Observar que para que exista el cociente, el denominador g(x) no debe anularse.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa por

gf a la función que transforma x en g(f(x)). f g x → f(x) → g(f(x))

En general, la función gf ≠ fg

Ejemplo: Si f(x) = x y g(x) = x1 , entonces

gf (1) = g(f(1)) = g(1) = 1

gf (4) = g(f(4)) = g(2) = ½

gf (x) = g(f(x)) = g( x ) = x

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Ejemplo: Si f(x) = x2 – 5x y g(x) = x1 , entonces

gf (1) = g(f(1)) = g(-4) = -1/4

gf (3) = g(f(3)) = g(-6) = -1/6

gf (x) = g(f(x)) = g(x2 – 5x) = x5x

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FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA Se llama función inversa o recíproca de f a una función f -1 que cumpla que:

f f -1 (x) = f -1 f (x) = x

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Para calcular la función inversa intercambiamos las variables x e y, despejamos la y y la función obtenida es la inversa.

Ejemplo: y = 2x – 3

x = 2y – 3 y = 2

3x f -1 (x) = 2

3x

7. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO 1. LA RECTA.

Son funciones lineales del tipo y = mx + n y su representación gráfica es una recta.

Hay distintos tipos de funciones lineales: - Función constante ( y = n): Es una recta horizontal, paralela al eje de abcisas,

que pasa por el punto (0, n).

Ejemplo: y = -2

- Función lineal (y = mx): Son funciones en las que las dos variables son

proporcionales, como por ejemplo la cantidad de manzanas que compramos y el precio que nos cuesta la compra. Estas funciones se representan gráficamente mediante una recta que pasa por el punto (0, 0), y matemáticamente se escriben mediante la fórmula y = mx, dónde m es la constante de proporcionalidad, a la que llamaremos pendiente de la recta y determina la inclinación de ésta (a mayor pendiente, más inclinada estará la recta).

Si la pendiente es un número positivo, la recta será creciente. Si es un número negativo, será decreciente y si es cero, la recta será constante, es decir, horizontal.

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- Función afín (y = mx + n): Es una función que se representa mediante una recta con las siguientes características:

- Su pendiente es m. - Su ordenada en el origen es n. Es decir, corta al eje Y en el punto (0, n)

8. FUNCIONES CUADRÁTICAS. LA PARÁBOLA.

La función polinómica de segundo grado o función cuadrática es del tipo

y = ax2 + bx + c y su representación es una parábola, que es una curva que cumple las siguientes propiedades:

- Es una función continua y definida en todos los números reales. - Tiene un eje de simetría paralelo al eje Y.

- Tiene un vértice que está sobre el eje de simetría y que es un máximo o un mínimo.

- Tiene dos ramas, una creciente y una decreciente. - Su forma (hacia arriba o hacia abajo) depende del coeficiente de x2

Si a>0 tiene las ramas hacia arriba Si a<0 tiene las ramas hacia abajo

- Cuánto mayor sea |a|, más estilizada será la parábola.

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Ver el valor del coeficiente a para conocer la forma de la parábola

Ejemplo: y = x2 – 3x – 4. Como a = 1, será abierta para arriba ( ) 2. Obtención del vértice. El valor de la abcisa del vértice viene dado por la fórmula

Vx = a2b , y después de calcular la abcisa, hallaremos su ordenada.

Ejemplo: Vx = 23 = 1’5, Vy = (1’5)2 - 3·(1’5) – 4 = - 6’25

El vértice es el punto (1’5, -6’25)

3. Puntos de corte con los ejes.

Eje Y → (0, c) Eje X → Hemos de resolver la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. Podemos obtener:

- 2 soluciones: la parábola corta al eje de abcisas en dos puntos. - 1 solución, que coincide con el vértice. - Ninguna solución: la parábola está toda por encima del eje X (si a>0)

o por debajo (si a<0)

Ejemplo: Eje Y → (0, -4) Eje X → x2 - 3x – 4 = 0 → x = -1 y x = 4 → (-1, 0) y (4, 0)

4. Obtención de algunos puntos próximos al eje. Aparte del vértice y de los puntos

de corte con los ejes, completamos la tabla de valores calculando la función en otros puntos próximos al vértice.

Para ello, tendremos en cuenta que los valores a la misma distancia del eje de simetría (y = Vx) tienen el mismo valor.

Ejemplo: En este caso el eje de simetría es y = 1’5, por lo que los valores simétricos serán 1 y 2, 0 y 3, -1 y 4…

x 1’5 0 -1 4 3 1 2 y -6’25 -4 0 0 -4 -6 -6

5. Con los puntos obtenidos, representaremos la parábola.

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9. FUNCIONES RACIONALES. LA HIPÉRBOLA.

Las funciones del tipo y = dcxbax

se representan gráficamente por una hipérbola,

que es de la siguiente forma:

También son funciones de este tipo las de la forma y = e + hgx

f

.

Ejemplos: y = x6 , y = 3 +

x2 , y =

x52x3

Como características fundamentales de esta función cabe destacar:

- Hay un valor de x para el que no está definida la función, por lo que no pertenece al dominio. Este punto es el que anula el denominador.

Para representar estas funciones gráficamente, lo primero que haremos será calcular el dominio.

Ejemplo: y = x6 → Dom f = R – {0}

- La hipérbola tiene dos ramas infinitas llamadas asíntotas, una horizontal y

otra vertical. Las asíntotas son rectas a las que se aproxima la función aunque nunca llega a tocarlas.

Para calcular las asíntotas, seguiremos los siguientes pasos:

o Asíntota Vertical: Es la recta x = punto que falla del dominio

o Asíntota Horizontal: Es la recta y = ca

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Si la ecuación de la hipérbola viene dada de la forma y = e + hgx

f

, la

ecuación de la asíntota horizontal es y = e

Ejemplo: y = x6

AV: x = 0 AH: y = 0

Para representar gráficamente estas funciones, hemos de conocer el dominio, las

asíntotas y dar algunos puntos para saber por dónde va la función

Las funciones del tipo y = xk son hipérbolas cuyo dominio es siempre R – {0}, y

sus asíntotas son los ejes coordenados. Se llaman funciones de proporcionalidad inversa. 10. FUNCIONES EXPONENCIALES Se llaman funciones exponenciales a las que tienen por ecuación y = ax, siendo la base a un número real positivo distinto de cero. Son funciones continuas, definidas en todo R, y siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).

Si a > 1, son crecientes. Si a < 1, son decrecientes.

También son funciones exponenciales las funciones de la forma y = akx y sus variantes. 11. FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

Son las funciones del tipo f(x) = loga x y todas sus variantes, como por ejemplo y = log (x + 3), y = 1 – ln x2, etc., aunque en este tema tan sólo veremos el primer caso.

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El dominio de esta función son los números positivos. Pasa siempre por el punto (1, 0). Si a >1, la función es creciente y si a <1 es decreciente. Su gráfica tiene la siguiente forma:

a > 1 a < 1 12. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son funciones periódicas de periodo 360º o 2π, cuyas gráficas son las siguientes:

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13. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Es frecuente encontrarse con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de otras funciones. En este tema vamos a estudiar las formadas por trozos de rectas.

Ejemplo:

5xsi15x3si12x23x1si5.4x5.0

1xsi4

)x(f

EJERCICIOS 1) Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones y de los que sí lo sean,

calcular el dominio y la imagen.

2) Dados los siguientes gráficos de funciones, determinar el dominio y la imagen de

cada uno de ellos.

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3) Para las funciones representadas, calcular:

a) f(1), f(2), f(2,5), f(4) y f(5) b) Los valores de x tales que f(x) = 0 c) g(-1,5), g(-0,5), g(0), g(0,5) y g(4) d) Los valores de x tales que g(x) = 2 e) Los valores de x tales que g(x) = -2

4) Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) 8x2x

1y 2

b) 5xy

c) 8x2x

1y 2

d) 5xy

e) 15x5

1y

f) 1x

3y 2

g) 2xx41y

h) 6xx

x1y 2

i) 7x2y j) x2y k) xy

l) 6x5xy 2 m) y = log (x2 – 1)

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5) Dadas las funciones f(x) = 3x + 5 y g(x) = x – 4, calcula:

a) g f (x)

b) f g (x)

c) f f (x)

d) g g f (x) 6) Calcula las inversas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 5x – 7 b) g(x) = -3x + 1 c) h(x) =

27x3

d) p(x) = x – ½ 7) Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = 3 b) y = 2x – 3 c) y = -x + 2 d) y = 3x2 + 6x – 2 e) y = 2x2 – 4x + 1 f) y = 3x2 – 5x + 7 g) y = -2x2 + 5x – 2 h) y = x2 – 4 i) y = - x2 + 2

j) y = 3x1

k) y = 4x3

l) y = 2x5x3

m) y = 1x3x

n) y = 3 2x o) y = 2x p) y = 2x/5

q) y = 2x +3 r) y = 1 – 3x s) y = 2x-2

t) y = x

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u) y = log1/2 x

v)

6x16x313x2

3x4x)x(f

w)

5x25x03x

0x3)x(f

x) y = cos 2x y) y = sen (x+ π) z) y = tg x