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Tema 7

Movimiento ondulatorio

1.- Propiedades elásticas de los sólidos 2.- Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio 3.- Ondas armónicas 4.- Energía e intensidad. Absorción 5.- Efecto Doppler

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I

TEMA 7: MOVIMIENTO ONDULATORIO

En este tema nos vamos a fijar en aquellas situaciones físicas que muestran que cuando se produce una variación de una propiedad física en un punto del espacio, esa variación se propaga de punto a punto por el espacio. Esa propagación la denominaremos onda.

► Ejemplos: ondas en una cuerda, ondas en el agua, etc.

Así, una onda es la propagación de una perturbación en el espacio

Para que esto ocurra el medio debe ser “deformable”. Esto constituye las llamadas ondas mecánicas (≡ ondas en medios deformables). (Existen también otros fenómenos ondulatorios que no precisan de un medio material para que se produzcan. Son las ondas electromagnéticas) .



1.- Propiedades elásticas de los sólidos

1.1.- Esfuerzo y deformación unitaria

1.2.- Módulos elásticos: ley de Hooke



1.1.- Esfuerzo y deformación unitaria Hasta ahora hemos hablado de sólidos rígidos, aquellos cuerpos donde las distancias relativas entre las partículas permanecen constantes. Como se dijo en su momento, esa situación se da dentro de un campo de fuerzas determinado, no muy elevado. En realidad, todos los sólidos se deforman bajo la acción de determinadas fuerzas.

Consideremos un cuerpo que se deforme bajo la acción de fuerzas externas. Por sencillez, consideremos una barra cilíndrica de sección recta S, sobre la que se aplica, en sus extremos, una fuerza F (tensora o compresiva): En esta situación la barra está en

equilibrio (a=0), de forma que no se desplaza netamente, solo se deforma.

Cada elemento estará también

en equilibrio

Sobre una sección cualquiera de la barra, la fuerza F se distribuye de manera uniforme.

• Esfuerzos longitudinales



Debido a la fuerza aplicada, la barra sufrirá una cierta deformación, incrementando su longitud en ∆l:

SFσ =

00

0lΔl

lllε =

−=

Vamos a definir el esfuerzo como la fuerza externa aplicada por unidad de área:

De esta forma, generalizamos del concepto de fuerza al de esfuerzo (medida de la fuerza que actúa sobre la barra o causa), siendo el efecto la deformación (medida de la respuesta del sólido al esfuerzo).

Vamos a definir la deformación unitaria como el cambio relativo del tamaño del sólido en la dirección de la fuerza aplicada (tensora en este caso):



Notemos que el esfuerzo se define igual que la presión. Sus unidades en el S.I. son también N/m2 o Pa (pascales). Por su parte, la deformación unitaria se define adimensional.

Si la fuerza es tensora, ∆l y ε son positivos, mientras que si es compresiva, ∆l y ε son negativos.

• Esfuerzos tangenciales o de cizalladura

Si la fuerza se aplica tangente a la superficie del cuerpo, se habla de esfuerzos tangenciales o de cizalladura. Por simplicidad, consideremos un cubo sobre el que se aplican, en dos caras opuestas, fuerzas tangenciales iguales y opuestas. En este caso se definen el esfuerzo σt (de cizalladura o tangencial) y la deformación unitaria γ como:

SFσt = γ≈γ tg



• Presión en un fluido

Si el sistema es un fluido (líquido o gas), el esfuerzo aplicado se corresponde con una presión (presión hidrostática). La deformación unitaria en este caso se relaciona con el cambio de volumen unitario:

VVan unitariDeformació ∆

≡

Esfuerzo≡Presión=P



1.2.- Módulos elásticos: ley de Hooke Cuando un cuerpo se somete a esfuerzos, se observa experimentalmente que su comportamiento (deformación) viene dado por una gráfica σ–ε como la que se muestra:

Para pequeños esfuerzos (hasta el punto a), la deformación es lineal, es decir, proporcional al esfuerzo, resultado experimental que constituye la denominada ley de Hooke: σ ∝ ε

Se tiene además que cuando cesa el esfuerzo la deformación desaparece, de forma que el cuerpo recupera su forma original. Se dice entonces que el material presenta un comportamiento elástico.

Cuando se sobrepasa el punto a (por ejemplo, al llegar al punto b), el cuerpo ya no recupera su forma aunque cese el esfuerzo. Se dice que el cuerpo pasa a tener un comportamiento no elástico o plástico. Por último, si el esfuerzo es muy grande podemos llegar a la rotura del cuerpo (punto c).



Si estamos dentro de la zona elástica del material, donde se verifica la ley de Hooke, se tiene entonces que existe una proporcionalidad lineal entre el esfuerzo aplicado y la deformación. A dicha constante de proporcionalidad la llamaremos módulo elástico, siendo una característica de cada material.

• Esfuerzos longitudinales: módulo de Young y coeficiente de Poisson

La relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerpo sometido a esfuerzos longitudinales (de tracción o compresión) se denomina módulo de Young (E):

ollS

FE

∆=

εσ

=En esta situación, no cambia solo la longitud del material, sino también sus dimensiones transversales (radio, diámetro, etc.). Dentro de la zona elástica, la tasa de cambio entre las dimensiones trasversales y longitudinales es constante (coeficiente de Poisson, µ, característico también del material):

llD

D

l

t∆

∆−=

εε

−=µ



• Esfuerzos tangenciales: módulo de cizalladura La relación entre la deformación unitaria y el esfuerzo en el caso de un cuerpo sometido a esfuerzos tangenciales se denomina módulo de cizalladura (G):

γ=

γσ

= SF

Gt

t

• Compresión uniforme: módulo de compresibilidad En el caso de un fluido, la relación entre la presión y el cambio de volumen unitario se denomina módulo de compresibilidad (K):

VVPK

∆−=

En ocasiones se habla del coeficiente de compresibilidad (β), definido como la inversa del módulo de compresibilidad K:

PV

V1

PV

V

K1 ∆

−=∆

−==β



Cuestión 7.1

Un cuerpo de 10 kg está suspendido verticalmente de un cable de acero de 3 m de longitud y 1 mm de diámetro. a) ¿Qué esfuerzo soporta el cable? b) ¿Cuál es el alargamiento resultante? c) Calcular la contracción transversal que experimenta el cable.

Módulo de Young: E=20 · 1010 N/m2

Coeficiente de Poisson: µ=0,28



2.- Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio

2.1.- Función de ondas y velocidad de ondas

2.2.- Ondas transversales y longitudinales

2.3.- Frente de ondas

2.4.- Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

• Ejemplos de ondas longitudinales • Ejemplos de ondas transversales



2.1.- Función de ondas y velocidad de ondas A partir del concepto de onda, tratemos de encontrar una descripción matemática que nos refleje el hecho de que una perturbación se propague en el espacio. Para ello, empecemos por considerar la descripción de “una perturbación”, esto es, de una deformación respecto a la posición de equilibrio de un punto material (o conjunto de puntos):

x

y

En la situación de equilibrio (de todos los puntos de mi sistema) se tiene la condición de que:

x 0f(x)y(x)x 0y ∀==⇒∀=

ión perturbacy ≡



Al provocar una deformación, los puntos experimentan un “desplazamiento” (hay una magnitud y en cada punto que varía respecto a su valor de equilibrio). Así, tendremos:

x

y

Ahora en cada punto y toma valores distintos de cero, de forma que existe una cierta distribución de valores de y para cada x y=f(x)

Consideremos a continuación el hecho de que esta deformación se propaga:

x

a

f(x) f(x-a) f(x+a)

y = f(x-a) representa una propagación de y en un cantidad a (+) hacia la derecha (el valor de la perturbación “y” en el punto x es el valor de aplicar la función f en el punto x-a)



De la misma forma, y=f(x+a) representa una propagación de y en una cantidad a (+) hacia la izquierda.

Esta propagación se realiza en el tiempo. Si la propagación tiene una velocidad constante v, el desplazamiento de la propagación en un tiempo t será vt. Así:

a = vt

de forma que y=f(x–vt) representa una propagación que se desplaza hacia la derecha con una velocidad cte. v (+), mientras que y=f(x+vt) representa una propagación que se desplaza hacia la izq. con velocidad v cte. (+).

Así, la descripción genérica de una onda que se propaga con velocidad v viene dada por:

v.t)f(xy ±=

que significa que en los sucesivos puntos del espacio existe una magnitud (y) que toma valores dados por una cierta función de x y de v.t.



Esa magnitud es una magnitud física modificada respecto a su valor en la posición de equilibrio, y puede ser:

► Onda en el agua: desplazamiento de las gotas de agua en la dirección perpendicular al plano de la superficie

► Onda en una cuerda: desplazamiento de las partículas de la cuerda en la dirección perpendicular

► Sonido (ondas sonoras): variación de la presión de los puntos de un medio

(Nótese que lo que se propaga es el estado de perturbación, no la materia).



2.2.- Ondas transversales y longitudinales Dependiendo de la forma en que oscilan las partículas del medio material respecto a la dirección de propagación se distingue entre ondas longitudinales y transversales.

Ondas transversales: La dirección de propagación es perpendicular a la dirección de movimiento de las partículas (ej.: cuerda)

Ondas longitudinales: la dirección de propagación es paralela a la dirección de movimiento de las partículas (ej.: ondas long. en un muelle, sonido, etc.)

dirección de propagación dirección de movimiento de las partículas

dirección de propagación

dirección de movimiento de las partículas


http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm


http://www.mrfizzix.com/utilitypage/dukes/wavetrans/WaveTrans.htm

2.3.- Frente de ondas Tal y como mencionábamos, una perturbación en un punto del espacio provoca que un punto material se “desplace” en torno a su posición de equilibrio (haya una variación de alguna magnitud física respecto a la situac. de equilibrio). Esto provoca una “oscilación” de la partícula. A su vez, esta oscilación o perturbación va a provocar que las partículas próximas oscilen (se perturben) y así sucesivamente, de forma que la perturbación inicial se propaga.

Una noción importante en el concepto de ondas es el denominado frente de ondas, entendiéndose por tal todos los puntos del medio material que tienen el mismo estado de deformación en un instante dado.

El movimiento del frente de onda puede indicarse mediante líneas perpendiculares a los frentes de onda → rayos.

(En un medio homogéneo, una onda se mueve en línea recta en la dirección de los rayos).



Hemos visto que y=f(x–vt) representa un movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje X. Si la perturbación y se extiende a todo el espacio, en un tiempo t, la función toma el mismo valor en todos los puntos que tienen la misma x. Así pues, ese conjunto de puntos forma el frente de ondas.

Notemos que x=cte representa un plano perpendicular al eje X. Así, el frente de ondas viene dado en este caso por planos perpendiculares al eje X. A esta onda la denominamos onda plana.

Por tanto, la onda plana propagándose en dirección X se puede expresar como:

Dicho de otra forma: en tres dimensiones, la expresión y=f(x–vt) describe una onda plana que se propaga paralelamente al eje X.

Notemos que todos los puntos del plano x=cte. tienen un vector de posición r tal que:

cteir =→→

vt)irf(y −=→→



Aunque esta expresión contiene las tres coordenadas, en realidad es un fenómeno en una dimensión: la onda se propaga sólo en la dirección del eje u. (No hay propagación en los planos perpendiculares).

Esto nos permite escribir cualquier onda plana propagándose en una dirección genérica u. Los frentes de onda son los planos r.u = cte y la onda se escribirá:

vt)urf (y −=→→

→u

En la naturaleza existen también otras ondas que se propagan en varias direcciones. Las más importantes son las ondas cilíndricas y esféricas.



Ondas cilíndricas: los frentes de onda son cilindros coaxiales paralelos a una línea dada. La onda se propaga en todas las direcciones perpendiculares a dicha línea. Este tipo de ondas se generaría en un medio isótropo y homogéneo que contuviera muchas fuentes colocadas en una cierta línea.

Ondas esféricas: los frentes de onda son esferas concéntricas. La onda se propagaría en todas las direcciones del espacio. Este tipo de onda se generaría en un medio isótropo y homogéneo cuando hay una perturbación puntual.

Las ondas planas se tienen siempre a gran distancia del foco emisor. En ese caso, los frentes de onda se pueden considerar que son planos.

(ondas circulares sobre la superficie del agua, generadas por una fuente puntual que se mueve hacia arriba y abajo con

movimiento periódico)



2.4.- Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio De momento sabemos que un movimiento ondulatorio vienen descrito por una función:

v.t)f(xy ±=

Será interesante saber si existe también una ecuación diferencial que sea válida para todos los movimientos ondulatorios, de forma que el estudio dinámico de un proceso físico nos permita saber si ese proceso físico es una onda. Llegar a deducir dicha ecuación diferencial es complejo, por lo que veamos simplemente quién es esa ecuación y justifiquemos que en efecto describe el mov. ondulatorio:

2

22

2

2

xyv

ty

∂

∂=

∂

∂

Que esta sea la ecuación diferencial de una onda quiere decir que su solución es de la forma y=f(x±vt). Comprobémoslo.

v≡velocidad de propagación de la onda

(Ondas planas)



siendo:

v.t x con u f(u), v.t)f(xy ±==±=

Necesitamos calcular las derivadas parciales:

xu

dudf

xy

tu

dudf

ty

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

1xu v

tu

=∂∂

±=∂∂

De esta forma:

( ) ( ) 2

22

2

2

2

2

dufdvv

dufdv

tu

ty

dud

ty

tty

dudfv

tu

dudf

ty

=±±=∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂

±=∂∂

=∂∂

2222 xy y ty ∂∂∂∂

donde:

Así:



De la misma forma:

2

2

2

2

2

2

dufd1

dufd1

xu

xy

dud

xy

xxy

dudf

xu

dudf

xy

==∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂

∂

=∂∂

=∂∂

Se tiene entonces:

2

22

2

22

2

2

xyv

dufdv

ty

∂

∂==

∂

∂

de forma que f(x ± v.t) es solución de la ecuación diferencial. Por lo tanto, la expresión vista es, en efecto, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio.

Veamos algunos ejemplos de análisis dinámicos, de forma que comprobemos si ciertos fenómenos dan lugar a un movimiento ondulatorio. El cálculo nos va a permitir, además, determinar la velocidad de propagación de la onda (v)



● Ejemplos de ondas longitudinales

Consideremos una barra de sección recta S constante sobre la que provocamos una deformación (golpeamos, por ejemplo, uno de los extremos):

1.- Ondas elásticas en una barra

Perturbación

Cada sección de la barra experimenta una fuerza F, que no será necesariamente la misma en todas las secciones, pues se van a producir diferentes desplazamientos de cada sección (y = y(x), siendo y el desplazamiento de la sección situada en la posición x). (Si todas las secciones se desplazasen la misma cantidad tendríamos un desplazamiento neto de la barra): F =F(x)

F(x) F(x)

S


F =F(x,t)


De esta forma, un diferencial dx que separa dos secciones S y S’ se verá afectado de la forma:

Pasamos de dx a dx+dy: (incremento de longitud dy por cada tramo dx).

La relación entre F y dy viene dada a través del módulo de Young de la barra. Recordemos que:

Sobre el elemento dx habrá un dF: dxxFF-F'=dF

∂∂

=

que podremos poner entonces como: dxx

yE.SdF 2

2

∂

∂=

xyESF

∂∂

=xy

SFSFE∂∂

=ε

=


F =F(x,t)


Aplicando la ecuación de la dinámica (segunda ley de Newton):

La velocidad de propagación de la onda depende de E y ρ, es decir, de las características del medio material por el que se propaga.

2

2

2

2

tySdxdx

xyES

∂

∂ρ=

∂

∂

dm.adF =

x

yEty

2

2

2

2

∂

∂ρ

=∂

∂

Lo que nos indica que tenemos una propagación en forma de onda, con una velocidad (vL ):

EvL ρ=

2

2

tya

S dx dm

∂

∂=

ρ=

Es el medio el que impone la velocidad de propagación de la ondas.



Consideremos ahora las ondas elásticas producidas como consecuencia de los cambios de presión en los puntos de un fluido, simplificando a la situación de una columna de gas. Las ondas sonoras son un típico ejemplo de este tipo de ondas.

2.- Ondas de presión en un fluido

Consideremos un cilindro de sección S en el que está contenido un cierto gas de densidad ρ0 y consideremos el efecto de producirse cambios de presión en los puntos del gas. Esto supondrá que dos secciones cualesquiera, separadas dx, experimenten desplazamientos y(x) e y(x+dx).

de forma que pasamos de dx a dx+dy.

A diferencia de lo que ocurría en la barra rígida, el gas es muy compresible y se produce por ello una variación en la densidad del mismo. Por ello, debemos intentar conocer quien es ρ=ρ(x).


t)y(x,


En la situación de equilibrio todo el gas tiene densidad ρ0 y presión Po. Fuera del equilibrio cada punto tiene una ρ(x) y una P(x). Para cada elemento diferencial que estamos considerando:

en el equilibrio fuera del equilibrio

(desarrollo del binomio)

ρ0, dx, S ρ, dx+dy, S

magnitudes que se relacionan entre sí gracias a que la masa de este elemento diferencial es cte.:

m=ρ0 Sdx=ρS (dx+dy)

∂∂

−ρ≈

∂∂

+

ρ=ρ

xy1

xy1

00

Esto nos da ρ=ρ(x). Podemos poner:

xy 00 ∂

∂ρ−=ρ−ρ

xy

0

0∂∂

−=ρ

ρ−ρ


t)(x,ρ


Ahora debemos interesarnos por conocer quién P(x) (presión en cada punto del gas). Para ellos consideraremos que la presión va a ser función de la densidad (lo cual es cierto siempre), de forma que P=P(ρ). La expresión exacta no la sabemos, pero no es necesaria. Haciendo un desarrollo en serie en torno a ρ0 obtenemos que:

Nos aparece el término:

VP-V

VΔVΔPK

∂∂

=−=

Así:

( ) ( ) ...P21 P)P(P 2

00

2

20

00 +ρ−ρ

ρ∂

∂+ρ−ρ

ρ∂

∂+ρ=

0

P

ρ∂

∂

que está relacionado con el módulo de compresibilidad K del gas. En efecto, hemos definido:

Puesto que: Vm

=ρ

−

ρ∂∂

=∂

ρ∂ρ∂

∂=

∂∂

2VmP

VP

VP

ρ∂∂

ρ=

−

ρ∂∂

−=P

Vm .PV K 2

ρ∂

∂ρ=

PK



De esta forma, tenemos:

lo que nos da P=P(ρ).

ρρ−ρ

+=0

0o KPP

Puesto que estamos interesados en P=P(x), dado que conocemos ρ=ρ(x) podemos relacionar y obtener que:

xyKPP 0 ∂

∂−=

de forma que ya conocemos P=P(x).

)P( 0ρ


t)P(x,


Así:

-dPSS'PPSdF =−=

Busquemos ahora la fuerza que se ejerce en el elemento diferencial dx para igualarla a dm.a:

[ ] dxxPSdx)P(xP(x)SF(x)dx)F(xdF

∂∂

−=+−=−+=

2

2

02

2

tySdxdx

xySKdF

∂

∂ρ=

∂

∂=

2

2

02

2

xy K

ty

∂

∂ρ

=∂

∂

se produce un movimiento ondulatorio con velocidad (vS ):

Kvo

S ρ=

(de nuevo vemos que sólo depende de las propiedades del medio)

dm . a



En las expresiones anteriores hemos demostrado que el desplazamiento y de cada sección verifica un movimiento ondulatorio. De igual forma se puede demostrar que la presión (P) y la densidad (ρ) verifican la misma ecuación de ondas. Se habla así de ondas de desplazamiento (y), ondas de presión (P) y ondas de densidad (ρ):

2

2

02

2

x K

t ∂

ρ∂ρ

=∂

ρ∂

2

2

02

2

xP K

tP

∂

∂ρ

=∂

∂

2

2

02

2

xy K

ty

∂

∂ρ

=∂

∂

ondas de presión

ondas de densidad

ondas de desplazamiento

xyKPP 0 ∂

∂−=

En concreto, las ondas de presión y las de desplazamiento están desfasadas en 90º, de forma que en los puntos de máximo desplazamiento la presión es nula, y viceversa:



Cuestión 7.2

Calcular la velocidad de propagación del sonido en una barra metálica, sabiendo que cuando se somete a la barra a un esfuerzo tensor de 1000 kp/cm2 dentro del rango elástico sufre un alargamiento del 1.5 %, y que su peso en agua es el 75% de su peso en aire. Densidad del agua: 1000 kg/m3



● Ejemplos de ondas transversales

De la misma forma que hicimos ya antes, si consideremos una barra de sección recta S (cte.) sobre la que provocamos una deformación tangencial o de cizalladura:

1.- Ondas elásticas en una barra

F

es sencillo poder llegar a demostrar de nuevo que se produce una propagación de la perturbación (onda). La ecuación diferencial en este caso es:

S

2

2

2

2

tySdxdx

xyGSdF

∂

∂ρ=

∂

∂=

xyG

ty

2

2

2

2

∂

∂ρ

=∂

∂

Así, la onda se propaga con velocidad (vT): GvT ρ=



( )µ+=

12EG

En un medio material se van a producir tanto ondas longitudinales como ondas transversales. Por ejemplo, las ondas símicas que se producen en la Tierra y que viajan a través de ella son ondas longitudinales y transversales:

Ambas tienen distinta velocidad de propagación. En concreto, G y E están relacionados a través de la expresión:

Puesto que: vv LT <

EG <

Longitudinales

Transversales

GvT ρ=

EvL ρ=



Consideremos una cuerda, sometida a una cierta tensión T en sus extremos, que perturbamos y sacamos de su posición de equilibrio:

2.- Ondas en una cuerda

'Tsen Tsendx)(xF(x) Fy)'cosT cosTdx)(xF(x) Fx)

yy

xxα+α−=++

α+α−=++ ( )( )α−α=

α−α=

sen' senT dFy)cos'cosT dFx)

y

x

Para pequeños desplazamientos (α muy pequeño): 1costgsen

≈α

α≈α≈α

de forma que, en esta situación: ( )α−α=

≈

tg' tgT dFy)0 dFx)

y

x


Podemos considerar que la T apenas varía. Esta es, además, la misma en cada punto de la cuerda. Esto supone que en el elemento dx las fuerzas en cada extremo serán:


de forma que sólo existe una fuerza neta no nula en la dirección perpendicular y.

Y como:

Se tiene pues un movimiento ondulatorio con velocidad:

( ) ( ) ( )dxtgx

TtgTdtg'tgTdFy α∂∂

=α=α−α=

Puesto que tgα≡ pendiente de la curva y=y(x): xy tg

∂∂

=α

de forma que: dxx

yT dF 2

2y

∂

∂=

2

2y t

ydx dm.adF∂

∂µ== (µ=densidad lineal de la cuerda)

escribimos, finalmente:

2

2

2

2

xyT

ty

∂

∂µ

=∂

∂

Tvµ

=

2

2

2

2y t

ydx dxx

yT dF∂

∂µ=

∂

∂=



Cuestión 7.3

Un hilo de acero de 30 m y un hilo de cobre de 20 m, ambos con un diámetro de 1 mm, están unidos por un extremo y soportan una tensión de 150 N. ¿Cuánto tarda un pulso transversal en recorrer la longitud total de los dos cables? Densidad del acero ρAc=7870 kg/m3; densidad del cobre ρCu=8960 kg/m3.



3.- Ondas armónicas

3.1.- Longitud de onda

3.2.- Frecuencia y periodo

3.3.- Ondas armónicas estacionarias



Hemos visto que cualquier función f(x,t)=f(x±vt) representa una perturbación que se propaga por el medio a velocidad v.

La forma de la función f(x,t) puede ser cualquiera. Sin embargo, resulta de especial interés analizar en detalle la situación en que dicha función es sinusoidal, en cuyo caso tenemos las denominadas ondas sinusoidales o armónicas:

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/ondasCaract/OndasDinam/Default.html

vt)Asen k(xy(x,t) −=



http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/Ondasbachillerato/ondasCaract/OndasDinam/Default.html

Analicemos qué representa k. Para ello, notemos qué ocurre cuando x aumenta una cantidad 2π/k :

Así, vemos que al aumentar x en 2π/k tenemos la misma situación que en x. Esto constituye una periodicidad espacial de la función y(x,t):

[ ] y(x ,t)vt)Asen k(x2vt)k(xAsen vt)k2Asen k(x,t)

k2y(x =−=π+−=−

π+=

π+

de onda longitud k2

≡π

=λ

La magnitud k=2π/λ se denomina número de onda.

3.1.- Longitud de onda



Analicemos también la dependencia temporal de la función y(x,t). Denotemos ω≡frecuencia angular de la onda al producto de k por v:

periodo2T ≡ωπ

=

3.2.- Frecuencia y periodo

angularfrecuenciakv ≡=ω

Así: t)Asen (kxvt)Asen k(xy(x,t) ω−=−=

Como ya sabemos (por el mismo tipo de análisis que hicimos en el M.A.S.), incrementar el tiempo en una cantidad T=2π/ω supone repetir la misma situación temporal. Así, a la cantidad T la denominaremos periodo (periodicidad temporal) (a su inversa la denotamos por frecuencia ν):

Por tanto, en el movimiento ondulatorio sinusoidal tenemos dos periodicidades: una en el tiempo, dada por el periodo T, y la otra en el espacio, dada por la longitud de onda λ. Notemos que ambas magnitudes están relacionadas:

( ) vvπ22

kv2 2T λ

=λπ

=π

=ωπ

= Tv λ

=

frecuencia2

T1

≡π

ω==ν (Notemos que ω=2πν)



La longitud de onda es justamente la distancia que recorre la perturbación en un tiempo igual al periodo.

En la gráfica se ha representado la función y(x,t) para cinco tiempos diferentes. Se puede ver como a medida que la situación física se propaga hacia la derecha, ésta se repite en el espacio después de un periodo:

0tt =

4Ttt 0 +=

2Ttt 0 +=

4T3tt 0 +=

T tt 0 +=



Usando las expresiones vistas, podemos escribir la onda armónica como:

Tt x2Asen

t)Asen(kx

vt)Asenk(xy(x,t)

−

λπ=

=ω−=

=−=



Cuestión 7.4 La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda está dada por la ecuación y=10sen[π(0.01x-2t)] estando x e y en cm y t en segundos. a) Hallar la amplitud, frecuencia, velocidad de fase y la longitud de onda; b) hallar la máxima velocidad transversal de una partícula en la cuerda.



Consideremos una onda que viaja en un medio limitado (por ejemplo una cuerda con un extremo fijo). Denotémosla como onda incidente:

(Notemos que la velocidad de propagación sigue siendo la misma, ya que v depende sólo del medio de propagación, que sigue siendo la misma cuerda. De esta forma, k=ω/v sigue siendo la misma).

3.3.- Ondas armónicas estacionarias

kx)tsen (A(x,t)y ii +ω=

kx)tsen (A(x,t)y rr −ω=

En la cuerda coinciden (se superponen) dos ondas, la resultante es la suma de ambas.

Al llegar a x=0, la onda no puede más que rebotar, produciéndose una onda reflejada. Esta onda, por las propiedades de reflexión (tema de Física II), conserva la misma frecuencia ω. Así, tendremos:



Puesto que x=0 es un punto fijo de la cuerda:

La onda resultante es, por tanto:

Esta es la ecuación de una onda cuya amplitud es función de la posición: A=A(x).

kx)tsen (Akx)tsen (A(x,t)y(x,t)yy(x,t) riri −ω++ω=+=

La amplitud se hace nula (puntos nodales) si:

t 0,t)0y(x ∀==

La onda resultante es:

0t)sen (At)sen (A ri =ω+ω 0AA ri =+ ir AA −=

t) (cossen(kx)A2 ]t) sen(kx) (cos(kx)cost) sen (t) (cossen(kx)(kx)cost) [sen (A

kx)tsen (Akx)tsen (Ay(x,t)

i

i

ii

ω=

=ω+ω−ω+ω=

=−ω−+ω=

sen (kx)A2A(x) i=

0sen (kx) = π= Nkx 2N

2N

kNx λ

=πλπ

=π

= (N C Z)

A(x)


βαβαβαβαβαβα sen cos cos sen)( sen

sen cos cos sen)( sen−=−

+=+

variables separables


■ Puesto que x = 0 es un punto fijo de la cuerda:

De esta forma, vemos que sólo son posibles ciertos valores de λ (función de L) (k, ω, ν).

t 0 ,t) 0y(x ∀==

Si ahora considero una cuerda limitada por ambos extremos:

t) (cossen(kx)A2y(x,t) i ω=

■ Ahora, además, x = L es también un punto fijo: t 0 L,t) y(x ∀==

t 0t)(cossen(kL)A2L,t)y(x i ∀=ω== 0sen(kL) =

π= N'kL L

N' k π= L

N' 2 π=

λπ

N'L2 =λ

=λ , ...

2L,

3L2L, L, 2

N’ C Z


http://io9.com/all-the-science-experiments-performed-in-this-music-vid-1659246561/all



























Consideremos ahora tubos. La condición necesaria para que existan ondas estacionarias en tubos es que en el extremo cerrado del tubo se produzca un mínimo o nodo (las moléculas de aire están en contacto con el fondo del tubo y por lo tanto no vibran) y en el extremo abierto se produzca un máximo o vientre (las moléculas de aire pueden vibrar libremente). Así, de la gráfica podemos extraer la condición de ondas estacionarias en un tubo abierto por ambos extremos o abierto sólo por un extremo.



Cuestión 7.5 Una cuerda de piano está hecha de acero y tiene 50 cm de longitud y 5 g de masa, estando sometida a una tensión de 400 N. a) ¿Cuál es la frecuencia de su vibración fundamental? b) ¿Cuál es el número del armónico más alto que puede ser oído por una persona capaz de percibir frecuencias hasta de 10000 s-1?



4.- Energía e Intensidad. Absorción

4.1.- Energía en el movimiento ondulatorio 4.2.- Intensidad de una onda

4.3.- Medios absorbentes



4.1.- Energía en el movimiento ondulatorio Como se ha dicho, en el mov. ondulatorio no se propaga la materia, sino el estado de perturbación. Dicho de otra forma, se propaga la energía o el momento (cantidad de movimiento) de las partículas. Debe existir, por tanto, una variación de la energía respecto al tiempo

Consideremos el caso concreto de una onda en una cuerda: la potencia que se transmite de la parte izquierda a la parte derecha será:

ty

xyT

tyTtgFvP

∂∂

∂∂

−=∂∂

α−==

Puesto que:

t)Asen(kx-y(x,t) ω=t)(kx-cosAk

xy

ω=∂∂

t)(kx-cosAty

ωω−=∂∂

t)(kx-coskTAt)](kx-cosAt)[-(kx-cosTAkP 22 ωω=ωωω−=



La potencia media será:

Puesto que:

k TA21P 2ω>=<

Tvµ

= vT 2µ=

vA21vA

21kAv

21P 222222

µω=µω=µω>=<

vEvA21P T

22 =

µω>=<

22T A

21E µω=

Se denomina energía por unidad de longitud o densidad de energía ≡ ET a la cantidad:

Podemos ver que la potencia media o flujo de energía que atraviesa la cuerda depende de:

T v y µ

=µ▬ Las propiedades del medio material, a través de

▬ La frecuencia de oscilación de la onda (ω)

▬ La amplitud de la onda al cuadrado (A2)

de forma que:

( )kv=ω



4.2.- Intensidad de una onda Las expresiones vistas anteriormente representan el flujo de energía que atraviesa cada sección de material.

Unidades de la intensidad, I (SI): W/m2

Podemos definir también la denominada intensidad de onda I:

v ESEv

SPI T ==

><=

La intensidad representa entonces la energía trasmitida por unidad de tiempo y unidad de superficie (potencia por unidad de superficie).

Si tenemos un medio no disipativo (que no absorbe energía), la <P> sería constante, pero no necesariamente la I, ya que depende de cómo se expande la onda. Así, tendremos las siguientes situaciones:

== e volumenr unidad denergía poSE E T



■ Ondas planas Los frentes de ondas son planos de sección S constante. La energía que atraviesa cada sección se mantienen cte:

cteSPI =

><=

■ Ondas cilíndricas

Consideremos una porción de onda y dos instantes de tiempo, t1 y t2. La energía que atraviesa la sección S1 es la que atraviesa después S2. Así:

■ Ondas esféricas

hrS 11 θ=

hrS 22 θ=

cteP >=<

r r

SPSP

II

1

2

1

2

2

1θθ

=><><

= rIrI 2211 =

cteIrIS == r1

S1Icil ∝∝

21111 rrS θθ=

22122 θrθrS =

cteP >=<

cteIrIS 2 ==

2esf r1

S1I ∝∝Al igual que antes:



Ondas sonoras

En el caso de las ondas sonoras, el oído humano es sensible a las ondas con intensidades entre 10-12 W/m2 y 1 W/m2, no siendo nuestra percepción de la sonoridad proporcional a la intensidad, sino que varía logarítmicamente. Por ello, se define una nueva magnitud física, el nivel de intensidad de una onda sonora (B):

0IIlog10B =

donde I es la intensidad física del sonido e I0 es el nivel de referencia, que se toma como umbral de audición:

2120 W/m10I −=

El nivel de intensidad se mide en decibelios (dB) en el SI.

dB0W/m10W/m10log10Β 212

212

== −

−

En esta escala, el umbral de audición (I=10-12 W/m2) es:



y el umbral del dolor (I=1 W/m-2):

dB12010log10W/m10

W/m1log10B 12212

2

==

= −



En el oído humano hablamos de sonoridad como el atributo que nos permite ordenar sonidos en una escala del más fuerte al más débil. La sonoridad depende tanto de la frecuencia como del nivel de intensidad (en decibelios). En el gráfico se muestra el nivel de intensidad en dB en función de la frecuencia para sonidos de igual sonoridad. La mayor sensibilidad del oído es ~ 4 kHz para todos los niveles de intensidad sonora en dB.


sonoridad


Cuestión 7.6 Todas las personas (38) que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez.



4.3.- Medios absorbentes Hasta ahora hemos considerado que el medio por el que se propaga la onda no absorbe energía. Sin embargo, se observa experimentalmente que los medios materiales absorben energía, de forma que las ondas finalmente acaban extinguiéndose. Supongamos una onda que se propaga (por sencillez consideremos una onda plana propagándose en la dirección +X). Experimentalmente se observa que la intensidad de la onda decae con la propagación:

I(x)dx-dI β=

donde β ≡ constante de absorción, depende del medio y de la frecuencia ω

ctex Iln +β−=

dxIdI

β−=

Integrando:

Tomando I=Io en x = 0: 0Ilncte = xIIln0

β−= x0eII β−=



Esta expresión nos indica que I decae exponencialmente con x (a medida que avanza la onda).

Notemos pues que en una situación real (con absorción):

- Ondas planas: I no es cte, sino que decae debido a la absorción

- Ondas cilíndricas y esféricas: I disminuye debido a la expansión de la onda y a la absorción del medio

Como se ha mencionado, β depende del material. Así pues, por ejemplo para ondas sonoras, se puede realizar un mejor aislamiento acústico de una sala en función de los materiales usados en las paredes de la misma.



Cuestión 7.7 Una onda sonora cuya intensidad es 10-2 W/m2 al penetrar en un medio absorbente de 1 m de espesor, tiene al salir del mismo una amplitud que es la cuarta parte de la que tenía al incidir en el medio absorbente. Determinar la intensidad de la onda a la salida, el coeficiente de absorción del material y su espesor de semiabsorción.



5.- Efecto Doppler



Una onda se caracteriza por su frecuencia. En el caso de una onda sonora emitida por una fuente, esta posee una cierta frecuencia ω (ν). Sin embargo, se observa experimentalmente que si una fuente o un observador están en movimiento, la frecuencia percibida cambia (efecto Doppler).

En efecto, consideremos una fuente en movimiento (observador en reposo), como se representa en la figura:

Al irse moviendo F hacia la dcha., los frentes de onda se van a ir desplazando sucesivamente, por lo que dejan de ser concéntricos. Se tiene una acumulación de frentes de onda en la parte delantera (según avanza la onda) y una situación opuesta en la parte posterior. Para el observador O, situado por delante de F, la longitud de onda que se percibe es menor (si está detrás es mayor), y por tanto la frecuencia que observa es mayor (menor si está detrás).


http://www.youtube.com/watch?v=UEBNJqUW5Ok


http://www.youtube.com/watch?v=UEBNJqUW5Ok

Así, al acercarse o alejarse la fuente al observador, este percibe una frecuencia mayor o menor. De la misma forma, si el observador está también en movimiento, la frecuencia percibida se ve afectada. En el caso anterior del ejemplo, si el observador se acercase a la fuente los frentes de onda se agruparían aún más, disminuyendo adicionalmente la longitud de onda y aumentando la frecuencia percibida.

Calculemos la frecuencia percibida en términos de la frecuencia emitida. Consideremos el caso sencillo en el que O y F se mueven sobre la misma línea recta:

Queremos calcular el nº de ondas emitido por la fuente en un cierto intervalo de tiempo (τ) y observar el intervalo de tiempo correspondiente (τ´) en el que son recibidas por el observador.



Consideremos una onda emitida por F en t=0 (posición A). Esta onda tardará un tiempo t en ser percibida por el observador, que se habrá movido una cantidad vOt. El espacio recorrido por la onda será s+vOt. Puesto que la onda viaja con velocidad v tendremos:

De esta forma, las ondas emitidas por F en el intervalo [0, t]≡τ se están percibiendo por O en el intervalo [t, t’]≡τ’. Así:

vttvs O =+Ov-v

st =

Consideremos el instante t (=t) y consideremos en dicho instante una nueva onda emitida por F (posición A’). Esta onda será percibida por O en un instante t’ (medido respecto al origen de tiempos inicial). Así, tendremos que:

)v (t'-t'vvs OF τ=+τ−

t'vv t'vvs OF −=τ+τ−O

Fv-v

)(v-vst'

τ+=

OO

F

OO

Fv-v

sv-v

)(v-vv-v

stv-v

)(v-vst'-t' −

τ+=−

τ+==τ τ=τ

O

Fv-vv-v

'



Si las ondas son emitidas con una frecuencia ν, el nº de ondas emitido en el intervalo τ será ντ. El nº de ondas percibido en el intervalo τ’ será de la misma forma ν’τ’. Ambos números de ondas emitidos y observados son iguales, por lo que:

expresión que nos da la relación entre la frecuencia percibida por el observador y la emitida por la fuente.

''τν=ντ τν=ντO

Fv-vv-v

' ν=νF

Ov-vv-v'

En general: ν

±±

=νF

Ovvvv'

http://www.cimat.mx/~gil/tcj/2001/astronomia/hubble/doppler.html



http://www.cimat.mx/~gil/tcj/2001/astronomia/hubble/doppler.html

El efecto Doppler aparece en la naturaleza y tiene múltiples aplicaciones prácticas: murciélagos, radar para detectar la velocidad de un automóvil, sonar para detectar objetos, etc.

ν±

±=ν OF

Fexp

OFOexp

vv

vv'

Si la velocidad de la fuente es mayor que la velocidad de las ondas en el medio (vF>v), F avanza más rápido que sus frentes de ondas y el resultado es una onda de choque u ondas de Mach.

En el caso de que F y O no se muevan sobre la misma línea debemos considerar la descomposición de velocidades sobre la recta que los une. Además debemos tener en cuenta las condiciones de propagación de la onda (viento en el caso de ondas sonoras, etc.) (vexp)



Cuestión 7.8 Un observador en reposo frente a una vía férrea tarda 5 s en oir el silbido de una locomotora, distante y en reposo, con un tono continuo de 300 ciclos/segundo. Al cabo de ese tiempo el tono del sonido se va haciendo más agudo, llegando en 10 s más a ser de 330 ciclos/segundo y permaneciendo otra vez constante. a) Explicar la causa de los fenómenos descritos; b) calcular la posición, aceleración media y velocidad final de la locomotora. Velocidad del sonido: 340 m/s



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