Tema 6 La integral de nida -...

Tema 6

La integral definida

6.1. Integral de Riemann de una funcion.

En un principio (Euler), el calculo integral se definıa como la operacion inversa a la

diferenciacion, sin embargo, en la primera mitad del siglo XIX se empezo a ver la necesidad

de definir la integral de una funcion directamente, retomando la vieja idea del area. Los

primeros trabajos en este sentido son debidos a Cauchy. La idea era utilizar el concepto de

lımite para definir la integral como el lımite de una suma de rectangulos y despues probar

la relacion con la derivada, es decir, el teorema fundamental de calculo.

Cauchy desarrollo estas ideas solo para funciones continuas. Puesto que no todas las

funciones iban a ser integrables, pareja a la necesidad de extender la integral, surge la

necesidad de establecer criterios para saber que funciones son susceptibles de admitir una

integral extendiendo la definicion de Cauchy.

Un paso decisivo en este camino lo dio Riemann, que amplio la definicion de integral

para funciones no necesariamente continuas, estableciendo un criterio de integrabilidad.

Es lo que hoy conocemos como la integral de Riemann, que exponemos a continuacion.

Definicion 6.1.1. Sea [a, b] ⊂ R. Una particion P del intervalo [a, b] es un conjunto

{a = x0, x1, . . . , xn = b} ⊂ [a, b] tal que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Se llama diametro

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Curso 2014/2015 Matematicas (Grado en Quımica)

de la particion a max{xi − xi−1; i = 1, . . . , n}.

Dadas dos particiones P1, P2 de un mismo intervalo, se dice que P1 es mas fina que P2

si P2 ⊂ P1.

Nota 6.1.2. Llamaremos P[a, b] al conjunto de las particiones de [a, b]. Si P, Q ∈ P[a, b]

la particion R = P ∪Q ∈ P[a, b] es mas fina que P y que Q.

Definicion 6.1.3. Sea f : [a, b]→ R acotada y P = {x0, x1, . . . , xn} ∈ P[a, b], y sean

mi = ınf{f(x), x ∈ [xi−1, xi]}, Mi = sup{f(x), x ∈ [xi−1, xi]}.

Se llama suma inferior de Riemann de f respecto de P a

L(f, P ) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1).

Se llama suma superior de Riemann de f respecto de P a

U(f, P ) =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1).

Exponemos ahora unas propiedades de las sumas superior e inferior que nos permitiran

definir la integral superior e inferior de Riemann, y por consiguiente, la integral.

Proposicion 6.1.4. Sea f : [a, b]→ R acotada y P, Q ∈ P[a, b], se verifica:

1. L(f, P ) ≤ U(f, P ).

2. Si Q es mas fina que P entonces, L(f, P ) ≤ L(f,Q) y U(f, P ) ≥ U(f,Q).

3. L(f, P ) ≤ U(f,Q).

Nota 6.1.5. El conjunto de las sumas inferiores de Riemann {L(f, P ) : P ∈ P[a, b]}esta acotado superiormente, siendo una cota superior cualquier U(f, P ).

Analogamente, el conjunto de las sumas superiores de Riemann {U(f, P ) : P ∈ P[a, b]}esta acotado inferiormente, siendo una cota inferior cualquier L(f, P ).

76

Grupos A y D Curso 2014/2015

Definicion 6.1.6.

Llamamos integral inferior de f en [a, b] a∫ b

a

f(x) dx = sup{L(f, P ) : ∀P ∈ P[a, b]}.

Llamamos integral superior de f en [a, b] a

∫ b

a

f(x) dx = ınf{U(f, P ) : ∀P ∈ P[a, b]}.

Es claro que

∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

f(x) dx.

Definicion 6.1.7. Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] ( lo que se denota por

f ∈ R[a, b] ), si

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.

Al valor comun se le llama integral de Riemann de f en [a, b], y se escribe

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx.

6.2. Funciones integrables

Comenzamos la seccion con algun ejemplo de funciones que sean integrables y que no

lo sean, como los siguientes:

Ejemplos 6.2.1.

Sea f una funcion constante, f(x) = k, ∀x ∈ [a, b]. Entonces f ∈ R[a, b] y ademas,∫ b

a

k dx = k(b− a).

Sea f : [0, 1]→ R dada por f(x) =

1 si x ∈ Q

0 si x /∈ Q.

En este caso, f no es integrable Riemann en [0, 1].

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El siguiente resultado es una importante caracterizacion de la integrabilidad Riemann

y tiene la ventaja de que en su enunciado no se necesita el valor de la integral.

Teorema 6.2.2. Sea f : [a, b] → R acotada, entonces, f ∈ R[a, b] si y solo si para todo

ε > 0, existe una particion P ∈ P[a, b] tal que

U(f, P )− L(f, P ) < ε.

Teorema 6.2.3. Si f : [a, b]→ R es monotona, entonces, f ∈ R[a, b].

Teorema 6.2.4. Si f : [a, b]→ R es continua, entonces, f ∈ R[a, b].

Ademas, si Pn es la particion de [a, b] resultante de dividir el intervalo [a, b] en n intervalos

iguales de amplitudb− an

, se verifica∫ b

a

f(x) dx = lımn→∞

U(f, Pn) = lımn→∞

L(f, Pn)

y si zi ∈ [xi−1, xi] se verifica

1

b− a

∫ b

a

f(x) dx = lımn→∞

1

n

n∑i=1

f(zi).

Teorema 6.2.5. Si f : [a, b] → R esta acotada y es continua salvo en un numero finito

de puntos, entonces, f ∈ R[a, b].

6.3. Propiedades de las funciones integrables.

Proposicion 6.3.1. Sean f, g : [a, b]→ R con f, g ∈ R[a, b] y sean

α ∈ R, c ∈ (a, b). Se verifica

1) f + g ∈ R[a, b] y

∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx.

2) αf ∈ R[a, b] y

∫ b

a

(αf(x)) dx = α

∫ b

a

f(x) dx.

3) R[a, b] = R[a, c] ∩R[c, b], y ∀f ∈ R[a, b],∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx.

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4) f · g ∈ R[a, b].

5) |f | ∈ R[a, b].

Para que formalmente sean validas estas propiedades en los casos extremos, definimos:

∫ a

a

f(x) dx = 0. Si b > a,

∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx.

Proposicion 6.3.2.

1) Si f ≥ 0 en [a, b], entonces

∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

2) Si f ≥ g en [a, b], entonces

∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

3)

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)| dx.

Teorema 6.3.3 (del valor medio integral). Sea f : [a, b] → R acotada y f ∈ R[a, b]. Si

m = ınf[a,b]

f y M = sup[a,b]

f , entonces

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M.

Ademas, si f es continua en [a, b],

∃c ∈ [a, b] tal que f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx.

Teorema 6.3.4. Sea f ∈ R[a, b] y g : f ([a, b])→ R continua. Entonces g ◦ f ∈ R[a, b].

6.4. Teorema fundamental del Calculo Integral.

En esta seccion abordamos este importante teorema y su corolario mas conocido, la

regla de Barrow, que nos permitira evaluar la integral de una funcion cuando se conozca

una de sus primitivas.

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Teorema 6.4.1. Sea f ∈ R[a, b]. La funcion F : [a, b]→ R definida como

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt, x ∈ [a, b]

es continua en [a, b].

Teorema 6.4.2 (Teorema fundamental del Calculo integral). Sea f ∈ R[a, b]. Si f es

continua en c ∈ [a, b], entonces F (x) =

∫ x

a

f(t) dt, (x ∈ [a, b]) es derivable en c y ademas,

F ′(c) = f(c).

Corolario 6.4.3. En las condiciones del teorema anterior, si f es continua en [a, b],

entonces F (x) es derivable en (a, b), con F ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), por lo que F (x) es

una primitiva de f(x).

Corolario 6.4.4 (Regla de Barrow). Si f : [a, b]→ R es continua en [a, b] y G(x) es una

primitiva de f(x) en [a, b], entonces∫ b

a

f(x) dx = G(b)−G(a).

6.5. Integracion por sustitucion y por partes

Teorema 6.5.1 (Integracion por partes). Sean f, g : [a, b] → R derivables tales que

f ′, g′ ∈ R[a, b]. Entonces,∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f ′(x)g(x) dx.

Teorema 6.5.2 (Integracion por sustitucion). Sea g : [a, b]→ R derivable con g′ ∈ R[a, b],

y sea f continua en g ([a, b]). Entonces,∫ b

a

f(x)g′(x) dx =

∫ g(b)

g(a)

f(t)dt.

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6.6. Integrales impropias

Se debe a Cauchy la primera extension de la integral para funciones definidas en un

intervalo no acotado y para funciones no acotadas en los extremos del intervalo, es lo

que conocemos en la actualidad como valor principal de Cauchy. La definicion de integral

impropia se debe a Riemann.

6.6.1. Integracion en intervalos no compactos.

Definicion 6.6.1. Sea f : [a,+∞)→ R con f ∈ R[a, b] para todo b > a. Se llama integral

impropia de primera especie de f en [a,+∞) al lımite lımb→+∞

∫ b

a

f(x) dx. Si existe el

lımite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente; en caso contrario se

dice que la integral impropia diverge. Si es convergente se escribe:∫ +∞

a

f(x) dx = lımb→+∞

∫ b

a

f(x)dx.

Notas 6.6.2.

1) Si f tiene primitiva F en [a,+∞), entonces∫ +∞

a

f(x) dx = lımb→+∞

[F (b)− F (a)] =

[lım

b→+∞F (b)

]− F (a).

2) Si f : (−∞, b]→ R con f ∈ R[a, b] para todo a < b, se define analogamente:∫ b

−∞f(x) dx = lım

a→−∞

∫ b

a

f(x)dx.

Definicion 6.6.3. Sea f : [a, b) → R con f ∈ R[a, c] para todo c ∈ (a, b). Se llama

integral impropia de segunda especie de f en [a, b) al lımite lımc→b−

∫ c

a

f(x) dx. Si

existe el lımite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente, y su valor se

denota por

∫ b

a

f(x) dx. En caso contrario se dice que la integral impropia diverge.

Analogamente se procede si f esta definida en (a, b].

No se exige en esta definicion que f sea acotada. De ser ası, asignandole a f un valor en

b, comprobarıamos que es integrable en [a, b], que existe la integral impropia y que tienen

el mismo valor.

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Teorema 6.6.4. Sea I algun intervalo de la forma [a,+∞), (−∞, b], [a, b), (a, b] y f, g :

I → R tales que

∫I

f(x) dx,

∫I

g(x) dx convergen, entonces tambien convergen

∫I

(f(x) +

g(x)) dx,

∫I

αg(x) dx, ∀α ∈ R y se verifica:

∫I

(f(x) + g(x)) dx =

∫I

f(x) dx+

∫I

g(x) dx,

∫I

αg(x) dx = α

∫I

g(x) dx.

Definicion 6.6.5. Sea f : R → R con f ∈ R[a, b], ∀a, b ∈ R, (a < b). Decimos que∫ +∞

−∞f(x) dx converge si existe un a ∈ R tal que

∫ a

−∞f(x) dx e

∫ +∞

a

f(x) dx convergen;

en ese caso, ∫ +∞

−∞f(x) dx =

∫ a

−∞f(x) dx+

∫ +∞

a

f(x) dx.

Puede probarse que en la definicion anterior el valor de a es irrelevante.

Definicion 6.6.6. Sea f : R → R con f ∈ R[−a, a], ∀a ∈ R. Se llama valor principal

de Cauchy de

∫ +∞

−∞f(x) dx al lımite lım

a→+∞

∫ a

−af(x) dx.

Nota 6.6.7. Evidentemente no coinciden en general el valor principal de Cauchy con la

integral impropia en todo R (tomar por ejemplo f(x) = x), pero si

∫ +∞

−∞f(x) dx converge,

entonces existe el valor principal de Cauchy y ambos coinciden.

Definicion 6.6.8. Sea f : (a,+∞) → R con lımx→a+

f(x) = ∞ y f ∈ R[b, c] ∀[b, c] ⊂

(a,+∞). Se dice que

∫ +∞

a

f(x) dx es convergente si existe un c > a tal que

∫ c

a

f(x) dx e∫ +∞

c

f(x) dx convergen, en cuyo caso,

∫ +∞

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ +∞

c

f(x) dx

A estas integrales se les llama integrales mixtas de primera y de segunda especie.

Es claro que pueden darse definiciones analogas para otros tipos de intervalos.

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6.6.2. Criterios de convergencia

Los resultados que vamos a exponer son validos tanto para integrales impropias de

primera especie como de segunda especie, por lo que los enunciaremos solo para las de

primera especie.

Teorema 6.6.9. Sea la funcion f : [a,+∞) → R con f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,+∞) y f ∈

R[a, b], ∀b ∈ R, (b > a). Entonces

∫ +∞

a

f(x) dx converge si y solo si existe M > 0 tal

que

∫ b

a

f(x)dx ≤M, ∀b ≥ a.

Teorema 6.6.10 (Criterio de comparacion). Sean las funciones f, g : [a,+∞)→ R, tales

que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a,+∞) con f, g ∈ R[a, b], ∀b > a. Se verifica:

Si

∫ +∞

a

g(x) dx converge, entonces

∫ +∞

a

f(x) dx converge y es

∫ +∞

a

f(x) dx ≤∫ +∞

a

g(x) dx.

Si

∫ +∞

a

f(x) dx diverge, entonces

∫ +∞

a

g(x) dx diverge.

Teorema 6.6.11 (Criterio de comparacion por paso al lımite). Sean las funciones f, g :

[a,+∞) → R, tales que f(x) ≥ 0, g(x) > 0 ∀x ∈ [a,+∞) con f, g ∈ R[a, b], ∀b > a y

lımx→+∞

f(x)

g(x)= λ. Se verifica:

Si 0 < λ < +∞, las integrales

∫ +∞

a

f(x) dx e

∫ +∞

a

g(x) dx tienen el mismo

caracter.

Si λ = 0, la convergencia

∫ +∞

a

g(x) dx implica la convergencia de

∫ +∞

a

f(x) dx.

Si λ = +∞, la convergencia

∫ +∞

a

f(x) dx implica la convergencia de

∫ +∞

a

g(x) dx.

Estos criterios de comparacion necesitan del conocimiento del caracter de alguna inte-

gral impropia que sirva de test. Habitualmente utilizaremos las integrales:∫ +∞

a

1

xαdx (a > 0) que converge si α > 1.

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∫ a

0

1

xαdx (a > 0) que converge si α < 1.

Teorema 6.6.12.

1) Sea f : [a,+∞)→ R integrable Riemann en [a, b], ∀b ≥ a. Se verifica:

• Si existe p > 1 tal que lımx→+∞

xpf(x) = λ con 0 ≤ λ < +∞, entonces

∫ +∞

a

f(x) dx

converge.

• Si existe p ≤ 1 tal que lımx→+∞

xpf(x) = λ con 0 < λ ≤ +∞, entonces

∫ +∞

a

f(x) dx

diverge.

2) Sea f : (0, b]→ R integrable Riemann en [a, b], ∀a ∈ (0, b). Se verifica:

• Si existe p < 1 tal que lımx→0+

xpf(x) = λ con 0 ≤ λ < +∞, entonces

∫ b

0

f(x) dx

converge.

• Si existe p ≥ 1 tal que lımx→0+

xpf(x) = λ con 0 < λ ≤ +∞, entonces

∫ b

0

f(x) dx

diverge.

Teorema 6.6.13 (Criterio integral para series). Sea f : [1,+∞)→ R una funcion decre-

ciente con f(x) > 0, y {an} una sucesion de terminos positivos tal que an = f(n), ∀n ∈ N.

Bajo estas condiciones, la serie

+∞∑n=1

an y la integral impropia

∫ +∞

1

f(x) dx tienen el mismo

caracter.

6.6.3. Convergencia absoluta.

Cuando el signo del integrando no es constante, es mas complicado estudiar la conver-

gencia de la integral impropia. Por analogıa con series numericas, estudiamos la conver-

gencia absoluta y condicional de estas integrales.

Definicion 6.6.14. Sea f : [a,+∞) → R. Se dice que la integral

∫ +∞

a

f(x)dx es abso-

lutamente convergente si

∫ +∞

a

|f(x)|dx es convergente.

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Definicion 6.6.15. Si

∫ +∞

a

f(x)dx es convergente pero

∫ +∞

a

|f(x)|dx es divergente, se

dice que la integral impropia es condicionalmente convergente.

Analogamente se definen los conceptos anteriores para las integrales impropias de se-

gunda especie.

Teorema 6.6.16. Si

∫ +∞

a

f(x)dx converge absolutamente, entonces

∫ +∞

a

f(x)dx es con-

vergente.

Nota 6.6.17. El recıproco del teorema anterior no es cierto, pues se puede probar que∫ +∞

1

x−p senx dx converge si p > 0. Pero es absolutamente convergente si p > 1 y la con-

vergencia es condicional para 0 < p ≤ 1, ya que en este caso, la integral

∫ +∞

1

x−p| senx| dxdiverge.

6.6.4. Las funciones Gamma y Beta.

Definicion 6.6.18. Se llama funcion gamma de Euler a la funcion

Γ : (0,+∞)→ R dada por

Γ(x) =

∫ +∞

0

e−ttx−1 dt.

Nota 6.6.19. Esta definicion tiene sentido, pues si consideramos la integral impropia∫ +∞

0

e−xxp−1 dx =

∫ 1

0

e−xxp−1 dx+

∫ +∞

1

e−xxp−1 dx

tenemos que, aplicando los criterios de convergencia anteriores,∫ +∞

1

e−xxp−1 dx converge ∀p ∈ R

y ∫ 1

0

e−xxp−1 dt converge ∀p > 0.

Por tanto, ∫ +∞

0

e−xxp−1 dx converge ∀p > 0.

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Proposicion 6.6.20.

1) Γ(1) = 1.

2) ∀x > 0, Γ(x+ 1) = xΓ(x).

3) ∀n ∈ N, Γ(n) = (n− 1)!.

Definicion 6.6.21. Se llama funcion beta de Euler a la aplicacion

B : (0,+∞)× (0,+∞)→ R dada por

B(x, y) =

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1 dt.

Vemos que esta definicion tiene sentido probando el siguiente:

Teorema 6.6.22. Si x, y > 0, la integral impropia

∫ 1

0

tx−1(1− t)y−1 dt es convergente.

Proposicion 6.6.23. Se verifica:

B(x, y) = B(y, x).

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y).

Como aplicacion directa de esta ultima igualdad, y teniendo presente que

∫ +∞

0

e−x2

dx =

1

2Γ

(1

2

), podemos deducir el valor de la integral de Gauss

∫ +∞

−∞e−x

2

dx =√π, tan im-

portante, entre otras cosas, para el Calculo de Probabilidades.

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6.7. Aplicaciones de la integral

6.7.1. Area de figuras planas.

Definicion 6.7.1. Sea f : [a, b] → R continua y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]. El area del recinto

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} viene dada por la integral:

A =

∫ b

a

f(x) dx.

Esta definicion se puede extender a otros recintos planos.

Definicion 6.7.2.

Si la funcion fuese negativa, el area del recinto

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ 0}

serıa:

A = −∫ b

a

f(x)dx

Si la funcion no tiene signo constante, el area serıa la suma de las areas parciales

de los recintos donde se conserva el signo.

Si se trata del area del recinto delimitado por dos curvas

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)},

el area sera:

A =

∫ b

a

[g(x)− f(x)] dx.

6.7.2. Longitud de arcos de curva.

Se define la longitud del arco de curva y = f(x) entre los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b))

como

l =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

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6.7.3. Volumenes.

Definicion 6.7.3. Sea un conjunto C ⊂ R3 con C ⊂ [a, b] × R2. Asimismo, sea A(x)

el area de la region plana {(y, z) ∈ R2 : (x, y, z) ∈ C}. Si A(x) ∈ R[a, b], entonces el

volumen del solido C es:

V =

∫ b

a

A(x) dx.

El papel que juega en la definicion el eje OX puede desempenarlo otro eje cualquie-

ra, considerando entonces secciones del solido perpendiculares a dicho eje. La definicion

anterior expresa el “principio de Cavalieri” de calculo de volumenes.

Como aplicacion de esta formula, calculamos los volumenes de cuerpos de revolucion.

Definicion 6.7.4. Sea f : [a, b] → R acotada. Consideremos el conjunto de R3 dado por

C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [a, b], y2 + z2 ≤ (f(x))2}. Si (f(x))2 ∈ R[a, b], el volumen de C

es:

V = π

∫ b

a

(f(x))2 dx.

Nota 6.7.5. Analogamente, si f(x) admite inversa en [a, b] y es c = f−1(a), y d = f−1(b),

el volumen del cuerpo generado al girar la region

{(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, 0 ≤ x ≤ f−1(y)}

alrededor del eje de ordenadas es:

V = π

∫ d

c

(f−1(y))2 dy.

Nos proponemos ahora definir el volumen del solido generado al girar el recinto {(x, y) ∈R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} alrededor del eje de ordenadas. Aproximando dicho

volumen por cilindros concentricos, llegamos a la siguiente definicion:

Definicion 6.7.6. En las condiciones de la anterior definicion, el volumen del cuerpo

generado al girar la region

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}

88


alrededor del eje de ordenadas es:

V = 2π

∫ b

a

x|f(x)| dx.

6.7.4. Area de superficies de revolucion.

Se trata, en esta secion, de encontrar la superficie lateral del solido C = {(x, y, z) ∈R3 : x ∈ [a, b], y2 +z2 ≤ (f(x))2}, generado al girar alrededor del eje de abscisas la region

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

El razonamiento que nos lleva a definir el area sera la aproximacion por superficies de

troncos de cono.

Definicion 6.7.7. Si f : [a, b]→ R es continua y derivable, y f ′(x) integrable en [a, b], el

area lateral del solido

C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [a, b], y2 + z2 ≤ (f(x))2}

viene dada por la integral

S = 2π

∫ b

a

f(x)

√1 + (f ′(x))

2dx.

6.7.5. Aplicaciones fısicas.

Son muchas las aplicaciones de la integral al campo fısico, de entre ellas destacamos

las siguientes:

Momentos estatico

El momento estatico respecto de los ejes de abscisas y de ordenadas de una curva

x = x(s), y = y(s) donde el parametro s es la longitud del arco es:

Mx =

∫ L

0

y(s) ds, My =

∫ L

0

x(s) ds,

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con L la longitud total del arco.

Los respectivos momentos estaticos de una figura plana (x, y) ∈ R2 con a ≤ x ≤b, 0 ≤ y ≤ f(x), son:

Mx =1

2

∫ b

a

f(x)|f(x)| dx, My =

∫ b

a

x|f(x)| dx.

Momentos de inercia

El momento de inercia respecto a un eje l de un sistema de n puntos materiales de

masas m1,m2, . . . ,mn es Il =

n∑i=1

mid2i . Cuando la distribucion de la masa sea continua,

Il =

∫ b

a

h2(x)m′(x) dx

donde m(x) es la masa y h(x) la distancia al eje OX, con a y b los puntos extremos del

cuerpo en cuestion.

Centro de gravedad

Las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de un arco de curva plana y = f(x) (a ≤x ≤ b) son:

x =1

L

∫ b

a

x√

1 + (f ′(x))2 dx, y =1

L

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(x))2 dx,

donde L es la longitud del arco de curva.

Las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de una region plana

{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} son:

x =1

S

∫ b

a

xf(x) dx, y =1

2S

∫ b

a

(f(x))2 dx,

donde S es el area de la figura.

Trabajo

Si una fuerza variable F = F (x) actua en la direccion del eje de abscisas, el trabajo

efectuado por la misma desde x1 hasta x2 viene dado por

W =

∫ x2

x1

F (x) dx.

90


6.8. Ejercicios resueltos

1.- a) Hallar el area de la elipsex2

a2+y2

b2= 1.

SOLUCION: La grafica de la curva es la siguiente:

La parte superior es la funcion f(x) = ba

√a2 − x2, luego por simetrıa, el

area pedida sera 4 veces la generada por esta funcion entre x = 0 y x = a.

A = 4

∫ a

0

b

a

√a2 − x2dx =

x = a sen t x = a→ t = π/2

dx = a cos t x = 0→ t = 0

= 4b

a

∫ π/2

0

a2 cos2 t dt =

= 4ab

∫ π/2

0

1− cos(2t)

2dt = 2ab

(t− sen(2t)

2

)π/20

= 2ab (π/2− 0) = πab.

b1) Hallar el volumen del elipsoide generado al girar la elipse del apartado anterior

alrededor del eje de abscisas.

SOLUCION: El cuerpo engendrado es el siguiente:

Por simetrıa, el volumen es el doble del generado por la funcion f(x) ante-

rior, entre x = 0 y x = a.

VOX = 2 ·π∫ a

0

b2

a2(a2−x2) dx = 2π

b2

a2

(a2x− x3

3

)a0

= 2πb2

a2(a3−a3/3) =

4

3πab2.

91


b2) Hallar el volumen del elipsoide generado al girar la elipse del apartado anterior

alrededor del eje de ordenadas.

SOLUCION: El cuerpo engendrado es el siguiente:

Por simetrıa, el volumen es el doble del generado por la funcion f−1(y)

anterior, entre y = 0 e y = b, donde f−1(y) = ba

√b2 − y2.

VOY = 2 · π∫ b

0

a2

b2(b2 − x2) dx = 2π

a2

b2

(b2x− x3

3

)b0

= 2πa2

b2(b3 − b3/3) =

4

3πa2b.

2.- Hallar el volumen y la superficie del solido que se genera al girar el astroide

|x| 23 + |y| 23 = a23 , (a > 0)

alrededor del eje de abscisas.

SOLUCION: La grafica de la curva y el solido que genera son lo siguientes:

La parte de la curva que esta en el primer cuadrante es f(x) = (a2/3−x2/3)3/2.

Calculemos, en primer lugar el volumen alrededor del eje OX (dada, de nuevo,

la simetrıa de la curva, coincide con el volumen al girar alrededor del eje OY).

92


Por simetrıa, el volumen es el doble del que genera la curva f(x) anterior entre

x = 0 y x = a, por tanto:

VOX = 2 · π∫ a

0

f(x)2dx = 2π

∫ a

0

(a2/3 − x2/3)3dx =

= 2π

∫ a

0

(a2 − 3a4/3x2/3 + 3a2/3x4/3 − x2)dx =

= 2π

(a2x− 3a4/3

x5/3

5/3+ 3a2/3

x7/3

7/3− x3

3

)a0

=

= 2π

(a3 − 9

5a3 +

9

7a3 − 1

3a3)

=32

105πa3.

Calculemos ahora la superficie exterior. Por simetrıa, esta superficie lateral es

el doble de la que genera la curva f(x) anterior entre x = 0 y x = a. Pero

como para resolver esta superficie se necesita√

1 + f ′(x)2, vamos a realizar

este calculo aparte.

f ′(x) = 32 (a2/3−x2/3)1/2

(− 2

3x−1/3) = − (a2/3−x2/3)1/2

x1/3 ⇒ f ′(x)2 = a2/3−x2/3

x2/3 =

(ax )2/3 − 1. Por tanto,√

1 + f ′(x)2 = (a/x)1/3. Ası pues,

S = 2 · 2π∫ a

0

(a2/3 − x2/3)3/2(a/x)1/3 dx = 4πa1/3(−3

2

) ∫ a

0

(a2/3 − x2/3)3/2(−2

3 x−1/3) dx = (∗)

Pero esta funcion es impropia en x = 0, luego:

(∗) = −6πa1/3 lımb→0+

∫ a

b

(a2/3 − x2/3)3/2(−2

3 x−1/3) dx = −6πa1/3 lım

b→0+

(a2/3 − x2/3)5/2

5/2

∣∣∣∣ab

=

=−12

5πa1/3 lım

b→0+

[0−

(a5/3 − b5/3

)]=

12

5πa2.

3.- Calcular la longitud del astroide del ejercicio anterior.

SOLUCION: Recordemos que la curva astroide es la siguiente:

Por lo tanto, por simetrıa, la longitud es 4 veces la que genera la curva en el

primer cuadrante: x2/3+y2/3 = a2/3 ⇒ f(x) = (a2/3−x2/3)3/2. Para la formula

de la longitud, se necesita calcular√

1 + f ′(x)2, pero esto ya se calculo antes,

resultando ser√1 + f ′(x)2 = a1/3x−1/3. Pero esta funcion es impropia en x = 0, luego:

L = 4

∫ a

0

a1/3x−1/3 = 4a1/3 lımb→0+

∫ a

b

x−1/3 dx = 4a1/3 lımb→0+

x2/3

2/3

∣∣∣∣ab

dx =

= 6a1/3 lımb→0+

(a2/3 − b2/3) = 6a.

93


4.- Dada la curva de ecuacion y =1√

4x− x2, se pide:

a) Area de la region del plano limitada por la curva anterior y las verticales x =

1, x = 2.

SOLUCION: La grafica de la curva (y del area a calcular) es la siguiente:

Por tanto, A =

∫ 2

1

1√4x− x2

dx. Como el interior de la raız es un polinomio

de 2o grado con coeficiente en x, para resolver la integral, hay que completar

cuadrados: 4x − x2 = a − (x − b)2 = a − b2 + 2bx − x2, de donde b = 2 y

a = b2 = 4. Ası que la integral que da el area sera:

A =

∫ 2

1

1√4x− x2

dx =

∫ 2

1

1√4− (x− 2)2

dx =

∫ 2

1

1/2√1−

(x−22

)2 dx =

= arc sen

(x− 2

2

)∣∣∣∣21

= arc sen(0)− arc sen(−1/2) = 0− (−π/6) = π/6

b) Volumen del cuerpo engendrado al girar la region anterior alrededor del eje de

abscisas.

SOLUCION: El cuerpo generado es el siguiente:

94


Entonces:

VOX = π

∫ 2

1

f(x)2 dx = π

∫ 2

1

1

4x− x2dx = −π

∫ 2

1

1

x(x− 4)dx = (∗).

Descompongamos el integrando en fracciones simples:

1x(x−4)

= Ax+ B

x−4= A(x−4)+Bx

x(x−4).

Igualando los numeradores y dando valores a x se obtiene:

x = 0 ⇒ 1 = −4A ⇒ A = −1/4.

x = 4 ⇒ 1 = 4B ⇒ B = 1/4.

(∗) =π

4

∫ 2

1

(1

x− 1

x− 4

)dx =

π

4

(ln

∣∣∣∣ x

x− 4

∣∣∣∣)2

1

=π

4(0− ln(1/3)) =

π

4ln 3.

c) Idem. alrededor del eje de ordenadas.

SOLUCION: El cuerpo generado es el siguiente:

95


Entonces:

VOY = 2π

∫ 2

1

x

4x− x2dx = 2π

∫ 2

1

x√4− (x− 2)2

dx =

[x− 2 = 2 sen t x = 1→ t = −π/6

dx = 2 cos tdt x = 2→ t = 0

]=

= 2π

∫ 0

−π/6

2 + 2 sen t√4 cos2 t

2 cos t dt =

[Si − π/6 < t < 0

Entonces cos t ≥ 0

]= 4π

∫ 0

−π/6(1 +

sen t) dt =

= 4π(t−cos t)

∣∣∣∣0−π/6

= 4π

((0− 1)−

(−π

6−√

3

2

))=

2π

3

(3√

3 + π − 6)

.

5.- Calcular la longitud del arco de curva y = 2x√x, ∀x ∈ [0, 2].

SOLUCION: La grafica de la curva es la siguiente:

Como la formula de la longitud incluye√

1 + f ′(x)2, vamos a calcularlo

aparte.

f (x) = 2x3/2 ⇒ f ′(x) = 2 · 32x1/2 = 3

√x ⇒

√1 + f ′(x)2 =

√1 + 9x. Por

tanto:

L =

∫ 2

0

√1 + 9x dx =

1

9

∫ 2

0

9(1+9x)1/2 dx =1

9

(1 + 9x)3/2

3/2

∣∣∣∣20

=2

27

(193/2 − 13/2

)=

=2

27(19√

19− 1).

6.- Calcular el area de la superficie engendrada al girar alrededor del eje de abscisas

el arco de curva y = x3 entre x = 0 y x = 1.

SOLUCION: El solido generado es el siguiente:

Para calcular la superficie lateral, se requiere√

1 + f ′(x)2. Calculemoslo

aparte:

f ′(x) = 3x2 ⇒ 1 + f ′(x)2 = 1 + 9x4. Luego

S = 2π

∫ 1

0

x3√

1 + 9x4 dx =2π

36

∫ 1

0

36x3(1+9x4)1/2 dx =π

18

(1 + 9x4)3/2

3/2

∣∣∣∣10

=

=π

27(103/2 − 13/2) =

π

27(10√

10− 1).

96


7.- Dada la curva 4y2 = x2(4− x2), se pide:

a) Determinar el area que encierra.

SOLUCION: La grafica de esta curva es la siguiente:

El area es, pues, 4 veces el area que encierra la parte de curva que esta en

el primer cuadrante, es decir, la de ecuacion y = 12x√

4− x2. Ası pues:

A = 4

∫ 2

0

1

2x√

4− x2 dx = −∫ 2

0

(−2x)(4− x2)1/2 dx = − (4− x2)3/2

3/2

∣∣∣∣20

=

16

3.

b) Hallar el volumen del cuerpo generado al girar alrededor del eje de abscisas.

SOLUCION: El volumen pedido, sera el doble del que genera la curva en el

primer cuadrante. Por tanto:

VOX = 2 · π∫ 2

0

1

4x2(4− x2) dx =

π

2

∫ 2

0

(4x2 − x4)dx =π

2

(4x3

3− x5

5

)2

0

=

32π

15.

c) Hallar el volumen del cuerpo generado al girar alrededor del eje de ordenadas.

SOLUCION: El volumen pedido, sera el doble del que genera la curva en el

primer cuadrante. Por tanto:

97


VOY = 2·2π∫ 2

0

x·12x√

4− x2 dx = 2π

∫ 2

0

x2√

4− x2 dx =

[x = 2 sen t x = 0→ t = 0

dx = 2 cos tdt x = 2→ t = π2

]=

= 2π

∫ π2

0

4 sen2 t·2 cos t·2 cos t dt = 8π

∫ π2

0

sen2(2t) dt = 8π

∫ π2

0

1− cos(4t)

2dt =

= 4π

(t− sen(4t)

4

)π2

0

= 2π2.

8.- a) Calcula

∫ 2

0

x√4− x2

dx.

SOLUCION: El denominador del integrando se anula en x = 2, luego se trata

de una integral impropia.∫ 2

0

x√4− x2

dx = lımb→2−

∫ b

0

x√4− x2

dx =−1

2lımb→2−

∫ b

0

(−2x)(4−x2)−1/2 dx =

=−1

2lımb→2−

(4− x2)1/2

1/2

∣∣∣∣b0

= − lımb→2−

(√4− b2 − 2

)= 2.

b) Halla a y f(x) para que se verifique

∫ x

0

tf(t)dt = senx− x cosx− 1

2x2 + a.

SOLUCION: Si derivamos la ecuacion integral respecto de x, se obtiene que:

xf(x) = cosx− (cosx−x senx)−x = x(senx− 1), luego f(x) = senx− 1.

Por otro lado, particularizando la ecuacion integral para x = 0, se obtiene

que: 0 = sen 0− 0 sen 0− 1202 + a, luego a = 0.

6.9. Ejercicios propuestos

1.- Sea f(x) = 0 si x /∈ Q, f(x) = x si x ∈ Q. Demostrar que f no es integrable Riemann

en el intervalo [0, 1]. Calcular las integrales superior e inferior.

2.- Sea f(x) = 3x− 2 , g(x) = x2. Usando la condicion necesaria y suficiente de integra-

bilidad Riemann, probar f, g ∈ R([0, 1]) calculando el valor de cada integral.

3.- Dar la derivada de f en los siguientes casos:

a) f(x) =

∫ arctan x

1

cos tdt . b) f(x) =

∫ x+1

x

t sen tdt.

c) f(x) =

∫ x2

x

log t√tdt x > 0. d) f(x) =

∫ ∫ x0tdt

0

t2dt.

98


e) f(x) =

∫ x2

0

x sen(log t)dt. f) f(x) =

∫ x3

x2

x2e−t2

dt.

4.- Sea f : R → R una funcion continua tal que

∫ x2(1+x)

0

f(t)dt = x ∀x ∈ R . Hallar

f(2).

5.- Hallar el area de las siguientes figuras:

a) y = x, y = x+ sen2x en [0, π].

b) y2 ≥ 9x, x2 + y2 ≤ 36.

c) x2 + y2 ≤ 9, (x− 3)2 + y2 ≤ 9.

d) y = 2√ax y = 2

√a(2x− a) (a > 0)

6.- Halla a > 0 tal que la curva y = cosx, x ∈ [0,π

2] quede dividida en dos partes con

igual area por la curva y = a senx.

7.- Hallar las longitudes de los arcos de curva:

a) y = ex en [0, a].

b) y = log(cosx), 0 ≤ x ≤ a < π

2.

8.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX las curvas

siguientes, entre los lımites que se indican:

a)y2

b2− x2

a2= 1, x = −a, x = a (a, b > 0).

b) x2 + (y − 2R)2 = R2, −R ≤ x ≤ R (R > 0).

9.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY las curvas

siguientes, entre los lımites que se indican:

a) y = 1− x2, 0 < y < 1.

b) y = R− x, 0 < y < R (R > 0).

99


10.- Hallar el area de las superficies engendradas al girar las curvas siguientes alrededor

del eje OX, entre los lımites que se indican:

a) y2 = 2px, 0 < x < 1 (p > 0).

b) x2 + (y − 2R)2 = R2, −R ≤ x ≤ R (R > 0).

11.- a) Halla el area de la region del plano limitada por la curva y = tanx, el eje de

ordenadas y la recta y = 1.

b) Hallar el volumen del solido engendrado al girar la region anterior alrededor del

eje de abscisas.

12.- Sea la figura limitada por la curva y = e−x2

, el eje de abscisas y las rectas x = 0,

x = 1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicha figura al girar alrededor

del EJE DE ORDENADAS.

13.- Calcular el area de la region del plano limitada por las curvas:

y = x2ex, y = x2√

1− x y la recta x = 1.

14.- Dada la parabola y2 = 4x, se pide:

a) Halla m para que el area de la figura limitada por la parabola y la recta y = mx,

sea1

3.

b) Halla la longitud del arco de parabola delimitado por los puntos A(1, 2) B(4, 4).

15.- a) Calcular

∫ log 2

0

√ex − 1dx.

b) Sea f : R→ R derivable tal que

∫f(x) senxdx = −f(x) cosx+

∫3x2 cosxdx.

Hallar f(x)

sabiendo que f(1) = 2

c) Calcular el area del sector circular determinado por la circunferencia x2+y2 = 25

y los radios trazados desde los puntos A(3, 4), B(4, 3) al origen.

100


16.- a) Hallar el area de la region de plano limitada por la curvas y = ex, y = e−x, y

la vertical x = 1.

b) Calcular el volumen del cuerpo de revolucion engendrado por la rotacion de la

region anterior alrededor del eje de ordenadas.

c) Resolver la integral

∫dx

x2√

4 + x2.

17.- Dada la funcion y = log x se pide:

a) Area del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las rectas x = e−1, x =

e.

b) Volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar la region anterior alrededor

del eje de abscisas.

c) Longitud del arco de curva comprendido entre los puntos A(1, 0) y B(2, log 2).

18.- a) Si f : R→ R es continua y verifica

∫ x

0

f(t)dt = f(x) + cosx, calcula f(0) y f ′(0)

b) Calcular

∫ e

1

sen(log x) dx

c) Dada la curva de ecuacion y2 = x2−x4 , se pide: c1) Hallar el area que determina.

c2) Hallar el volumen del cuerpo que se genera al girar alrededor del eje de abscisas.

c3) Idem. alrededor del eje de ordenadas.

19.- Sea la region del plano limitada por la curva y = 3 + senx y las rectas y = 3, x = π2 .

Hallar el volumen del cuerpo que se genera al girar dicha region alrededor del eje de

abscisas. Idem alrededor del eje de ordenadas.

20.- Se considera la circunferencia x2 + y2 = 16 . Se pide:

a) Area de la region dada por x2 + y2 ≤ 16, y ≥ 2.

b) Longitud del arco de circunferencia comprendido entre los puntos A(−2√

3, 2) y

B(2√

2, 2).

101


21.- Dada la curva de ecuacion y = log(1− x2

), se pide:

a) Area de la region de plano comprendida entre la curva, el eje de abscisas y la recta

x = 12 .

b) Longitud del arco de curva comprendido entre los puntos (0, 0) y(12 , log 3

4

).

22.- Volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar la circunferencia x2 +y2 = 4

alrededor de la recta y = −3.

23.- Se considera la porcion de cırculo de centro (0, 1) y radio 1 que esta fuera del cırculo

de centro (0, 0) y radio√

2. Se pide:

a) Area de dicha region del plano.

b) Volumen del cuerpo de revolucion que se engendra al girar la region anterior

alrededor del eje OX.

c) Idem alrededor del eje OY .

24.- Calcular el area de la region de plano dada por x2 + y2 ≤ 4, y2 ≤ 3x . Calcular el

volumen del cuerpo engendrado al girar dicha region alrededor del eje a) de abscisas,

b) de ordenadas.

25.- Calcular el area de la region del plano limitada por la curva f(x) =log x√x

y las

rectas y = 0, x = 1, x = b (b > 1).

26.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias, y calcular el valor de

las convergentes:

a)

∫ +∞

0

e−xdx, a)

∫ +∞

1

1

xαdx, a)

∫ 1

0

1

xαdx, a)

∫ 1

0

x2 log xdx,

a)

∫ 1

0

dx

x√

1− x2, a)

∫ +∞

0

e−x senxdx, a)

∫ +∞

1

dx√xdx, a)

∫ +∞

−∞

dx

ex + e−x.

102


a)

∫ 2

−2

dx√4− x2

, a)

∫ 6

−∞

dx

(4− x)2dx, b)

∫ 1

0

log xdx, a)

∫ +∞

−∞xe−x

2

dx

b)

∫ 1

0

x log xdx, b)

∫ +∞

−∞

dx

1 + 4x2, b)

∫ 0

−∞xexdx, b)

∫ +∞

0

x3exdx.

27.- Hallar el area entre la curva y2 =x2

1− x2y sus asıntotas.

28.- a) Hallar el ares de la region de plano limitada por la curva yx = 1 , y las rectas

x = 1 e y = 0

b) Calcular el volumen engendrado por la region anterior al girar alrededor del eje

de abscisas.

103


104

Tema 6 La integral de nida -...

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