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Física EstadísticaJosé Cotrino

Curso 2017-18Grupo 2 – 06-feb-2018

1. Mecánica Estadística Clásica. Descripciones macroscópica y microscópica: colectividad de Gibbs. Sistema aislado en equilibrio: colectividad microcanónica. Conexión con la Termodinámica (16 horas aprox.).

2. Sistema en contacto con un foco térmico: colectividad canónica. Función de partición. El gas ideal. Teorema de equipartición generalizado (8 horas aprox.).

3. Sistemas ideales en equilibrio. Gas ideal: distribución de Maxwell-Boltzmann. Interpretación cinética de la presión. Paramagnetismo clásico (8 horas aprox.).

4. Sistema en contacto con un foco térmico y de partículas: colectividad canónica generalizada. Función de partición generalizada. Valores medios y fluctuaciones (6 horas aprox.).

5. Colectivos en Mecánica Estadística Cuántica. Partículas idénticas. Sistemas ideales: estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein. Límite clásico o de Maxwell-Boltzmann (8 horas aprox.).

6. Gas de Fermi degenerado: el gas de electrones. Gas de Bose degenerado. Condensación de Bose-Einstein (7 horas aprox.).

7. Magnetismo cuántico. Sistemas paramagnéticos. Ferromagnetismo. Radiación electromagnética y fotones. La distribución de Planck (7 horas aprox.).

Física Estadística - Grupo 2 2

Bibliogra)a

• Mecánica Estadís5ca, Autores: J. Javier Brey Abalo, J. de la Rubia Pacheco y J. de la Rubia Sánchez Edicion: 2001 Publicación: UNED• Fundamentals of Sta5s5cal and Thermal Physics, Autores: F. Reif

Edicion: 2008 Publicación: Waveland Pr. Inc.• Sta5s5cal Mechanics, Autores: P.K. Pathria y P.D. Beale Edicion: 2011

(3ª) Publicación: Elsevier• Sta5s5cal Physics of Par5cles, Autores: M. Kardar Edicion: 2007

Publicación: Cambridge University Press• Physique sta5s5que - 3ème édiTon, Autores: ChrisTan Ngô, Hélène

Ngô, 2008, Publicación: Sciences Sup, Dunod• Physique sta5s5que, Autores: Christophe Texier, Guillaume Roux,.

2017, Publicación: Sciences Sup, DunodFísica Estadística - Grupo 2 3

Bibliografía específica

ELEMENTS DE PHYSIQUE STATISTIQUE. Hasard, organisation, évolution, Autor: Sylvie Vauclair, 1993, Publicación: INTEREDITIONSA modern course in Statistical Physics Autores: L.E. ReichlEdicion: 1997 Publicación: John Wiley and Sons100 Problemas de Física Estadística Autores: C. Fernández Tejero y J.M. Rodríguez Parrondo Edicion: 1996 Publicación: Alianza Editorial


Web:

• https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-333-statistical-mechanics-i-statistical-mechanics-of-particles-fall-2013/

• http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys.html

• https://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/AlexanderSchekochihin/A1/

• http://aph.huji.ac.il/courses/2008_9/83964/index.html

• https://www.compadre.org/STP/filingcabinet/share.cfm?UID=10986&FID=21201&code=8E844C06A4

Física EstadísTca - Grupo 2 5

Introducción

• Uno de los problemas fundamentales de la física es la determinación de las propiedades de los sistemas macroscópicos a partir de sus constituyentes microscópicos. • En principio, tales propiedades podrían obtenerse a partir de un

conocimiento exacto del estado microscópico del sistema. • Tal cantidad de información, sin embargo, más allá de ser imposible de obtener,

también es absolutamente redundante (no es necesario conocer la posición y la velocidad de toda la molécula en un gas, para determinar, por ejemplo, su presión).

• Los sistemas que son más o menos complicados, pueden requerir que se describa con una gran cantidad de variables de una manera aceptable, pero el principio general de que una descripción microscópica completa no es necesaria sigue siendo válido.


• Entre las grandes teorías fundamentales de la física, la física estadística es una de las de mayor importancia, junto con la mecánica cuántica, forman la base de la física moderna

• Se aplica al estudio de sistemas con un número muy grande de grados de libertad

• Típicamente el número de Avogadro !"~%&'( para los cuerpos materiales a escala macroscópica


• Tiene aplicación en casi todos los dominios de la física:

•materia diluida (gases atómicos y moleculares), •materia condensada (sólidos, líquidos, magnetismo,

polímeros, cristales líquidos, etc.), • termoquímica, • biofísica, • física del plasma, • astrofísica, etc.

Física Estadís?ca - Grupo 2 8

• Después de su fundación, continua siendo un campo en expansión: temas tales como

• las redes (redes de comunicación, redes neuronales), • problemas de informática teórica (optimización

combinatoria, cumplimientos de ligaduras, etc.) o • estudios sobre modelos socio económicos (redes sociales,

propagación de epidemias, modelos de votación, estudio de desarrollos financieros, etc.)

• … Permite una cierta unificación de las ciencias macroscópicas.


• El alcance del formalismo es casi tan ilimitado como el rango mismo de los fenómenos naturales, ya que en principio es aplicable a la materia en cualquier estado.

• Además, el formalismo de la mecánica estadística nos permite investigar los estados de desequilibrio de la materia así como los estados de equilibrio; de hecho, estas investigaciones nos ayudan a comprender la manera en que un sistema físico que está "fuera de equilibrio" en un momento dado t se acerca a un "estado de equilibrio" a medida que pasa el tiempo.

Física EstadísAca - Grupo 2 10

• La mecánica estadís.ca (0sica estadís.ca) es una herramienta indispensable para estudiar las propiedades *sicas de la materia "a granel" sobre la base del comportamiento dinámico de sus componentes "microscópicos".

• Fundada en los principios bien establecidos de las estadís.cas matemá.cas, por un lado, y la mecánica de Hamilton por el otro, el formalismo de la mecánica estadís.ca ha demostrado tener un inmenso valor para la 0sica de los úl.mos 100 años.


• Los objetos que nos rodean están formados por un gran número de partículas microscópicas que pueden ser compuestas (moléculas, átomos, electrones, quarks, etc.)

• Estas partículas obedecen las leyes de la mecánica cuántica o clásica.

• Una descripción de las propiedades de los sistemas macroscópicos a partir de las ecuaciones de evolución de sus constituyentes es demasiado compleja para ser llevada a cabo con tantas partículas y excede en mucho la capacidad computacional de las computadoras más poderosas.


• El paso a un nivel macroscópico de descripción implica claramente una pérdida de información, y no es obvio que tal operación sea siempre posible.

• Una primera condición es que las interacciones entre los componentes microscópicos sean simples • (como lo es en el caso de las moléculas en un gas, no así, por ejemplo, en el

caso de las neuronas en un cerebro humano).

• Tal simplicidad garanAza que las variables macroscópicas dependan de manera rela4vamente simple en sus contrapartes microscópicas (Cpicamente a través de sumas).


• Otra condición que parece jugar un papel crucial es la existencia de un estado de equilibrio termodinámico, hacia el cual tiende el sistema, independientemente de las condiciones iniciales, si se lo deja solo (aislado).

• La pérdida de memoria de las condiciones iniciales es, de hecho, una de las facetas del carácter irreversible de la relajación del equilibrio.

• Además, sería muy difícil dar las condiciones iniciales necesarias para resolver ese problema.


• A pesar de la aparente complejidad, los cuerpos macroscópicos obedecen a leyes simples que, a primera vista, no tienen nada que ver con aquellas que regulan la evolución de las partículas a nivel microscópico.

• Estas leyes, la mayoría de las cuales se han descubierto empíricamente, vinculan los llamados parámetros macroscópicos porque se miden en nuestra escala.


• Podríamos considerar subdivisiones del sistema en partes cada vez más pequeñas, hasta la escala microscópica.

• Esto nos llevaría a esperar un carácter caótico (en cierto sentido) de la dinámica microscópica.

• El punto es controvertido. Lo que está claro es que la pérdida de memoria de las condiciones iniciales implicaría una pérdida de información en el paso de micro a macro, que no se debe simplemente a la granulación gruesa (coarse-graining), y tiene un origen dinámico.

• Tales ideas se extienden lejos del equilibrio, con el concepto de equilibrio térmico siendo reemplazado por el estado estacionario no equilibrado, en el que las fluctuaciones macroscópicas, los efectos no lineales y el caos se convierten en los factores dominantes.

Física EstadísHca - Grupo 2 16

• El hecho de que las variables macroscópicas puedan obtenerse como sumas (o, en general, funciones simples) de las variables microscópicas, sugiere que podrían interpretarse en sentido estadístico.

• Un ejemplo es la energía interna de un gas monoatómico

! = 32%&'

en el que (3/2) KT es la energía cinética media de las moléculas.


• Esta reducción en la información, cuando se pasa del nivel microscópico al nivel macroscópico, proviene del hecho de que el número de variables que podemos aprehender es mucho más bajo que el necesario para describir la evolución completa del conjunto de partículas que constituyen el objeto macroscópico.

• Como veremos a lo largo de este cuatrimestre, la existencia de leyes simples está muy estrechamente relacionada con el número extremadamente grande de constituyentes de objetos macroscópicos: la simplicidad surge de la complejidad.

Física Estadís@ca - Grupo 2 18

• Los conceptos de probabilidad y estadís1ca juegan un papel central.

• Básicamente, existen dos enfoques: Ø la teoría ciné1ca, asociada con los nombres, entre otros, de J. C. Maxwell y

L. Boltzmann, y Ø la mecánica estadís1ca de equilibrio, asociada con el nombre de W. Gibbs.


• Aunque la aplicación de estas teorías se extiende hoy mucho más allá del ámbito de la física, su uso original fue en el estudio de los sistemas termodinámicos.

• Simplificando mucho, uno puede afirmar que

Ø la teoría cinética se ocupa más de las situaciones de no equilibrio, mientras que Ø la mecánica estadística podría verse como un cuerpo de técnicas para la

derivación de la termodinámica de los sistemas físicos.

• En ambos casos, el aspecto central es el tratamiento probabilístico de los grados microscópicos de libertad del sistema.


• La $sica estadís,ca trata principalmente con sistemas en equilibrio cuyas par2culas son bien independientes o bien efec5vamente independientes (Sta$s$cal Thermodynamics).

• También trata con sistemas en equilibrio cuyas par2culas interactúan fuertemente o bien trata con sistemas fuera del equilibrio (Sta$s$cal Mechanics).


C. Maxwell (1860) L. Boltzmann (1871)

H. Poincaré (1890)

J. Loschmidt (1876)

T. Ehrenfest

J. Gibbs (1902)

Bernoulli (1738)Krönig (1856)Joule (1851)

Clausius (1857)

Planck (1900) Einstein (1905)

Compton (1923)Bose (1924)

Fermi (1926)

Pauli (1925)

Dirac (1927)

Thomas (1927)

Debye (1912)

Landau (1927)

Smoluchowski (1906)Langevin (1908)


• En contraste con el estado actual de su desarrollo, el éxito de sus aplicaciones y la amplitud de su alcance, los comienzos de la mecánica estadística fueron bastante modestos.

• Salvo algunas referencias primitivas, como las de Gassendi, Hooke, etc., el verdadero trabajo sobre este tema comenzó • con las especulaciones de Daniel Bernoulli (1738), • John Herapath (1821) y • James Prescott Joule (1851)

• que, de manera individual , trataron de sentar las bases de la llamada teoría cinética de los gases, una disciplina que finalmente resultó ser la precursora de la mecánica estadística.

https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli

https://en.wikipedia.org/wiki/James_Prescott_Joule


• El trabajo pionero de estos inves1gadores estableció el hecho de que la presión de un gas surgía del movimiento de sus moléculas y, por lo tanto, podía computarse considerando la influencia dinámica del bombardeo molecular en las paredes del contenedor.

• Así, Bernoulli y Herapath podrían demostrar que, si la temperatura permanecía constante, la presión P de un gas ordinario era inversamente proporcional al volumen V del contenedor (ley de Boyle), y que era esencialmente independiente de la forma del contenedor .


• Esto, por supuesto, implicó la suposición explícita de que, a una temperatura dada T, la velocidad (media) de las moléculas era independiente tanto de la presión como del volumen.

• Bernoulli incluso intentó determinar la corrección (de primer orden) a esta ley, que surge del tamaño finito de las moléculas, y mostró que el volumen V que aparece en el enunciado de la ley debería ser reemplazado por (V - b), donde b es el volumen "real" de las moléculas


• Joule fue el primero en demostrar que la presión P era directamente proporcional al cuadrado de la velocidad molecular c, que inicialmente había supuesto que era la misma para todas las moléculas. • Krönig (1856) fue un paso más allá. Presentando el supuesto "cuasi-

estadístico" de que, en cualquier momento t, puede suponerse que una sexta parte de las moléculas está volando en cada una de las seis direcciones "independientes", es decir, + x, -x, + y, -y, + z, y -z, deriva la ecuación

! = #$ %&'

( (1)

donde n es la densidad numérica de las moléculas y m la masa molecular.


• Krönig, también, asumió que la velocidad molecular c es la misma para todas las moléculas; así que desde (1), infirió que la energía cinética de las moléculas debería ser directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.

Física EstadísAca - Grupo 2 27

! = #$ %&'

( (1)

• Fue en esta etapa que Rudolf Clausius ingresó al campo. • En primer lugar, en 1857, derivó la ley de los gases

ideales bajo supuestos mucho menos estrictos que los de Krönig. • Descartó los dos supuestos principales de Krönig y mostró

que la ec. (1) seguía siendo cierta; por supuesto, c2 ahora se convirtió en la velocidad cuadrática media de las moléculas. • En un artículo posterior (1859), Clausius introdujo el

concepto del camino libre medio y, por lo tanto, se convirtió en el primero en analizar los fenómenos del transporte.

https://es.wikipedia.org/wiki/Rudolf_Clausius


• Fue en estos estudios que introdujo el famoso "Stosszahlansatz" - la hipótesis sobre el número de colisiones (entre las moléculas) - que, más tarde, jugó un papel destacado en la monumental obra de Boltzmann.

• Con Clausius, la introducción de los puntos de vista microscópicos y estadísticos en la teoría física fue definitiva, más que especulativa.

Física EstadísEca - Grupo 2 29

• El trabajo de Clausius atrajo a Maxwell al campo.

• Hizo su primera aparición con la memoria "Ilustraciones en la teoría dinámica de los gases" (1860), en la que fue mucho más lejos que sus predecesores al derivar su famosa ley de la "distribución de velocidades moleculares".

• La derivación de Maxwell se basó en elementos elementales principios de probabilidad y se inspiró claramente en la ley Gaussiana de "distribución de errores aleatorios".


• Una derivación basada en el requisito de que "la distribución de equilibrio de las velocidades moleculares, una vez adquirida, debería permanecer invariante bajo colisiones moleculares" apareció en 1867.

• Esto condujo Maxwell establece lo que se conoce como la ecuación de transporte de Maxwell que, si se usa hábilmente, conduce a los mismos resultados que se obtienen de la ecuación más fundamental debida a Boltzmann.

Física EstadísHca - Grupo 2 31

• Las contribuciones de Maxwell al tema disminuyeron considerablemente después de su nombramiento, en 1871, como el Profesor Cavendish en Cambridge.

• Para entonces, Boltzmann ya había dado sus primeros pasos. En el período 1868-1871, generalizó la ley de distribución de Maxwell a los gases poliatómicos, teniendo también en cuenta la presencia de fuerzas externas, si las hubiera; esto dio lugar al famoso factor de Boltzmann exp (-βε), donde ε denota la energía total de una molécula.


• Estas investigaciones también condujeron al teorema de equipartición.

• Boltzmann demostró además que, al igual que la distribución original de Maxwell, la distribución generalizada (que ahora llamamos la distribución de Maxwell-Boltzmann) es estacionaria con respecto a las colisiones moleculares.

• En 1872 llegó el célebre Teorema H, que proporcionó una base molecular para la tendencia natural de los sistemas físicos a acercarse y permanecer en un estado de equilibrio.


• Esto estableció una conexión entre

Ø el enfoque microscópico (que caracteriza la mecánica estadís:ca) y el Ø enfoque fenomenológico (que caracterizaba a la termodinámica) de

forma mucho más transparente que nunca; Ø también proporcionó un método directo para calcular la entropía de

un sistema 7sico dado desde consideraciones puramente microscópicas.

• Como corolario del teorema H, Boltzmann demostró que la distribución de Maxwell-Boltzmann es la única distribución que permanece invariable bajo colisiones moleculares y que cualquier otra distribución, bajo la influencia de colisiones moleculares, en úlCma instancia pasará a una distribución de Maxwell- Boltzmann.


• En 1876 Boltzmann derivó su famosa ecuación de transporte, que, en manos de Chapman y Enskog (1916-1917), ha demostrado ser una herramienta extremadamente poderosa para investigar las propiedades macroscópicas de los sistemas en estados de desequilibrio.


• Las cosas, sin embargo, resultaron bastante duras para Boltzmann. • Su teorema H, y el consiguiente comportamiento irreversible de los

sistemas físicos, sufrieron un fuerte ataque, principalmente desde Loschmidt (1876-1877) y Zermelo (1896). • Mientras Loschmidt se preguntaba cómo podrían conciliarse las consecuencias de

este teorema con el carácter reversible de las ecuaciones de movimiento básicas de las moléculas,

• Zermelo se preguntó cómo se podrían hacer estas consecuencias para que encajen con el comportamiento cuasiperiódico de los sistemas cerrados (que surgieron a la vista del los llamados ciclos de Poincaré).

• Boltzmann se defendió de estos ataques con todas sus fuerzas pero, desafortunadamente, no pudo convencer a sus oponentes de la exactitud de su punto de vista. • Al mismo tiempo, los enérgeticos, liderados por Mach y Ostwald, criticaban

la base misma (molecular) de la teoría cinética, mientras Kelvin enfatizaba las "nubes del siglo diecinueve se cernían sobre la teoría dinámica de la luz y el calor".


• No profundizaremos más en la teoría cinética; avanzamos hacia el desarrollo del enfoque más sofisticado conocido como la teoría de “colectivos”, que de hecho puede considerarse como la mecánica estadística propia.

• En este enfoque, el estado dinámico de un sistema dado, como se caracteriza por las coordenadas generalizadas qi y el momento generalizado pi, está representado por un punto del espacio fásico G(qi, pi) de dimensión apropiada.

Física EstadísDca - Grupo 2 37

• La evolución del estado dinámico en el tiempo se representa mediante la trayectoria del punto G en el espacio de fase, la "geometría" de la trayectoria se rige por las ecuaciones de movimiento del sistema y por la naturaleza de las restricciones físicas impuestas en eso.

• Para desarrollar un formalismo apropiado, uno considera el sistema dado junto con un número infinitamente grande de "copias mentales" del mismo; es decir, un conjunto de sistemas similares bajo restricciones físicas idénticas (aunque, en cualquier momento t, los diversos sistemas en el conjunto diferirán ampliamente en sus estados dinámicos).


• En el espacio de fase, entonces, uno tiene un enjambre de infinitos puntos G (que, en cualquier momento t, están ampliamente dispersos y, con el tiempo, se mueven a lo largo de sus respectivas trayectorias).

• La ficción de una multitud de sistemas infinitamente numerosos, idénticos pero independientes, permite reemplazar ciertas suposiciones dudosas de la teoría cinética de los gases por declaraciones de mecánica estadística fácilmente aceptables.

• La formulación explícita de estas afirmaciones fue dada por primera vez por Maxwell (1879) quien en esta ocasión usó la palabra "estadístico-mecánico" para describir el estudio de colectivos (de sistemas gaseosos) - aunque, ocho años antes, Boltzmann (1871) ya tenía trabajó con esencialmente el mismo tipo de colectivos.

Física EstadísOca - Grupo 2 39

• La can&dad más importante en la teoría de colec&vos es la función de densidad, ρ (qi, pi; t), de los puntos G en el espacio de fases; una distribución estacionaria (∂ρ / ∂t = 0) caracteriza un colec&vo estacionario, que a su vez representa un sistema en equilibrio.

• Maxwell y Boltzmann limitaron su estudio a colec&vos para los cuales la función ρ dependía únicamente de la energía E del sistema.

• Esto incluía el caso especial de los sistemas ergódicos, que estaban definidos de tal forma que "el movimiento imperturbable de un sistema de este &po, si se persigue por un &empo ilimitado, finalmente traería (al entorno de) todos y cada uno de los puntos de fase compa&bles con el valor fijo E de la energía ".


• En consecuencia, el promedio en el colectivo, ⟨f⟩, de una cantidad física f, tomada en cualquier momento dado t, sería el mismo que el promedio a largo plazo, f, perteneciente a cualquier miembro dado del colectivo.

• Ahora, f es el valor que esperamos obtener para la cantidad en cuestión cuando hacemos una medición apropiada en el sistema; el resultado de esta medición debería, por lo tanto, estar de acuerdo con la estimación teórica ⟨f⟩.

• Por lo tanto, adquirimos una receta para generar un contacto directo entre la teoría y el experimento. Al mismo tiempo, establecemos una base racional para una teoría microscópica de la materia como alternativa al enfoque empírico de la termodinámica.


• Un avance significa,vo en esta dirección fue realizado por Gibbs quien, con sus Principios Elementales de Mecánica Estadís4ca (1902), convir,ó la teoría de colec,vos en la herramienta más eficiente desde el punto de vista teórico.

• Hizo hincapié en el uso de colec,vos "generalizados" y desarrolló esquemas que, en principio, permi5eron calcular un conjunto completo de can5dades termodinámicas de un sistema dado a par5r de propiedades puramente mecánicas de sus componentes microscópicos.


• En sus métodos y resultados, el trabajo de Gibbs resultó ser mucho más general que cualquier tratamiento anterior del tema; se aplicaba a cualquier sistema físico que cumpliera con los requisitos simples de que

Ø era de estructura mecánica y Ø obedecía las ecuaciones de movimiento de Lagrange y

Hamilton.

• A este respecto, se puede considerar que el trabajo de Gibbs ha logrado tanto para la termodinámica como el de Maxwell para la electrodinámica.


• Estos desarrollos casi coinciden con la gran revolución que el trabajo de Planck de 1900 trajo a la física.

• Como es bien sabido, la hipótesis cuántica de Planck resolvió con éxito los misterios esenciales de la radiación del cuerpo negro, un tema donde las tres disciplinas mejor establecidas del siglo XIX, a saber, la mecánica, la electrodinámica y la termodinámica, estaban todas enfocadas. Al mismo tiempo, descubrió tanto las fortalezas como las debilidades de estas disciplinas.

• Hubiera sido sorprendente que la mecánica estadística, que unía la termodinámica con la mecánica, pudiera haber escapado a las repercusiones de esta revolución.


• El trabajo posterior de Einstein (1905) sobre el efecto fotoeléctrico y de Compton (1923) sobre la dispersión de los rayos X estableció, por así decirlo, la "existencia" del quantum de radiación, o el fotón como nosotros ahora lo llamamos.

• Era natural que alguien derivara la fórmula de radiación de Planck al tratar la radiación del cuerpo negro como un gas de fotones de la misma manera que Maxwell había derivado su ley de distribución de velocidades moleculares para un gas de moléculas convencionales.

• Pero, entonces, ¿un gas de fotones difiere tan radicalmente de un gas de moléculas convencionales que las dos leyes de distribución deberían ser tan diferentes entre sí?

Física EstadísFca - Grupo 2 45

• La respuesta a esta pregunta fue proporcionada por la forma en que Bosederivó la fórmula de Planck.

• En su artículo histórico de 1924, Bose trató la radiación del cuerpo negro como un gas de fotones; sin embargo, en lugar de considerar la asignación de los fotones "individuales" a los diversos estados de energía del sistema, fijó su atención en el número de estados que contenían "un número particular" de fotones.

• Einstein, que parece haber traducido el documento de Bose al alemán de un manuscrito en inglés enviado por el autor, reconoció de inmediato la importancia de este enfoque y añadió la siguiente nota a su traducción: "La derivación de Bose de la fórmula de Planck es en mi opinión una importante paso adelante. El método empleado aquí también desarrollaría la teoría cuántica de un gas ideal, que propongo demostrar en otro lugar ".


• Implícito en el enfoque de Bose estaba el hecho de que en el caso de los fotones lo que realmente importaba era "el conjunto de números de fotones en varios estados de energía del sistema" y no la especificación en cuanto a "qué fotón estaba en qué estado"; en otras palabras, los fotones eran mutuamente indistinguibles.

• Einstein argumentó que lo que Bose había implicado para los fotones debería ser cierto también para las partículas materiales (porque la propiedad de indistinguibilidad surgió esencialmente del carácter ondulatorio de estas entidades y, según de Broglie, las partículas materiales también poseían ese carácter).

• En dos documentos, que aparecieron poco después, Einstein (1924, 1925) aplicó el método de Bose al estudio de un gas ideal y de ese modo desarrolló lo que ahora llamamos estadísticas de Bose-Einstein.

Física EstadísLca - Grupo 2 47

• En el segundo de estos ar.culos, la diferencia fundamental entre las nuevas estadís6cas y las estadís6cas clásicas de Maxwell-Boltzmann aparece de manera tan transparente en términos de la indis6nguibilidad de las moléculas.

• En el mismo ar.culo, Einstein descubrió el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein que, 13 años después, fue adoptado por Londres (1938) como la base para una comprensión microscópica de las curiosas propiedades del líquido He4 a bajas temperaturas.


• Siguiendo la enunciación del principio de exclusión de Pauli (1925), Fermi (1926) mostró que ciertos sistemas físicos obedecerían a un tipo diferente de estadística, a saber, la estadística de Fermi-Dirac, en la que no más de una partícula puede ocupar el mismo estado de energía (ni = 0, 1).

• Parece importante mencionar aquí que el método de Bose de 1924 conduce también a la distribución de Fermi-Dirac, siempre que se limite la ocupación de un estado de energía a como máximo una partícula.


• Poco después de su aparición, las estadís4cas de Fermi-Dirac fueron aplicadas por Fowler (1926) para analizar los estados de equilibrio de las estrellas enanas blancas y por Pauli (1927) para explicar el paramagne3smo débil e independiente de la temperatura de los metales alcalinos; en cada caso, uno tuvo que lidiar con un gas de electrones "altamente degenerado" que obedece a las estadís4cas de Fermi-Dirac.

• A raíz de esto, Sommerfeld produjo su obra monumental de 1928 que no solo situó la teoría de los electrones de los metales sobre una base Nsicamente segura, sino que también le dio un nuevo comienzo en la dirección correcta.


• Así, Sommerfeld podría explicar prácticamente todas las propiedades principales de los metales que surgieron de los electrones de conducción y, en cada caso, obtuvo resultados que mostraron un acuerdo mucho mejor con el experimento que los siguientes de las teorías clásicas de Riecke (1898), Drude (1900) y Lorentz (1904-1905).

• Por la misma época, Thomas (1927) y Fermi (1928) investigaron la distribución de electrones en átomos más pesados y obtuvieron estimaciones teóricas para las energías de enlace relevantes;

• Estas investigaciones llevaron al desarrollo del llamado modelo de átomo de Thomas-Fermi, que luego se amplió para que también pudiera aplicarse a moléculas, sólidos y núcleos.


• Por lo tanto, toda la estructura de la mecánica estadística fue revisada por la introducción del concepto de indistinguibilidad de partículas (idénticas).

• El aspecto estadístico del problema, que ya estaba presente en vista de la gran cantidad de partículas presentes, ahora se complementó con otro aspecto estadístico que surgió de la naturaleza probabilística de la descripción mecánico cuántica

• Por lo tanto, había que realizar un promedio doble de las variables dinámicas sobre los estados del sistema dado para obtener los valores de expectativa relevantes.

• Ese tipo de situación obligó a reformular la teoría de colectivos, que se llevó a cabo paso a paso.


• Primero, Landau (1927) y von Neumann (1927) introdujeron la llamada matriz de densidad, que era el análogo mecánico cuántico de la función de densidad del espacio fase clásico; esto fue elaborado, tanto desde el punto de vista estadístico como cuántico-mecánico, por Dirac (1929-1931).

• Guiados por la teoría del colectivos clásico, estos autores consideraron colectivos microcanónicos y canónicos; la introducción del colectivos macrocanónicos en estadística cuántica fue hecha por Pauli (1927).

Física EstadísKca - Grupo 2 53

• La pregunta importante sobre qué par2culas obedecería a las estadís7cas de Bose-Einstein y cuál a la de Fermi-Dirac permaneció teóricamente inestable hasta que Belinfante (1939) y Pauli (1940) descubrieron la conexión vital entre el spin y la estadís3ca.

• Resulta que esas par4culas cuyo spin es un múl3plo entero deben obedecer las estadís3cas de Bose-Einstein mientras que aquellas cuyo spin es un múl3plo semientero impar deben obedecer las estadís3cas de Fermi-Dirac.

• Hasta la fecha, no se ha descubierto una tercera categoría de par2culas.


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