Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

UNIDAD 2: Álgebra lineal.

Tema 5. Introducción al Álgebra lineal.

Concepto de espacio vectorial y de vector. Combinación lineal. Dependencia e inde-pendencia lineal. Sistema de generadores. Base.

Existe una clase de conjuntos dotados de una estructura algebraica muy particular llamada es-pacio vectorial. El estudio de estos conjuntos constituye el objeto del Álgebra lineal.

Estructura de espacio vectorial sobre IK.

Para que un conjunto V sea espacio vectorial es necesario que exista otro conjunto que le sirva de apoyo, el cual se llama conjunto soporte o dominio de operadores y denotaremos por IK. Este conjunto siempre tiene que tener estructura de cuerpo conmutativo. IK también se llama cuerpo de escalares (el cuerpo con el que trabajaremos normalmente es el conjunto de los números reales IR).

Definición de espacio vectorial.

En el conjunto V se definen dos leyes de composición u operaciones binarias:

una interna, +: V V V, que se llama suma de elementos de V. otra externa, con la ayuda de IK , · : IK V V, que se denomina producto de escalares por

vectores.

Se dice que la terna (V, +, ·IK) es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK si las operaciones + y ·IK cumplen unas determinadas propiedades:

(V, +) tiene estructura de grupo abeliano; es decir, las cuatro siguientes:

1. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c V. 2. Elemento neutro: 0 V / a V, a + 0 = 0 + a = a. 3. Elemento simétrico: a V, a’ V / a + a’ = a’ + a = 0. 4. Conmutativa: a + b = b + a, a, b V.

(V, ·IK) cumple las cuatro siguientes:

5. Distributiva de ·IK respecto de + en V: ·(a + b) = ·a + ·b; a, b V; IK. 6. Distributiva de ·IK respecto de + en IK: ( + )·a = ·a + ·a; a V; , IK. 7. Asociatividad entre escalares y elementos de V: ·(·a) = (··a; a V; , IK. 8. Neutralidad del 1 en ·IK: 1·a = a; a V; 1 IK.

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A los elementos de un conjunto que tenga estructura de espacio vectorial se les llama vecto-res, sea cual sea su naturaleza. Así, un vector puede ser un par de números reales, o un polinomio, o un elemento geométrico con módulo, dirección y sentido, …

Los vectores se indicarán con una letra negrita, para no confundirlos con los escalares de IK.

Propiedades inmediatas de los espacios vectoriales.

De las ocho propiedades de la definición se deducen de forma inmediata las siguientes:

·0 = 0; IK. 0·v = 0; v V. Si ·v = 0 = 0 ó v = 0. (-1)·v = -v; v V. ·(v – w) = ·v – ·w; IK; v, w V. ( – )·v = ·v – ·v; , IK; v V.

Subespacios vectoriales.

Sea (V, +, ·IK) un espacio vectorial sobre IK; es decir, un conjunto en el que se han definido las operaciones + y ·IK cumpliendo las ocho propiedades enunciadas en el apartado anterior.

Se llama subespacio vectorial de V sobre el cuerpo IK a todo subconjunto W de V que, respecto de las operaciones definidas en V, tenga estructura de espacio vectorial.

Es decir (W, +, ·IK) es subespacio vectorial de V, si W V y (W, +, ·IK) es espacio vectorial.

Entre los subespacios vectoriales de V existen dos que se llaman subespacios impropios: el mismo V y el formado exclusivamente por el elemento neutro de la suma, {0} (subespacio trivial). Todos los demás subespacios de un espacio vectorial se llaman propios.

Dependencia lineal y generadores.

Combinación lineal de vectores.

Sean u1, u2, ..., uk, k vectores del espacio vectorial (V, +, ·IK ). Si un vector v V se puede expresar de la forma

v = 1u1 + 2u2 + ... + kuk

con 1, 2, ..., k IK, entonces se dice que el vector v es combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk.

Los escalares 1, 2, ..., k se llaman coeficientes de la combinación lineal.

Con kuuu ,...,, 21L se denota el conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden

hacer con esa colección de vectores.

Dependencia e independencia lineal de vectores.

Se dice que los vectores u1, u2, ..., uk de V son linealmente independientes o que el sistema kF uuu ,...,, 21 es un sistema libre, cuando la única forma de escribir el vector 0 como combina-

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ción lineal de los vectores de F es con todos los coeficientes de dicha combinación lineal iguales a cero.

Es decir,

1u1 + 2u2 + ... + kuk = 0 implica que 1 = 2 = ... = k = 0

Un conjunto de vectores kF uuu ,...,, 21 forma un sistema ligado si es posible encontrar

escalares 1, 2, ..., k no todos iguales a cero, tales que:

1u1 + 2u2 + ... + kuk = 0

En este caso, los vectores u1, u2, ..., uk se dicen linealmente dependientes, y permiten expresar el vector 0 de V de forma no única como combinación lineal de ellos.

De estas definiciones se deducen fácilmente las siguientes consecuencias:

1. Todo vector no nulo de V forma, por si mismo, un sistema libre. En efecto, pues si ·a = 0, entonces ha de ser = 0, ya que a 0.

2. Si un conjunto de vectores contiene el vector nulo, entonces es un sistema ligado, pues siempre será posible escribir 1·0 + 0·u2 + ... + 0·uk = 0, donde 1 0.

3. Cualquier sistema que contenga dos vectores iguales es un sistema ligado (sus vectores son linealmente dependientes). Lo mismo se podría decir de un sistema que tuviera dos vectores proporcionales.

4. Si kF uuu ,...,, 21 es un sistema ligado y le añadimos los vectores v1, v2, ..., vj, enton-

ces el nuevo sistema jkF vvvuuu ,....,,,,...,,' 2121 es también un sistema ligado.

5. Todo sistema de vectores que sea subconjunto de un sistema libre es también un sistema libre.

6. La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea un sistema liga-do es que al menos uno de ellos se pueda escribir como combinación lineal de todos los demás.

Sistema de generadores.

El conjunto de vectores del espacio vectorial V, kuuu ,...,, 21 , es un sistema de generadores

de V, si cualquier vector v V se puede expresar como combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk.

Es decir, si kF uuu ,...,, 21 es un sistema de generadores de V, entonces el conjunto for-

mado por todos los vectores que son combinación lineal de los vectores del sistema F coincide con todo el espacio vectorial (V, +, ·IK) y, por tanto, para todo v V existen 1, 2, ..., k IK tales que

v = 1u1 + 2u2 + ... + kuk

Teorema.

Sea 121 ,,...,, kkF uuuu un sistema de generadores de V. Si el vector uk+1 es combinación

lineal de los restantes vectores de F y se suprime uk+1, el sistema kF uuu ,...,,' 21 resultante es

también un sistema de generadores de V.

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Base de un espacio vectorial, dimensión y coordenadas.

Si V es un espacio vectorial y nuuu ,...,, 21 es un sistema de generadores de V, entonces a

cada vector x de V se le puede hacer corresponder una n-upla de escalares ),...,,( 21 nxxx de forma

que:

nnxxx uuux ...2211

Para que esta correspondencia entre un vector de V y una n-upla de escalares se pueda esta-blecer de una única forma en cada caso, es necesario y suficiente que el sistema de generadores de V, nuuu ,...,, 21 , sea un sistema libre. En este caso se dice que nuuu ,...,, 21 es una base de V.

De otro modo: un sistema de vectores B, nB uuu ,...,, 21 , de un espacio vectorial V es una

base si los vectores de B son linealmente independientes y, además, forman un sistema de genera-dores de V.

En esto reside la importancia de las bases: todo vector de un espacio vectorial se puede expre-sar de forma única como combinación lineal de los vectores de una base cualquiera B de ese espacio vectorial.

Se llaman coordenadas de un vector x V respecto de una base nB uuu ,...,, 21 de V, a los

números ),...,,( 21 nxxx que como coeficientes de la combinación lineal satisfacen la igualdad:

nnxxx uuux ...2211

Las coordenadas de un vector, en cada base, son únicas.

Espacio vectorial IRn: base canónica.

IRn (n = 1, 2, 3, ...) es el espacio vectorial cuyos vectores son n-uplas de números reales:

IRn = IRnn xxxxxx ,...,,/),...,,( 2121

Es decir, los vectores de IR son cada número real, los de IR2 son pares de números reales, los de IR3 son triplas de números reales, etc...

Este espacio IRn viene estructurado por las operaciones:

),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx

),...,,(),...,,( 2121 nn kxkxkxxxxk

Vamos a determinar una base con respecto a la cual referir fácilmente los vectores de IRn.

En IRn hay un conjunto distinguido de vectores:

e1 = (1,0,0,...,0) e2 = (0,1,0,...,0) .......................... ei = (0,0,...,0,1,0,...,0) (el único 1 ocupa el lugar i) .......................... en = (0,0,0,...,1)

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Vamos a ver que el sistema cumple dos condiciones:

1. Es un sistema libre o de vectores linealmente independientes. En efecto, si

k1e1 + k2e2 + ... + knen = 0

resulta que

k1 (1,0,...,0) + k2 (0,1,...,0) + ...+ kn (0,0,...,1) = (0,0,...,0)

es cierto sólo si k1 = k2 = ... = kn = 0. 2. Es un sistema de generadores de IRn, pues cualquier vector ),...,,( 21 nxxx de IRn se puede

escribir así:

)1,...,0,0(...)0,...,1,0()0,...,0,1(),...,,( 2121 nn xxxxxx

Por tanto, el sistema {e1, e2, ..., en} es una base de IRn.

Esta base es especialmente sencilla de manejar porque tiene una importante propiedad: los es-calares x1,x2,...,xn que permiten expresar el vector x como combinación lineal de los vectores de la base son precisamente las componentes de ese vector. Es decir,

x = ),...,,( 21 nxxx = x1 e1 + x2 e2 + ...+ xn en

A esta base se la denomina base canónica de IRn.

Dimensión de un espacio vectorial.

Un hecho importante es que todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores (teorema de la base).

Al número de vectores de una base cualquiera de un espacio vectorial se le llama dimensión del espacio.

Si V es un espacio vectorial de dimensión n, entonces:

1. Cualquier sistema de más de n vectores es ligado. 2. Todo sistema libre de n vectores es una base.

Luego una base de un espacio vectorial es un sistema libre de orden máximo porque contiene el mayor número posible de vectores linealmente independientes, que, como se ha indicado, coinci-de con la dimensión del espacio.

En resumen, la dimensión de un espacio indica:

1. El número máximo de vectores que puede haber en un sistema libre. 2. El número mínimo de vectores que puede haber en un sistema de generadores. 3. El número exacto de vectores que hay en una base.