Tema 5 : PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Yolanda y Alberto están jugando con un dado cuyas caras están numeradasdel 1 al 6. Pero Alberto es muy tramposo y ha cambiado el dado por otro que tiene en todas las caras el 6.

Cuando lance Yolanda su dado,

¿podremos predecir qué número saldrá?.

Cuando lance Alberto su dado,

¿podremos predecir qué número saldrá?.

El experimento de Yolanda es de azar, puesto que no podemos predecir su resultado.

El experimento de Alberto no es de azar, puesto que podemos predecir su resultado.

Un experimento es de AZAR si no se puede predecir su resultado.

Se llaman EXPERIMENTOS ALEATORIOS los que dan lugar a experimentos de azar.

Ejemplos de Experimentos Aleatorios

E1 : Se lanza un dado dos veces y se anota el número que sale en la cara

superior en ambos lanzamientos.

E2: Se analizan muestras de tumores , en un laboratorio, para ver si son benignos o

malignos.

E3: Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados diariamente.

E4: Se mide la resistencia eléctrica de un alambre de cobre.

Al conjunto de todos los resultados que pueden obtenerse al realizar un experimento aleatorio se le llama

ESPACIO MUESTRAL y se denota por

S ó Ω.

* Al lanzar una moneda ¿qué es más probable obtener?

Al lanzar un dado ¿ es más probable obtener un 2 ó 6?

*Si en una caja hay cuatro fichas rojas y cuatro azules ¿es más probable sacar una ficha roja o una ficha azul?

*

Si dos resultados de un experimento aleatorio tienen

la misma probabilidad de ocurrir se dice que son equiprobables.

Cada subconjunto del espacio muestral

se llama SUCESO O EVENTO y se denota por A, B, C,....

A

SUCESO ELEMENTAL

Es un suceso que tiene un solo elemento

Ejemplo: al lanzar un dado sale un seis

A={6}

SUCESO IMPOSIBLE

Es un suceso que no puede ocurrir

EJEMPLO: al sacar una carta de un naipe español sale un 10 de diamante.

SUCESO SEGURO

Es aquel suceso que puede ocurrir con toda seguridad.

EJEMPLO : De una caja que tiene sólo fichas verdes se extrae una ficha verde.

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes si:

BA

De un naipe español

A :”se sacan copas”

B:”se sacan oros”

A y B son SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Esto significa que :

si ocurre A, no puede ocurrir B y

si ocurre B no puede ocurrir A

Definición Clásica de Probabilidad

posiblescasosdetotalN

AsucesoalfavorablescasosdeNAP

º

º)(

O bien:

#

#)(

AAP

La probabilidad de que ocurra un suceso A, asociado a un espacio muestral Ω, esta dado por:

Observaciones sobre esta definición:

1º Es válida solo para espacios muestrales finitos.

2º Es válida solo para el supuesto de equiprobabilidad.

3º Esta definición se cumple cuando el experimento se realiza un gran número de veces.

El naturalista francés Buffon lanzó una moneda 4.040 veces. Resultando 2.048 caras, una razón de 2.048/4.040 = 0,5069

El matemático inglés John Kerrich, mientras fue prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces. Resultando 5.067 caras, una razón de 0,5067

Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl Pearson en un acto sin precedentes lanzó una moneda 24.000 veces. Resultando 12.012 caras, una razón de 0,05005

Propiedades de las probabilidades

1.- 1)(0 AP

##

)(A

AP A

1##

)(

0)(

APASi

APASi

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO SEGURO ES UNO

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO IMPOSIBLE ES CERO

2.- P (A) + P(AC) =1

Ejemplo: La probabilidad de tener a un alumno de sexo femenino en la sala de clases es 0,55, por lo tanto la probabilidad de que no sea de sexo femenino es 0,45.

P(M) + P(MC)= 1

3.- Si A y B son sucesos cualesquiera asociados a un espacio muestral S.

La probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B está dado por:

)()()()( BAPBPAPBAP

Ejemplo:

En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.

¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas?

Solución:

Se definen los sucesos

A:”El sistema A funciona”

B:”El sistema B funciona”

9,06,08,07,0)(

6,0)(8,0)(7,0)(

BUAP

BAPBPAP

Consideremos el siguiente ejemplo:

80 buenos

100 artículos

20 defectuosos

Se definen los sucesos:

A: El primer artículo esta defectuoso

B: El segundo artículo esta bueno

Calculemos la probabilidad de que ocurran los sucesos Ay B. Primero considerando que el muestreo se realiza con reposición y luego que se hace sin reposición.

Definición de Probabilidad Condicional

Sean A y B dos sucesos asociados a un espacio muestral,

la probabilidad de que ocurra el suceso A si ocurrió el suceso B, esta dado por:

0)(,)(

)()/(

BP

BP

BAPBAP

y la probabilidad de que ocurra el suceso B si ocurre el suceso A, esta dado por:

0)(,)(

)()/(

AP

AP

BAPABP

EJEMPLO:

En una ciudad el 31% de los habitantes tiene un perro como mascota, el 54% tiene un gato y el 12% tiene gato y perro.

Se toma al azar a un habitante de esta ciudad , el cual tiene un gato. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un perro?.

Si se tienen k sucesos asociados a un espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).

La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la vez, esta dado por:

)..../(.......

)/()/()(

)...(

1321

213121

321

KK

K

AAAAAP

AAAPAAPAP

AAAAP

La consecuencia más importante de la definición de probabilidad condicional es:

)/()()( ABPAPBAP

Conocido como TEOREMA DE MULTIPLICACION de probabilidades

EJEMPLO:

Se tienen 14 fichas rojas, 6 blancas, 3 azules.

Se definen los siguientes sucesos:

A: La primera ficha es roja.

B: La segunda ficha es azul.

C: La tercera ficha es roja.

D: La cuarta ficha es blanca.

E: La quinta ficha es roja.

Se efectúa muestreo sin reposición . Calcular la probabilidad de que ocurran los sucesos A, B, C, D y E, a la vez.

SUCESOS INDEPENDIENTES

Si A y B son dos sucesos asociados a un espacio muestral , estos sucesos son independientes si:

i) P (A/B) = P(A)

ii)P(B/A)= P(B)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

En el ejemplo de las fichas, calcular la probabilidad de que ocurran los sucesos A, B, C, D Y E , si el muestreo se realiza con reposición.

Si se tienen k sucesos independientessucesos independientes asociados a un espacio muestral (A1, A2, A3,.....Ak).La probabilidad de que ocurran los K sucesos a la vez, esta dado por:

)(.......)()()()...( 321321 KK APAPAPAPAAAAP

PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL

Los sucesos B1, B2, B3, .....Bk , son una partición del espacio muestral si:

i) P (Bi ∩ Bj) = 0 ji

iki B1ii)

iii) P(Bi) = 0 ki ...3,2,1

Ejemplo:

Las ampolletas son fabricadas por A, B y C.

A fabrica el 35% de las ampolletas, B el 20% y C el 45%. Se sabe que el 5%, 3% y 2% de las ampolletas son defectuosas en las fabricas A, B y C, respectivamente.

a) Se colocan todas las ampolletas juntas y se escoge una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la ampolleta esté defectuosa?.

b) Se almacenan todas las ampolletas juntas , de tal manera que no es posible distinguir la fábrica de la cual provienen. Se toma una ampolleta al azar, que esta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fabrica B?.

Probabilidad Total

Teorema de Bayes

• El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

• A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

• Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

.