Tema 5 4to

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TEMA 4: FACTORIZACION II

CRITERIO DEL ASPA DOBLE

Se emplea para factorizar polinomios que tienen la

siguiente forma general.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

1ro) Se trazan dos aspas simples entre los términos

Ax2 Cy2 Cy2 F.

2do) Se traza un aspa grande entre los extremos

Ax2 F.

3ro) Se verifican las aspas simples y el aspa grande.

4to) Se toman los factores en forma horizontal.

Factorizar:

15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

Descomponiendo los términos en forma

conveniente.

15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

5x 3y 2

3x y 7

Verificaciones:

1ra Aspa : 5xy + 9xy = 14xy

2da Aspa : 21y + 2y = 23y

3ra Aspa : 35x + 6x = 41x

Tomamos los factores en forma horizontal.

(5x + 3y + 2)(3x + y + 7)

Factorizar:

x2 + 5xy + 4y2 + 2x + 5y + 1

5x 3y 2

3x y 7

Verificaciones:

1ra Aspa : xy + 4xy = 5xy

2da Aspa : 4y + y = 5y

3ra Aspa : x + x = 2x


(x + 4y + 1) (x + y + 1)

CRITERIO DEL ASPA DOBLE

ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to

Grado de la forma general:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

1ro) Se aplica un aspa simple en los términos

extremos Ax4 E.

2do) El resultado se resta del término central Cx2.

3ro) Expresar la diferencia en dos factores y

colocarlos debajo del termino central.

4to) Luego se aplican dos aspas simples y se toman

horizontalmente.


Factorizar:

5x4 + 22xy3 + 21x2 + 16x + 6

5x2 +3

x2 +2

Verificaciones:

10x2 + 3x2 = 13x2

Entonces: 21x2 – 13x2 = 8x2

Se descompone 8x2 en dos factores (2x)(4x)

que se ubican bajo el término central:

5x2 +2x +3

x2 +4x +2


(5x2 + 2x + 3) (x2 + 4x + 2)

Factorizar:

6x4 - 13x3 + 7x2 + 6x - 8

3x2 4

2x2 -2

Verificaciones:

-6x2 + 8x2 = 2x2

Entonces: 7x2 – 2x2 = 5x2

Se descompone 5x2 en dos factores (-5x)(-x)

que se ubican bajo el término central:

6x4 - 13x3 + 7x2 + 6x - 8

3x2 -5x 4

2x2 -x -2

(3x2 – 5x + 4) (2x2 – x - 2)

CRITERIO DE LOS DIVISORES

BINOMIOS

Este método se emplea para factorizar

polinomios de una sola variable y que admiten

factores de primer grado.

Factorizar:

P(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10

Calculamos los posibles ceros: ±(1, 2, 5, 10) son

todos los divisores del término independiente

con signo ±.

Empezamos con los valores mas pequeños,

tomando solo los valores que eliminan al

polinomio.

Para: x = 1

R = P(1) = 13 + 6(1)2 + 3(1) – 10

R = P(1) = 0

Si el polinomio se anula para x = 1 entonces un

factor será (x - 1).

P(x) = (x - 1) Q(x) ………….()

Calculamos Q(x) por Ruffini.

1 6 3 -10

1 1 7 +10

1 7 10 0

Q(x) = x2 + 7x + 10

x 5

x 2

Reemplazando en ()

P(x) = (x - 1) (x + 5) (x + 2)

3º 1º 2º


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Factorizar:

F(x, y) = 3x2 + 7xy + 2y2 + 11x + 7y + 6

Entonces un factor primo es:

a) 3x + 2y + 1 d) x + 2y + 3

b) x + 3y + 2 e) x + y + 6

c) 3x + 2y + 2

2. Factorizar:

F(x; y) = 3x(x - y) – 2y(x + y) + 7(2x + y) - 5

El término de un factor primo es:

a) 2y b) 2x c) -y

d) -5 e) 3x

3. Factorizar:

F(x; y) = (x + 3y)2 + 2(x - 3) + 3(2y - 3)

La suma de sus factores primos es:

a) 2x + 6y + 3 d) 2x + 5y - 14

b) 2x + 6y + 2 e) 2x + 10y - 1

c) 2x + 10y + 2

4. Factorizar:

F(x; y) = (3x - y)(x – 4y) + 5x(y + 2) – 8y + 3

La suma de coeficientes de un factor primo es:

a) -2 b) -1 c) 3

d) 1 e) 2

5. Factorizar:

F(x; y) = 4x2 – 13xy + 10y2 + 12x – 15y

Señalar un factor primo:

a) x + 2y + 3 b) 4x + 5y c) 4x – 5y

d) 4x + 2y + 3 e) 4x – 2y + 3

6. Factorizar:

F(x) = x4 + 5x3 + 13x2 + 17x + 12

Uno de sus factores primos es:

a) x2 + 3x – 4 d) x2 + 3x + 4

b) x2 + 2x + 2 e) x2 + 3x + 3

c) x2 + 2x + 4

7. Factorizar:

F(x) = (x2 + 2x)(x2 – x) + 7x + 3

La suma de sus factores primos es:

a) 2x2 + 3x + 1 d) 2x2 + 5x + 4

b) 2x2 + 2x + 3 e) 2x2 + x + 2

c) 2x2 + x + 4

8. Factorizar:

F(x) = x4 – 5x3 + 16x + 8

El coeficiente del termino lineal de uno de sus

factores primos es:

a) 0 b) -1 c) -3

d) 3 e) 2

9. Factorizar:

F(x) = x4 + 1 – 3x(x + 1)(x - 1)

La suma de coeficientes de uno de sus factores

primos es:

a) -3 b) -2 c) 2

d) 3 e) 0

10. Factorizar:

F(x) = x3(x - 4) + (2x + 7) (2x - 7)

La suma de los términos lineales de sus

factores primos es:

a) 4x b) -2x c) 2x

d) 0 e) -4x

11. Factorizar:

F(x) = x3 + 2x2 – 5x - 6

La suma de factores primos lineales es:

a) 3x + 2 b) 3x – 2 c) 2x - 1

d) 3x + 4 e) 3x + 5

12. Factorizar:

F(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24

La suma de los términos independientes de sus

factores primos es:

a) -11 b) -10 c) -5

d) 11 e) 2

13. Factorizar:

F(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2

Indicar uno de sus factores lineales.

a) x + 3 b) x – 1 c) 2x + 1

d) 2x – 1 e) x - 2

14. Factorizar:

F(x) = 2(x + 1)(x2 – x + 1) – x(5x - 1)

El coeficiente principal de uno de sus factores

primos es:

a) -2 b) 2 c) -1

d) 3 e) -3

15. Factorizar:


F(x) = x(x + 1)(x - 1) + 2 – 2x El factor primo que mas se repite es: a) x + 2 b) x – 2 c) x + 1 d) x – 1 e) x + 3

Ejercicios Complementarios I. Método del aspa doble: 1. Factorizar:

a) 2x2 + 7xy + 6y2 + 11x + 19y + 15

b) 6x2 + 17xy + 5y2 + 19x + 28y + 15

c) 10x2 + xy – 2y2 + 17x – 5y + 3

2. Indicar un factor primo de:

6(x2 – y2) + 7(x - y) + 2(3y + 1)

a) 3x + 3y + 1 d) 2x + 3y + 1 b) 3x – 3y + 2 e) 3x + 2y + 2 c) 2x – 2y + 1

3. Dar un factor primo de:

3x2 + 2y2 – 2z2 – 5xy – 5xz + 3yz

a) 3x – 2y – z d) x – 2y + z b) 3x – 2y – 2z e) 3x - y + z c) x – y – 2z


(x + y)2 + (x + 2z)2 + 2z(x + 2y) + xy

a) 2x + 2y + z d) x + y + 2z b) 2x + y + z e) x + y + z c) 2x + 2y + z

II. Método del aspa doble especial: 5. Factorizar:

a) x4 + 8x3 + 19x2 + 14x + 3

b) x4 + 11x3 + 33x2 + 26x + 6

c) 2x4 + 3x3 + 2x2 + 14x + 3

6. Indicar un coeficiente de un factor primo de:

3(2x4 - 1) + 11x(x2 + x + 1)

a) 5 b) 6 c) 4 d) -5 e) 7

7. Indique la suma de coeficientes de un factor primo de:

3(x4 + x2 + 2) + x2(7x + 2)

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 9

8. Indicar la suma de factores primos de:

2x4 – 7x + 3(x3 – x2 - 1)

a) 5x + 6 b) 4x – 1 c) 3x - 2

d) 4x e) 5x

9. Dar la suma de factores lineales de:

2x4 – 13x – 3(x3 – x2 - 2)

a) No tiene b) 2x – 3 c) 3x - 3

d) 3x + 1 e) 3x - 1


16x4 – 12x2 + 9

a) 4x2 + 6x + 3 d) 2x2 – 6x - 3

b) 4x2 – 4x + 3 e) 2x2 + 6x - 3

c) 4x2 + 6x - 3

III. Método de los divisores binómicos:

11. Factorizar:

a) x3 + 2x2 – 8x - 21

b) x3 + 7x2 + 15x + 12

c) x3 – 3x2 – 16x - 12


6x3 + x2 – 9x - 9

a) 3x2 – 5x + 3 b) 2x + 3 c) 2x - 3

d) 3x2 + 5x -3 e) 3x - 2


3x3 + 7x2 – 10x - 4

a) x – 2 b) x2 – 2x + 4 c) 3x - 1

d) x2 + 2x – 4 e) x + 1

14. Dar la suma de factores primos de:

2x3 – 7x2 + 9

a) 4x + 1 b) 4x + 7 c) 4x - 5

d) 4x – 7 e) 2x - 3

15. Indicar la suma de factores primos de:

3x3 – 2x2 – 5x + 4

a) 4x + 4 b) 4x – 3 c) 4x + 3

d) 5x + 4 e) 5x + 2

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