TEMA 3 TRIGONOMETRÍA · Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas. 1.-...

1º Bachillerato Matemáticas I Tema 3: Trigonometría Ana Pascua García


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1. MEDIDAS DE ÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Para medir los ángulos solemos utilizar las siguientes unidades: el grado sexagesimal y el radián.

� Grado sexagesimal: Se denomina grado sexagesimal a la medida del ángulo central que se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Recuerda que un grado equivale a 60 minutos, y cada minuto a 60 segundos,

es decir: ''3600º1'60' ' 1

' 60 1º =→

==

.

Luego un ángulo recto mide 90º , uno llano 180º y uno completo 360º.

� Radián: Se denomina radián a la medida del ángulo central de una circunferencia en el que el arco mide la longitud del arco.

Nota: Un ángulo completo (360º) mide π2 rad (la longitud de toda la circunferencia).

Y un ángulo llano (180º ) mide π radianes (media circunferencia)

Observaciones:

* Observa que la apertura del ángulo no depende del tamaño de la circunferencia. * Con una simple regla de tres podemos encontrar la equivalencia entre la medida de un ángulo en radianes y en grados sexagesimales. Consideremos una circunferencia de radio r = 1, 360 º = π2 rad 180º = π rad Véase: Ángulo ( grado sexagesimal) Ángulo (en radianes) 180º π ºα x

Obtenemos )(

)(

º

º180

radx

radπα

= e lo que se deduce º180

º·πα=x rad


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Es fácil pasar la medida de un ángulo del sistema sexagesimal a radianes y viceversa. Véanse los ejemplos:

a) 30º→)(º30

º180

radx

π= radrad

x6º180

·º30ππ ==

b)

b) º4203

º·180·7º180·

3

7

3

7 ===→π

ππ

ππrad

radxrad

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre las medidas de ángulos y distancias. Se utilizan en muchas ocasiones, como para el cálculo de alturas y distancias entre puntos no accesibles, la descomposición de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo..... Definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo independientemente del triángulo rectángulo que forme, del siguiente modo:

También se definen las razones inversas de las anteriores:

Inversa del seno → CosecanteBsen ˆ

1B̂cosec =→

Inversa del coseno → Secante B̂cos

1B̂sec =→

Inversa de la tangente → Cotangente Btg ˆ

1B̂cotg =→


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Es importante conocer las razones trigonométricas de algunos ángulos agudos, como son 30º, 45º y 60º. Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas.

1.- Halla las razones trigonométricas del ángulo de 45º = rad4

π

Si consideramos un cuadrado de lado a y trazamos una de sus diagonales, obtenemos dos triángulos rectángulos iguales e isósceles como los de la siguiente figura

2.- Halla las razones trigonométricas de los ángulos de 30º = rad6

π y 60º= rad

3

π

Ejercicios propuestos: 1.- Determina todas las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10 cm. 2.- Halla las razones trigonométricas inversas del ángulo menor en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 10 cm.


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2.-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Ejemplo:


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Razones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante. Consideremos la circunferencia goniométrica, esto es , de radio r =1.

Trazamos el ángulo α y consideremos los puntos A, A' , A'' y B que se aprecian en el dibujo, y que forman los triángulos OAA' y O A''B. Podemos definir las razones trigonométricas de α , con ayuda de las coordenadas cartesianas de los puntos A, A' , A''.

sen α = '1

'AA

AA =

cosα = '1

'OA

OA =

tgα =

s triángulode semejanza

''1

''

'

'

↑

== BABA

OA

AA

De este modo, puede apreciarse que las coordenadas cartesianas del punto A(x, y) de la imagen anterior, coinciden con el senα y cosα respectivamente. Es decir A (senα ,cosα )

Razones trigonométricas de un ángulo en el resto de cuadrantes: Procediendo de la misma forma, las razones trigonométricas en el resto de cuadrantes serán:

Es importante conocer el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuatro cuadrantes, pero es sencillo, si nos fijamos en el signo de las coordenadas cartesianas del punto A (intersección de uno de los lados del ángulo y la circunferencia goniométrica).


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Proposición 1: Para cualquier ángulo α , se verifica 1cos111 ≤≤−≤≤− ααsen

Demostración: En cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y como el seno y el coseno son las razones entre los catetos y la hipotenusa, estos valores nunca pueden ser mayores que 1;

sen α =hipotenusa

opuestocateto; cosα =

hipotenusa

contiguocateto cqd

Nota : sen 90º = 1; cos 0º = 1 sen 270º = -1 cos 270º = -1 Proposición 2: cosecα ( )1,1−−ℜ∈ y secα ( )1,1−−ℜ∈

Demostración: La haremos para cosecα y se procede de la misma forma para secα

Por un lado , cosecα = αsen

1

Por otro lado 11 ≤≤− αsen Luego:

[ )

( ]( ] [ ) ( )

cqd

sen

sen

sen

sen

sensen

sen1,1cosec,11,

1

1,1

,11

11

11

1

1−−ℜ∈→∞−∞−∈→

−∞−∈

∞∈→

−≤

≥→

−≥≤

αα

α

α

α

ααα

U

Proposición 3: Tanto la tangente como la cotangente de un ángulo pueden tomar cualquier valor real es decir: tgα ℜ∈ y cotgα ℜ∈ . Demostración: Es evidente que pueden tomar cualquier valor , considerando que son cociente de los catetos de un triángulo. En la siguiente tabla puedes observar las razones trigonométricas de los principales ángulos


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3.-REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de un ángulo, permitirá calcular las razones de cualquier ángulo conociendo solo las de los ángulos del primer cuadrante. Distinguiremos varios casos: - Ángulos suplementarios: Cuando suman 180º . En el dibujo: )º180( αα −y

Ejemplos: a)

b) - Ángulos que se diferencian en 180º: En el dibujo: )º180( αα +y

Ejemplo: - Ángulos mayores de 360º: Sus razones trigonométricas coinciden con las de su ángulo reducido. Ejemplo:


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- Ángulos complementarios: Los que suman 90º . En el dibujo )º90( αα −y

Ejemplo: - Ángulos que suman 360º: En el dibujo, )º360( αα −y

Ejemplo: - Ángulos negativos: En el dibujo αα −y

Ejemplos:


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4.- RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

� Relación fundamental de la trigonometría 1cos22 =+ ααsen

Demostración: Basta aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo que se observa en la figura:

cqd

� αα 22 sec1=+tg Demostración:

Partimos de la relación 1cos22 =+ ααsen

Dividimos ambos miembros por 0cos2 ≠α αα

αα22

22

cos

1

cos

cos =+→ sen

Simplificamos:

( ) ααααα

ααα

αα 222

22

2

2

2

2

sec1sec1coscos

1

cos

cos

cos=+→=+

→

=+ tgsensen

cqd

� αα 22 coseccotg1 =+ Demostración:

Partimos de la relación 1cos22 =+ ααsen

Dividimos ambos miembros por 02 ≠αsen αα

αα22

22 1cos

sensen

sen =+→

Simplificamos:

( ) ααααα

ααα

αα 222

22

2

2

2

2

coseccotg1coscos

11cos =+→=

+→

=+ ecsensensensen

sen

cqd


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5.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

� Razones trigonométricas de la suma de ángulos Proposición : a) ( ) αββαβα ·cos·cos sensensen +=+ b) ( ) βαβαβα sensen ··coscoscos −=+

c) ( )βαβαβα

tgtg

tgtgtg

·1−+=+

Demostración : Para la demostración consideremos la construcción geométrica de la figura, en la que el triángulo ADB es rectángulo de hipotenusa AB =1.

De esa forma, el cateto βsen=BD y βcosAD = . Observa que los ángulos DAE y BDC son iguales (sus lados son perpendiculares), llamemos α a dicho ángulo.

Hallemos las razones trigonométricas del ángulo α en los triángulos BCD y AED

En el triángulo BCD :

βαβ

α sensenBCsen

BCsen ·=⇒= αβ

βα ·coscos senCD

sen

CD =⇒=

En el triángulo AED:

βαβ

α ·coscos

senDEDE

sen =⇒= βαβ

α ·coscoscos

cos =⇒= AEAE

Procedamos a demostrar las proposiciones:

a) ( ) ====+ CEBFBF

sen1

βα =+ CDDE αββα ·cos·cos sensen + cqd.


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b) ( ) βαβαβα sensenBCAEEFAEAFAF

··coscos1

cos −=−=−===+ cqd

c)

( ) ( )( )

mossimplifica

tgtg

tgtgsensen

sensen

sensen

sensensentg

βα

βαβα

βαβαβα

βααββα

βαβααββα

βαβαβα

·coscosr denominadoy numerador Dividimos

·1·coscos

··coscos·coscos

·cos·cos

··coscos

·cos·cos

cos

↑↑

−+=

−

+

=−+=

++=+

cqd

� Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos Proposición 2: a) ( ) αββαβα ·cos·cos sensensen −=− b) ( ) βαβαβα sensen ··coscoscos +=−

c) ( )βα

βαβαtgtg

tgtgtg

·1+−=−

Demostración: Basta considerar las fórmulas de las razones trigonométricas para la suma de ángulos (Proposición 1) y cambiar el ángulo β por β− , teniendo en cuenta que :

( )( ) ( )

( ) ( )ββββββ

tgtg

sensen

=−=−

−=−coscos

Ejercicios propuestos: 1.- Calcula tg 105º , sin calculadora. 2.- a) Calcula las razones trigonométricas de 15º sin usar calculadora. b) Usando los resultados anteriores, halla tg 75º.

3.- Demuestra que απα cos2

3 −=

+sen


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6.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD

� Ángulo doble Proposición: a) ( ) ααα ·cos22 sensen = b) ( ) ααα 22cos2cos sen−=

c) ( )α

αα21

22

tg

tgtg

−=

Demostración: Basta sustituir α por β en las fórmulas trigonométricas de la suma α + β

a) sen (2α ) = ( ) αααααααα ·cos2·cos·cos sensensensen =+=+ b) cos (2α ) = ( ) αααααααα 22cos··coscoscos sensensen −=−=+

c) tg (2α ) = ( )α

ααααααα

21

2

·1 tg

tg

tgtg

tgtgtg

−=

−+=+

� Ángulo mitad

Proposición: a) 2

cos1

2

αα −±=

sen

b) 2

cos1

2cos

αα +±=

c) ααα

cos1

cos1

2 +−±=

tg

Demostración: a) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:

( ) =−−=−= ααααα 2222 1cos2cos sensensen α221 sen−

↑ Fórmula fundamental de la trigonometría αααα 2222 1cos1cos sensen −=→=+ Luego:

( )

2

cos1

22

2cos1

2

2cos12cos12212cos 222

αααα

αααααα

−±=⇒−±=

⇒−=⇒−=⇒−=

sensen

sensensen

cqd


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b) Partimos de la fórmula del coseno del ángulo doble:

( ) =−= ααα 22cos2cos sen ( ) 1cos2cos1coscos1cos 22222 −=+−=−− ααααα

↑ Fórmula fundamental de la trigonometría αααα 2222 cos11cos −=→=+ sensen Luego:

( )

2

cos1

2cos

2

2cos1cos

2

2cos1cos2cos1cos21cos22cos 222

αααα

αααααα

+±=⇒+±=

⇒+=⇒+=⇒−=

cqd

c) tg

2

α =

αα

α

α

α

α

cos1

cos1

2

cos12

cos1

2cos

2+−±=

+±

−±=

sen

cqd

Ejercicios propuestos: 1.- Demuestra que αααα 3233 sencos·sensen −=

2.- Calcula tg

8π

Solución: 1.- 2.-


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7. TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS

Ejercicios: 1.-

2.-


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8.- ECUACIONES Y SISTEMAS TRIGONOMÉTRICAS Ecuaciones: Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las que la incógnita es el ángulo que se quiere calcular. Estas ecuaciones normalmente tendrán infinitas soluciones que podremos expresar en grados sexagesimales o en radianes. Una vez averiguado el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, mediante arco seno (arcsen) , arco coseno (arccos) o arco tangente (arctg); hallaremos el ángulo , conociendo el valor de la razón trigonométrica. Recuerda: Veamos algunos ejemplos sencillos:

1.- sen x = 23

Como sen x es positivo, el ángulo que buscamos estará en el primer o tercer cuadrantes.

x = arcsen 23

= 60º ( en el primer cuadrante) .

Pero x = 120º (2º cuadrante) también es solución de la ecuación. Todas las demás soluciones se obtendrán sumando o restando vueltas completas a estas soluciones.

Luego x= 60º + 360º k, Ζ∈k o en radianes x= 3π

º + 2 kπ , Ζ∈k

x= 120º + 360º k, Ζ∈k x= 3

2πº + 2 kπ , Ζ∈k

2.- sen x + cos2x = 1 Solución:


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Sistemas: Los resolveremos usando los métodos habituales de sustitución o reducción. Importante: Hay que comprobar las soluciones por si en el proceso de resolución se han añadido soluciones erróneas. Ejemplo: 9.- TEOREMA DEL SENO . TEOREMA DEL COSENO. TEOREMA DE LA TANGENTE APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Teorema del seno:

Teorema del Coseno:


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Teorema de la tangente:

Resolución de un triángulo cualquiera: Resolver un triángulo es calcular lo que miden sus lados y sus ángulos. Para ello podemos usar, dependiendo del caso en el que nos encontremos: - Razones trigonométricas - Teorema del Seno - Teorema del Coseno - Para triángulos rectángulos:

+==

==

222

2

22

aPitágoras. de Teorema -

m·n haltura la de Teorema -

·c·b cateto del Teorema -

cb

mana

Veamos algunos casos que pueden presentarse y qué teoremas aplicar para resolver el triángulo.


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RESUMEN DE TEMA 3: TRIGONOMETRÍA

TEMA 3 TRIGONOMETRÍA · Recuerda con los siguientes ejercicios resueltos cómo calcularlas. 1.-...

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