Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de ... Alumnos/Dpto... · Tema 3. Teorema del...

13/09/12 eXe

1/17https://avanza.educarex.es/cursos/blocks/recopila/view.php?id=109630

Isla de Samos public domain

AVISO: Esta página ha sido generada para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces

externos a otras páginas no serán funcionales.

Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución detriángulos cualesquiera

UN PROBLEMA DE CONSTRUCCIÓN

En la isla griega de Samos, aproximadamente

500 años antes de nuestra era, fue construido

un acueducto con objeto de llevar agua a la

ciudad y cubrir las necesidades de la creciente

población.

Parte de este acueducto es un túnel que

atraviesa una colina de piedra caliza, que

resultaba imposible evitar.

Lo interesante de este túnel es que su

perforación se llevó a cabo simultáneamente

por ambos extremos, encontrándose las

cuadrillas de trabajo en medio de la montaña. ¿Cómo supieron donde empezar a excavar y en

que dirección, para que así sucediese?

Olvidándonos de algunos detalles, el problema consiste

en determinar la recta entre dos puntos, A y B, cuando

hay un obstáculo, en este caso una montaña, que se

interpone entre los dos

El problema lo

podemos resolver

mediante un

triangulo, si contamos con un punto C desde el cual

podamos medir distancias a A y a B, así como el

ángulo formado por las rectas AC Y BC

1. Teorema del seno

13/09/12 eXe


Billares licencia Creative Commons

Existe una relación muy útil para la resolución de

triángulos que relaciona los lados con los ángulos.

Esta relación es conocida como teorema del seno

Sitúate con el ratón sobre cualquiera de los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos.

Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero que los cocientes

coinciden en el resultado

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

Teorema del seno:

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de

los ángulos opuestos

De un triángulo sabemos que: c = 5 m, C

= 45° y A = 100°.

Calcula el lado a

Utilizamos el teorema del seno

13/09/12 eXe


DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO

Pincha la flecha para seguir la demostración

1.1. Problemas Teorema Seno

El teorema del seno ¿se cumple también en los triángulos rectángulos?

Si porque al tener un ángulo de 90º

que son la definición de seno en ambos ángulos

13/09/12 eXe


2. Teorema del coseno

Resuelve el triángulo del que se conocen

los datos siguientes A=67º; B=53º;

a=25cm.

Rellena los espacios resolviendo el

triángulo del que cononocemos el lado

a=12 m. y los ángulos A= 40º y B=75º

Ajusta la medida de los lados a metros

(sin decimales)

El ángulo C mide º, el lado b mide aproximadamente m. y el lado c

aproximadamente m.

13/09/12 eXe


Expo Zaragoza 2008 Elaboración propia

El teorema del coseno relaciona un lado

de un triángulo con los otros dos y con el

coseno del ángulo formado por estos dos

lados.

Sitúate, en la figura siguiente, con el ratón sobre los vértices del triángulo, pínchalos y

muévelos. Observarás que varían los valores de los ángulos y de los lados pero coincide el

valor del lado en el triángulo y el resultado de la formula

Please install Java 1.4 (or later) to use this page.

Teorema del Coseno

En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es la suma de

los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del

producto de los lados por el coseno del ángulo opuesto a ese

lado.

13/09/12 eXe


DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO

Pincha la flecha para seguir la demostración

Halla el lado c del triángulo en el

que se conocen los siguientes

datos: a=5 m. b=4 m. C=47º

Aplica el teorema del coseno para

obtenerlo

En el caso de que uno de los ángulos mida 90º: el teorema del coseno

coincide con el teorema de Pitágoras

Verdadero Falso

Si colocamos uno de los vértices dentro del lado opuesto: El teorema del

coseno se convierte en diferentes expresiones del cuadrado de una

suma o de una resta.

Verdadero Falso

13/09/12 eXe


2.1. Problemas Teorema Coseno

3. Resolución de triángulos cualesquiera

Calcula el lado c en el triángulo

del que se conocen los lados

a=5cm. y b=4cm y el ángulo

C=47º.

c²=a²+b²-2ab cos C → c²=41-40·0,61819=13,72 →c=3,7

En una circunferencia de radio 6 trazamos

una cuerda de BC de 7 cm. ¿Cuánto mide el

ángulo central α que determinan sus

extremos?

→ α=71,37º → α=71º22'14.4''

13/09/12 eXe


Triangulation 16th century dominio público

La triángulación como método para calcular distancias y superficies

El método de la triangulación para calcular

las distancias se remonta a la antigüedad.

En el Antiguo Egipto esta técnica ya era

conocida a principios del II milenio a. C.

Herón de Alejandría (siglo I), determina la

longitud de una distancia triangulando y

utiliza un instrumento que se conoce como

el dioptra de Herón.

En China, Pei Xiu (224-271), en el quinto de

sus seis principios, identificó la medición de

los ángulos rectos y agudos para un

adecuado trazado de mapas, necesario para

establecer con precisión las distancias; mientras que Liu Hui (c. 263) da una versión de el

cálculo anterior, para la medición de las distancias perpendiculares a lugares inaccesibles.

Los métodos de triangulación utilizados por los agrimensores se introdujeron en la

España medieval a través de varios tratados árabes sobre el astrolabio, aunque dichos

métodos parecen haber llegado lentamente al resto de Europa.

El astrónomo Tycho Brahe aplicó el método en Escandinavia, triangulando en 1579 la isla

de Hven. Lo emplearon los ingleses William Cunningham Cosmographical Glasse (1559),

Valentine Leigh Treatise of Measuring All Kinds of Lands (1562), William Bourne Rules of

Navigation (1571), Thomas Digges Geometrical Practise named Pantometria (1571), y

John Norden Surveyor's Dialogue (1607).

3.1. Conocidos tres lados

13/09/12 eXe


Resuelve un triángulo conociendo dos lados

b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al primer lado

a B=40º

Utilizamos el teorema del coseno para los

tres ángulos

Comprobaremos que la suma de los tres ángulos da 180º

Resuelve un triángulo conocidos los tres

lados a=6,04 , b=8,42 , c=7

Rellena los recuadros con los valores

correspondientes

Ajusta la medida de los ángulos a grados (sin decimales)

Los águlos del triángulo son:

A= º B= º y C= º

13/09/12 eXe


3.2. Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno deellos

Resuelve un triángulo conociendo dos

lados b=5 y c=7 y el ángulo opuesto al

primer lado a B=40º

Estamos ante un caso con dos soluciones posibles

b²=a²+c²-2ac·cos B → 25=a²+49-2a·7·0,7660 →

a²-10,742a+24=0

13/09/12 eXe


3.3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Caso1 Si tomamos a=7,52

C=180-40-

75,56= 63,44º

Caso2 Si tomamos a=3,2

C=180-40-

34,28=115,57º

Resuelve un trángulo conocidos los

tres lados a=16, c=24, A=40º

Rellena los recuadros con los

valores correspondientes

Los ángulos del triángulo son:

Para el primer caso (lado b mayor)

b= B= º y C= º

Para la segunda solución (C ángulo obtuso)

b= B= º y C= º

13/09/12 eXe


Resuelve un triángulo conociendo

dos lados b=9 y c=10 y el ángulo

comprendido A=80º

Calculamos primero el lado a, y después los otros ángulos

13/09/12 eXe


3.4. Conocido un lado y dos ángulos

Resuelve un triángulo conocidos los

tres lados a=4,1 , b=5 , C=50º


correspondientes. Trabaja con

aproximaciones de un decimal

Los ángulos del triángulo son:

A= º y B= º

y el lado c=

13/09/12 eXe


4. Problemas trigonométricos

Resolver el triángulo en el que se

conocen los siguientes datos: a=20 m.

A=46º B=70º

Calcula el ángulo C y utiliza el teorema

del Seno para calcular los lados a y b

Resuelve un triángulo conocido un lado

a=28 cm., y dos ángulos B=36º y C=69º


correspondientes. Aproxima los

resultados a números enteros

El ángulo A mide º, y los lados b= cm. y c= cm.

13/09/12 eXe


Construcción túnel material Junta de Andalucía

La trigonometría en los tiempos modernos

En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de

los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones

matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la

serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las

funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan

un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó

verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas

utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la

trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.

También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los

lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C

para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la

trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

13/09/12 eXe


A y B son dos

picos de dos

montañas

inaccesibles.

Desde dos

puntos C y D,

separados 400

m, en el llano

que hay entre

las montañas

se han podido

medir los

ángulos ACD =

65º, BCD =

44º, BDC =

58º y ADC =

46º. ¿Cuál es la

distancia entre

los picos de las

dos montañas?

Necesitamos calcular AB, para ello resolvemos AC en el triángulo ACD y

CB en el triángulo CDB: En los dos casos aplicamos el teorema del

seno.

En el triángulo ABC para calcular la distancia pedida AB utilizamos el

teorema del coseno.

Triángulo ACD

Triángulo BCD

Triángulo ABC

13/09/12 eXe


Las rectas

tangentes a dos

circunferencias

de radios 10 y 4

m. forman un

ángulo de 32º.

¿Cuáles son las

distancias d y d',

entre sus puntos

de contacto en

cada

circunferencia?

El triángulo

AED es

rectángulo en

E → ED=

En el triángulo EE'D conocemos ED y E'D y el ángulo

comprendido α 32º

Por el teorema del coseno d²=ED²+ED'²-2·ED·E'D·cos 32º →

d²=369 → d=19,2 m.

Igualmente se calcula d' d'=7,7 m.

Para finalizar, te proporcionamos una colección de ejercicios

que debes hacer para consolidar lo que has aprendido a lo

largo de este tema.

* Ejercicios de consolidación

* Soluciones

Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de ... Alumnos/Dpto... · Tema 3. Teorema del...

Documents

Transcript of Tema 3. Teorema del seno y del coseno. Resolución de ... Alumnos/Dpto... · Tema 3. Teorema del...