Estrategias para facilitar el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno en...

1

ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPE TENCIAS

DEL TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EN DÉCIMO GRADO

SANDRA MILENA DE LA CRUZ ORTEGA

PABLO ANDRÉS ESTRADA ARIAS

GEOVANNY PEÑA RUEDA

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MAT EMÁTICAS

BARRANQUILLA

2010

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ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPE TENCIAS


AUTORES




TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA

OPTAR AL TITULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA C ON

ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

ASESORA

MG. Sonia Valbuena Duarte

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN

MATEMÁTICAS

BARRANQUILLA

2010

3

Nota de aceptación:

___________________

___________________

___________________

___________________

___________________

_________________________________

Firma del presidente del jurado

_________________________________

Firma del jurado

_________________________________

Firma del jurado

Barranquilla, Agosto 12 de 2010

4

R. A. E.

1. IDENTIFICACIÓN

1.1 TÍTULO DEL TRABAJO

ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPETENCIAS


AUTORES




1.2 NOMBRE DEL TUTOR INVESTIGADOR

MG. Sonia Valbuena Duarte

1.3 ÁREA DE ÉNFASIS

Matemáticas

1.4 LUGAR Y FECHA DE PRESENTACIÓN

Barranquilla, 12 de Agosto de 2010

1.5 NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN A LA CUAL SE PRESENTA

Universidad del Atlántico

5

2. ANÁLISIS

2.1 PALABRAS CLAVES: competencias, aprendizaje por competencias,

triángulos, trigonometría, teorema del seno y el coseno, estrategias

didácticas, herramientas tecnológicas.

2.2 DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO

La presente investigación realizada en la Institución Educativa Distrital Jesús

Maestro, Fe y Alegría de Barranquilla, se enfoca en la problemática que

presentan los estudiantes de décimo grado para el aprendizaje del teorema del

seno y el coseno. Esto se debe específicamente en el déficit que mostraron los

discentes para interpretar situaciones problemas, argumentar al momento de

resolverlas y proponer nuevas situaciones basadas en la vida cotidiana en la cual

es necesario utilizar estos teoremas.

Mediante este trabajo, se plantea y se resuelve problemas prácticos sobre

resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana, mediante un

método que enlaza la enseñanza por competencias con las nuevas tecnologías.

Para ello, los estudiantes utilizan instrumentos de medición como la cinta métrica,

el transportador y la brújula. Además realizan una representación a escala en el

computador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para deducir las

magnitudes buscadas.

En esta investigación se presenta el problema objeto de estudio, el proceso que se

lleva a cabo para la recolección de la investigación, el análisis de ésta y el diseño

de una propuesta con la finalidad de mejorar el aprendizaje del teorema del seno y

el coseno.

6

CONTENIDO

Este trabajo de investigación consta de cuatro capítulos que recogen toda la

información de la siguiente manera:

CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN: Esta primera parte del proyecto contiene la

introducción, el planteamiento del problema, la justificación, los objetivos de la

investigación y el marco legal.

CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO: En éste se presenta un informe de las teorías

relacionadas con el tema de investigación. Igualmente, se esbozan los

antecedentes y los conceptos básicos de la misma.

CAPÍTULO III: REFERENTES DE LA INVESTIGACIÓN: En éste capítulo se

exponen las metodologías que se utilizaron para desarrollar la investigación, por

ende se hace referencia al tipo y a las etapas de investigación, las técnicas e

instrumentos que se usaron para la recolección de datos de la población y muestra

escogida. De igual manera, se presenta el análisis e interpretación de los

resultados obtenidos de las encuestas a estudiantes y docentes, los pre-test y

post-test.

CAPÍTULO IV. PROPUESTA PEDAGÓGICA: En este capítulo se plasman todos

los aspectos asociados con la propuesta pedagógica, dirigida a dar solución al

problema de investigación. Se presenta el diseño, implementación y evaluación de

las estrategias de enseñanza basadas en actividades que permitan fomentar el

aprendizaje del teorema del seno y el coseno. Además, se expone la justificación

de la misma, los objetivos y el análisis de los datos arrojados de la puesta en

marcha de ésta con sus respectivas conclusiones y recomendaciones.

7

AGRADECIMIENTOS

Los autores de este trabajo de investigación manifestamos nuestros

agradecimientos:

A Dios, eje motor de nuestras vidas, acompañante fiel en este duro camino y

principal ayuda para cumplir uno de nuestros sueños más queridos.

A Sonia Valbuena Duarte, motivadora invaluable de nuestros afanes intelectuales,

guía a lo largo de todo el proceso de investigación y maravillosa consejera.

A nuestros profesores, quienes compartieron con nosotros todos sus

conocimientos, inculcándonos el espíritu investigativo y moldeándonos como

verdaderos educadores.

A nuestra Alma Mater, que nos recibió con los brazos abiertos y nos brindó el

espacio para ser mejores personas y excelentes profesionales.

8

CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 14

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………….... 16

2. JUSTIFICACIÓN……………………………………………………….... 18

3. OBJETIVOS…………………………………………………………….... 21

3.1. OBJETIVO GENERAL………………………………………………….. 21

3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………….... 21

4. MARCO LEGAL…………………………………………………………. 23

5. MARCO REFERENCIAL……………………………………………….. 24

5.1. ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS………………………………... 24

5.2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS…………………………………….... 26

5.2.1. La resolución de problemas en la antigüedad………………………... 26

5.2.2. La resolución de problemas en la Edad Media……………………..... 28

5.2.3. La resolución de problemas en la época moderna…………………... 30

5.2.4. La resolución de problemas en la época contemporánea…………... 31

5.3. MARCO TEÓRICO……………………………………………………… 35

5.3.1. Resolución de problemas………………………………………………. 35

5.3.2. La resolución de problemas en la educación matemática………….. 37

5.3.3. Los diversos significados de resolución de problemas……………… 37

5.3.4. Estrategias de resolución de problemas……………………………… 38

5.3.5. Teoría del aprendizaje significativo……………………………………. 39

5.3.6. Aprendizaje por descubrimiento……………………………………….. 43

5.3.7. Etapas del desarrollo cognoscitivo…………………………………….. 44

5.3.8. Ingeniería Didáctica……………………………………………………... 46

5.3.9. Constructivismo social…………………………………………………... 47

9

5.3.10. Educación por Competencias………………………………………….. 49

5.3.11. Importancia de las TIC en la educación..…………………………….. 53

5.3.12. GeoGebra……………………...…………………………………………. 55

5.3.13. Orientación por brújula………………………………………………….. 60

5.3.14. Teorema del seno y el coseno…………………………………………. 64

5.4. MARCO CONCEPTUAL………………………………………………... 69

5.4.1. Qué es un problema.……………………………………………………. 69

5.4.2. Qué es un problema matemático.……………………………………… 69

5.4.3. Trigonometría…………………….………………………………………. 69

5.4.4. Aprendizaje………………………………………………………………. 70

5.4.5. Competencia……………………………………………………………... 70

5.4.6. Aprendizaje por competencias…………………………………………. 70

5.4.7. Lúdica……………………………………………………………………... 70

5.4.8. Las TIC en educación…………………………………………………… 71

6. PROCEDIMIENTOS Y METODOLOGÍA……………………………… 72

6.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN…………………………………….. 73

6.2. TIPOS DE INVESTIGACIÓN…………………………………………… 73

6.2.1. Etapas de la investigación……………………………………………… 73

6.3. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS………………………………………. 74

6.4. DELIMITACIÓN DEL TEMA…………………………………………… 76

6.4.1. POBLACIÓN Y MUESTRA…………………………………………….. 76

7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS………… 80

7.1. ENCUESTA A ESTUDIANTES Y DOCENTE………………………… 80

7.1.1. Análisis de encuesta a estudiantes del grupo experimental………... 80

7.1.2. Encuesta a docente……………………………………………………... 85

7.2. ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE OBSERVACIÓN……………………... 89

7.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA PRE- PRUEBA………………. 91

7.4. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA POST- PRUEBA…………….. 95

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 99

8.1. CONCLUSIONES………………………………………………………. 99

10

8.2. RECOMENDACIONES…………………………………………………. 100

9. PROPUESTA…………………………………………………………….. 101

9.1. PRESENTACIÓN………………………………………………………... 102

9.2. JUSTIFICACIÓN………………………………………………………… 103

9.3. OBJETIVOS……………………………………………………………… 104

9.3.1 Objetivo general…………………………………………………………. 104

9.3.2. Objetivos específicos……………………………………………………. 104

9.4. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA……………………………………….. 105

9.5. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS………………………………….. 107

9.5.1. Plan de clase N° 1……………………………………………………….. 107

9.5.2. Plan de clase N° 2……………………………………………………….. 115

9.5.3. Plan de clase N° 3……………………………………………………….. 122

9.5.4. Plan de clase N° 4……………………………………………………….. 126

9.5.5. Plan de clase N° 5……………………………………………………….. 131

9.6. POST- PRUEBA…………………………………………………………. 138

10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 148

10.1 CONCLUSIONES……………………………………………………….. 148

10.2 RECOMENDACIONES…………………………………………………. 149

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….. 151

ANEXOS………………………………………………………………….. 153

11

LISTA DE GRÁFICAS

Gráfica 1: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo experimental

Gráfica 2: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo control

Gráfica 3: Género de la muestra

Gráfica 4: Edad de la muestra

Gráfica 5: Estudiantes del grupo experimental con computador en su casa

Gráfica 6: Estudiantes del grupo control con computador en su casa

Gráfica 7: Destrezas en el uso del computador por parte de los estudiantes

Gráfica 8: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo experimental

Gráfica 9: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo control

Gráfica 10: Frecuencia de uso del computador por la muestra

Gráfica 11: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo experimental)

Gráfica 12: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo control)

Gráfica 13: Tiempo de estudio personal (grupo experimental)

Gráfica 14: Tiempo de estudio personal (grupo control)

Gráfica 15: Frecuencia de la muestra al participar en la clase de matemáticas

Gráfica 16: Asimilación del teorema del seno y el coseno

Gráfica 17: Nivel de interpretación de problemas de aplicación del teorema del

seno y el coseno

Gráfica 18: Nivel de argumentación al utilizar el teorema del seno y el coseno

Gráfica 19: Utilidad del teorema del seno y el coseno en la vida cotidiana

Gráfica 20: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo experimental)

Gráfica 21: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo control)

Gráfica 22: Preparación de las clases por parte de los docentes

Gráfica 23: Frecuencia en que los estudiantes pasan al tablero

Gráfica 24: Frecuencia en que el docente expone la aplicación del teorema del

seno y el coseno en la vida diaria

Gráfica 25: Motivación del docente en la aplicación del teorema del seno y el

coseno en la resolución de problemas

12

Gráfica 26: Tipo de evaluación utilizada por el docente

Gráfica 27: Capacitación del docente en la enseñanza de la trigonometría

Gráfica 28: Observación de la clase 1




Gráfica 32: Pregunta 1 (pre-prueba)

Gráfica 33: Pregunta 2 - a (pre-prueba)

Gráfica 34: Pregunta 2 - b (pre-prueba)



Gráfica 37: Pregunta 1 (post-prueba)

















13

LISTA DE ANEXOS

Anexo 1: Encuesta a estudiantes sobre información primaria

Anexo 2: Encuesta a estudiantes sobre perfil del docente

Anexo 3: Cuestionario para estudiantes

Anexo 4: Encuesta a estudiantes para medir actitudes hacia el docente

Anexo 5: Encuesta para profesores

Anexo 6: Encuesta para el docente para medir actitudes sobre los estudiantes

Anexo 7: Ficha de observación del estudiante en la clase de matemáticas

Anexo 8: Taller diagnóstico 1

Anexo 9: Taller diagnóstico 2

14

INTRODUCCIÓN

Desde que Tales, en el siglo VI a. C., midió la altura de las grandes pirámides de

Egipto comparando la longitud de la sombra arrojada por ellas con la de otro

objeto, la realización de mediciones indirectas ha constituido un tema de gran

interés. Paralelamente, todos los currículos de enseñanza media han incluido

estos problemas. La cuestión es que la resolución analítica de triángulos exige

conocimientos de trigonometría que no resultan asequibles para muchos

estudiantes. Así, el actual currículo de matemáticas, basado en el aprendizaje por

competencias, contempla la resolución de triángulos cualesquiera en estudiantes

de décimo grado mediante la enseñanza del teorema del seno y el coseno.

La experiencia de este trabajo plantea y resuelve problemas prácticos sobre

resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana (altura de

edificios, anchura de un río...) mediante un método que enlaza la enseñanza por

competencias con las nuevas tecnologías. Para ello, los discentes toman medidas

de ángulos con el transportador (como suele hacerse tradicionalmente) y con la

brújula al momento de estar en un espacio al aire libre; medidas de lados con una

cinta métrica o con sus propios pasos. Además realizan una representación a

escala en el ordenador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para

deducir las magnitudes buscadas. El resultado es un método atractivo, asequible a

la mayoría de los estudiantes, que fortalece los cálculos trigonométricos por

construcciones gráficas en el ordenador.

El interés de la experiencia se potencia por el hecho de que durante su desarrollo

ha dado lugar a la utilización de herramientas que fomentan el interés y el

aprendizaje significativo del teorema del seno y el coseno en décimo grado.

15

La monografía que se presenta a continuación ha sido desarrollada durante los

años 2009-2010 en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría de

la ciudad de Barranquilla, con estudiantes de décimo grado.

16

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En observaciones realizadas en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe

y Alegría, entidad de educación básica y media formal, de carácter público y nivel

socioeconómico medio-bajo, situado en la ciudad de Barranquilla, Departamento

del Atlántico, Colombia, se han detectado dificultades en el aprendizaje por

competencias (interpretativa, argumentativa y propositiva) en décimo grado al

momento de abordar el teorema del seno y el coseno.

Los educandos presentan deficiencias en la comprensión de un problema de la

vida cotidiana sobre resolución de triángulos. Esto se afirma por el hecho de que

algunos estudiantes, al plantearles un problema de manera escrita, al momento de

su lectura, ellos confunden conceptos inmersos en el texto, como los de ángulo de

elevación, de depresión, catetos, entre otros. Por otra parte, hay estudiantes que

logran entender el sentido de los problemas pero se les hace complicado

representar matemáticamente expresiones como: “el ángulo es el suplemento

de…”, “el lado opuesto al ángulo α es…”, entre otras.

De igual manera se encuentra que a los estudiantes se les dificulta interiorizar

conceptos fundamentales para la trigonometría, como el teorema de Pitágoras, la

congruencia de triángulos, etc., tanto así que, los que tienen a la mano estos

conceptos, no argumentan de manera clara las razones por las cuales se plantean

fórmulas para la solución de problemas de trigonometría. Además, para el

estudiante es lenta la manera de encontrar la forma de aplicarlas en la resolución

de un taller en clase o en una situación de la vida cotidiana.

Por lo tanto, el proceso de enseñanza y aprendizaje del teorema del seno y el

coseno no está arrojando resultados satisfactorios en los estudiantes de décimo

17

grado de esta institución, haciendo que éstos requieran orientación adicional para

resolver situaciones problemas basados en estos teoremas.

De esta manera se hace necesario encontrar las razones que originan la lenta

asimilación en el aprendizaje del teorema del seno y el coseno como concepto

nuevo, para luego implementar estrategias que dinamicen los procesos de

enseñanza y aprendizaje en las aulas educativas, tomando como base situaciones

problemas encaminados a la realidad y aplicables a la vida cotidiana, teniendo en

cuenta el entorno en que se mueven, facilitando así el aprendizaje y afianzando

los conocimientos adquiridos.

En conclusión, hay deficiencias en el aprendizaje por competencias del teorema

del seno y el coseno. Por lo tanto se ha planteado para su estudio el siguiente

interrogante:

¿Cómo incide en los estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa

Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, la falta de f undamentación relacionada

con los teoremas del seno y del coseno, cuando se e nfrentan a situaciones

que requieren su uso para solucionarlas?

18

2. JUSTIFICACIÓN

La trigonometría es una rama muy importante y de mucha utilidad en las

matemáticas, del cual el teorema del seno y el coseno es parte esencial para

resolver problemas de la vida cotidiana de medición de triángulos. Éstos requieren

de un dominio profundo y así poder abordar sin muchas dificultades conocimientos

de mayor rigor como son la geometría analítica y el cálculo. Por lo tanto, el

problema de aprendizaje de este tema debe solucionarse para evitar tropiezos de

los estudiantes en el futuro académico.

Es muy común observar en nuestro medio escolar estudiantes de décimo grado

que presenten este tipo de dificultades. La falta de interiorización del teorema del

seno y el coseno provoca que haya un vacío en el conocimiento integral del

estudiante, debido a que no sólo se impide el avance en las matemáticas sino

también en la física.

De acuerdo con los estándares en matemáticas, mediante un problema de

aplicación de los conceptos de trigonometría se puede fomentar el desarrollo del

pensamiento variacional del estudiante. Por lo tanto, al no superar esta temática

(el teorema del seno y el coseno), éstos no cumplirán las características de una

persona formada integralmente en el área de matemáticas.

Para el docente también es muy importante darle solución a este problema debido

a que, al hallarlo, podrá implementar estrategias precisas que servirán para que el

estudiante pueda tener un aprendizaje adecuado de las matemáticas, en este

caso, el estudio del teorema del seno y el coseno.

Además hace parte de la formación en conocimientos fundamentales que el

estudiante pueda ser capaz de resolver problemas de la vida cotidiana en el cual

19

sea necesario usar el teorema del seno y el coseno, por lo cual la solución de este

problema le facilitará su inmersión en el mundo de formación profesional, en su

carrera universitaria.

En consecuencia, acercarnos a la solución de este problema, reviste particular

relevancia e importancia en el seno de la Institución Educativa Distrital Jesús

Maestro Fe y Alegría, para los docentes de matemáticas y muy especialmente a

los promotores de este trabajo. De ahí, los hallazgos de la investigación dan lugar

a relacionar estos conocimientos con el justo valor o uso social de las

matemáticas, por cuanto será fuente motivadora para abrir espacios de

aprendizaje a partir de los estudiantes.

PREGUNTAS SUBYACENTES

� ¿Cuál es el entorno en que se desenvuelven los estudiantes de décimo

grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con

respecto a la clase de matemáticas?

� ¿Cuáles son las características de los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría?

� ¿Qué mediaciones se están implementando para la enseñanza del teorema

del seno y el coseno en décimo grado de la Institución Educativa Distrital

Jesús Maestro Fe y Alegría?

� ¿Cómo relacionan los estudiantes de décimo grado de la Institución

Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría el teorema del seno y el

coseno con la vida diaria?

20

� ¿Cuáles son los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes de

la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al comprender y

resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?

� ¿Cuáles son los aciertos y errores más frecuentes que cometen los

estudiantes de décimo grado cuando intentan comprender y resolver

problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?

� ¿Qué conceptos previos se requieren por parte de los estudiantes de

décimo grado para el dominio de las competencias en el teorema del seno

y el coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y

Alegría?

21

3. OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Determinar la incidencia de la falta de fundamentación relacionadas con el

teorema del seno y del coseno en los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, cuando se enfrentan a

situaciones que requieren su uso para solucionarlas.

3.2 OBJETIVOS ESPEFÍFICOS

� Describir el entorno en el cual se desenvuelven los estudiantes de décimo

grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con

relación al ambiente de la clase de matemáticas.

� Describir las características de los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.

� Describir mediante observaciones directas y entrevistas, la metodología

utilizada por el docente en el desarrollo de los procesos de enseñanza del

teorema del seno y el coseno con los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.

� Analizar la relación que los estudiantes tienen entre el teorema del seno y el

coseno y la vida diaria.

� Caracterizar los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes al

comprender y resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el

coseno.

22

� Clasificar los aciertos y errores de los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al momento de

resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno.

� Identificar los conceptos previos que requieren los estudiantes de décimo

grado para el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el

coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.

23

4. MARCO LEGAL

Esta investigación está enmarcada de acuerdo a la Ley General de Educación,

Ley 115, Febrero 8 de 1994, artículo 5, sobre los fines de la educación,

especialmente el séptimo (7) que menciona “El acceso al conocimiento, la ciencia,

la técnica y demás bienes de la cultura, el fomento por la investigación y el

estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones” y el noveno (9)

fin que establece “El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que

fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al

mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la población, a la participación

en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al progreso social y

económico del país”.

Se señalan estos dos fines de la educación porque el papel del docente en el área

de las Matemáticas con el uso de la tecnología e informática al mismo de la gran

responsabilidad de formar estos valores mencionados arriba en sus estudiantes

para el progreso social y económico del país. Estos valores como el fomento de la

investigación, la participación y la búsqueda de soluciones a los problemas de mi

contexto social, el docente debe vincularlos en proyectos pedagógicos donde el

educando participe y cree una conciencia social y productiva que ayuden a

solucionar problemas del entono social.

24

5. MARCO REFERENCIAL

5.1 ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS

Al consultar en forma específica trabajos relacionados con estrategias para facilitar

el aprendizaje del teorema del seno y el coseno y elaborados por competencia no

se encontró material bibliográfico que vincule a estos dos aspectos en el contexto

de la facultad de ciencias de la educación de la Universidad del Atlántico, sin

embargo se pudo encontrar dos investigaciones relacionadas con temas de

trigonometría. Estas son:

1) “Propuesta para el aprendizaje de la solución de problemas de triángulos

rectángulos a partir de las funciones trigonométricas en décimo grado del Instituto

Pestalozzi Nocturno”, por Luís Armando Becerra Vásquez, Augusto César

Jiménez Polo y Rodolfo Rafael Pérez Flórez, año 2000. Este trabajo pretende ser

un aporte pedagógico para superar las dificultades encontradas en el aprendizaje

de la solución de problemas de triángulos rectángulos a partir de las funciones

trigonométricas en décimo grado. Para tal fin se diseñó una propuesta

metodológica basada en el taller y el trabajo grupal, el cual consta de

coordinadores de grupo y un coordinador general como herramienta para el

mejoramiento del aprendizaje del tema en cuestión que permitirá integrar en un

solo proceso tres instancias como son la docencia, la investigación y la práctica.

Además se hizo una encuesta a 24 estudiantes de décimo grado del Instituto

Pestalozzi Nocturno que consistía en 17 preguntas con tres ítems de respuestas

exactas, aplicada antes de realizar la propuesta metodológica con el grupo.

25

2) “Incidencia de la evaluación cualitativa en el aprendizaje de las razones

trigonométricas” por José Brito Pinto, Oscar Cortes Martínez y Ricardo Gutiérrez

Becerra. Este trabajo contiene la fundamentación teórica, metodológica y los

logros del proceso de investigación relacionados con la incidencia de la evaluación

cualitativa en el aprendizaje de las razones trigonométricas en el grado décimo. El

problema de investigación se basa en la necesidad de indagar los factores de la

evaluación por procesos que pueden ser determinantes en el aprendizaje de las

razones trigonométricas en el contexto del área de matemática.

La investigación permitió concluir que la falta de iniciativa y de motivación por

parte de los estudiantes y una inadecuada utilización de los instrumentos y medios

evaluativos generó un ambiente desfavorable en los procesos de enseñanza

aprendizaje de las razones trigonométricas, por lo cual el grupo investigador

recomienda la implementación de una metodología constructivista, en el contexto

de una pedagogía activa que genere en los educandos el deseo de analizar,

razonar, deducir y aplicar los conceptos de las razones trigonométricas. Como

consecuencia de la investigación se presenta la siguiente propuesta: Talleres

procesales para el aprendizaje de las razones trigonométricas.

26

5.2 ANTECEDENTES HISTÓRICOS

La resolución de problemas matemáticos es el punto clave de la actividad

matemática. Su estudio a lo largo de los años muestra su inseparable relación con

los procesos de enseñanza y aprendizaje de la propia matemática. Sin embargo

esta resolución de problemas se ha convertido en un obstáculo en los estudiantes

de todos los niveles, del cual ha surgido la necesidad de investigar estos

obstáculos.

A continuación se abordará la evolución de la resolución de problemas

matemáticos desde una perspectiva histórico-didáctica, tomando como guía cuatro

etapas fundamentales: la Antigüedad, partiendo desde el 2000 a. C. hasta la caída

del Imperio Romano en el siglo V d. C; se sigue con la Edad Media, hasta el siglo

XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alborada del siglo XX; y se concluye

en la época Contemporánea. De esta manera, se ubicará el tema de esta

investigación en una de ellas.

5.2.1 La resolución de problemas en la antigüedad

De la lectura de un documento histórico se puede inferir que la finalidad

fundamental de los problemas matemáticos propuestos era preparar al hombre

para el cálculo. El autor proclamaba muy orgulloso “Sé sumar y restar a la

perfección, soy diestro en calculo y en contabilidad”. Muchos autores coinciden en

plantear que fue el matemático griego Herón, quien vivió en Alejandría

aproximadamente entre los siglos II y I a. C., el primero en incluir ejercicios con

texto en sus trabajos; sin embargo, se conocen, de hecho, algunos textos

matemáticos escolares más antiguos. Estos textos son de dos tipos: de tablas y de

problemas; estos últimos proponen, por ejemplo, este “problema tipo”, hallado en

un papiro egipcio de mediados del segundo milenio: En una pirámide el lado tiene

140 codos y la inclinación es de 5 palmos y 1 dedo por codo. ¿Cuál es la altura?

27

Los textos matemáticos en su generalidad se inician con una exposición del

problema matemático que se trata de resolver, y los datos se representan como

cifras concretas y no como variables abstractas. Sigue a la exposición del

problema la forma de ir solucionándolo paso por paso, para llegar finalmente al

resultado. Cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior, o bien en

uno de los datos facilitados al principio. El “alumno” quedaba así capacitado para

resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera presentársele.

Además, estos problemas solían reagruparse de modo que las técnicas

aprendidas pudieran aplicarse inmediatamente en otros casos. Según Boyer: “los

cientos de problemas de tipos muy parecidos que aparecen en las tablillas

cuneiformes tienen todo el aspecto de ser ejercicios que debían resolver los

escolares siguiendo ciertos métodos conocidos o reglas generales.”1

Al penetrar en la Grecia se conoce que el cálculo se enseñaba en la escuela

elemental y, al igual que los textos babilonios o egipcios, los problemas planteados

se refieren explícitamente a una situación concreta, incluso esta es muchas veces

un artificio con fines pedagógicos. Se puede plantear que la aparición de escuelas,

algunas de las cuales llegaron a ser muy reconocidas, se debieron a iniciativas

individuales; así, los dos grandes filósofos atenienses de fines del siglo V y

primera mitad del IV antes de nuestra era, Sócrates (470-399 a. C) y Platón (428-

347 a. C), fundan sus propias escuelas.

Sócrates veía las matemáticas como instrumento indispensable para formar

mentes “bien hechas”. Para Platón, dicha ciencia debe servir de introducción al

estudio de la Filosofía, mientras que a la vez pretendía que esos conocimientos

matemáticos sirvieran como base a un proyecto de reformas políticas. De todos es

1 BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 66

28

conocida la importancia que concedió Platón al estudio de las Matemáticas, en

especial a la enseñanza de la Geometría, y cómo la utiliza desde su posición de

idealista objetivo.

A Platón se le debe la concepción actual de los objetos matemáticos al señalar:

“los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles

que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.”1 También

aprecia la importancia de la resolución de problemas, así, en su obra “La

República” plantea que si se quiere desarrollar la inteligencia es preciso proceder

como se hace en Geometría, por medio de problemas.

En resumen, en la Antigüedad se percibe un sentido utilitario de la matemática

prehelénica frente a una óptica cosmológica de la griega, donde en ésta la

instrumentación de las concepciones giran en torno a la comprensión de los

elementos que componen el orden existencial del hombre y su medio, aspecto que

responde a las características propias del desarrollo de la ciencia y de la

cosmovisión humana en relación con la existencia. Es, en estos casos, la

resolución de problemas matemáticos un vehículo socio-clasista de dominación en

manos de los que ostentaban el poder.

5.2.2 La resolución de problemas en la Edad Media

En la Edad Media, en la India, entre los siglos V-VII, las Matemáticas alcanzan un

gran esplendor y su desarrollo estuvo ligado íntimamente con matemáticos de

relieve como Aryabhata, Brahmagupta y Bháskara. Los principales aportes de

estos notables científicos se pueden exponer en la resolución completa de la

ecuación de segundo grado, la resolución de las ecuaciones indeterminadas y su

aplicación a la solución de problemas prácticos. Además, al igual que los

“Elementos” del griego Euclides, en el que se sintetizó gran parte de la matemática

1 BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 125

29

de su época, los conocimientos de esta etapa fueron recogidos por Bháskara en el

siglo VII en su obra capital titulada “Sidhanta Ciromani”. El desarrollo matemático

adquirió gran relevancia en el Mundo Árabe.

En la Edad Media en Europa, el objetivo de la enseñanza era conocer el orden del

universo y la esencia de las cosas, sin importarles la preparación del hombre para

la vida en la sociedad. Con el surgimiento de las universidades, los procedimientos

seguidos por los profesores en casi todas partes eran los mismos; no se acudía a

las fuentes originales, el docente leía un manual y luego se centraba en su

discusión y debate. En esos tiempos ya existían grupos de graduados de las

diferentes universidades que compartían el ejercicio de las Matemáticas: por un

lado, los agrimensores, ingenieros y contables y, por otro, los médicos y

astrólogos, que gozaban de una situación social superior; los del primer grupo,

dentro de sus enseñanzas, enfatizaban en la resolución de problemas prácticos,

ofreciendo determinados modelos para algunas situaciones especificas.

En el siglo XIV, en Europa, los cambios económicos así como el desarrollo de las

ciudades y el comercio van a favorecer el ascenso social de los matemáticos

prácticos, puesto que los intercambios comerciales cada vez más complejos

exigían técnicas idóneas de cálculo y contabilidad. Existían en esos momentos

tratados donde se exponían reglas para la solución de problemas específicos

relacionados principalmente con las tasas de interés, los cambios, la circulación y

el peso de las monedas, o la repartición de los beneficios. En los tratados estos

métodos solían presentarse en forma de casos concretos, integrándose en un

contexto totalmente práctico.

La influencia de las interpretaciones escolásticas como instrumento para la

generalización de la fe, durante la Edad Media, hacen que la dirección formativa

de la resolución de problemas matemáticos evidencie una concepción teológica

donde los procedimientos matemáticos constituyen un elemento básico en la

30

multiplicidad existencial del hombre, evidenciando el rigor de un ordenamiento

que, independientemente de la multiplicidad factorial que lo compone, confluyen

en la existencia de una causa universal que descansa en la idea de Dios.

5.2.3 La resolución de problemas en la época modern a

La actividad matemática de esta época fue marcada por el filósofo y matemático

francés René Descartes (1596-1650), quien fue el fundador del racionalismo. Éste

se formó como resultado de interpretar de manera unilateral el carácter lógico del

conocimiento matemático, dado que la naturaleza universal y necesaria de este

conocimiento le parecía a Descartes derivada de la naturaleza del intelecto mismo.

El matemático asignó dentro del proceso de conocimiento un papel significativo a

la deducción, basada en axiomas, alcanzables por vía intuitiva. Para obtener el

conocimiento, él creía necesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad

misma; este principio se manifiesta en su máxima: “pienso, luego existo”.

Considera Polya que las palabras siguientes de Descartes describen el origen de

las Reglas: “Cuando, en mi juventud, oí hablar de invenciones ingeniosas, trataba

de saber si no podría inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor, así advertí

que me conformaba a ciertas reglas.”1

La utopía de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy simple: Fase I:

reducir cualquier problema algebraico a la resolución de una ecuación simple.

Fase II: Reducir cualquier problema matemático a un problema algebraico. Fase

III: Reducir cualquier problema a un problema matemático. El primer libro culmina

con las reglas IX-XII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatiza la

necesidad de profundizar en las cuestiones más simples; en la importancia de la

ejercitación; en la búsqueda de relaciones entre proposiciones simples; y en el

empleo óptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginación, los sentidos y

1 POLYA, George. How to Solve it. Princeton University Press,1945, p. 109

31

la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartes

destaca que sólo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de

ayudarse del resto de las facultades señaladas.

En el siglo XVIII resulta necesario destacar al suizo L. Euler (1707-1783), quien no

llegó a plantear explícitamente, como Descartes, un conjunto de reglas para

abordar los problemas. El mérito fundamental radica en la educación heurística

manifestada en su práctica pedagógica. Según testimonios de Condorcet

(matemático contemporáneo con Euler): “Euler prefería instruir a sus alumnos con

la pequeña satisfacción de sorprenderlos. Él pensaba no haber hecho bastante

por la ciencia si no hubiese añadido a los descubrimientos la íntegra exposición de

las ideas que le llevaron a ellos.”1

De acuerdo a lo anterior, la resolución de problemas en el ámbito de la

modernidad condiciona una perspectiva donde el hombre y su personalidad,

constituyen el centro de la problemática. La propia perspectiva humanista de la

ciencia advierte la necesidad de acrecentar la preocupación por el hombre en la

relación con sus similares y la sociedad, donde los procedimientos matemáticos

constituyen alternativas para satisfacer las demandas humanas e incrementar el

éxito de la humanidad en el proceso de adaptación secular, social y cultural.

5.2.4 La resolución de problemas en la época contem poránea

En la alborada del siglo XX aparecen los aportes del matemático francés H.

Poincaré (1854-1912), que consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen

al mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer más

cómoda y útil la descripción de los fenómenos correspondientes.

En su “Fundations of Science” (1913), Poincaré dedica un apartado al análisis de

la creación de los conceptos matemáticos. Esta sección recibió el título de 1 POLYA, George. Variable Compleja. Ed. Limusa, 1976, p. 66

32

Creación Matemática, y había aparecido originalmente en una publicación

francesa de 1908 (“Science et Méthode”). Lo más estimable en esta obra es la

distinción que su autor hace respecto al acto creativo, destacando cuatro fases:

Saturación (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta donde

sea posible); Incubación (el subconsciente es el que trabaja); Inspiración (la idea

surge repentinamente, “como un flash” según Poincaré) y Verificación (chequear la

respuesta hasta asegurarse de su veracidad).

Otra importante contribución fue realizada por J. Hadamard (1865-1963) en su

libro “An essay on the psychology of invention in the mathematical field”, publicado

en 1945. Este matemático propone un esquema algo más exhaustivo para explicar

el proceso de creación matemática. Sus fases son las siguientes:

Documentación (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); Preparación

(realizar un proceso de ensayo-error sobre diferentes vías e hipótesis,

considerando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ningún

progreso); Incubación (al cambiar de actividad); Iluminación (ocurre la idea

repentina); Verificación (la idea debe someterse al análisis y comprobación, al

juicio crítico); Conclusión (ordenación y formulación de los resultados).

Salvando sus limitaciones idealistas estas ideas son bastante progresistas. Por

primera vez se intentaba explorar los fenómenos que ocurren en el cerebro

humano, durante la resolución de problemas. Ya no se trataba de describir ciertas

reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento mismo.

Resulta certero plantear que ya Hadamard comprendió la necesidad de encarar el

proceso de resolución de problemas desde la perspectiva matemática y

psicológica cuando expresó:

“... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá ser

tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el psicólogo como por

33

el matemático. Por la falta de esta composición, el asunto ha sido investigado por

los matemáticos por un lado y por los psicólogos por el otro...”1

En materia de resolución de problemas es normal que los historiadores y

estudiosos dividan sus análisis en dos etapas, claramente delimitadas por el año

1945, año en que salió a la luz “How to Solve It”, del matemático y pedagogo

húngaro George Polya. La obra didáctica de Polya nace en el prefacio del trabajo

“Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis” del cual fue coautor. En las indicaciones

sobre el uso de este libro los autores revelan una breve recomendación, a fin de

lograr un pensamiento productivo. Ellos señalan:

“Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la más útil disciplina del

pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglas

pudieran ser formuladas, ellas no serían muy útiles; uno tiene que asumirlas en

carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente. La resolución independiente

de problemas difíciles ayudará al estudiante mucho más que los aforismos que él

sigue, aunque para un comienzo estos puedan no dañarlo”2.

Schoenfeld (1987) señala que en “How to Solve It” Polya no se contenta con este

simple aforismo, así que realiza un estudio introspectivo del método cartesiano. De

esta obra hay que destacar un aporte fundamental: el aislamiento de cuatro fases

claramente identificables durante el proceso de resolución de problemas:

Comprensión del problema; Concepción de un plan; Ejecución del plan; y Visión

retrospectiva. En cada una Polya propone una serie de reglas heurísticas bastante

sugerentes, pero lo más notorio, en primer lugar, consiste en que la mayoría de

ellas van dirigidas a la segunda fase. El propio Polya señala: “De hecho, lo

esencial de la solución de un problema es concebir la idea de un plan.”(Polya, G.

1976, p.30).

1 HADAMARD, Jacques. The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press, 1945. p. 1 2 POLYA, G. y SZEGO, G. Problems And Theorems In Analysis. Ed. Springer, 1998, p. 11

34

A pesar de que “How to Solve It” marcó un hito en el campo de la Didáctica de la

Matemática, en su fecha de aparición no causó gran impacto, ya que los currículos

escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, los cuales

adoptaban un aprendizaje por repetición. Aún así, Polya continuó su obra y en

1954 publicó en la misma dirección “Mathematics and Plausible Reasoning”. Sin

embargo, no es hasta la década de los ochenta que se toman en cuenta, en los

EE.UU., para su instrumentación en el contexto del aula las ideas de Polya, sobre

todo lo concerniente a las etapas en el proceso de resolución de problemas.

En el campo de la Didáctica de la Matemática aparecieron diferentes criterios en

relación con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, por la

interferencia semántica mezclado con el término “ejercicio”. La escuela de

Didáctica de las Matemáticas de la antigua R.D.A elaboró una clasificación de los

ejercicios, tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los

elementos y relaciones. Como concepto superior tomó los ejercicios matemáticos

propuestos a los alumnos, los cuales se subdividen en dos conceptos

subordinados: ejercicios de aplicación (los que tienen su origen en la práctica) y

ejercicios construidos (aquellos que se conciben con fines didácticos, o sea, para

ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otros).

A modo de resumen, en el ámbito de la contemporaneidad perpetúa la asunción

logológica constituyendo el elemento directriz de las pretensiones formativas

cimentadas en la resolución de los problemas matemáticos, pero esta vez las

asunciones didácticas tienden al análisis del rol dinámico y activo de los sujetos

cognoscentes como solucionadores de problemas, a partir de la preocupación, no

solo por problemas relacionados con la enseñanza, sino también por cuestiones

que abordan el fenómeno del aprendizaje y su significación; factores estos

devenidos en un conjunto de modelos que, aunque no resuelven en su totalidad

los problemas existentes, condicionan una mayor racionalidad a las intenciones

formativas y didácticas de la Matemática.

35

5.3 MARCO TEÓRICO

En la actualidad, de acuerdo al ICFES, se mantienen unos parámetros para tener

en cuenta en el Programa de Matemáticas en décimo grado: “En lo referente a la

geometría, en este nivel (décimo a undécimo grado) juega un papel importante el

identificar propiedades de las curvas, resolver problemas en donde se usen

propiedades de las cónicas, describir y modelar fenómenos periódicos usando

relaciones y funciones trigonométricas y usar argumentos geométricos para

formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias”1.

En el siguiente apartado se dan a conocer las bases teóricas que dan sustento al

presente trabajo, tales como:

5.3.1 Resolución de Problemas

La resolución de problemas se caracteriza por ser un procedimiento didáctico que

permite no sólo el aprendizaje de hechos y técnicas, sino, al mismo tiempo, de

estructuras conceptuales y estrategias generales. Así, según Dijkstra (1991), la

resolución de problemas es un proceso cognitivo que involucra conocimiento

almacenado en la memoria a corto y a largo plazo.

En otras palabras, la resolución de problemas consiste en un conjunto de

actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de

naturaleza cognitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado

se debe transformar mentalmente metro a centímetros, esta actividad seria de tipo

cognoscitiva. Si se pregunta de cuán seguros se está que las respuestas que se

da sean correctas, tal actividad seria de tipo afectiva, mientras que resolver el

problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución,

podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual.

1 ACEVEDO, Myriam. Fundamentación conceptual área de Matemáticas. ICFES. Bogotá, Mayo 2007. p 29

36

Según André1 el proceso de solución de problemas puede describirse a partir de

los elementos considerados a continuación:

o Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconoce los pasos

para alcanzar lo que se desea.

o Un conjunto de elementos que representa el conocimiento relacionado con

el problema.

o El solucionador de problema o sujeto que analiza el problema, sus metas y

datos y se forma una representación del problema en su sistema de

memoria.

o El solucionador de problema que opera sobre la representación para

reducir la discrepancia entre los datos y metas. La solución de un problema

está constituida por la consecuencia de operaciones que pueden

transformar los datos en metas.

o Al operar los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o

puede utilizar los siguientes tipos de información.

• De esquemas o producciones

• Procedimientos heurísticos

• Algoritmos

o El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de

encontrar una solución de problemas, se denomina búsqueda. Como parte

del proceso de búsqueda de la solución, la representación puede

transformarse en otras representaciones.

o La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el

solucionador de problemas se da por vencido.

1 ANDRÉ, T. Problem Solving and Education. En G. Phye y T. André (Eds.). Cognitive Classroom Learning. Understanding, Thinking and Problems Solving. New York, Academic Press. 1896

37

5.3.2 La resolución de problemas en la educación ma temática

Existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la

educación matemática debería ser que los estudiantes aprendan matemática a

partir de la resolución de problemas. Sin embargo, dadas las múltiples

interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro.

En efecto, el término resolución de problemas ha sido usado con diversos

significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer

matemáticas profesionalmente; significados que en muchos casos llegan a ser

contradicciones, como se describen brevemente a continuación:

5.3.3 Los diversos significados de resolución de p roblemas

Resolver problemas como contextos:

Desde una concepción, los problemas son utilizados como vínculos al servicio de

otros objetos curriculares, jugando cinco roles principales:

• Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos

problemas relacionados con experiencia de la vida cotidiana son

involucrado en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática.

• Para promover especial motivación a ciertos temas: los problemas son

frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento

implícito o explicito de que favorecerá el aprendizaje de un determinado

contenido.

• Como actividad recreativa: muestra que la matemática puede ser “divertida”

y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.

38

• Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que,

cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar nuevas

habilidades a los estudiantes y proveer el contexto para discusiones

relacionadas con algún tema.

• Como práctica: la mayoría de las tares matemáticas en la escuela cae en

esta categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se

presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.

Resolver problemas como habilidad:

La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término de

resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo.

La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas

habilidades a ser enseñanza en el currículum. Esto es, resolver problemas no

rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida

luego de haber resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez es adquirida

a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas).

Resolver problemas es “hacer matemática”

Hay un punto de vista particularmente matemático a cerca del rol que los

problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática; consiste en creer

que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática

realmente consiste en problemas y soluciones.

5.3.4 Estrategias de resolución de problemas

Las estrategias se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los

solucionadores para pensar sobre la representación de las metas y obtener una

solución.

39

Debido a esto, varios investigadores han analizado la actividad de resolución de

problemas y señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de

etapas, razón por la cual se viene investigando sobre las fases en la resolución de

problemas. Es así como Wallas (1926) señala que éstas incluyen:

• La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema,

intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al

problema.

• La incubación, es la fase en la cual el resolutor analiza el problema de

manera inconsciente.

• La inspiración, es la fase en la cual la solución al problema surge de

manera inesperada.

• La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución.

Otros autores (André, 1986; Hayes, 1.981) señalan que las etapas en la

resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para

aproximarse analíticamente a la solución, así como también para ofrecer una

descripción de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema.

5.3.5 Teoría del aprendizaje significativo

La propuesta de David Ausubel (1973), está centrada en el aprendizaje producido

en un contexto educativo, es decir, en el marco de una situación de interiorización

o asimilación, a través de la instrucción. Esta teoría se ocupa de los procesos de

aprendizaje–enseñanza de los conceptos científicos a partir de los conceptos

previamente formados por el discente en su vida cotidiana.1

Ausubel plantea que el “aprendizaje del estudiante depende de la estructura

cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por

1 POZO, Juan Ignacio. Teorías cognitivas del aprendizaje 3ra edición. Ed. Marota,1996

40

estructura cognitiva, al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un

determinado campo del conocimiento”1.

David Ausubel, considera que la estructura de conocimiento de las personas está

formada principalmente por conceptos y múltiples relaciones que se producen en

esta estructura mental, es decir, el aprendizaje, se produce a través de un

proceso que define como Aprendizaje Significativo.

En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la

estructura cognitiva del estudiante; no sólo se trata de saber la cantidad de

información que posee, sino cuáles son los conceptos y proposiciones que maneja

así como de su grado de estabilidad.

Las condiciones que favorecen la construcción del aprendizaje significativo son:

• Los contenidos que se propone el estudiante debe tener significado en sí

mismo.

• El estudiante debería comprender, desde el principio con suficiente

claridad, lo que trata de hacer.

• Además, es necesario que la tarea que se presenta sea considerada

atractiva e interesante, para que el discente entienda que con su

aprendizaje pueda cubrir una necesidad propia e importante.

Pero en la construcción del aprendizaje significativo, no basta con estructurar los

contenidos, y además que la materia de estudio sea significativa por sí misma,

sino que también es necesario que la estructura cognitiva del discente disponga,

de los conocimientos previos que sirva de enlace con el nuevo contenido que se

propone aprender2.

1 AUSUBEL, D. P. NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Psicología Educativa, Un punto de vista cognoscitivo. Trías Ed. , México. 1983 2GARCÍA, Eduardo. Psicología Cognitiva. La teoría del aprendizaje significativo(David Ausubel) 2003-2006

41

Tomando como base lo anterior, se hace necesario conocer la estructura cognitiva

del estudiante en cuanto a su forma de razonar matemáticamente, empleando

estrategias que ayuden a fortalecer el razonamiento lógico y que de esta manera

adquiera sentido y aplicación en la vida de los educandos.

Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados de modo

no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el estudiante ya sabe.

Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se

relacionan con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura

cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un

concepto o una proposición.

Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el

individuo ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe

aprender. Este proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva

conceptos, ideas, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede

interactuar.

El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con

un concepto relevante pre- existente en la estructura cognitiva, esto implica que,

las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos

significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones

relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del

individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.

Es por esto que la enseñanza de las matemáticas debe estar fundamentada en

conceptos matemáticos básicos, estructuras y habilidades, así como también

métodos y principios que estimulen el pensamiento e integren los conocimientos

adquiridos con los ya existentes.

Desde este punto de vista, el aprendizaje significativo solo tiene lugar activamente

desde el interior de la persona, mediante el establecimiento de relaciones nuevas

y lo que ya se conoce. Por otro lado, lo importante es ayudar a los estudiantes a

42

construir una representación más exacta de las matemáticas y desarrollar pautas

de razonamiento más convencionales. En esencia, la enseñanza de las

matemáticas consiste en traducirlas a una forma en la que los estudiantes puedan

construir su significado y crear oportunidades para desarrollar y ejercer el

razonamiento lógico-matemático y las aptitudes para la resolución de problemas.

Dentro de las características más importante del aprendizaje significativo están:

• El aprendizaje se recuerda durante mucho más tiempo.

• Aumenta la capacidad de aprender nuevos materiales.

• Facilita el aprendizaje. (volver a aprender lo aprendido)

El objetivo primordial por parte de las escuelas y los docentes al enfrentarse a esta

sociedad postindustrial consiste en educar a los jóvenes en destrezas y cualidades

que contribuyan a generar aprendizajes verdaderamente significativos.

Factores que intervienen en el aprendizaje :

• Estructura cognitiva: la estructura cognitiva es el factor principal del

aprendizaje. De acuerdo como estén organizados los conceptos, de

acuerdo a su nivel de generalidad, abstracción, discriminación, estabilidad y

calidad, se facilita o se atrasa el proceso de aprendizaje.

• La disposición: la capacidad de almacenar y procesar información en los

seres humanos, varía con la edad y la experiencia. La capacidad que

tengan en un momento dado de poner en funcionamiento su estructura

cognitiva es llamada disposición, por tanto se refiere a la suficiencia que

tenga la capacidad cognitiva para las tareas del aprendizaje.

• Capacidad intelectual: la inteligencia, la facultad para interferir las

relaciones y los nexos en los sistemas reales y en los sistemas simbólicos,

necesariamente, el mayor o el menor desarrollo de esta facultad intervienen

en el proceso de aprendizaje. De esta manera se puede establecer un nexo

43

directo entre el desarrollo de la capacidad intelectual y calidad del

aprendizaje.

• La práctica: Evidentemente ésta cumple una función prioritaria en el

aprendizaje repetitivo en la medida que afianza la articulación arbitraria y

literal con la estructura cognitiva. Sin embargo, de lo anterior no se puede

derivarse que la práctica no cumple las funciones en un proceso de

aprendizaje significativo. Por lo menos tres de ellas permiten ser

identificadas claramente:

- Primero: La práctica aumenta la claridad y la estabilidad de los significados

aprendidos, especialmente si se tienen en cuenta los matices que se

pierden en una primera presentación.

- Segundo: Aumenta la diferenciación conceptual.

- Tercero: Cumple un papel “inmunizante” al llevar al plano de la conciencia

los factores responsables del olvido.

5.3.6 Aprendizaje por descubrimiento

Para Jerome Bruner, “el aprendizaje por descubrimiento es a la vez un objetivo de

la educación y una práctica de su teoría de la instrucción. El plantea que el

descubrimiento consiste en la transformación de hechos o experiencias que se

presentan, de manera que se pueda ir más allá de la información recibida”1. En

otras palabras, se trata de reestructurar o transformar hechos evidentes, de

manera que puedan surgir nuevas ideas para llegar a la solución de los

problemas.

En el aprendizaje por descubrimiento, el estudiante tiene que evaluar toda la

información que le viene del ambiente, sin limitarse a repetir los que le es dado;

por lo tanto él debe generar ideas y comprender el concepto desde su lenguaje

con el fin de ser constructor de su propio aprendizaje.

1 BRUNER, Jerome. The act of discovery. Harvard Educational Review, 1961

44

Bruner se preocupa por inducir al discente a una participación activa en el proceso

de aprendizaje, por lo tanto los contenidos que se han de aprender deben ser

percibidos por el estudiante como un conjunto de problemas, relaciones y lagunas

que se han de resolver. Por consiguiente el sistema educativo debe tener presente

que el educando es el ente activo en el proceso de enseñanza aprendizaje y el

docente solo es un facilitador durante este proceso.

Por otro lado, el ambiente es uno de los factores primordiales que contribuyen en

el aprendizaje de los estudiantes, por esta razón Bruner considera que el ambiente

necesario para que se dé un aprendizaje por descubrimiento debe presentar al

estudiante alternativas para que perciba relaciones y similitudes entre los

contenidos a aprender. Bruner sostiene que el descubrimiento favorece el

desarrollo mental, y que lo que nos es más personal es que se descubre por sí

mismo.

Bruner destaca una serie de beneficios que se derivan del aprendizaje por

descubrimiento:

• Mayor utilización del potencial intelectual: esto quiere decir que el énfasis

en el aprendizaje por descubrimiento fomenta en el aprendiz el hábito de

organizar la información que recibe.

• Motivación Intrínseca: dentro de la concepción del aprendizaje como un

proceso de descubrimiento, el niño obtiene recompensa en su propia

capacidad de descubrir, la cual aumenta su motivación interna, hacia el

aprendizaje, que cobra más fuerza para él, que la aprobación o

desaprobación proveniente del exterior.

5.3.7 Etapas del desarrollo cognoscitivo

En sus trabajos Jean Piaget1 distingue cuatro etapas del desarrollo cognoscitivo,

en el cual plantea que el pensamiento se desarrolla en orden sucesivo de

1 http://www.earlytechnicaleducation.org/spanien/cap2lis2es.htm

45

estadios, los cuales se relacionan con actividades del conocimiento como pensar,

reconocer, percibir, entre otros.

Las etapas de vital importancia en esta investigación son:

Etapa de las operaciones concretas:

Esta etapa tiene lugar entre los siete y doce años aproximadamente y está

marcada por una disminución gradual del pensamiento egocéntrico y por la

capacidad creciente de centrarse en más de un aspecto de un estímulo.

Sólo pueden aplicar esta nueva comprensión a los objetos concretos (aquellos que

han experimentado con sus sentidos). Es decir, los objetos imaginados o los que

no han visto, oído, o tocado, continúan siendo algo místico para estos niños, y el

pensamiento abstracto tiene todavía que desarrollarse.

Además el niño es capaz de asumir un número limitado de procesos lógicos,

especialmente cuando se le ofrece material para manipularlo y clasificarlo, por

ejemplo. La comprensión todavía depende de experiencias concretas con

determinados hechos y objetos y no de ideas abstractas o hipotéticas.

Etapa de las operaciones formales:

En la etapa final del desarrollo cognitivo (desde los doce años en adelante), los

niños comienzan a desarrollar una visión más abstracta del mundo y a utilizar la

lógica formal. Pueden aplicar la reversibilidad y la conservación a las situaciones

tanto reales como imaginadas. También desarrollan una mayor comprensión del

mundo y de la idea de causa-efecto.

Esta etapa se caracteriza por la capacidad para formular hipótesis y ponerlas a

prueba para encontrar la solución a un problema.

Otra característica del individuo en esta etapa es su capacidad para razonar en

contra de los hechos. Es decir, si le dan una afirmación y le piden que la utilice

46

como la base de una discusión, es capaz de realizar la tarea. Por ejemplo, pueden

razonar sobre la siguiente pregunta: ¿Qué pasaría si el cielo fuese rojo?".

De esta manera, el razonamiento que el estudiante emplea es el que se desarrolla

por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana, ya que a partir de

este momento el sujeto tiene capacidad para razonar de manera lógica.

5.3.8 Ingeniería Didáctica

La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a

principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones

tecnológicas de los hallazgos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la

Transposición Didáctica. El nombre surgió de la analogía con la actividad de un

ingeniero quien, según Artigue (1998, p. 33):

“Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos

de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al

mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos

que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente,

con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no

puede hacerse cargo.”

En realidad el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las

matemáticas con una doble función: como metodología de investigación y como

producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje, conforme mencionó

Douady:

“… el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase

concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un

profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido

matemático dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los

intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las

reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor.

47

Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un

análisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en

funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de una

clase.”1

Artigue (1998, p. 40) distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de

construcción de ingenierías didácticas:

• Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber puesto

en funcionamiento.

• Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los

alumnos a los que se dirige la enseñanza.

• Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del

sistema reenseñanza.

Como mencionamos anteriormente, el sustento teórico de la ingeniería didáctica

proviene de la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1997) y la teoría de la

transposición didáctica (Chevallard, 1991), que tienen una visión sistémica al

considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones

entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los

modos de apropiación de este saber por el sujeto (Brousseau, 1997).

5.3.9 Constructivismo social

En décadas recientes, los teóricos constructivistas han extendido su tradicional

orientación del aprendizaje individual a tratar dimensiones sociales y de

colaboración al aprender. Es posible entender el constructivismo social como la

manera de reunir aspectos del trabajo de Piaget con el de Bruner y de Vygotsky

(Wood 1998:39)

1 DOUADY, Regine. Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en las matemáticas de collège-seconde. Francia. Topiques éditions. 1996, p. 241

48

El constructivismo social en educación y teoría del aprendizaje es una teoría de la

forma en que el ser humano aprende a la luz de la situación social y la comunidad

de quien aprende. La Zona de desarrollo próximo, desarrollada por Lev Vygotsky y

aumentada por Bruner es una idea bajo el constructivismo social.

Del constructivismo cognitivo al constructivismo so cial:

Las ideas sobre el aprendizaje que ahora llamamos constructivismo cognitivo,

fueron las precursoras del constructivismo, Gracias a Vigotsky, un psicólogo

Bielorruso que vivió y trabajó bajo un ambiente Marxista, se hizo famoso por sus

ideas sobre la mediación como una parte integral de la psicología del ser humano:

"El hecho central sobre nuestra psicología es el hecho de la mediación" Vygotsky

1978:166).

A pesar de que en su trabajo sólo se hace su propia versión de la realidad,

Vygotsky añadió que la importancia de discutir esta versión de la realidad con los

demás para así, a través del proceso de mediación, llegar a un nivel más alto de

verdad que haya sido probado socialmente (Derry)

Una definición práctica de constructivismo social:

El constructivismo social expone que el ambiente de aprendizaje más óptimo es

aquel donde existe una interacción dinámica entre los instructores, los alumnos y

las actividades que proveen oportunidades para los alumnos de crear su propia

verdad, gracias a la interacción con los otros. Esta teoría, por lo tanto, enfatiza la

importancia de la cultura y el contexto para el entendimiento de lo que está

sucediendo en la sociedad y para construir conocimiento basado en este

entendimiento.

Principios del constructivismo social:

Paul Ernest (1991) resume los principios del constructivismo social de la siguiente

manera:

49

• El conocimiento no se recibe pasivamente sino que es construido

activamente por el sujeto cognitivo. “La función de la cognición es adaptable

y sirve la organización del mundo de la experiencia, no el descubrimiento

de una realidad ontológica" (Von Glasersfeld 1989:182).

• Las teorías personales que resultan de la organización experimental del

mundo, deben calzar las restricciones impuestas por la realidad física y

social.

• Esto se logra a través de un ciclo de Teoría - Predicción -Prueba - Error -

Rectificación - Teoría.

• Esto da paso a las teorías socialmente aceptadas del mundo y los patrones

sociales así como las reglas de uso del lenguaje.

• El constructivismo social es la reflexión que hacen aquellos que están en la

posición de enseñar a los demás, como ellos enseñan, y la información que

muestran a los otros.

5.3.10 Educación por competencias

El uso del término competencia se está generalizando últimamente en los medios

educativos, despertando mucho interés entre los educadores y también una cierta

inquietud sobre su preciso significado y su eventual incidencia en los procesos

pedagógicos.

Para muchos, el concepto de competencia en el ámbito educativo, desde que en

1965 Noam Chomsky en su artículo Aspects of theory of syntax introdujera el

término COMPETENCIA, como aquella capacidad que posee todo hablante para

apropiarse del conocimiento de su lengua y así producir y entender enunciados y

significaciones siempre nuevos, lo cual es referida a la aparición del lenguaje

como un acontecer misterioso, sin la evidencia de un saber anterior que lo

explique1.

1 VINENT SOLSONA, Manuel. ¿Qué significa aprender? Un punto de vista sobre el concepto de competencia. En: BOGOYA MALDONADO, Daniel y otros. Competencias y Proyecto Pedagógico. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de Colombia, 2000. P 65

50

Son muchos los autores que han dado su punto de vista sobre lo que significa la

palabra competencia. Las competencias deben entenderse desde un enfoque

sistémico como actuaciones integrales para resolver problemas del contexto con

base en el proyecto ético de vida (Tobón, Pimienta y García Fraile, 2010). Las

competencias son un conjunto articulado y dinámico de conocimientos,

habilidades, actitudes y valores que toman parte activa en el desempeño

responsable y eficaz de las actividades cotidianas dentro de un contexto

determinado (Vázquez Valerio Francisco Javier). Para el ministerio de educación

nacional, es una categoría pensada desde la constitución y formación de los

sujetos en diferentes dimensiones de su desarrollo, la cual está relacionada con el

crecimiento de las capacidades o potencialidades que presenta el sujeto que se

visualizan a través de los desempeños, de acciones, sea en el campo social,

cognitivo, cultural, estético o físico1.

Del análisis de estas definiciones puede concluirse que las Competencias:

• Son características permanentes de la persona,

• Se ponen de manifiesto cuando se ejecuta una tarea o se realiza un

trabajo,

• Están relacionadas con la ejecución exitosa en una actividad, sea laboral

o de otra índole.

• Tienen una relación causal con el rendimiento laboral, es decir, no están

solamente asociadas con el éxito, sino que se asume que realmente lo

causan.

• Pueden ser generalizables a más de una actividad.

Hoy en día tiene lugar un intenso debate sobre el significado, alcances y

limitaciones del concepto de competencias como eje de nuevos modelos de

educación y por supuesto, también hay una variedad de perspectivas para

definirlas; para la educación es definida como “Una habilidad, destreza, aptitud o

1 M.E.N. Lineamientos curriculares de Lengua Castellana. Bogotá D.C. Cooperativa editorial Magisterio, 1998. p 43

51

actitud que un estudiante debe desarrollar en un período de tiempo, después de

haber seguido un PROCESO educativo debidamente programado y controlado de

manera que sea posible la verificación de su logro”1. Sin embargo hay dos

características que de alguna u otra manera se encuentran implícitas en cualquier

definición de competencia: por un lado el centrarse en el desempeño y, por el otro,

el recuperar condiciones concretas de la situación en que dicho desempeño es

relevante.

La primera de ellas es sumamente importante en la medida en que es

indispensable que la educación tenga un impacto directo en las posibilidades de

actuación de la gente y no solo constituya un requerimiento formal de años de

escolaridad, en el mejor de los casos, una vía para acumular conocimientos de

carácter enciclopédico. La segunda característica no es menos relevante, pues

ofrece la posibilidad de abordar de una manera más real las relaciones entre

variables, los factores del contexto de situaciones concretas, las formas de

organización del trabajo y, también de incorporar criterios de evaluación acordes

con situaciones más complejas.

De acuerdo al enfoque con que se interpretan los atributos propios que definen la

competencia, así será el grado de dominio y profundidad existente en su

aplicabilidad en el campo educativo. Requiere por lo tanto tener una visión clara

de los momentos o niveles que encierra el desafío de este proceso para la

apropiación significativa de los conocimientos científicos2. Un primer nivel que

hace referencia al reconocimiento y distinción de los elementos, objetos o códigos

propios de cada área, el segundo nivel que tiene que ver con el uso comprensivo

de los objetos o elementos de un sistema de significación, siendo de mayor

exigencia, elaboración conceptual y acción que el primero; el tercer nivel

comprende el control y la explicación del uso. Es un nivel mucho más profundo

1 MEJIA WILLIAM. Competencias, un desafío para la educación en el siglo XXI. Bogotá, D.C. Editorial Norma, 2000, p 12 2 BOGOYA MALDONADO, Daniel. Competencias y proyectos pedagógicos. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de Colombia, 2000. P 18

52

que los anteriores, porque requieren un dialogo fluido entre los procesos

cognitivos que dan cuenta del reconocimiento y la distinción de objetos o códigos,

de su utilización con sentido en determinados contextos.

Es importante, de acuerdo a esto, que las diferentes asignaturas son las llamadas

a garantizar la estructuración y formación de un ciudadano que sea capaz de leer

e interpretar información, proponer alternativas de solución dinamizadas y a

reconocer el mundo que los rodea. En el caso de las matemáticas se “Debe

potenciar al estudiante para aplicar su conocimiento en la resolución de

problemas, tanto al interior de la matemática misma, como en otras disciplinas;

debe además desarrollar habilidades para usar el lenguaje matemático y

comunicar ideas, razonar y analizar, cuestionarse. Interpretar críticamente

información y tomar consecuentes; en fin; para enriquecer y ampliar

continuamente su conocimiento”1

El MEN y el ICFES proponen tres tipos de competencias que se deben trabajar en

los centros educativos para desarrollar habilidades y destrezas en los estudiantes

y a si formar personas capaces de cuestionar el mundo donde habitan. Siendo

estas: competencias argumentativas, propositivas e interpretativas, estamos

dando un paso fundamental para superar limitaciones propias de la escuela activa

y la escuela tradicional. Siendo la competencia argumentativa una de las más

importantes a ser trabajadas en educación básica y media. Porque permite al

estudiante sustentar, dar soporte, justificar o apoyar una idea; permite evaluar

diversas alternativas y convencer auditorios de la conveniencia o justeza de una

posición o tesis.

1 BOGOYA, Daniel. Evaluación de competencias básicas en el lenguaje, matemática y ciencias. Bogotá, D.C. Secretaria de Educación Distrital, 1999.

53

Competencia interpretativa

Esta competencia incluye la habilidad que se tiene para identificar y comprender

las ideas fundamentales en una comunicación, un mensaje, una gráfica, un

dibujo, para comprender las relaciones existentes entre estas ideas

Competencia argumentativa

Esta competencia incluye la habilidad del razonamiento en cuanto a la explicación

de cómo las diferentes partes de un proceso, se ordenen y se relacionan entre si,

para lograr cierto efecto o conclusión. Al argumentar se explica el por qué de las

cosas, se justifican las ideas, se dan razones, se establecen los propios criterios,

se interactúa con el saber

Competencia propositiva

Esta competencia supone un engranaje creativo de los elementos para formar un

sentido nuevo; es decir se ordenan ideas bajo un nuevo patrón o se crean nuevas

configuraciones de ideas. Esta competencia representa la cúspide de la pirámide

del desarrollo del pensamiento; puesto que requiere de una síntesis, de un cambio

o transformación de las ideas.

5.3.11 Importancia de las TIC’s en la educación

Antecedentes en relación a las TIC´s

La necesidad de la búsqueda de una definición propia de la integración curricular

de la TIC, surge de la necesidad del rápido crecimiento innovador de las ciencias y

tecnologías y que esto tendrá una influencia en el ámbito de la formación científica

y educativa, en relación a esto, Sánchez, afirma lo siguiente:

“Integración curricular de TIC´s es el proceso de hacerlas enteramente parte del

currículum, como parte de un todo, perneándolas con los principios educativos y la

didáctica que conforman el engranaje del aprender. Ello fundamentalmente implica

54

un uso armónico y funcional para un propósito del aprender específico en un

dominio o una disciplina curricular”1.

El uso de TIC´s permite jugar desde diferentes papeles en la práctica de

enseñanza-aprendizaje en la formación científica, especialmente en el desarrollo

de habilidades como cálculo, análisis, interpretación de resultados, etc.

El análisis científico que se espera obtener con todos los componentes que

permiten a las TIC´s (animaciones integradas, simulaciones, imágenes, video,

flash...) los materiales científicos generados serán más atractivos para los

estudiantes y les permitirá alcanzar mayor grado de comprensión.

En relación a lo expuesto en los párrafos anteriores, algunos principios que

influyen en el uso de las tecnologías de la información y la comunicación en un

contexto constructivista que se define de lo siguiente:

• Herramientas de apoyo para aprender, con las cuales se puede realizar

actividades que fomenten el desarrollo de destrezas y habilidades cognitivas

superiores en los alumnos.

• Medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.

• Extensores y amplificadores de la mente a fin de que expandan las

potencialidades de procesamiento cognitivo y memoria, lo que facilita la

construcción de aprendizajes significativos.

• Herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que

potencia su uso con metodologías activas como proyecto, trabajo colaborativo,

mapas conceptuales e inteligencias múltiples en las cuales alumnos y docentes

coactúen y negocien significados y conocimientos, con la tecnología como socio

en la cognición del alumno.

Es por esto la importancia que adquieren las TIC en la formación docente y no

sólo en la formación inicial sino que durante toda la vida profesional, debido a que 1 SÁNCHEZ, Jaime. (2003). Integración Curricular de TIC´s: Concepto y Modelos, Revista Enfoques Educacionales, 5(1), p. 51-65

55

cada vez más las TIC juegan un papel importante en el aprendizaje de los

estudiantes, por ejemplo, el uso de Internet cada vez adquiere más adeptos lo

que implica que la información es buscada y encontrada más rápido que dentro

del colegio.

Competencia de los docentes en el uso de las TIC

La UNESCO1 ha propuesto tres enfoques de visiones y alternativas de políticas

educativas, a través de ellos, los estudiantes, ciudadanos y trabajadores de un

país adquieren competencias más sofisticadas para apoyar el desarrollo

económico, social y cultural de un país.

Estos enfoques son:

1. Adquisiciones de nociones básicas de TIC: Tiene como objetivo preparar a

los estudiantes, ciudadanos y trabajadores capaces de comprender nuevas

tecnologías, tanto para apoyar el desarrollo social como para mejorar la

productividad económica.

2. Profundización de conocimientos: El objetivo es aumentar la capacidad de

educandos y ciudadanos para agregar valor a sociedad y a la economía,

aplicando los conocimientos de las asignaturas escolares en problemas

complejos encontrados en la vida cotidiana.

3. Generación del conocimiento: Tiene como objeto desarrollar la participación

cívica, la creación cultural y la productividad económica mediante la

formación de estudiantes, ciudadanos y trabajadores dedicados en la

creación de conocimiento, innovar y participar en la sociedad del

conocimiento.

5.3.12 GeoGebra

GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media

(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.

1 UNESCO. Estándares DE Competencia en TIC para Docentes. Londres 2008

Por un lado, GeoGebra es u

construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas

como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,

GeoGebra tiene la potencia de manejar

y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio

de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares

de una función, como Ra

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana

algebraica se corresponde con un objeto en la

Cómo introducir funciones en Geo

explorar sus propiedades

0. Instala r Geogebra en el

www.geogebra.org,

enlace del marco de la izquierda) y pulsa

1. Abrir GeoGebr a:

aplicación.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica que p




iene la potencia de manejar variables vinculadas a números, vectores



de una función, como Raíces o Extremos.


algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

Figura 1: muestra la presentación de GeoGebra

Cómo introducir funciones en Geo Gebra y desplazar

explorar sus propiedades

r Geogebra en el ordenador: Entrando

, se selecciona la opción “WebStart-Teleinicio

enlace del marco de la izquierda) y pulsar sobre el botón “GeoGebra WebStart”

a: Haciendo doble clic sobre el icono del programa se abrirá la

56

n sistema de geometría dinámica que permite realizar




variables vinculadas a números, vectores




ventana geométrica y viceversa.

ebra y desplazar se por ellas para

ndo en la dirección

Teleinicio” (es el tercer

“GeoGebra WebStart”

doble clic sobre el icono del programa se abrirá la

57

2. Introducir y representar una función: Se escribe su ecuación en el Campo

de Entrada . Las funciones pueden escribirse de distintas maneras.

Figura 2: en la parte inferior se muestra el “campo de entrada” del GeoGebra

Ejemplo: Escribir la función � = 2� + 3 y pulsar la tecla “Enter”. Se observa cómo

se representa gráficamente la función y queda seleccionada la opción “Desplaza”

que se usa para la selección de los objetos creados.

Señalada con el ratón la recta trazada, se observa (ver figura 3) cómo queda

resaltada en negrita y pulsando el botón derecho del ratón para que aparezca el

menú contextual permite modificar las propiedades del objeto.

Figura 3: muestra la opción “desplaza” en la esquina superior izquierda

Selecciona “Propiedades” y con las fichas “Color” y “Estilo” le cambias el color y la

anchura del trazo de la recta.

58

Borra la función: Seleccionando la ecuación de la función en la ventana de la

izquierda y pulsando la tecla Suprimir. También se puede usar la opción “Borra”

del menú contextual.

3. Desplazamiento por la gráfica:

Ahora se va a diseñar un punto que se pueda desplazar sobre la gráfica de la

función y mostrar sus coordenadas. Para hacerlo, se diseña previamente otros

objetos como se indica a continuación:

Paso 1: Representación gráfica de la función que se quiere estudiar. En este

caso se representará la función � = �� − 4. Para ello se usa el campo de entrada.

Paso 2: Construcción de un punto que se desplace solo por el eje de abscisas

(eje de las x). Seleccionar la opción Nuevo Punto y marcar un punto cualquiera

del eje de abscisas. Se verá cómo se ha creado un punto A y en la Ventana

Algebraica se muestran sus coordenadas. Seleccionar la herramienta de Desplaza

y mover el punto creado. ¿Se puede mover libremente o está limitado su

desplazamiento?

Si este punto se hubiese creado sobre la gráfica de la función, se movería

sobre ella. Este es el punto que se quiere crear, p ero se hará que se mueva

cuando se desplace el punto creado sobre el eje OX.

Paso 3: Crear el punto B de la gráfica cuya abscisa coincid e con la del punto

A. Basta con trazar por el punto A una recta perpendicular al eje OX, el punto de

intersección de esta recta y la gráfica de la función es el punto B buscado.

Obsérvese la figura 4.

59

Figura 4: muestra el punto B que se puede desplazar sobre la gráfica

GeoGebra es, básicamente, un "procesador geométrico" y un "procesador

algebraico", es decir, un compendio de matemática con software interactivo que

reúne geometría, álgebra y cálculo -y por eso puede ser usado también en física,

proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras

disciplinas-.

Figura 5: muestra el dinamismo de GeoGebra

Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica”. En GeoGebra

puede hacerse construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -a través

del ingreso directo con el ratón o mediante instrucciones con el teclado-, y todo

eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún B objeto depende de otro

A, al modificar A, también se actualiza B.

60

Pero también pueden definirse funciones reales de variable real, calcular y graficar

sus derivadas, integrales. GeoGebra está escrito en Java y por tanto está

disponible en múltiples plataformas.

5.3.13 Orientación por brújula

La división de la orientación entre “natural” y artificial” sirve sólo para señalar el

uso o no de elementos fabricados por el hombre para orientarse; aunque no deja

de ser arbitraria, es bastante útil. ¿Qué elementos ha creado el hombre para

orientarse?

• Mapas

• Brújulas

• Astrolabio

• Octante

• Sextante

• GPS (de las siglas en inglés: Global Position System: Sistema de Posición

Global)

• Otros

Tocaremos sólo los dos primeros como los más esenciales. Es necesario aprender

y dominar su uso para estar orientados en todas las disciplinas de las actividades

que se realizan fuera de las ciudades. Si se dominan, con el tiempo se puede

rescatar gran parte del sentido de orientación, aunque no todo.

Qué es la brújula:

Inventada por los chinos, la brújula no es más que una aguja imantada que

responde al campo magnético de la Tierra. Por supuesto es la brújula más

sencilla, pero las actuales tienen diferentes partes específicas que evitan muchos

errores de medición debidos al factor humano. La más completa pero sencilla es

de la marca Silva, que se usa para las competencias de “orientacionismo” en

Europa. Es ligera, sencilla y de f

porque es más sencillo explicar todo el procedimiento de esa forma, pero si no se

tiene a la mano este tipo, cualquiera será suficiente para aprender y únicamente

se tendrán que hacer algunas pequeñas adapt

Partes de la brújula:

Las partes son:

1. Base de plástico

2. Anillo giratorio graduado

3. Aguja magnética

4. Flecha orientadora y

auxiliares

5. Punto de lectura

6. Flecha de dirección de viaje

sus líneas auxiliares

Base de plástico:

Todo el cuerpo de la brújula está sostenido por una base de plástico resistente y

transparente. Ahí están las demás piezas y generalmente uno olvida que la base

está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como

y a veces una lupa, pero, sobre todo, la flecha de dirección de viaje. Es importante

que la base sea transparente para que permita ver el mapa s

Anillo giratorio:

La parte más notoria en la base de plástico es

un anillo giratorio que tiene divisiones cada determinada distancia y que completan

un círculo de 360 grados, lo que convierte a esta escala en un transportador que

puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d


Europa. Es ligera, sencilla y de fácil uso. Aquí hablaremos



se tendrán que hacer algunas pequeñas adaptaciones a lo aquí explicado.

Partes de la brújula:

Base de plástico

Anillo giratorio graduado

Aguja magnética

Flecha orientadora y sus líneas

Punto de lectura

Flecha de dirección de viaje y

sus líneas auxiliares



está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como una a tres escalas de medición


que la base sea transparente para que permita ver el mapa s

La parte más notoria en la base de plástico es un cilindro aplastado. Sobre él hay



puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d

Figura 6: La brújula y sus partes

61


de este tipo de brújula



aciones a lo aquí explicado.



una a tres escalas de medición


que la base sea transparente para que permita ver el mapa sin dificultad.

un cilindro aplastado. Sobre él hay



puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una división mínima de dos

: La brújula y sus partes

62

grados y son lo suficientemente buenas como para hacer viajes de mediana

longitud sin muchas correcciones. Es preferible que la brújula tenga esta división

lo más pequeña posible para evitar errores adicionales. Existen brújulas con

división de cinco grados que se pusieron de moda de un día al otro, quizá sólo por

ser un poco más baratas. Sencillamente no sirven en la mayoría de los casos en

que deben ser usadas porque arrojan un error de medición demasiado alto.

Aguja magnética:

Dentro del cilindro está la aguja magnética, inmersa en aceite para que el

movimiento de inercia sea frenado lo más rápidamente pero sin detener el avance

de la aguja. Como ya dijimos, la aguja es la parte más importante de toda la

brújula pues aún si se rompe toda la base y el cilindro, se puede usar, aunque con

muchas más dificultades.

Flecha orientadora:

La flecha orientadora está también dentro del cilindro pero por debajo de la aguja

magnética. Generalmente es una doble línea que semeja una gran flecha, con la

punta señalada claramente por tres líneas que pretenden ser movimiento continuo.

A los lados de esta flecha hay líneas que son paralelas a esta flecha y que son

auxiliares

Punto de lectura:

En la parte superior del cilindro, sobre la numeración de las divisiones mínimas del

transportador, existe un punto, generalmente de color blanco. Ahí se realizará

cualquier lectura que se haga con la brújula.

Flecha de dirección de viaje:

Es una línea que atraviesa la mayor parte de la base de plástico y termina con una

flecha sencilla. A sus lados también hay líneas auxiliares, pero diferentes de la

63

flecha orientadora.

¿Qué es lo que mide una brújula?

Este aparato mide ángulos horizontales con respecto a una línea que es fija: la

línea magnética de la Tierra. La parte roja de la aguja se dirigirá a la parte norte

del campo magnético mientras la blanca se dirigirá al sur. Es muy importante

remarcar que la brújula no apunta al norte, sino que sigue las líneas magnéticas.

Lo que mide, entonces son ángulos horizontales con respecto a la línea magnética

en la que estemos

Líneas magnéticas:

El magnetismo terrestre no es constante en toda la superficie. Se altera por

yacimientos de minerales y masas de agua, por ejemplo. Si quisiéramos cortar

una manzana con gajos que siguieran la forma de estas líneas, no tendríamos

formas simétricas, sino bastante irregulares. Hay dos tipos de líneas magnéticas:

las agónicas [de a, privativo, y gonos, ángulo: sin ángulo] y las isogónicas. En las

primeras la parte roja de la aguja magnética apunta exactamente al norte

geográfico y al mismo tiempo al norte magnético porque están alineadas. Sólo

existen dos. En las líneas isogónicas la parte roja de la aguja magnética apunta

exclusivamente al norte magnético.

Forma de usar la brújula:

Debe mantenérsela en la palma de la mano, con la flecha de orientación de viaje

apuntando directamente hacia el frente, lo mismo que uno. La mejor posición es a

la altura de la cintura pues de ese modo se evita el error de paralaje creado por los

ojos. Cuando la aguja magnética se estabilice en una posición, el disco graduado

debe girarse de tal manera que la punta de la flecha orientadora esté directamente

debajo del extremo rojo de la aguja magnética.

64

Tips útiles para usar la brújula:

• Colocarla justo a nivel de la cintura

• El frente del cuerpo debe mirar en la misma dirección que la Flecha de

dirección de viaje

• La brújula no debe estar inclinada

• Alejarse de cuerpos metálicos o electrificados

• Quitarse el reloj de pulsera (sobre todo si es electrónico) al usarla

5.3.14 TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO

Teorema del Seno

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre

las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos

respectivamente opuestos.

Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del

ángulo opuesto es constante.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C

son respectivamente a, b, c, entonces

�� =

�

�� =

�

��

Demostración:

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una

demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la

misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

Figura 7

Dado el triángulo

dibujamos su circunferencia

cortar la circunferencia

Ahora, el triángulo

ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el

segmento BC. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

sen � = sen � =��

��

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando

sen �= 2�

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por

C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor

iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y

establece:

Para un triángulo ABC

respectivamente, si

Dado el triángulo ABC de la figura 7, denotamos por

circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento

circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los

son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el

. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

�

2�

es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por

, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor


ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos

respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

sen ��

�

sen ��

�

sen �� 2�

65

, denotamos por O su circuncentro y

circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta

es un diámetro, y además los

son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el

. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por

, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son


son los lados opuestos a los ángulos A, B, C

circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es

constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Teorema del Coseno

El teorema del coseno

triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del

ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo

respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Demostración:

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de

cuando el ángulo �

cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando

ángulo agudo y un obtuso.

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

Figura 8: c es adyacente a dos ángulos agudos

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:



Teorema del Coseno

teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras



o formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c

respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

�� 2� cos �

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de

es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos

es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un

ángulo agudo y un obtuso.

es adyacente a dos ángulos agudos.

es adyacente a dos ángulos agudos

66



teorema de Pitágoras en los



c, los lados

Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras

es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos

es adyacente a un

Consideremos la figura

así:

��

Pero, la longitud h también se calcula así:

��

Combinando ambas ecuaciones y luego

�� 2��

Por la definición de coseno, se tiene:

cos � ��

y por lo tanto:

� � � � cos �

Sustituimos el valor de u en la ecuación para

�� 2�

con lo que concluye la prueba del

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

Figura 9: es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura 9

�� pero en este caso

obtenemos c2 = u2 +

Consideremos la figura 8. Por el teorema de Pitágoras, la longitud

también se calcula así:

Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:

Por la definición de coseno, se tiene:

Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:

� cos �

con lo que concluye la prueba del primer caso.

es adyacente a un ángulo obtuso.

es adyacente a un ángulo obtuso

Consideremos la figura 9. El teorema de Pitágoras establece nuevamente

pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones

+ a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:

67

. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada

simplificando obtenemos:

, concluyendo que:

. El teorema de Pitágoras establece nuevamente

Combinando ambas ecuaciones

68

�� 2��

De la definición de coseno, se tiene cos � = !"

# y por tanto:

� = cos � − �

Sustituimos en la expresión para �� y simplificamos �� = � − �� − 2�( cos � − �)

concluyendo nuevamente

�� = � + �� − 2� cos �.

Esto concluye la demostración.

69

5.4 MARCO CONCEPTUAL

Los conceptos, teorías y construcciones de referentes teóricos sobre los cuales se

fundamenta esta investigación son retomados como sigue:

5.4.1 Qué es un problema

Respecto a este interrogante existe diversidad de referencias dentro de las que se

define como una “situación en la cual un individuo busca hacer algo, pero

desconoce en curso de la acción necesaria para lograr lo que se quiere” (Newell y

Simón 1972) o como una “situación en la cual un individuo actúa con el propósito

de alcanzar una meta, utilizando para ello algunas estrategias en particular” (Chi y

Glaser 1983)

5.4.2 Qué es un problema matemático

De la misma forma como existen múltiples referencias para definir qué es un

problema, ocurre lo mismo para definir un problema matemático. Alguna de estas

posturas los define como problemas que tratan entes matemáticos (números,

figuras geométricas, la continuidad, las transformaciones, etc.) las relaciones que

se establecen entre ellos y las leyes que lo rigen. En la aritmética, por ejemplo, los

problemas giran en torno a los números, las relaciones que se establecen entre

ellos y las propiedades de éstos.

5.4.3 Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre

los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones

trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno,

coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o

indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos

70

aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se

aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas

en la geometría del espacio.

5.4.4 Aprendizaje

Es el proceso de adquirir conocimientos, habilidades, actitudes o valores a través

del estudio y la enseñanza de diversas estrategias que fortalezcan el

razonamiento lógico; en el que intervienen activamente el docente y los discentes.

5.4.5 Competencia

Es la forma en que cualquier persona utiliza sus recursos personales, habilidades,

actitudes, recursos y su experiencia; para actuar de manera activa y responsable

en la construcción de su proyecto de vida tanto personal como social.

5.4.6 Aprendizaje por competencias

Se sustenta en dos vertientes teóricas “la primera, que lo considera como un

conocimiento actuado de carácter abstracto, universal e idealizado, la segunda lo

entiende como la capacidad de realización situada y afectada por el contexto en el

que se desenvuelven el sujeto y la actuación misma.

5.4.7 Lúdica

La lúdica se entiende como una dimensión del desarrollo de los individuos, siendo

parte constitutiva del ser humano. El concepto de lúdica es tan amplio como

complejo, pues se refiere a la necesidad del ser humano, de comunicarse, de

sentir, expresarse y producir en los seres humanos una serie de emociones

orientadas hacia el entretenimiento, la diversión, el esparcimiento, que nos llevan

a gozar, reír, gritar e inclusive llorar en una verdadera fuente generadora de

emociones. La Lúdica fomenta el desarrollo psico-social, la conformación de la

personalidad, evidencia valores, puede orientarse a la adquisición de saberes,

71

encerrando una amplia gama de actividades donde interactúan el placer, el gozo,

la creatividad y el conocimiento.

5.4.8 Las TIC en educación

La incorporación de las TIC en educación tiene como función ser un medio de

comunicación e intercambio de conocimiento y experiencias, instrumentos para

procesar la información, fuente de recursos, instrumento para la gestión

administrativa, medio lúdico y desarrollo cognitivo.

72

6 PROCEDIMIENTOS Y METODOLOGÍA

6.1 DISEÑO DE INVESTIGACIÓN

Esta investigación se fundamenta en el diseño cuasi-experimental ya que, se

estudiarán las relaciones de causa efecto de los factores que inciden en el

aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno, los cuales no

podrían analizarse a fondo desde la óptica del diseño experimental, debido a que

no nos permite trabajar con personas desde el ámbito educativo, puesto que sería

imposible tener una manipulación y control riguroso de las variables en este caso

el aprendizaje por competencias de los estudiantes, por tal razón se tomó como

referencia el diseño cuasi experimental, para el uso de la investigación.

Cabe resaltar, que al hacer uso del diseño cuasi-experimental se manejan dos

grupos, uno control y uno experimental; Teniendo en cuenta que inicialmente a los

dos grupos sin establecer una división, se le aplica un pre-test con el fin de tener

una medición previa que permita vislumbrar el estado en el que se encuentra el

aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno de los discentes,

luego la muestra es seleccionada de forma aleatoria (los grupos se establecieron

teniendo en cuenta el pre-test y la técnica del grupo focal y así formar grupos

homogéneos), a estos grupos se le aplica un tratamiento diferente al inicial y

diferente entre sí (Grupo experimental: se le aplica un tratamiento que consiste en

el desarrollo de clases a través de actividades lúdicas que fortalecen el

razonamiento lógico y el Grupo control: desarrollo de un evento pedagógico de

forma tradicional los cuales carecen de este tipo de actividades lúdicas) después

se complementó con un post-test a fin de analizar y comparar la equivalencia entre

los dos grupos y así verificar que tan eficiente fue la aplicación del tratamiento.

73

6.2 TIPO DE INVESTIGACIÓN

El proceso investigativo se ubica dentro del enfoque holístico, mediado por un

abordaje de tratamiento de la información mixto, donde se combina lo cualitativo y

lo cuantitativo, haciendo énfasis en lo cualitativo, acorde con la significación de los

procesos interpretados, permitiendo la construcción y reconstrucción permanente.

Esto implica que la perspectiva cuasi experimental es válida, mirando con

propósitos de búsqueda de validez y confiabilidad de los avances logrados.

6.2.1. Etapas de la investigación: Las fases llevadas a cabo en la ejecución del

presente trabajo en su parte empírica fueron las siguientes:

• Diseño de técnicas e instrumentos: En esta fase se elaboraron formatos de

encuestas a estudiantes y docentes, pre-test, estructura de una entrevista

focal, fichas de matriz de observaciones y post-test.

• Aplicación de las técnicas e instrumentos: Se le aplica un test a todos los

estudiantes del grupo experimental para indagar la fundamentación teórico-

conceptual del teorema del seno y el coseno en el que se encuentran los

discentes. De igual forma una entrevista a los docentes para conocer qué

tipo de actividades consideran ellos contribuyen a fortalecer el aprendizaje.

• Análisis e interpretación de la información recolectada: En esta fase se

hace un diagnóstico y un análisis de los resultados de las encuestas a

estudiantes y docentes, pre-test, aplicación de la técnica del grupo focal,

matriz de observación y un post-test acerca del nivel de fundamentación

teórico-conceptual del teorema del seno y el coseno presente en cada uno

de los estudiantes del grupo experimental al cual se le implementaron

actividades lúdicas.

74

• Elaboración de conclusiones: en esta fase se identificarán los hallazgos,

aportes logrados y posibles puntos de intervención-solución de acuerdo al

problema de investigación.

• Diseño de la propuesta: En esta fase se elaborán las estrategias didácticas

que contribuyen a fortalecer la fundamentación teórico-conceptual del

teorema del seno y el coseno.

• Implementación de la propuesta: Durante esta fase los estudiantes

fortalecerán su aprendizaje del teorema del seno y el coseno, a través de la

utilización de estrategias y actividades lúdicas.

• Aplicación de post-test: Aquí se llevará a cabo la aplicación de un post-test

en los grupos experimental y de control.

• Elaboración del informe final: Esta fase consiste en sistematizar y analizar

todo el proceso desarrollado en el proyecto de investigación.

6.3 TECNICAS E INSTRUMENTOS

Con la finalidad de analizar el aprendizaje por competencias del teorema del seno

y el coseno en cada uno de los estudiantes del grupo experimental se realizó un

pre-prueba en donde los estudiantes mostraban deficiencias relacionadas con la

aplicación del teorema del seno y el coseno en las cuales pueden incidir ciertos

factores tales como: desinterés, desconfianza, rechazo a la asignatura, o

problemas.

Se aplicaron diferentes instrumentos de evaluación en el desarrollo del proyecto:

6.3.1 Ficha de encuesta de información primaria a estudiantes: Con el fin de

indagar sobre la edad de los estudiantes, estrato, lugar de residencia, acceso al

computador, entre otros ítems que nos permita conocer la muestra tomada (ver

anexo 1).

75

6.3.2 Encuesta a estudiantes: Para corroborar las respuestas dadas por los

discentes (ver anexos 2 y 3) y para indagar sobre la actitud hacia el docente (ver

anexo 4)

6.3.3 Fichas de encuesta a docentes: Aplicar esta técnica permite conocer

aspectos metodológicos y pedagógicos que utiliza el docente para desarrollar su

práctica (ver anexo 5). Además se pregunta acerca de la actitud de los

estudiantes hacia la clase. Ver anexo 6.

6.3.4 Ficha de matriz de observación: Aquí se registraron comportamientos de

los estudiantes durante el evento pedagógico y durante el desarrollo de las

actividades. Ver anexo 7.

6.3.5 Pre-prueba: Basado en los conceptos previos y la aplicación del teorema

del seno y el coseno en la resolución de problemas, donde los estudiantes

debieron aplicar los conceptos vistos en clase. Ver anexos 8 y 9.

6.3.6 Post-prueba: Basado en el aprendizaje por competencias del teorema del

seno y el coseno; y la resolución de problemas, donde los estudiantes debieron

aplicar los conocimientos adquiridos con el fin de interpretar, argumentar y

proponer los resultados de los estudiantes y así verificar los logros obtenidos.

6.4 DELIMITACION DEL TEMA

6.4.1 POBLACIÓN Y MUESTRA

La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes

(10º) de la Institución Educativa

Calle 51B N° 1D- 64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de

conforman 69 estudiantes.

La institución educativa distrital Jesús maestro Fe y Alegría cuenta con

estudiantes de niveles económicos 1,2 y 3, contando con mayor número de

estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos econ

En la gráfica 1 y 2

estudiantes del grupo

En la siguiente grafica (grafica 3

experimental, en donde se evidencia que predomina el género masculino en

ambos grupos.

6% 3%

ExperimentalEstrato socioeconomico

DELIMITACION DEL TEMA

POBLACIÓN Y MUESTRA

La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes

de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, ubicado en la

64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de

conforman 69 estudiantes.



estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos econ

En la gráfica 1 y 2 se encuentran caracterizados los estratos económicos de los

estudiantes del grupo experimental y control, respectivamente.

Gráfica 1 Gráfica 2

la siguiente grafica (grafica 3) se muestra el género del grupo control y


91%

3%

ExperimentalEstrato socioeconomico

Uno

Dos

17%

ControlEstrato socioeconomico

Uno

76

La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes de décimo grado

Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, ubicado en la

64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de la población la



estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos económicos).

se encuentran caracterizados los estratos económicos de los

, respectivamente.

fica 2

) se muestra el género del grupo control y


83%

ControlEstrato socioeconomico

Uno Dos

En la grafica 4 se muestran las edades de los grupos control y experimental, las

cuales oscilan entre los 13 y los 18 años de edad.

Las siguientes gráficas (gr

estudiantes de los grupos experimental

casas.

Gr

0

10

20

30

Sí

ExperimentalTiene compuatdor

Gráfica 3.

se muestran las edades de los grupos control y experimental, las

cuales oscilan entre los 13 y los 18 años de edad.

Gráfica 4.

ficas (gráfica 5 y gráfica 6) muestran que la gran mayoria de los

estudiantes de los grupos experimental y control no tienen computador en sus

Gráfica 5. Gr

Femenino

Masculino

14

21

16

18

Género

Experimental Control

12 años o menos

13 – 14 años

15 – 16 años

17 – 18 años

19 años o más

1

30

4

1

31

2

EdadExperimental Control

No

ExperimentalTiene compuatdor

0

10

20

30

Sí

ControlTiene computador

77

se muestran las edades de los grupos control y experimental, las

) muestran que la gran mayoria de los

no tienen computador en sus

Gráfica 6.

No

ControlTiene computador

La gráfica 7 muestra có

uso del computador.

A continuación en las grá

Office (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de

muestra.

Gr

Se les preguntó a

usan el computador, ya sea en sus casas, en el colegio o en algún café internet,

los resultados obtenidos se observan en

0 1

8

1 22 3

Experimental:Manejo de office

M. Word M. Excel

muestra cómo se evalúan, según los propios estudiantes,

computador.

Gráfica 7.

continuación en las gráficas 8 y 9 se ilustra cómo es el manejo

ffice (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de

Gráfica 8. Grá

los estudiantes de la muestra acerca de la frecuencia en que


los resultados obtenidos se observan en la gráfica 10.

Deficiente

Insuficiente

Aceptable

Sobresaliente

Excelente

No sabe-No responde

1

11

1

1

12

16

4

1

Cómo se evalúa en el uso del computador


8

15

101113

79

128

610

18

Experimental:Manejo de office

M. PowerPoint Internet

1 213

14

Control:Manejo de office

M. Word M. Excel

78

, según los propios estudiantes, en cuanto al

mo es el manejo de Microsoft

ffice (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de la

Gráfica 9.

acerca de la frecuencia en que


22

Cómo se evalúa en el uso del computador

9

14

911

17

3

8

1399

7

19

Control:Manejo de office

M. Excel M. PowerPoint Internet

En las gráficas 11 y 12

matemáticas (matlab, geogebra, derive, cabri), los resultados arrojados se

presentan en las siguientes graficas.

Grá

Dos horas o

semanales

Cabri

GeoGebra

Derive

MatLab

2

1

1

1

Experimental:Conoce los siguientes software

Gráfica 10.

11 y 12 se determina si conocen algún software que se utilizan en


presentan en las siguientes graficas.

áfica 11. Gr

Dos horas o menos

semanales

Tres a cinco horas

semanales

Seis a ocho horas

semanales

Nueve a once horas semanales

Doce o más horas

semanales

No sabe- No responde

1610

21 6

138

3 3 3 4

Frecuencia con que utiliza el computador

Control Experimental

32

33

33

33

Experimental:Conoce los siguientes software

Sí No

Cabri

GeoGebra

Derive

MatLab

3

2

4

1

Control:Conoce los siguientes software

79

se determina si conocen algún software que se utilizan en


Gráfica 12.

No

32

33

31

34

Control:Conoce los siguientes software

Sí No

80

7. ANALISIS E INTERPRETACION DE RESULTADOS

En la fase preliminar de este proyecto se realizaron encuestas y entrevistas a los

estudiantes y docentes de la Institución educativa Distrital Jesús Maestro, con el

fin de obtener información que permita fortalecer el trabajo de investigación del

grupo. Además se realizó un taller diagnóstico, tanto al grupo control como al

experimental, esto con el objetivo de detectar el estado en el que se encuentra su

aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno.

7.1. Encuesta a estudiantes y docente: Para facilitar el desarrollo de este

proyecto se cuenta con la acertada participación de los estudiantes y docente de

la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, los cuales se

mostraron dispuestos a colaborar en todas las actividades requeridas, actitud que

contribuirá a mejorar su aprendizaje y responsabilidad en su quehacer diario.

7.1.1. Análisis de encuesta a estudiantes del grupo experimental:

• ¿Cuánto tiempo dedica en el día para estudiar en casa?: De acuerdo a los

resultados arrojados el 14.5 % de los estudiantes no estudian en sus

casas, El 52.2% dedica menos de una hora para estudiar en la casa, el

20.3% dedican entre una a dos horas para estudiar en la casa; y solo 13%

de los estudiantes encuestados dedican más de dos horas para estudiar.

De acuerdo con esta información se puede concluir que el tiempo

empleado por los estudiantes para estudiar en sus casas es muy mínimo

provocando esto un desentendimiento con las asignaturas que ven en el

día en el colegio.

• ¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?

De acuerdo con el gr

la clase de matemáticas, el 43.5% d

en la clase, 40.6% en ciertas ocasiones participa en la clase de matemáticas y

solo el 8.7% participa

demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asigna

matemáticas y esto puede ser una posible causa al problema de investigación.

• ¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:

De acuerdo con la información el 2.9% de los estudiantes no han asimilado el

teorema del seno y el coseno en su aprendizaje, el 53.6% de los estudiantes

con dificultad lo ha asimilado, el 34.8% de los estudiantes con un mínimo

35%

21%

Experimental:¿Cuánto tiempo dedica en el día para

estudiar en casa?NingunoDos horas


frecuencia participas en la clase de matemáticas?

De acuerdo con el gráfico y la tabla el 7.2% de los estudiantes no participa

la clase de matemáticas, el 43.5% de los estudiantes participa


solo el 8.7% participan constantemente en la clase de matemáticas. Esto

demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asigna


Gráfica 15

¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:




12%

32%

Experimental:¿Cuánto tiempo dedica en el día para

estudiar en casa?Menos de una horaMás de dos horas

40%

14%

Control:¿Cuánto tiempo dedica en el día para

estudiar en casa?NingunoDos horas

No participo Pocas veces A veces Constante

7

12 11

5

9 9 10

6

¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?


81

fica 14

frecuencia participas en la clase de matemáticas?

fico y la tabla el 7.2% de los estudiantes no participan en

e los estudiantes participan pocas veces


constantemente en la clase de matemáticas. Esto

demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asignatura de


¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:




17%

29%

14%

Control:¿Cuánto tiempo dedica en el día para

estudiar en casa?Menos de una horaMás de dos horas

82

grado de facilidad lo ha asimilado y solo el 8.7% de los estudiantes han

asimilado con mucha facilidad el teorema del seno y el coseno en su

aprendizaje. Es muy preocupante que más de la mitad de los estudiantes

piensen que el teorema del seno y el coseno llegó como un tema más de

matemáticas y así como llegó, se fue sin cambiarle nada en su aprendizaje.

Gráfica 16.

• ¿Cómo es tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?

A esta pregunta el 4.3% de los encuestados respondió que al momento de

interpretar un problema acerca del teorema del seno y el coseno ellos no los

entienden, el 59.4% se les dificulta mucho entenderlos, el 26.1% los entienden con

cierta facilidad y solo 10.1% los entienden con gran facilidad. De acuerdo a esta

información los estudiantes no interpretan un problema que involucren para

resolverlos el teorema del seno o el coseno, pueda que esto sea el factor más

influyente en el problema de investigación ya que a partir de la interpretación de

un problema el estudiante abre camino para su resolución y si éste no interpreta

no podrá resolverlo.

316

124

2

18

10

40

10

20

30

40

No lo he aprendido Con dificultad Con cierta facilidad Con mucha facilidad

¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?


• ¿Cómo argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solución de un ejercicio?

De acuerdo con el gr

qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejerci

49.3% de los estudiantes argumenta con dificultad, el 31.9% con cierta facilidad

argumenta y el 8.7% de los estudiantes sabe argumentar. Cabe resaltar que al

hablar de argumentación en un problema se dirige a la forma como el estudiante

identifica y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además

podemos inferir que la mayoría de los estudiantes no saben que teorema utilizar al

momento de resolver un problema.

Gráfica 17.

argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solución de un ejercicio?

De acuerdo con el gráfico el 10.1% de los estudiantes no sabe argumentar el por

qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejerci




y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además


momento de resolver un problema.

Gráfica 18.

No lo he aprendido

Con dificultad

Con cierta facilidad

Con mucha facilidad

3

16

12

4

2

18

10

4

¿Cómo es tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?


No sé argumentar

Con dificultad

Con cierta facilidad

Es fácil de argumentar

4

17

10

4

5

15

11

3

¿Como argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solucion de un

ejercicio?


83

argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno

fico el 10.1% de los estudiantes no sabe argumentar el por

qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejercicio, el




y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además


¿Cómo es tu interpretación de los problemas de

17

teorema del seno y el coseno para la solucion de un

• ¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida cotidiana?

De acuerdo con la información presentada

estudiantes no le ve aplicación a los teorema del seno y el coseno en la vida

diaria, el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta

utilidad y solo el 20.3% piensa que el teorema del seno y el coseno tiene mucha

utilidad. Es preocupante que los estudiantes piensen que las matemáticas no se

dan en contexto (diario

intentaremos que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y

más específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.

• De acuerdo con el siguiente trirecomendarías para hallar el valor de c?

A la anterior pregunta el 12% de los estudiantes no saben cuál es el teorema que

ayuda a encontrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar

mediante la fórmula c² = a² + b², el 44% de los estudiantes creen que la mejor

opción es c² = a² + b²

formulac² = a²- b² -

que menos de la mitad de los estudiantes del grupo experimental hayan

identificado la formula apropiada y que el resto de los estudiantes no hayan

acertado. Esta pregunta es muy importante debido a que el

¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida

De acuerdo con la información presentada en la gráfica 19,


el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta



dan en contexto (diario vivir) y es por eso que a través de nuestra propuesta

que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y

s específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.

Gráfica 19

De acuerdo con el siguiente triángulo y los datos presentados, ¿Qué recomendarías para hallar el valor de c?


ntrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar


opción es c² = a² + b² - 2ab Cos 30º y solo el 9% cree que se puede utilizar la

2ab Cos 50º. De acuerdo con esta información es preocupante



Esta pregunta es muy importante debido a que el

Ninguna Poca utilidad Cierta

utilidad Mucha utilidad

5 109 11

412

9 9

¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el cosen o en la vida cotidiana?


84

¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida

en la gráfica 19, el 11.6% de los


el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta



vivir) y es por eso que a través de nuestra propuesta

que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y

s específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.

ngulo y los datos presentados, ¿Qué


ntrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar


2ab Cos 30º y solo el 9% cree que se puede utilizar la

0º. De acuerdo con esta información es preocupante



Esta pregunta es muy importante debido a que el teorema de Pitágoras

¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el cosen o en

es un concepto previo que es fundamental para abordar el teorema del seno y el

coseno.

Gr

7.1.2. Encuesta a docente:

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, con el fin de recoger

datos importantes cuyo análisis e interpretación serán de gran apoyo para el

diseño de la propuesta metodológica que facilite el

el coseno. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

• De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema

de seno y el coseno antes de dar la clase: Dos de los docentes de

matemáticas de la institució

coseno por medio de ejercicios en clases, un docente por medio de la

lúdica y otro más por medio de la lúdica. Se puede concluir que los

docentes de matemática de la institución recurren a la socialización de

ejercicios en clase proporcionando esto que los estudiantes tengan un

papel secundario en la clase, pues es el docente el que resuelve los

ejercicios en la mayoría de los casos.

44%

9%

Experimental:Para hallar el valor de c es

recomendable usar:

No se

c² = a² + b² - 2ab Cos 30º


Gráfica 20. Grá

Encuesta a docente: se le hizo una encuesta a los docentes de la



diseño de la propuesta metodológica que facilite el estudio del teorema del seno y

el coseno. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema


matemáticas de la institución preparan las clases del teorema del seno y el






ejercicios en la mayoría de los casos.

12%

35%

9%

Experimental:Para hallar el valor de c es

recomendable usar:

c² = a² + b²

2ab Cos 30º c² = a²- b² - 2ab Cos 50º

43%

11%

Control:Para hallar el valor de c es

recomendable usar:

No sec² = a² + b² - 2ab Cos 30º

85


Gráfica 21.

se le hizo una encuesta a los docentes de la



estudio del teorema del seno y

De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema


n preparan las clases del teorema del seno y el






9%

37%

11%

Control:Para hallar el valor de c es

recomendable usar:

c² = a² + b² 2ab Cos 30º c² = a²- b² - 2ab Cos 50º

• Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio

de trigonometría: El 75% de los docentes encuestados contestaron que son

pocas las veces en que los estudiantes pasan al tabler

contestaron que a veces pasa los estudiantes al tablero. De acuerdo a lo

anterior los estudiantes casi nunca dan sus puntos de vistas o no exponen

la forma como entendieron la clase.

• Con que frecuencia

coseno en la vida diaria: Dos de los docentes encuestados respondieron

que a veces exponen la aplicación del teorema del seno y el coseno en la

Gráfica 22.

Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio


pocas las veces en que los estudiantes pasan al tabler



la forma como entendieron la clase.

Gráfica 23.

Con que frecuencia usted expone la aplicación del teorema del seno y el



1 1

2

Preparacion de clase

0

5

NuncaPocas veces

A vecesMuchas veces

Nunca Pocas veces A veces

Series1 3 1

Con qué frecuencia pasan los estudiantes la tablero

86

Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio


pocas las veces en que los estudiantes pasan al tablero y el 25% de ellos



usted expone la aplicación del teorema del seno y el



Muchas veces

Muchas veces

Con qué frecuencia pasan los estudiantes la

vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplic

en el diario vivir pueda que cause el desinterés del educando por el tema.

• Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del

teorema del seno y el coseno

docentes la mayoría de las veces motiva al estudiante a argumentar el uso

del teorema del seno y el coseno; el otro 50% lo hace a veces, cuando la

situación lo amerite.

• ¿Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza

75% de los docentes utiliza la coevaluación como medio para medir el nivel

vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplic


Gráfica 24.

Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del

teorema del seno y el coseno en la resolución de problemas: El 50% de los



situación lo amerite.

Gráfica 25

Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza


25%

50%

25%

Expone la aplicación del teorema del seno y el coseno en la vida diaria

Nunca Pocas veces A veces Muchas veces

50%50%

Motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema del seno y el coseno

en la resolucion de problemas

Nunca Pocas veces A veces Muchas veces

87

vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplicabilidad de un tema


Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del

en la resolución de problemas: El 50% de los



Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza?: El


Expone la aplicación del teorema del seno

Muchas veces

Motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema del seno y el coseno

Muchas veces

de comprensión de los conc

heterovaluacion.

• ¿Cómo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y

aprendizaje del teorema del seno y el coseno

docentes afirman que su capacitación en el teorema del seno y el coseno

es buena; y solo un docente esta afirma que está completamente

capacitado en este tema.

Justificación:

• Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una

orientación.

de comprensión de los conceptos; y solo el 25% de los docentes utiliza la

heterovaluacion.

Gráfica 26

mo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y

aprendizaje del teorema del seno y el coseno?: Tres de los cuatros



capacitado en este tema.

Gráfica 27.

Justificación:

Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una

31

Tipo de evaluacion utilizada en sus clases

75%

25%

Como es su capacitacion en el teorema del seno y el coseno

Debo recibir mas orientacion Regular

Bueno Totalmente capacitado

88

eptos; y solo el 25% de los docentes utiliza la

mo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y

: Tres de los cuatros



Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una

Tipo de evaluacion utilizada en sus clases

89

• La experiencia que he tenido durante en mi larga trayectoria en el

magisterio me permite desarrollar este tema con mucho profesionalismo.

• Tengo una buena capacitación pero no está demás una orientación más

especializada para obtener un mejor rendimiento académico por parte de

los estudiantes.

• Tengo la suficiente capacitad para desarrollar este tema, pero siempre

tenemos que estar dispuesto a nuevas propuestas metodológicas.

Queda visto que los docentes están dispuestos a recibir capacitación acerca de

cualquier propuesta metodológica innovadora, permitiendo esto una mejor

socialización de la clase.

7.2 ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE OBSERVACIÓN DE LOS ES TUDIANTES

DEL GRUPO CONTROL Y DEL GRUPO EXPERIMENTAL

Las matrices de observaciones fueron elaboradas con el propósito de visualizar

los factores (atención, motivación, participación, seguridad), los cuales influyen en

el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.

Es preciso decir que en los dos grupos seleccionados (control y experimental) y en

cada clase se hizo uso de una matriz de observación.

En las siguientes gráficas se hace una comparación entre los dos grupos

(experimental y control) de los factores antes mencionados aplicados en cada una

de las clases.

En la gráfica se muestra que en la primera clase, la atención y motivación de los

estudiantes del grupo experimental es superior a la del control, pero fueron más

los estudiantes del grupo control los que participaron.

En la segunda clase se puede notar que los estudiantes del grupo experimental

mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo

En la tercera clase fueron los estudiantes del grupo experimental los que

participaron en el desarrollo de la clase.

Gráfica 28.


mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo

Gráfica 29


participaron en el desarrollo de la clase.

Gráfica 30

0

5

10

15

20

Clase 1

Control

Experimental

Atencion

Motivacion

Participacion

Seguridad

24

14

6

4

24

16

7

5

Clase 2


05

10152025

Clase 3

Control

Experimental

90


mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo control.


Control

Experimental

En la cuarta clase observada se noto que fueron más los estudiantes del grupo

control los que estaban motivados y participaron en el desarrollo de la clase.

De manera general se puede notar que los estudiantes tanto del grupo control y

del grupo experimental no están atentos al desarrollo de la clase, además la

participación es poco mostr

7.3 ANÁLISIS DE LOS R

PRUEBA) APLICADA A LOS EST

Debido a que estos cuestionarios

indagar el nivel de aprendizaje

de los discentes se tuvo la necesidad de utilizar

corroborar las respuestas dadas por los mismos y así obtener una información

más detallada y precisa.

En las siguientes gr

de los estudiantes tanto del grupo control como el experimental



Gráfica 31



participación es poco mostrando poca seguridad en el dominio del tema.

3 ANÁLISIS DE LOS R ESULTADOS DE LA PRUE BA DIAGNÓSTICA (PRE

) APLICADA A LOS EST UDIANTES

Debido a que estos cuestionarios (ver anexo 5) se realizaron con l

indagar el nivel de aprendizaje por competencia del teorema del seno y el coseno

discentes se tuvo la necesidad de utilizar la técnica del grupo focal


más detallada y precisa.

En las siguientes gráficas se nota el poco dominio de la temática tratada por parte


Atencion

Motivacion

Participacion

Seguridad

22

15

7

5

20

13

4

3

Clase 4


91





ando poca seguridad en el dominio del tema.

BA DIAGNÓSTICA (PRE -

se realizaron con la intención de

por competencia del teorema del seno y el coseno

la técnica del grupo focal para


ficas se nota el poco dominio de la temática tratada por parte


92

Pregunta

Objetivo

Porcentajes

Conclusión acertadas No acertadas

Primera

Pregunta

Resolución de un

ejercicio mediante

la utilización de

teorema de

Pitágoras

32%

68%

Los estudiantes mostraron

deficiencias en la aplicación

del teorema de Pitágoras

como concepto previo.

Segunda

Pregunta

(a)

Resolución de un

ejercicio usando

las razones

trigonométricas

para hallar la

medida de un

ángulo

38%

62%

La mayoría de los

estudiantes no manejan

correctamente las razones

trigonométricas y presentan

dificultades en el uso de la

calculadora.

Segunda

Pregunta

(b)

Resolución de un

ejercicio usando el

teorema de

Pitágoras

38%

62%

Los estudiantes utilizan

conceptos que no sirven

para la solución del

ejercicio, despreciando el

uso del teorema de

Pitágoras.

Tercera

Pregunta

Señalar las

proposiciones que

mejor describen al

teorema del

coseno

35%

65%

Los estudiantes no

relacionan el teorema del

coseno con el teorema de

Pitágoras

Cuarta

Pregunta

Proponer una

situación problema

que relacione el

tema dado

26%

74%

Al momento de proponer

situaciones problemas el

estudiante no tiene la

creatividad para ilustrar el

problema.

Tabla 1: muestra las conclusiones de la pre-prueba al grupo experimental.

93

Pregunta

Objetivo

Porcentajes

Conclusión acertadas No acertadas

Primera

Pregunta

Resolución de un

ejercicio mediante

la utilización de

teorema de

Pitágoras

34%

66%

Los estudiantes mostraron

deficiencias en la aplicación

del teorema de Pitágoras

como concepto previo.

Segunda

Pregunta

(a)

Resolución de un

ejercicio usando

las razones

trigonométricas

para hallar la

medida de un

ángulo

31%

69%

La mayoría de los

estudiantes no manejan

correctamente las razones

trigonométricas y presentan

dificultades en el uso de la

calculadora.

Segunda

Pregunta

(b)

Resolución de un

ejercicio usando el

teorema de

Pitágoras

37%

63%

Los estudiantes utilizan

conceptos que no sirven

para la solución del

ejercicio, despreciando el

uso del teorema de

Pitágoras.

Tercera

Pregunta

Señalar las

proposiciones que

mejor describen al

teorema del

coseno

40%

60%

Los estudiantes no

relacionan el teorema del

coseno con el teorema de

Pitágoras

Cuarta

Pregunta

Proponer una

situación problema

que relacione el

tema dado

31%

69%

Al momento de proponer

situaciones problemas el

estudiante no tiene la

creatividad para ilustrar el

problema.

Tabla 2: muestra las conclusiones de la pre-prueba al grupo control.

Sólo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una

propuesta; 5 estudiantes del grupo experimental se acercaron a la descripción de

una situación similar a la planteada, aunque hay que orientarlos mejor; y 25 de los

estudiantes no lograron plantear una situación similar.

Correcta

Primera pregunta

Control

Correctas

Incorrectas

Segunda pregunta (b)

Gráfica 32.

Gráfica 34. Grá

Gráfica 36.

lo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una



estudiantes no lograron plantear una situación similar.

CorrectaIncorrecta

12

2311

23

Primera pregunta


Correcta

Incorrecta

14

21

Segunda pregunta (a)

Control

13

22

23

11

Segunda pregunta (b)


Correcta

14 12

Tercera pregunta

Control

CorrectasIncorrectas

13 22

23

11

Cuarta pregunta


94

Gráfica 33.

Gráfica 35.

lo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una situación similar a la



21

15

19

Segunda pregunta (a)

Experimental

Incorrecta

21 22

Tercera pregunta

Experimental

Algunas de las situaciones planteadas fueron:

� Un avión sale de un aeropuert

constante de 8º hasta que adquiere una altura de 6 km. Determinar a qué

distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento

� Un triangulo oblicuá

c=4 cm halle los demás datos con el teorema del coseno

� Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura

de 30 m y el pisó 5 m tienen un Angulo de depresión de 180º

7.4 ANÁLISIS DE LA POST

(EL GRUPO EXPERIMENT

El grupo investigador desarrolló una evaluación tipo ICFES donde se evalúa el

componente matemático

solución de problemas.

COMPETENCIAS COMUNICATIVAS:

experimental desarrolló

significativa que el del grupo control, lo que quiere decir, que las actividades

aplicadas para fortalecer el desarr

0

5

10

15

20

25

Control

Pregunta 1

las situaciones planteadas fueron:

Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un Á



Un triangulo oblicuángulo donde el lado a=6 cm y el lado b=2 cm y el lado


Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura


DE LA POST-PRUEBA REALIZADOS EN

(EL GRUPO EXPERIMENTAL Y EL CONTROL)


componente matemático y las competencias comunicativas, razonamiento lógico y

oblemas.

COMPETENCIAS COMUNICATIVAS: Se puede evidenciar que

experimental desarrolló las competencias comunicativas de forma más


aplicadas para fortalecer el desarrollo de las competencias fueron fructíferas.

Gráfica 37. Gráfica 3

Experimental

Pregunta 1

Correcta

Incorrecta

14Control

Experimental

Pregunta 2

Correcta

95

o y se eleva manteniendo un Ángulo



ngulo donde el lado a=6 cm y el lado b=2 cm y el lado


Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura


PRUEBA REALIZADOS EN LOS DOS GRUPOS


y las competencias comunicativas, razonamiento lógico y

Se puede evidenciar que el grupo

las competencias comunicativas de forma más


ollo de las competencias fueron fructíferas.

fica 38.

14

23

21

11

Pregunta 2

Correcta Incorrecta

Gráfica

Control

11

24

Pregunta 3

Correcta

Control

Experimental

12

Pregunta 8

Correcta

Correcta

Incorrecta

0

5

10

15

20

25

30Pregunta 11

fica 39.

Gráfica 41. Gráfica 42.

Gráfica 43 Grá

Experimental

21

24

13

Pregunta 3

Correcta Incorrecta

0

5

10

15

20

25

Control

Pregunta 4

12

25

23

9

Pregunta 8

Correcta Incorrecta

Correctas

Incorrectas

13

Pregunta 9

Control


10 22

25 12

Pregunta 11

Control

Experimental

Pregunta 16

Incorrecta

96

Gráfica 40.

Gráfica 41. Gráfica 42.

áfica 44

Experimental

Pregunta 4

Correcta

Incorrecta

22

23

11

Pregunta 9

Experimental

13

26

22

8

Pregunta 16

Incorrecta Correcta

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo

experimental tuvo mayor puntaje con relación al grupo control, es decir, las

actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron

capacidad de solucionar problemas de la vida diaria.

Control

13

22

Pregunta 5

Correcta

Gráfica 45

N DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo


actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron

capacidad de solucionar problemas de la vida diaria.


Control

Experimental

13

25

22

9

Pregunta 19

Correcta Incorrecta

Experimental

25

9

Pregunta 5

Correcta Incorrecta

0% 50%

Control

Experimental

Pregunta 13

97

N DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo


actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron en los estudiantes la

fica 47

50% 100%

Pregunta 13

Correcta

Incorrecta

RAZONAMIENTO: Se observa que en el grupo experimental se obtuvieron

mejores resultados, lo que indica que las

fortalecer el razonamiento lógico de los educandos.

Control

11

Pregunta 14

Correcta

Control

15

20

Pregunta 6

Correcta

0

CorrectaIncorrecta

Correcta

Experimental

Control

Pregunta 10

Gráfica 48 Gráfica


mejores resultados, lo que indica que las actividades organizadas permitieron

fortalecer el razonamiento lógico de los educandos.

Gráfica 50 Gráfica


Experimental

11

23

24

11

Pregunta 14

Correcta Incorrecta

05

1015202530

Control

Correcta 10

Incorrecta 25

Pregunta 18

Experimental

27

7

Pregunta 6

Correcta Incorrecta

05

1015202530

Control

Pregunta 7

20 40

Correcta Incorrecta

21 13

8 27

Pregunta 10

05

10152025

Pregunta 12

98

fica 49


actividades organizadas permitieron

fica 51

fica 53


10 26

25 8

Pregunta 18

Experimental

Pregunta 7

Pregunta 12

Correcta

Incorrecta

99

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

8.1 CONCLUSIONES

Después de analizar los resultados arrojados al aplicar los instrumentos diseñados

se puede concluir que los discentes presentan deficiencias en el aprendizaje por

competencia del teorema del seno y el coseno.

El entorno en el cual se desenvuelven los estudiantes de décimo grado de la

Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, es óptimo para la

aplicación de estrategias pedagógicas que dinamicen los procesos de enseñanza

y aprendizaje del teorema del seno y el coseno. Sin embargo, aunque la institución

cuenta con espacios e instrumentos propicios para que esto se cumpla, todavía se

sigue la idea de enseñar la trigonometría tradicionalmente.

La falta de fundamentación relacionada con los teoremas del seno y el coseno en

los estudiantes de décimo grado de la institución anteriormente mencionada, se

debe en gran medida al poco manejo de conceptos previos, que son bases

necesarias para la asimilación de estos teoremas. Algunos de estos conceptos

son clasificación de triángulos, congruencia de ángulos, teorema de Pitágoras y

razones trigonométricas.

100

8.2 RECOMENDACIONES

Al observar los resultados arrojados al aplicar las observaciones, el taller

diagnóstico, las encuestas y las entrevistas,, el grupo investigador recomienda la

implementación de la propuesta fundamentada en estrategias para facilitar el

aprendizaje por competencias del teorema del seno y del coseno en décimo grado

Para fortalecer el aprendizaje por competencia, es necesario que los docentes

realicen actividades que integre el tema con el uso de los TICS.

Cuando el docente da inicio a un nuevo tema debe realizar una evaluación

diagnóstica, para determinar los conocimientos previos que poseen los educandos

sobre el tema y partir de estos, para que el aprendizaje que él realiza sea

significativo y duradero.

El docente, en la realización de los eventos pedagógicos, debe involucrar al

estudiante de manera directa con el contexto, de tal manera que éste pueda ver la

relación que existe entre las temáticas tratadas con la vida cotidiana. Esto implica

que el docente no sólo se debe limitar a plantear ejercicios del contexto de manera

escrita, sino llevar al estudiante a que se personifique en ellos, lo cual se puede

hacer en actividades fuera del salón de clases utilizando instrumentos de

medición.

102

9.1 PRESENTACIÓN

El problema detectado dentro del Centro Educativo Distrital Jesús Maestro Fe y

Alegría, partiendo de un análisis situacional del plantel, el currículo actual, las

didácticas aplicadas, los medios y recursos didácticos de este bachillerato, y

considerando las evaluaciones en todos los niveles (Local, Departamental y

Nacional) detectamos que es necesario un programa de formación docente en

matemáticas, por lo que diseñamos una propuesta metodológica sobre el teorema

de seno y el coseno, que se propone ilustrar la utilización de las situaciones

didácticas, empleando estrategias centradas en el aprendizaje, que tomen como

base el constructivismo social y la utilización de múltiples representaciones y

hacerlo utilizando todos los recursos disponibles en el plantel.

Este material pretende ser un aporte para la reflexión didáctica a partir de la obra

matemática denominada “Teorema de seno y el coseno”, consiste de una

secuencia didáctica propuesta como taller con dos semanas de duración utilizando

diferentes técnicas demostrativas e interactivas, con actividades donde se

reconstruyen algunas de las demostraciones más conocidas de estos teoremas

que consideramos unos de los más utilizados en las matemáticas de la educación

media y superior. Permite la elaboración de situaciones didácticas que tienen una

recuperación histórica, las cuales serán objeto de un proceso de análisis utilizando

ingeniería didáctica.

103

9.2 JUSTIFICACIÓN

Uno de los objetivos de la educación es: “Ampliar y profundizar en el razonamiento

lógico y analítico para la interpretación y solución de los problemas matemáticos,

de la ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana”. Es por ello que se presenta esta

propuesta, que responde en gran medida a los cambios que plantean los actuales

currículos educativos y el Ministerio de Educación Nacional con relación a los

procesos de enseñanza y aprendizaje dentro de las aulas educativas.

Esta propuesta considera la necesidad de desarrollar los procesos de enseñanza

y aprendizaje de los conceptos y procedimientos matemáticos de manera divertida

y placentera, donde los estudiantes le encuentren sentido a los conocimientos que

adquieren durante el evento pedagógico y por ende los puedan aplicar en las

experiencias que le brinde el medio donde se desenvuelva y así propiciar su

desarrollo integral.

De acuerdo a estos planteamientos se hace necesario la creación de estrategias

metodológicas innovadoras, con utilización de herramientas tecnológicas como el

computador e instrumentos de medición como la cinta métrica, el transportador y

la brújula, con el fin de fortalecer en los estudiantes el desarrollo de los

pensamientos métrico y espacial que les permitirán ser más competentes al

momento de resolver problemas de triángulos utilizando el teorema del seno y el

coseno.

104

9.3 OBJETIVOS 9.3.1 OBJETIVO GENERAL Facilitar el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno en los

estudiantes de décimo grado del Centro Educativo Distrital Jesús Maestro Fe y

Alegría.

9.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

� Fomentar el descubrimiento de propiedades geométricas mediante la

demostración del teorema del seno y el coseno en las guías de auto

aprendizaje.

� Desarrollar en los estudiantes la competencia interpretativa al momento de

expresar gráficamente un problema de trigonometría utilizando el

GeoGebra.

� Desarrollar en los estudiantes la competencia argumentativa mediante la

resolución de problemas de la vida cotidiana en los cuales es necesario

utilizar el teorema del seno y/o el coseno.

� Desarrollar en los estudiantes la competencia propositiva al momento de

utilizar la brújula y buscar maneras de solucionar un problema de

trigonometría.

105

9.4 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

La propuesta metodológica de este trabajo de investigación se basa en “La

ingeniería didáctica”, metodología que nace de la didáctica de las matemáticas

francesa, recuperando en ella las realizaciones tecnológicas de los hallazgos de la

teoría de las Situaciones Didácticas de BROUSSEAU y de la Transposición

Didáctica de CHEVALLARD , que tienen una visión sistémica al considerar a la

didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones entre un saber,

un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de

apropiación de este saber por el sujeto.

“Con la teoría de las situaciones didácticas se estudian y modelan fenómenos

didácticos que ocurren cuando un profesor se propone enseñar un teorema…”, es

decir, esta teoría “permite diseñar y explorar un conjunto de secuencias de clase

concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio para realizar un

cierto proyecto de aprendizaje”.

La teoría propone que se estudien las condiciones en las cuales se constituyen

los conocimientos y a partir del control de estas condiciones se reproducen y

optimizan los procesos de adquisición del conocimiento escolar. Es deseable que

el profesor se convierta en un investigador para que observe y analice estas

condiciones y a partir de sus resultados de investigación, diseñe, implemente y

analice los resultados. Es esencial el carácter intencional de las secuencias

construidas con el propósito específico de que alguien aprenda algo. Aun cuando

una situación didáctica fracase, su análisis puede aportar a la didáctica.

Para poder iniciar el estudio de cualquier objeto matemático es necesario abordar

el aspecto cognitivo que esto implica y recurrimos a la teoría de VERGNAUD

quien nos afirma: “La teoría de los campos conceptuales supone que el amago del

desarrollo cognitivo es la conceptualización” y también especifica “Campo

106

conceptual es, para él, un conjunto informal y heterogéneo de problemas,

situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y ingredientes de los

esquemas son las metas y anticipaciones, que permiten descubrir la finalidad de

las situaciones, las reglas de acción que proporcionan continuidad de las

secuencias de acción; los invariantes operatorios obtiene la información pertinente

para deducir la meta y las reglas; y las posibilidades de inferencia.

107

9.5 ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

9.5.1 PLAN DE CLASE Nº1 (para el grupo experimental )

CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA

TEMA: TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO

GRADO: 10-01 FECHA: 23 de Marzo de 2010

Objetivo General:

Dar validez al teorema del seno y el coseno a partir de su demostración

Objetivos Específicos:

� Utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas como base

para la demostración del teorema del seno y el coseno.

� Realizar conjeturas para llegar a una generalidad de que el teorema del

seno y el coseno se cumple para cualquier triángulo.

� Analizar los estilos de pensamiento que presentan los estudiantes durante

el desarrollo de la demostración del teorema del seno y el coseno

Estándares:

• Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en

la resolución y formulación de problemas. (Pensamiento espacial y

Sistemas geométricos)

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en

las matemáticas y en otras disciplinas. (Pensamiento espacial y Sistemas

geométricos)

108

Conceptos:

• Ángulos y clasificación

• Triángulos y clasificación

• Teorema de Pitágoras

• Razones trigonométricas

• Teorema del seno y del coseno

Procedimientos:

• Entrega de una guía escrita para su lectura y seguimiento.

• Los estudiantes dibujarán dos triángulos, uno acutángulo y uno

obtusángulo, para que a partir de éstos demuestren el teorema del seno.

• Para demostrar el teorema del seno los estudiantes van hacer uso de las

razones trigonométricas, tal como lo indican los pasos de la guía.

• Los estudiantes dibujarán dos triángulos más, uno acutángulo y otro

obtusángulo, para que a partir de éstos demuestren el teorema del coseno.

• Para demostrar el teorema del coseno los estudiantes van hacer uso del

teorema de Pitágoras, tal como lo indica los pasos de la guía.

• Los estudiantes responderán preguntas de análisis sobre la importancia de

cada paso en la demostración de los teoremas propuestos.

Actitudes:

• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de representar

gráficamente la situación planteada.

109

• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de implementar los

conocimientos previos como base para demostrar el teorema del seno y el

coseno.

Materiales:

• Hojas con la guía

• Lápiz, borrador.

• Regla

110

GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJE

DEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO

ACTIVIDADES

Demostración del Teorema del Seno en diez pasos:

Para un triángulo acutángulo

1. Traza un triángulo acutángulo cualquiera y llama a sus vértices A, B y C. Sus

lados opuestos serán a, b y c respectivamente.

2. Traza una altura h que parta desde C

3. ¿Cuántos triángulos más se formaron? ¿qué tipo de triángulo son?

4. Usando las razones trigonométricas del seno y los ángulos A y B, ¿a qué es

igual el seno de los ángulos A y B?

5. Como puedes observar, h está en ambas ecuaciones. Despeja h de estas dos

ecuaciones.

6. Iguala los valores de h en el paso 5 (propiedad transitiva)

7. Escribe una proporción en la que cada razón sea la de un lado y el seno del

ángulo opuesto a él.

8. Ahora toma otra de las alturas del triángulo y llámala h’.

9. Sigue los pasos 4 y 5 teniendo en cuenta los ángulos A y C, o B y C.

10. Iguala los valores de h’ y procede como en el paso 7. Usa la propiedad

transitiva para igualar las tres razones.

¡Felicitaciones, demostraste el teorema del seno en tan sólo diez pasos! Te

invito a que realices esta demostración para un tri ángulo obtusángulo

111

Demostración del Teorema del Coseno en diez pasos:

Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.

1. Dibuja un triángulo teniendo en cuenta que sus ángulos internos sean agudos.

Nombra los lados como a, b, c.

2. Traza un segmento “h” interno (o la altura “h” sobre el lado b), que parta de uno

de los vértices y sea perpendicular al lado b.

¿Cuántos triángulos se formaron?

¿Qué tipo de triángulos son?

3. Llama “C” al ángulo opuesto al lado c.

4. Llama “u” a la medida del cateto adyacente al ángulo A y “b-u” a la medida del

cateto adyacente al ángulo “C”

nota: si deseas, para mayor facilidad, puedes dibujar los dos triángulos por aparte

con sus respectivas medidas

5. Utilizando el teorema de Pitágoras determina el valor de c²

6. Análogamente determina el valor de a²

7. Despeja h² del paso 6.

8. Combinando los pasos 5 y 7, ¿a que será igual c²?

9. Por definición de coseno, encuentra el Cos C y despeja u.

10. Sustituye el paso 9 en 8; y simplifica.

¡Felicitaciones demostraste el teorema del coseno s olo en diez pasos!

112

Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.

1. Dibuja un triangulo teniendo en cuenta que uno de sus ángulos sea obtuso.

2. Nombra los lados como a, b, c, teniendo en cuenta que el ángulo opuesto al

lado a sea obtuso.

3. Designa con las letras C y B los otros ángulos.

4. Prolonga el lado “b” y traza la altura desde el ángulo “b”. Designa con “u” el

tamaño del segmento agregado para formar un triángulo recto.

¿Cuántos triángulos rectángulos hay en la figura? Nombra los lados de cada

triángulo.

5. Según el teorema de Pitágoras determina el valor de c² y de a².

6. Aplica los pasos: 7 – 8 – 9- 10 del ejercicio anterior.

¿Obtuviste el mismo resultado?

¿Qué sucedería si c es adyacente a un ángulo recto?

AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN

1. De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la

demostración del teorema del seno? Justifica tu respuesta

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2. De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la

demostración del teorema del coseno?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3. ¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?

¿por qué?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4. En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?

¿por qué?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

5. Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del

coseno:

A. Se puede utilizar para resolv

B. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado

adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados.

AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN DE LA GUÍADE LA GUÍADE LA GUÍADE LA GUÍA::::

De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la

demostración del teorema del seno? Justifica tu respuesta

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________


demostración del teorema del coseno? Justifica tu respuesta

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?

________________________________________________________

__________________________________________________________________

En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del

A. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados.



113


__________________________________________________________________

__________________________________________________________________


Justifica tu respuesta

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?

________________________________________________________

__________________________________________________________________

En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del

er un triángulo cuando tres ángulos son dados.


C. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un

ángulo adyacente.

D. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno.

6. Otra forma de decir que el teorema del seno

proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de

los ángulos respectivament

A. En algunos triángulos el teorema del seno no cumple porque las razones de los

lados del triángulo y el seno del ángulo opuesto respectivo no son iguales.

B. En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es

constante.

C. Por ser una relación de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del

triángulo aumenta, el seno del ángulo inverso también aumenta.

D. Por ser una razón de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del

triángulo aumenta,

7. ¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?

__________________________

____________________________________________________________



Otra forma de decir que el teorema del seno


los ángulos respectivamente opuestos, es:







triángulo aumenta, el son del ángulo inverso tendrá que disminuir.

¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?

__________________________________________________________________

____________________________________________________________

114



es una relación de








el son del ángulo inverso tendrá que disminuir.

¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?

________________________________________

__________________________________________________________________

115

9.5.2 PLAN DE CLASE N° 2 (para el grupo experimenta l)

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA

TEMA: USO DEL GEOGEBRA


Objetivo General:

Aprender a utilizar el GeoGebra como un software de geometría dinámica donde

se construye puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con

funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.


• Descubrir propiedades de las figuras geométricas a partir de la construcción

de éstas.

• Realizar conjeturas a partir de la construcción de figuras para llegar a

nuevas conceptualizaciones.

• Reafirmar los conceptos previos al teorema del seno y el coseno mediante

construcciones gráficas con el ordenador.

Conceptos:

• Figura geométrica

• Ángulos.

• Teorema de Pitágoras.

• Congruencia de ángulos

116

Procedimientos:

• Presentación del GeoGebra, mediante una proyección de la pantalla del

computador con el video beam.

• Con la ayuda del video beam, se muestra cada uno de los componentes del

GeoGebra con sus respectivas funciones.

• Manipulación libre del GeoGebra por parte de los estudiantes, cada uno en

su computador.

• Construcción de figuras a través de una orientación dirigida por el docente.

• Espacio para responder preguntas sobre el uso del GeoGebra. Se puede

hacer preguntas durante la clase y al final.

Actitudes:

• Destreza en el manejo del GeoGebra.

• Capacidad de establecer conclusiones a través de la manipulación de

figuras geométricas.

Materiales:

• Video beam

• Computadores con GeoGebra previamente instalado.

Conceptualización



Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar

construcciones tanto con puntos, vectores

como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente

Ejemplos:

1. Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de

éste.

- Construya un triángulo rectángulo y en cada

Calcula las áreas de los cuadrados.

cuadrado construido sobre la hipotenusa con las áreas de los cuadrados

construidos sobre los catetos:

Conceptualización :

CONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRA





como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente

Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de

un triángulo rectángulo y en cada lado construya

las áreas de los cuadrados. Observa qué relación tiene


construidos sobre los catetos:

117




, segmentos, rectas, secciones cónicas


Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de

construya un cuadrado.

qué relación tiene el área del


118

- Teniendo como base el mismo triángulo rectángulo, construya sobre cada

lado un pentágono regular. Calcula el área a cada pentágono. Observa qué

relación existe entre el área del pentágono construido sobre la hipotenusa

con las áreas de los pentágonos construidos sobre los catetos.

119

- De la misma manera, construya sobre sus lados polígonos regulares con la

cantidad de lados que el estudiante considere conveniente y compara sus

áreas.

- De acuerdo a lo anterior, ¿Cómo puedes enunciar el teorema de Pitágoras?

- La respuesta debe coincidir a: “En todo triángulo rectángulo, el área del

polígono regular construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las

áreas de los polígonos regulares construidos sobre los catetos”

2. Construcción de un trapecio dadas sus medidas:

3. Congruencia de ángulos: En esta ocasión se observarán la congruencia de

ángulos opuestos por el vértice, alternos internos y alternos externos. El primer

caso se hace mediante la construcción de dos segmentos de recta que se cortan

en un punto, del cual se forman cuatro ángulos. Los casos restantes se harán

mediante la construcción de rectas paralelas.

120

4. Relación entre el baricentro, circuncentro y ortocentro en un triángulo:

Estas construcciones deben ser realizadas por los estudiantes y deben

deducir que estos puntos son colineales para cualquier triángulo

121

5. Comprobación del teorema del seno y el coseno: En esta ocasión, los

estudiantes simplemente construirán un triángulo cualquiera y con los botones de

“calcular distancia” y “ángulo”, encontrarán las medidas de sus lados y ángulos.

Esas medidas se compararán con lo que menciona el teorema del seno y del

coseno. Con el botón “elige y mueve” se manipulará los lados del triángulo y la

ventana algebraica permitirá visualizar mejor cada uno de los componentes del

triángulo al ser manipulado en relación a los teoremas mencionados.

Reflexión:

¿Qué ventajas y/o desventajas crees tiene el GeoGebra en la construcción de

figuras geométricas?

�� =

�

�� =

�

��

�� = � + �� − 2� cos �

Recuerda:

122

9.5.3 PLAN DE CLASE Nº3 (para el grupo experimental )


TEMA: TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO


Objetivo General:

Aprender a utilizar la brújula como instrumento de orientación en el espacio.


� Relacionar ángulos con la ubicación en el espacio.

� Utilizar la brújula para encontrar coordenadas.

Conceptos:

• Ángulos.

• Puntos cardinales

Procedimientos:

• Exposición sobre el uso de la brújula. Este evento pedagógico se llevará a

cabo en el patio de la institución.

• Entrega de fotocopia donde está la relación de los puntos de lectura de la

brújula con los puntos cardinales.

• Ejemplo por parte del docente sobre el uso de la brújula dada una

coordenada.

• Manipulación de la brújula por parte de los estudiantes. Para ello se

contarán con siete (7) brújulas.

123

• Práctica para los estudiantes, en el cual se les dirá una serie de

coordenadas y ellos las van a ubicar con la brújula.

Actitudes:

• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de entender la

función de la brújula.

• Destreza de los estudiantes en el manejo de la brújula como medio de

orientación en el espacio.

Materiales:

• Brújulas (7)

• Fotocopia sobre la relación entre los puntos de lectura de la brújula con los

puntos cardinales.

124

Conceptualización:

CONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULA

La brújula o compás magnético es un instrumento que sirve de orientación, que

tiene su fundamento en la propiedad de las agujas magnetizadas. Por medio de

una aguja imantada señala el Norte magnético, que es ligeramente diferente para

cada zona del planeta, y distinto del Norte geográfico. Utiliza como medio de

funcionamiento el magnetismo terrestre. La aguja imantada indica la dirección del

campo magnético terrestre, apuntando hacia los polos norte y sur. Únicamente es

inútil en las zonas polares norte y sur, debido a la convergencia de las líneas de

fuerza del campo magnético terrestre.

Actividades:

1. Con la brújula ubicar 42° NO.

Solución:

Usando la tabla de coordenadas que previamente se entregó, se notará que al

ángulo de 42° Norte del Oeste le corresponde el pun to de lectura 312 en la brújula,

como indica en el siguiente dibujo:

125

Para determinar la dirección pedida, el estudiante gira en su propio eje,

observando el comportamiento de la brújula y se detiene cuando el punto de

lectura sea 312. Luego alineará este punto con la flecha de dirección de viaje lo

cual le dirá cuál es la dirección a 42° NO.

2. Desde el punto asignado por el profesor, sigue estas instrucciones:

� Camina 15 pasos en dirección 45° NE.

� Camina 10 pasos en dirección 10° SO.

� Desde este punto, observa en la brújula a qué dirección se encuentra el

punto de origen.

� En tu casa grafica la situación planteada anteriormente y determina de qué

manera puedes conocer el ángulo y la distancia desde el último punto al

lugar de origen sin hacer uso de la brújula.

126

9.5.4 PLAN DE CLASE Nº 4 (para el grupo experimenta l)


TEMA: INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

GRADO: 10-01 FECHA: 6 de Abril de 2010

Objetivo general:

Desarrollar las competencias interpretativa y argumentativa en la solución de un

problema de trigonometría.

Objetivo Específicos:

• Presentar una situación real, inicialmente sencilla, y mostrar

progresivamente, el surgimiento de problemas interesantes, como el

resultado de interrogantes prácticos que se generan alrededor de la

situación inicial.

• Mostrar la integración natural de distintos conceptos de la geometría, la

trigonometría y la aritmética, dirigidos a dar solución a problemas reales.

• Propiciar la utilización de las calculadoras o del computador, si se dispone

de esta herramienta, para lograr mayor precisión y eficiencia en los

cálculos, a la vez que permite mayores posibilidades de indagación sobre

los algoritmos que conducen a las soluciones de los problemas propuestos.

• Familiarizar al estudiante, en una forma intuitiva, con la existencia de las

soluciones aproximadas, como una característica propia de los problemas

que surgen en las situaciones prácticas, y como, éstas soluciones pueden

refinarse, mejorando los instrumentos y los algoritmos empleados en los

cálculos.

127

Conceptos:


• Línea recta

• Distancia entre puntos

• Triángulos y clasificación


Procedimientos:

• Utilización de ejemplos de la vida cotidiana que requieran de un análisis

interpretativo para poder graficarlo

• Utilización del geogebra como medio para representar gráficamente un

problema de trigonometría.

• Mostrar una posible solución a un problema de trigonometría, dando la

oportunidad al estudiante de darle un criterio de verdad, justificando por qué

tal solución es verdadera o falsa.

Actitudes:

• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de representar

gráficamente la situación planteada.

• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de plantear una

posible solución al problema.

• Destreza de los estudiantes en el manejo del geogebra como medio para

resolver problemas de trigonometría.

128

• Utilización del GeoGebra como medio de verificación de procesos mentales

utilizados por el estudiante en la resolución de problemas, pues si se utiliza

los comandos de “calcular distancia” o “ángulo” sin hacer un procedimiento

mental, no se está aprovechando este programa para el aprendizaje de la

trigonometría.

Materiales:

• Hojas con taller

• Computador con geogebra

• Lápiz

• Papel

• Borrador

Actividades:

INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

INICIO

I. Utilizando el GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:

3. Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros

del mismo sitio. Sus trayectos forman un ángulo de 42º. ¿Cuál es la distancia

que separa la casa de Mauricio de casa de Claudia?

4. Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;

otro camino recto de 124Km de longitud comienza en A y termina en una

tercera población C. Si los dos caminos forman entre sí un ángulo de 68º,

calcula la distancia entre B y

5. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al

este del norte; el primer avión a una velocidad de 245Km/h y el segundo a

327Km/h. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas de vuelo?

6. Un observador mira

500 m de E1 y 800 m de E2. Si el ángulo que forman las líneas visuales es de

132º, determina la distancia que separa los edificios E1 y E2.

CONCEPTUALIZACIÓN:

II. De acuerdo con las ilustracion

podrás utilizar para resolver cada ejercicio? Resuelve cada ejercicio de acuerdo

con el teorema propuesto.


GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:

Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros


que separa la casa de Mauricio de casa de Claudia?

Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;



calcula la distancia entre B y C.

Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al



Un observador mira los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a



CONCEPTUALIZACIÓN:

II. De acuerdo con las ilustraciones anteriormente propuestas, ¿Qué teorema


con el teorema propuesto.

129


GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:

Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros


Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;



Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al



los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a



es anteriormente propuestas, ¿Qué teorema


130

REFLEXIÓN:

III. ¿Qué ventajas y/o desventajas crees tiene el GeoGebra en la solución de

triángulos?

EVALUACIÓN:

IV. Después de discutir los resultados obtenidos con tu compañero, comparte con

los demás estudiantes de tu clase y digan de qué manera el uso del GeoGebra les

facilita o les dificulta el aprendizaje en la solución de triángulos. ¿Para qué otras

cosas les puede servir esta herramienta?

131

9.5.5 PLAN DE CLASE Nº 5 (para el grupo experimenta l)


TEMA: RALLY TRIGONOMÉTRICO

GRADO: 10-01 FECHA: 10 de Abril de 2010

Objetivo general:

Integrar las competencias básicas al momento de resolver ejercicios de resolución

de triángulos en un espacio abierto.

Objetivo Específicos:

• Fomentar el trabajo en equipo al momento de utilizar la brújula y elaborar el

mapa del recorrido del grupo.

• Mostrar la integración natural de distintos conceptos de la geometría, la

trigonometría y la aritmética, dirigidos a dar solución a problemas reales.

• Propiciar la utilización de la calculadora y la brújula para lograr mayor

precisión y eficiencia en los cálculos, a la vez que permite mayores

posibilidades de indagación sobre los algoritmos que conducen a las

soluciones de los problemas propuestos.

Conceptos:


• Orientación con la brújula

• Postulados de congruencia de ángulos


132

Procedimientos:

• La actividad lúdica se llevará a cabo en el Parque Metropolitano.

• Se formarán cinco grupos de cinco personas. Los grupos se distinguirán por

color: equipos amarillo, azul, rojo, naranja y violeta.

• Los cinco alumnos restantes serán los supervisores por cada equipo. Ellos

sabrán de antemano todos los “secretos” del juego.

• Cada equipo tendrá una brújula y partirán desde el mismo punto, llamado

“la primera estación”.

• En la primera estación, a cada equipo se le entregará un papel en el cual

está escrita unas coordenadas mediante la cual los estudiantes, con la

brújula, deberán encontrar. Esas son las coordenadas de la “segunda

estación” para cada equipo. Hay que tener en cuenta que las coordenadas

de cada equipo son diferentes, por lo que también son las estaciones.

• Al llegar a la segunda estación, el supervisor del equipo correspondiente les

colocará una prueba de conocimiento y destreza física las cuales se

evaluarán del 1 al 10. Al terminar la prueba, se les dará en un papel las

coordenadas de la “tercera estación”.

• Al llegar a la tercera estación, al grupo se le dará una prueba de

conocimiento y destreza física y se evaluará del 1 al 10. Luego se les

preguntará cuántos pasos aproximadamente hay desde este punto hasta la

“primera estación”.

• Se dará mayor puntaje al equipo que primero responda correctamente a

esta pregunta y llegue a la primera estación.

• El equipo ganador será el que obtenga más puntos.

Actitudes:

• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de utilizar

correctamente la brújula.

133

• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de representar

gráficamente el mapa del recorrido del grupo y hallar la medida de ángulos

desconocidos a través de los postulados de congruencia de ángulos.

• Desarrollo de la competencia propositiva cuando el estudiante utiliza

alternativas de solución diferentes a las convencionales para hallar solución

al problema.

• Fomento del trabajo en equipo, en el cual la aceptación de las ideas de los

compañeros es importante para el éxito en el juego.

134

Actividades:

RALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICO

LUGAR: Parque Metropolitano

MATERIALES:

• Hoja de papel

• Lápiz

• Calculadora

• Brújula

COORDENADAS 1:

EQUIPO AMARILLO: 100 pasos, 60º al Norte del Este

EQUIPO AZUL: 100 pasos, 10º al Oeste del Norte

EQUIPO ROJO: 100 pasos, 20º al Sur del Oeste

EQUIPO NARANJA: 100 pasos, 20º al Sur del Este

EQUIPO VIOLETA: 100 pasos, 10º al Norte del Este

COORDENADAS 2:

EQUIPO AMARILLO: 125 pasos, 25º al Sur del Oeste

EQUIPO AZUL: 125 pasos, 35º al Sur del Este

EQUIPO ROJO: 125 pasos, 70º al Este del Sur

EQUIPO NARANJA: 125 pasos, 70º al Oeste del Sur

EQUIPO VIOLETA: 125 pasos, 45º al Oeste del Sur

135

MAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANO

La “x” indica el punto de partida de todos los equipos

EJERCICIOS DE LA ESTACIÓN 2

1. ¿Cuántos t r iángulos

observas en la f igura?

136

2. ¿Cuál es la medida de ∠��?

3. De acuerdo con la figura, señala los ángulos que son congruentes entre sí:

(teniendo en cuenta que �� ∥ �&, () ∥ *+ )

4. Calculemos la longitud de una

escalera, sabiendo que está

apoyada en la pared a una

distancia de 1,8 m y alcanza

una altura de 7 m.

137

EJERCICIOS DE LA ESTACIÓN 3:

1. De un t r iángulo sabemos

que: a = 6 m, B = 45° y

C = 105°. Calcula los

restantes elementos

2. Calcular el radio del círculo

circunscrito en un triángulo,

donde A= 45°, B= 72° y

a=20m.

3. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2

m. y 4 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC

b) el ángulo ABC

c) el ángulo ACB

4. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está

situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente

manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte

inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio

de enfrente.

PREGUNTA FINAL: ¿Cuántos pasos hay aproximadamente desde este

punto hasta la primera estación?

138

9.6 POST- PRUEBA

Durante esta fase se aplicó una evaluación escrita a toda la muestra seleccionada,

con el fin de comparar el aprendizaje por competencias de los mismos y verificar

que tan eficiente fueron las actividades implementadas y así lograr que los

discentes aprendan de manera integral, a través del uso de las tecnologías, el

teorema del son y el coseno. Esta evaluación se hizo de veinte preguntas tipo

ICFES, opción múltiple con única respuesta. Sin embargo, se les pidió a los

estudiantes que cuatro de esas preguntas las puedan argumentar con el

procedimiento para su solución.

EVALUACIÓN INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA En los ejercicios 1, 2, 3 y 4 se presenta un problema y dos informaciones. En

cada caso debes determinar si para resolver la información necesitas:

A. Solamente la información I.

B. Solamente la información II.

C. Las dos informaciones.

D. Ninguna de las informaciones.

1. En el siguiente triángulo:

139

D es el pie de la altura de △ ��, trazada desde el vértice B. Calcular la longitud

de &�----

I. Medida de .

II. Longitud de hipotenusa de △ ��

2. Calcula la altura que debe ascender un niño para luego deslizarse por un

tobogán.

I. La longitud del tobogán es de 10 metros.

II. La inclinación del tobogán es de 30°.

3. Hallar la longitud de una cuerda de ángulo central / en una circunferencia de

radio R.

I. Teorema del seno

II. Teorema del coseno

4. Hallar / de la siguiente figura:

I. La definición de función tangente

II. Teorema del coseno

5. Si en un triángulo rectángulo un ángulo

mide 70° y su lado opuesto 7 cm, la medida de la hi potenusa es:

A. 9,4 cm

B. 14 cm

C. 10 cm

D. 7,4 cm

6. Una de las siguientes ternas no corresponde a las longitudes de un triángulo

rectángulo:

A. (3, 4, 5)

B. (12, 16, 20)

C. (13, 14, 15)

D. (15, 20, 25)

140

7. Si � = �� + �� − 2�� cos �, entonces cos � es igual a:

A. #01 0120

� 2

B. 0!201#0

� 2

C. #0! 0!20

� 2

D. 201#01 0

1� 2

Responda las preguntas 8, 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información:

En un triángulo ABC como el que muestra la figura, a, b y c corresponden a las

longitudes de sus lados.

Los siguientes teoremas relacionan lados y ángulos de un triángulo ABC

cualquiera.

Teorema del Seno

�� =

�

�� =

�

��

Teorema del Coseno

� = �� + �� − 2�� cos �

�� = � + �� − 2� cos �

�� = � + �� − 2� cos �

141

8. Del triángulo que se muestra, es correcto afirmar que

A. 4 �� = 3 ��

B. �� = ��

C. 3 �� = 4 ��

D. 6 �� = ��

9. En el triángulo que muestra la figura los valores de b y �� / son:

Recuerda que

�� 60° = √6

� , �78 60° =

9

�

A. � = 7 � �� / =;√6

9<

B. � = 7 � �� / =;

9<

C. � = 7 � �� / =;√6

9=

D. � = 7 � �� / =;

9=

10. Si en un triángulo ABC se tiene que cos � = 0, es posible que

A. = �

B. � = �

C. � >

D. � >

Responda las preguntas 11 y 12 de acuerdo con la siguiente información:

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si se cumple uno cualquiera de los

siguientes

criterios:

142

1. Los ángulos correspondientes son congruentes.

2. Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos

comprendidos son congruentes.

3. Los lados correspondientes son proporcionales.

11. En cada figura se muestra un par de triángulos.

De los pares de triángulos, son semejantes, los mostrados en las figuras

A. 1 y 2

B. 2 y 4

C. 1 y 3

D. 3 y 4

12. Sea ABC un triángulo, D un punto de ��---- y E un punto de ��----, como se muestra

en la figura

143

Si &?---- es paralelo a ��---- se puede concluir que @A

@B=

AC

BD , porque

A. ∠�?& = ∠��.

B. �� = �� & = &?

C. El triángulo ADE es semejante al triángulo ABC.

D. El ángulo ACB es congruente con el triángulo BAC.

13. Los triángulos sombreados que aparecen en cada figura son rectángulos.

Sobre los lados de cada triángulo se han construido figuras planas semejantes.

Si las áreas de los semicírculos 1 y 2 son respectivamente E

�F �G� � 8F �G�, el

diámetro del semicírculo 3 es

A. 6 cm.

B. 8 cm.

C. 9 cm.

D. 10 cm.

144

14. Para el triángulo rectángulo de la

figura, cuáles son los valores de x y

de y, si el sen 30°= ½

A. √6

�, 1

B. √2,9

�

C. √3, 1

D. √3, √2

15. Basándose en el triángulo anterior, ¿cuáles son los valores de sen60°, cos60°

y Tan 60°?

A. √�

� ,

9

� , √3

B. 9

� , √6

� , √3

C. √3 ,9

� , √6

�

D. √6

� ,

9

� , √3

16. Si sen30°= 1/2 , ¿cuáles son los valores para l os ángulos 150°, 210° y 330°?

A. -1/2 , 1/2 , -1/2

B. 1/2 , 1/2 , -1/2

C. 1/2 , -1/2 , -1/2

D. -1/2 , -1/2 , 1/2

Responde las preguntas 17 y 18 de acuerdo a la siguiente información:

Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfonos inclinado a

un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo

a nivel del suelo.

145

17. ¿Qué ilustración describe de manera precisa la situación planteada?

A B C D

18. La longitud del poste es:

A. 42 pies

B. 28 pies

C. 33 pies

D. 30 pies

Responde las preguntas 19 y 20 de acuerdo con la siguiente información:

Un punto P a nivel del suelo está a 3 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor

avanza en dirección 25° al este del norte desde Q al punto R, y luego de R a P en

dirección 70° al oeste del sur.

19. La figura que mejor describe el recorrido de la persona es:

146

A B

C D

20. La distancia recorrida por el corredor es:

A. 7.5 Km.

B. 4.9 Km.

C. 6.3 Km.

D. 5.8 Km.

147

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN

Pregunta clave componente Competencia

1 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN

2 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN

3 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN

4 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN

5 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

6 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO

7 B GEOMÉTRICO-

VARIACIONAL

RAZONAMIENTO

8 A GEOMÉTRICO-METRICO COMUNICACIÓN

9 A GEOMÉTRICO-METRICO COMUNICACIÓN

10 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO


12 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO


14 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS


16 C GEOMÉTRICO -MÉTRICO COMUNICACIÓN


18 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS



148

10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

10.1 CONCLUSIONES

Al terminar la investigación, el grupo realizó las siguientes conclusiones:

• Sí el aprendizaje se determina partiendo del conocimiento previo del

educando, este se hace de manera significativa, se interioriza y por lo tanto

es perdurable, se estructura en su lógica cognitiva y puede verificarse.

• Cuando se aplican estrategias didáctica basadas en la Ingeniería didáctica

y el constructivismo social, los discentes:

- Hacen un engranaje de cada una de las secuencias de clase que los lleva a

una rápida adaptación del tema principal, esto es, teorema del seno y el

coseno.

- Desarrollan su capacidad de interpretar, argumentar y proponer situaciones

problemas de la vida cotidiana donde sea necesario utilizar el teorema del

seno y el coseno.

- Desarrollan una interacción dinámica con el docente, sus compañeros y las

actividades que les ayudarán a construir su propia verdad de manera

coherente.

Al utilizar el GeoGebra como instrumento para construir gráficas en el ordenador:

- Se induce al discente a utilizar su pensamiento y su razón, ayudando así a

fortalecer su capacidad de interpretar problemas de trigonometría.

- Son más partícipes y ejecutores de su aprendizaje, contribuyen a que estos

desarrollen un aprendizaje por competencias.

149

- Los discentes tienen mayor desarrollo del pensamiento métrico y espacial

debido a la exactitud de las medidas que ofrecen las gráficas.

- Se convierte la clase en un estímulo positivo para el estudiante, puesto que

cambia de ambiente de aprendizaje.

10.2 RECOMENDACIONES

El grupo investigador realiza las siguientes:

• Cuando el docente da inicio a un nuevo tema debe realizar una evaluación

diagnóstica, para determinar los conocimientos previos que posean los

educandos sobre el tema y partir de estos, para que el aprendizaje que el

discente realiza sea significativo.

• Para lograr un aprendizaje significativo es necesario que los docentes

realicen actividades pedagógicas que impliquen el uso de materiales

didácticos pertinentes a la temática a tratar.

• Los docentes que deseen desarrollar en sus alumnos el aprendizaje por

competencias del teorema del seno y el coseno, pueden apoyarse en una

metodología basada en la Ingeniería didáctica y el constructivismo social,

teniendo en cuenta lo siguiente:

-Utilizar herramientas manipulables por los estudiantes durante el desarrollo

de la temática.

-Estimular a los discentes cada vez que note sus pequeños y grandes

logros.

-Propiciar un ambiente adecuado en el aula.

-Estimular constantemente la creatividad en los estudiantes.

150

-Aprovechar siempre que sea posible el aporte espontáneo de los

discentes.

• Dichas actividades organizadas pueden utilizarse tal como se sugiere y

se pueden agregar más actividades dinámicas con base a la propuesta,

donde se pueden encontrar maneras novedosas y de diferente

aplicación.

151

BIBLIOGRAFÍA

NEWEL, A; SIMON, H.A. Human Problem Solving. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.

1972

CHI, M. y GLASER, R. Problem Solving Abilities. Material mimeografiado, 1983

DIJSKTRA, Sanne (1991). Instructional design models and the representation of

knowledge and skills. Educational Technology, 31 (6), pp. 19-26.

ANDRÉ, T. Problem solving and education. En G. D. Phye y T. André (Eds.),

Cognitive classroom learning. Understanding, thinking, and problem solving. New

York, Academic Press. 1986

FARFÁN, Rosa, FERRARI, Marcela. Ingeniería Didáctica. Un ejemplo construido

para la función 2x. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. México. Grupo

Editorial Iberoamérica, Volumen 14, 2001, p. 408-415.

AGUILAR, P., FARFÁN, R., LEZAMA, J., MORENO, J. Estudio didáctico de la

función 2x. Actas de la undécima Reunión Latinoamericana de Matemática

Educativa. México. Grupo Editorial Iberoamérica, 1997, p. 19-23.

ARTIGUE, Michelle. Ingeniería didáctica. En Artigue, M., Douady, R., Moreno, L.,

Gómez, P. (Eds.). Ingeniería didáctica en educación matemática. Colombia. Una

empresa docente. 1998

BROUSSEAU, Guy. Teoría de Situaciones Didácticas en Matemáticas. Kluwer

Academic Publishers, 1997.

152

CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica: Del saber sabio al saber

enseñado. AIQUE, Argentina, 1991.

DOUADY, Régine. Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en

las matemáticas de collège-seconde. En Barbin, E., Douady, R. (Eds.). Enseñanza

de las matemáticas: Relación entre saberes, programas y prácticas. Francia.

Topiques éditions. Publicación del I.R.E.M, 1996.

SWOKOWSKI, E.; COLE, J. Trigonometría. Ed. Math Learning. Novena edición,

2001

153

ANEXOS

154

ANEXO 1

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA

PERFIL DEL ESTUDIANTE DE DÉCIMO GRADO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRIA

ENCUESTA A ESTUDIANTES

CURSO: 10º__ Estimado estudiante: El objetivo de esta encuesta es poder identificar el perfil del estudiante de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría. Para esto hemos diseñado la siguiente encuesta que le solicitamos responda en su totalidad. Agradecemos que lo diligencie con sinceridad.

I. DATOS DE IDENTIFICACIÓN 1. Género:

1. Femenino

2. Masculino

2. Edad:

1) 12 años o menos

2) 13 – 14 años

3) 15 – 16 años

4) 17 – 18 años

5) 19 años o más

3. Estado civil:

1. Casado

2. Soltero

3. Unión libre

4. Divorciado

5. Viudo

II. INFORMACIÓN FAMILIAR Las preguntas de esta sección se refieren a su familia

de origen constituida por: padre, madre, hermanos…

4. ¿Cuántas personas conforman su núcleo familiar? Inclúyase usted también

5. Indique en cuál estrato socioeconómico está ubicada la residencia de su familia de origen de acuerdo con la estratificación establecida para el pago de servicios públicos. Si no sabe o no existe tal clasificación, señale aquel estrato que usted cree le corresponde:

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

5) 5

6) 6

6. ¿Sus padres tienen vivienda propia?

1) Si

2) No

7. ¿A quién reconoce como jefe del hogar en la familia donde usted creció? Marque una sola respuesta.

1. Padre

2. Madre

3. Hermano(a)

4. abuelo(a)

5. tío(a)

6. otro familiar

7. otro no familiar

155

8. Máximo nivel educativo alcanzado por sus padres y/o jefes del hogar cuando éste último es una persona diferente a sus padres. En cada columna marque una

sola casilla

Nivel Padre Madre Jefe del hogar

1. Ninguno

2. Primaria incompleta

3. Primaria completa

4. Secundaria incompleta

5. Secundaria completa

6. Universidad incompleta

7. Técnico

8. Tecnológico

9. Universitaria completa

10. Postgrado

9. Nivel educativo alcanzado por sus hermanos, si los tiene, en orden de edad, de mayor a menor. No se incluya usted

mismo.

Nivel Hermano 1

Hermano 2 Hermano 3

Hermano 4

Hermano 5

1. Ninguno

2. Primaria incompleta

3. Primaria completa

4. Secundaria incompleta

5. Secundaria completa

6. Universidad incompleta

7. Técnico

8. Tecnológico

9. Universitaria completa

10. Postgrado

10. ¿Cuál es la ocupación del jefe de hogar de su familia de origen? Marque una sola respuesta:

OCUPACIÓN

1. Obrero no calificado o jornalero del campo

2. Obrero Calificado

3. Artesano o pequeño trabajador independiente

4. Empleado subalterno de rango inferior

5. Empleado subalterno de rango medio

6. Dueño de finca

7. Profesional asalariado

8. Profesional Independiente

9. Oficial de las fuerzas armadas

10. Ejecutivo de rango superior

11. Hacendado

12. Empresario

13. Educador

11. ¿Tiene usted personas a cargo?

156

1. si

2. no

12. ¿A quienes?

1. Padre

2. Madre

3. Hermano

4. Cónyuge

5. Hijos

6 Otros

13. Cuantos en total:

III. RESIDENCIA 14. Vive usted en el hogar de:

1. Su familia de origen

2. Familiares diferentes a sus padres

3. En hogar propio con su pareja o solo

4. En el hogar de la familia de origen de su pareja

5. Compañeros o amigo

IV. INFORMACIÓN LABORAL 15. ¿Está usted trabajando actualmente?

1. Sí

2. No

16. ¿En qué días trabaja?

17. ¿Qué tiempo dedica a su trabajo?

1. Menos de una hora

2. Una hora

3. Dos horas

4. Tres horas

5. Cuatro horas

6. Mas de cinco horas

V. INFORMACIÓN USO DE TECNOLOGÍA 18. ¿Tiene computador?

1. Sí

2. No

1. Entre semana

2. Fines de semanas y festivos

3. Entre semanas y Fines de semana

157

19. ¿Cómo se evalúa en el manejo del computador?

1. Deficiente

2. Insuficiente

3. Aceptable

4. Sobresaliente

5. Excelente

20. Califique el nivel de manejo de los siguientes programas, teniendo en cuenta la siguiente valoración: 1. Deficiente, 2. Insuficiente, 3. Aceptable, 4. Sobresaliente, 5. Excelente

Programas 1 2 3 4 5

M. Word

M. Excel

M. PowerPoint

Internet

21. ¿Con qué frecuencia utiliza en computador?

1. Dos horas o menos semanales

2. Tres a cinco horas semanales

3. Seis a ocho horas semanales

4. Nueve a once horas semanales

5. Doce o más horas semanales

22. ¿Has utilizado estos programas?

Programa Sí No

Cabri

GeoGebra

Derive

MatLab

158

ANEXO 2

CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRIA

ENCUESTA A ESTUDIANTES

PERFIL DEL DOCENTE

Para llevar a cabo la encuesta es imprescindible su colaboración, por ello es necesario que conteste con sinceridad, responsabilidad y precisión a las cuestiones que le presentamos. Las preguntas que responden a actuaciones objetivas, deben contestarse con objetividad. Si sobre algún aspecto no tiene opinión formada, elija la opción “no sabe/no contesta”. Recuerde que sus respuestas deben referirse al profesor, a la asignatura indicada (no a otras posibles asignaturas que este profesor haya impartido) y sólo a las actuaciones que sean responsabilidad de dicho profesor. A continuación exprese su valoración sobre las afirmaciones que se presentan, siguiendo la siguiente escala:

I. SOBRE LA LABOR DEL DOCENTE

A. SOBRE LA INFORMACION FACILITADA POR EL PROFESOR AL COMENZAR EL CURSO 1. Informa de los objetivos, contenidos, bibliografía y materiales recomendados

1 2 3 4 5

2. Informa de las pruebas y criterios de evaluación que se seguirá

1 2 3 4 5

3. Informa de los fines y horario de las tutorías

1 2 3 4 5

B. SOBRE EL CUMPLIMIENTO DE OBLIGACIONES DEL PROFESOR 4. Asiste a sus clases y, en caso contrario, se justifica y se sustituye o recupera

1 2 3 4 5

5. Es puntual al comenzar y al finalizar la actividad docente

1 2 3 4 5

6. El profesor atiende las tutorías

1 2 3 4 5

Definitivamente No (1)

Probablemente No (2)

Neutro (3)

Probablemente Sí (4)

Definitivamente Sí (5)

159

C. SOBRE LAS RELACIONES DEL PROFESOR CON EL ESTUDIANTE 7. Es correcto y respetuoso con el estudiante

1 2 3 4 5

8. Tiene una actitud receptiva y muestra disposición para el diálogo

1 2 3 4 5

9. Promueve el interés por la asignatura

1 2 3 4 5

10. Durante las tutorías ayuda a la comprensión y estudio de la asignatura

1 2 3 4 5

D. SOBRE EL DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD DOCENTE DEL PROFESOR 11. Explica de manera clara y ordenada, destacando los aspectos más importantes

1 2 3 4 5

12. Relaciona unos temas con otros de la asignatura

1 2 3 4 5

13. Relaciona los conceptos de la asignatura con sus aplicaciones

1 2 3 4 5

14. La labor de este profesor hace que la asistencia a clase facilite la comprensión de la asignatura

1 2 3 4 5

15. Realiza el seguimiento y asesora sobre las actividades o trabajos

1 2 3 4 5

16. Fomenta la participación del estudiante

1 2 3 4 5

17. Fomenta el trabajo continuo del estudiante

1 2 3 4 5

160

E. OPINION GLOBAL 18. La labor docente de este profesor me parece excelente

1 2 3 4 5

II. SOBRE SU PROPIA LABOR COMO ESTUDIANTE

19. Asisto a las actividades docentes diariamente

1 2 3 4 5

20. Considero mi preparación previa suficiente para seguir esta asignatura

1 2 3 4 5

21. Llevo al día el estudio de esta asignatura

1 2 3 4 5

22. Resuelvo las dudas preguntando en clase o en tutorías

1 2 3 4 5

23. Me siento satisfecho con lo aprendido

1 2 3 4 5

24. Me parece interesante esta asignatura para mi formación

1 2 3 4 5

25. Espero estar en condiciones de aprobar esta asignatura en la próxima convocatoria

1 2 3 4 5

Si la respuesta nº 19 del estudiante es 1, 2 o 3 debe contestar a la siguiente pregunta. Si no asisto a clase habitualmente es por alguno/os de los siguientes motivos: � Coincidencia de horarios con otra asignatura � trabajo, � Familiares o personales, � Disponer de apuntes, � Dificultad de la materia, � No tenía dinero para transporte � Relativos al profesor, � Otros (indicar cuáles)

161

III. SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION (Conteste a este apartado sólo tras haber realizado la evaluación final y sólo respecto a las actuaciones que sean responsabilidad de dicho profesor) 26. El programa de la asignatura se ha desarrollado completamente

1 2 3 4 5

27. La evaluación se ha ajustado a las pruebas y criterios establecidos

1 2 3 4 5

28. Las pruebas se ajustan a los contenidos y actividades desarrollados durante el curso

1 2 3 4 5

29. El nivel de las pruebas se corresponde con el de las clases

1 2 3 4 5

30. El profesor da a conocer los resultados de la evaluación en el plazo establecido

1 2 3 4 5

31. El profesor explica las razones de los fallos en la revisión de las pruebas

1 2 3 4 5

32. Opinión global: La evaluación realizada por este profesor me parece

1 2 3 4 5

162

ANEXO 3

BARRANQUILLA ATLANTICO

CUESTIONARIO PARA ESTUDIANTES

Este cuestionario es con el fin de recoger datos importantes, cuyo análisis e

interpretación serán de gran apoyo para el diseño de una propuesta metodológica

que facilite el estudio del teorema del seno y el coseno. Tu aporte es valioso.

- Género

a) Masculino b) Femenino

- Edad: _________________

1. Aparte del tiempo en el colegio, ¿cuánto tiempo dedica en el día para estudiar?

a) Ninguno

b) Menos de una hora

c) Dos horas

d) Más de dos horas

2. ¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?

a) No participo

b) Pocas veces

c) A veces

d) Constante

163

3. ¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?

a) No lo he aprendido

b) Con dificultad

c) Con cierta facilidad

d) Con mucha facilidad

4. ¿Cómo consideras tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema

del seno y el coseno?

a) No los entiendo

b) Se dificulta mucho entenderlos

c) Los entiendo con cierta facilidad

d) Son fáciles de entender

5. ¿Cómo argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para

la solución de un ejercicio?

a) No se argumentar

b) Con dificultad

c) Con cierta facilidad

d) Es fácil de argumentar

6. ¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el coseno en la vida cotidiana?

a) Ninguna

b) Poca utilidad

c) Cierta utilidad

d) Mucha utilidad

164

ά

θ β c

a

b

7. De acuerdo con el siguiente triángulo y los siguientes datos:

ά = 50º

θ = 30º

a = 85m

b = 110m

Para hallar el valor de c es recomendable usar:

a) No se

b) c2= a2 + b2, pues conocemos los valores de a y b

c) c2= a2 + b2 – 2ab Cos 30º

d) c = a2 - b2 - 2ab Cos 50º

Gracias por tu colaboración

165

ANEXO 4

ENCUESTA PARA LOS ESTUDIANTES DE DÉCIMO GRADO

Buenos días (tardes): Estamos trabajando en un estudio que servirá para elaborar una tesis profesional acerca del manejo de las competencias en el estudio del teorema del seno y el coseno. Te pedimos que contestes con la mayor sinceridad posible. Marca con una x en la casilla correspondiente a tu criterio.

Definitivamente no (1)

Probablemente no (2)

Indeciso (3)

Probablemente sí

(4)

Definitivamente sí

(5)

- El docente de matemáticas utiliza oportunamente materiales didácticos para enseñar

- La institución presta los implementos adecuados para un aprendizaje óptimo de la trigonometría.

- El docente motiva al estudiante a aplicar lo aprendido en la vida cotidiana

- La metodología empleada por el docente al enseñar el teorema del seno y el coseno es la adecuada para usted

- La forma de evaluar del docente coincide con las temáticas vistas en clases

- El docente corrige oportunamente los errores en los talleres en clase

- El entorno es el adecuado para el aprendizaje de la trigonometría

- La interacción docente-alumno en la clase de matemáticas es la mejor

166

ANEXO 5

BARRANQUILLA ATLANTICO

ENCUESTA PARA PROFESORES

Este cuestionario es con el fin de recoger datos importantes, cuyo análisis e

interpretación serán de gran apoyo para el diseño de una propuesta metodológica

que facilite el estudio del teorema del seno y el coseno. Tu aporte es valioso.

1. ¿Qué bibliografía utiliza para preparar los ejes temáticos antes de dar la clase

de matemáticas a décimo grado? (Puede marcar más de una respuesta)

a) Módulos facilitados por la institución

b) Alfa 10

c) Matemáticas Constructiva 10

d) Otro (especifique)

2. ¿De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema del

seno y el coseno antes de dar la clase?

a) Clase magistral

b) Utilizando la lúdica

c) Por medio de ejercicios en clase para que los estudiantes construyan el

conocimiento

d) Exposiciones a cargo de los estudiantes

e) Guías de auto aprendizaje

f) Otros. (especifique)

_______________________________________________________________

_______

167

3. Con qué frecuencia fomenta la participación activa de los estudiantes en clase

a) Nunca

b) Pocas veces

c) A veces

d) Muchas veces

4. Con qué frecuencia pasa a los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio de

trigonometría

a) Nunca

b) Pocas veces

c) A veces

d) Muchas veces

5. ¿Con qué frecuencia usted expone a sus estudiantes a que apliquen el teorema

del seno y el coseno en la vida diaria?

a) Nunca

b) Pocas veces

c) A veces

d) Muchas veces

6. ¿Con qué frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema

del seno y el coseno en la resolución de problemas?

a) Nunca

b) Pocas veces

168

c) A veces

d) Muchas veces

7. ¿Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza? Marque

con una x las que usted utilice

___ Auto evaluación

___ Coevaluación

___ Heteroevaluación

___ Otra

8. ¿Cómo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza-aprendizaje

del teorema del seno y el coseno?

a) Debo recibir más orientación

b) Regular

c) Bueno

d) Totalmente capacitado

Justifique la respuesta de la pregunta anterior

Gracias por tu colaboración

169

ANEXO 6

ENCUESTA PARA EL DOCENTE DE DÉCIMO GRADO

Buenos días (tardes): Estamos trabajando en un estudio que servirá para elaborar una tesis profesional acerca del manejo de las competencias en el estudio del teorema del seno y el coseno. Te pedimos que contestes con la mayor sinceridad posible. Marca con una x en la casilla correspondiente a tu criterio.

Definitivamente no (1)

Probablemente no (2)

Indeciso (3)

Probablemente sí

(4)

Definitivamente sí

(5)

- Los estudiantes son atentos mientras se dicta la clase

- La institución brinda las herramientas necesarias para enseñar el teorema del seno y el coseno

- El aula es la adecuada para la explicación de la trigonometría

- Los estudiantes están motivados con la metodología que usted utiliza

- Los estudiantes responden a las estrategias evaluativos utilizadas por usted en el proceso enseñanza-aprendizaje

- La clase de matemáticas es abierta al diálogo y la participación

- Los ejercicios dados a los estudiantes son acordes a lo enseñado en clase

170

ANEXO 7

INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL JESUS MAESTRO FE Y ALEGRIA

FICHA DE OBSERVACIÓN DEL ESTUDIANTE EN EL AREA DE M ATEMATICAS

FECHA:__________________________________

ESTUDIANTES

ITEMS

- EL estudiante es atento mientras se dicta la clase

- La institución brinda las herramientas necesarias para el desarrollo de la clase

-El estudiante resuelve las dudas preguntando en clase

- El estudiante está motivado con la metodología que utiliza el docente

- El estudiante responde a las estrategias evaluativas utilizadas por el docente en el proceso enseñanza-aprendizaje

- La clase de matemáticas es abierta al diálogo y la participación

- Los ejercicios dados al estudiante son acordes a lo enseñado en clase

SIEMPRE: 2 Pto CASI SIEMPRE: 1 Pto RARAS OCASIONES: 0 Pto

171

ANEXO 8

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO LICENCIATURA EN EDUACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATE MÁTICAS

TALLER DIAGNOSTICO 1

El propósito de este taller es el de tener un conocimiento más amplio y concreto acerca de la preparación que tienen los estudiantes al momento de abordar el tema del teorema del seno y el coseno. Al principio se harán preguntas acerca de los conocimientos previos para luego preguntar acerca del tema principal. 1. Una escalera de 3.5 metros de largo esta recostada sobre un muro vertical, con su extremo superior en el muro vertical a 2.5 metros del suelo.

Una señora de 1.8m de estatura camina, desprevenidamente, por la acera de donde está la escalera manteniendo una distancia de 1.5m de separación del mismo. ¿Podrá pasar por debajo de la escalera sin golpearse con ésta? 2. en la figura si la longitud del hilo de la comenta es 200m y la distancia horizontal 150m. a. ¿Cuál es el ángulo de elevación?

172

b. Si hay otro observador, ubicado a 230m de la persona que tiene la cometa, ¿Qué métodos utilizarías para hallar la distancia entre el observador y la cometa? 3. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas con respecto al teorema del coseno:

A. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados.




ángulo adyacente.


4. Describa una situación de la vida cotidiana donde se utiliza el teorema del seno y el coseno. Grafícala. (Sin copiarse de los ejercicios anteriores)

173

ANEXO 9

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO TALLER DIAGNÓSTICO 2

El propósito de este taller es el de tener un conocimiento más amplio y concreto acerca de la preparación que tienen los estudiantes al momento de abordar el tema del teorema del seno y el coseno. Al principio se harán preguntas acerca de los conocimientos previos para luego preguntar acerca del tema principal.

R e s p o n d e l a s p r e gu n t a s 1 , 2 y 3 d e a cu e rd o a l a s i g u i e n t e i n f o r m a c i ó n :

La siguiente gráfica ilustra el diseño que corresponde a la instalación de una torre de comunicación sostenida en el piso por dos cables. Los puntos de amarre del cable en el piso tienen una separación de 12 metros y los puntos de amarre del cable a la torre la dividen en 3 partes iguales de la misma longitud.

torre de comunicación 30º 30º Piso Piso 1. Del amarre en el piso del cable más largo al pie de la torre hay una distancia de

a. 4 metros b. 6 metros c. 8 metros d. 12 metros

2. La altura de la torre en metros, es

a. (4tan 30º) b. (6tan 60º)

c. (8tan 60º) d. (12tan 30º)

3. Si se modifica el diseño, ubicando los amarres de los cables a la torre en su punto medio y los amarres del piso se ubican cada uno a 6 metros del pie de la torre, entonces la cantidad de cable requerido en el nuevo diseño es,

a. Igual a la cantidad de cable requeridos en el diseño original

b. Mayor que la cantidad de cable requerido en el diseño original

c. La mitad de la cantidad de cable requerido en el diseño original

d. La tercera parte de la cantidad de cable requerido en el diseño original

4. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas con respecto al teorema del coseno: a. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados. b. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados. c. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un ángulo adyacente. d. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno. 5. Describa una situación de la vida cotidiana donde se utiliza el teorema del seno y el coseno. Grafícala.

174

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