Tema 3 Muestreo
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POBLACIÓN NORMAL-ESTIMACIÓN MÁXIMO VEROSÍMIL La variable aleatoria X sigue una distribución Normal de parámetros desconocidos. Estime ambos parámetros por el método de la Máxima Verosimilitud a partir de una muestra aleatoria de tamaño n. Solución: Si recordamos la función de densidad de una variable Normal: f x e x () ( ) 1 2 2 2 2 2 Para una muestra de tamaño n, la función de verosimilitud es la siguiente: ( , ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 n x e i La función de verosimilitud transformada es: L n n x i ln ln ln ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 Se calculan las primeras derivadas parciales para cada uno de los dos parámetros, pues son las condiciones de primer orden para maximizar la función “L”: L x L n x i i 1 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 ( ) ( )
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Muestreo de Estadística II
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POBLACIN NORMAL-ESTIMACIN MXIMO VEROSMIL
La variable aleatoria X sigue una distribucin Normal de parmetros desconocidos. Estime
ambos parmetros por el mtodo de la Mxima Verosimilitud a partir de una muestra aleatoria
de tamao n.
Solucin: Si recordamos la funcin de densidad de una variable Normal:
f x ex
( )( )
1
2 22
2
2
Para una muestra de tamao n, la funcin de verosimilitud es la siguiente:
( , )( )
2
2
21
2
2
2
n
x
ei
La funcin de verosimilitud transformada es:
Ln n
xi ln ln ln ( ) 2 2 2 122 2 2
Se calculan las primeras derivadas parciales para cada uno de los dos parmetros, pues son las
condiciones de primer orden para maximizar la funcin L:
Lx
L nx
i
i
12
2
21
2
2
2 2 42
( )
( )
-
Igualando a cero nos queda:
x n
xn
x
n xx x
n
i MVi
i MVi
( ) ( )
0
02 2 22
-
Inferencia Estadstica aplicada a la empresa. Llorente,F.; Marn, S.; Torra. S.(2001)
Ejemplo 2.4.(pgina 79)
En una distribucin Normal de parmetros desconocidos, se definen los dos siguientes
estimadores para la varianza poblacional:
sx xn
sx x
ni i2
22
2
1=
= ( ) ( )
*
Cul de los dos estimadores es ms eficiente en trminos relativos?
Solucin:
Hay que calcular para cada uno de ellos el valor del E.C.M., es decir, su sesgo y su
varianza. Para el primer estimador:
E s Ex xn n
En
n
Var s Varx xn
Varn n
Varn
n n
in
i nn
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
22
21
2 2 2
22 2
12 4
2 12
4
2
4
11
11
11
1 1 12 1
12
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Como el segundo estimador est relacionado con el primero de la forma siguiente:
( )s n n s*2 21= ; los clculos los basaremos en esta relacin:
E sn
nE s
nn
Sesgo sn
n n
Var sn
nVar s
nn n
nn
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
* *
*
2 2 2 2 2 22
22
22
2
2
4
24
1 1 1
1 1 21
2 1
=
=
=
=
=
=
=
Al comparar el cociente de los E.C.M. de cada uno se obtiene:
E C M sE C M s
nnn n
n
nn
n
n n
. . .( )
. . .( ) ( ) ( )*
2
2
4
24
2 2
4
4
2 2
21
2 1
21
2 1
21
2 1=
+
=
=
> 1
Por este criterio, el estimador s*2 es el ms eficiente en trminos relativos.
-
INTERVALO DECONFIANZA-Nivel de probabilidad
