Tema 3. Contraste de la normalidad multivariante -...

Análisis Multivariante - Máster en técnicas estadísticasCurso 2010-2011

Tema 3. Contraste de la normalidad multivariante

César A. Sánchez Sellero

Índice

1. Introducción 2

2. Contraste de la normalidad univariante 2

2.1. Test basado en la asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Test basado en la kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Contraste de la normalidad multivariante 10

3.1. Conceptos previos: invariancia, estandarización, y distancias y ángulos de Mahalanobis 10

3.2. Tests basados en medidas de asimetría y kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3. Extensiones multivariantes del test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4. Aplicación práctica de los test de normalidad multivariante . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

2 Análisis Multivariante

1. Introducción

En el tema anterior se han estudiado los procedimientos naturales de inferencia sobre el vector demedias y la matriz de covarianzas, bajo suposición de normalidad en la distribución del vector devariables observadas.

Esta hipótesis de normalidad es esencial en muchos de aquellos procedimientos. Por ejemplo, laforma elíptica de las regiones de confianza es consustancial a la forma de la distribución normalmultivariante. Si la forma en que se presentaran las observaciones en el espacio no fuera elíptica,tampoco lo debería ser una región de confianza para el vector de medias.

En este tema veremos una breve introducción a los métodos de contraste de normalidad en obser-vaciones multivariantes. Empezaremos con un repaso de los métodos de contraste de la normalidaden el caso univariante. Este será el objeto de la Sección 2, en la cual se podrán fijar algunos concep-tos y prestar atención singular a los métodos susceptibles de ser extendidos al caso multivariante.

En la Sección 3 se abordan algunos métodos (los más representativos) para el contraste de norma-lidad multivariante. Están basados en la extensión de las medidas de asimetría, kurtosis, así comodel test de Shapiro-Wilk al caso multivariante.

En este tema, además del objetivo de contraste de normalidad, conseguiremos una mejor compren-sión de cómo se pueden disponer los datos en el espacio multidimensional.

2. Contraste de la normalidad univariante

Se han desarrollado muchos procedimientos para el contraste de la normalidad en el caso uni-variante. No es el objetivo de esta sección el recorrerlos todos. Por el contrario, nos centraremosúnicamente en aquellos que se extienden de manera más natural al caso multivariante. Serán losmétodos basados en la asimetría, la kurtosis, y el test de Shapiro-Wilk.

2.1. Test basado en la asimetría

Es bien conocido que la distribución normal es simétrica en torno a su media. Como además, laforma más común de desviarse respecto de la normalidad es por falta de simetría, por ejemploen variables positivas, parece lógico construir un método de contraste en base a cierta medida deasimetría.

Si X1, . . . , Xn es una muestra aleatoria simple (observaciones independientes e idénticamente

Tema 3. Contraste de la normalidad multivariante 3

Histogram of z

z

Fre

quen

cy

−1 0 1 2 3

01

23

45

6

Figura 1: Representación de 30 datos simulados con distribución normal estándar.

distribuidas), el coeficiente de asimetría muestral se define como

A =(1/n)

∑ni=1

(Xi − X̄

)3S3

=1

n

n∑i=1

(Xi − X̄

S

)3

siendo X̄ = (1/n)∑n

i=1Xi la media muestral y S2 = (1/n)∑n

i=1(Xi − X̄)2 la varianza muestral.

Es la media de las potencias cúbicas (también llamado momento de orden tres) de los valoresestandarizados. Al estar estandarizados, habrá observaciones a ambos lados de la media, mante-niendo un equilibrio (en orden uno). Sin embargo, la potencia tres que se emplea en el coeficientede asimetría, rompe el equilibrio en caso de distribución asimétrica. Lo vemos en las Figuras 1 y 2.

A pesar de haber sido simulados con distribución normal, en la Figura 1 hay una leve asimetríahacia la derecha, lo cual da lugar a un índice de asimetría muestral de 0’3384.

En la Figura 2 se representa a la izquierda el histograma asociado a 30 datos simulados con dis-tribución exponencial de media 1. En la derecha se muestra el histograma de los mismos datos,tras cambiarles el signo. El coeficiente de asimetría muestral vale 1’718 a la izquierda y -1’718 a laderecha.

Si la distribución de los datos muestrales es normal, entonces el coeficiente de asimetría tienedistribución asintótica normal de media cero y varianza 6/n, por lo que se puede emplear comoestadístico de contraste el siguiente: √

n

6A ≈ N(0, 1)


Histogram of x

x

Fre

quen

cy

0 1 2 3 4 5 6 7

02

46

810

Histogram of x

xF

requ

ency

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0

02

46

810

Figura 2: Representación de 30 datos simulados con distribución exponencial de media 1 (gráficode la izquierda) y sus opuestos (gráfico de la derecha).

Se rechazará la normalidad, en base al coeficiente de asimetría, cuando el estadístico anterior seamuy grande (en positivo o negativo), en comparación con los cuantiles de la N(0, 1).

Ejemplo 1. Vamos a presentar los resultados del contraste sobre los mismos datos simulados quese han utilizado para ilustrar las explicaciones anteriores.

El código R se encuentra en el anexo al final del tema, bajo el título de Ejemplo 1.

A continuación se muestran los valores de los coeficientes de asimetría, los estadísticos de con-traste y los niveles críticos asociados, para los datos simulados de la distribución normal, de laexponencial y los opuestos de los datos exponenciales. Como cabía esperar, la pequeña asimetríamuestral de los datos normales no resulta significativa, mientras que sí lo es con los datos expo-nenciales.

> c(a_normal,a_exponencial,-a_exponencial)

[1] 0.338375 1.717739 -1.717739

> c(estadistico_normal,estadistico_exponencial,-estadistico_exponencial)

[1] 0.7566295 3.8409814 -3.8409814


> c(pvalor_normal,pvalor_exponencial,pvalor_exponencial)

[1] 0.4492718469 0.0001225434 0.0001225434

2.2. Test basado en la kurtosis

Partiendo de la muestra X1, . . . , Xn, el coeficiente de apuntamiento o kurtosis se define como

K =1

n

n∑i=1

(Xi − X̄

S

)4

− 3

siendo X̄ = (1/n)∑n

i=1Xi la media muestral y S2 = (1/n)∑n

i=1(Xi − X̄)2 la varianza muestral.En esta definición se resta tres para que el coeficiente valga cero en la distribución normal.

Recordemos que las características de posición se calculan mediante un momento de orden uno(la media), las de dispersión a través de un momento de orden dos (la varianza) y la asimetría conun momento de orden tres (el coeficiente de asimetría).

Pues bien, la kurtosis se calcula a través del momento de orden cuatro, pues de esta manera sepueden medir características de forma, que son un refinamiento todavía más detallado en el análisisde la distribución.

Lo vemos en la Figura 3, en la cual se representan tres distribuciones con la misma media, desviacióntípica y asimetría (asimetría cero, pues son simétricas). Son la T de Student con 5 grados de liber-tad, la normal y la uniforme, ambas con la misma media y desviación típica que la T5. Para ello, setoma la normal con media cero y desviación típica

√5/3, y la uniforme entre −

√5 y

√5.

En la Figura 3 vemos que la distribución T de Student es la que presenta una mayor concentraciónde probabilidad en las proximidades de la media, así como en las colas (lejanías extremas)1. Estohace que tenga un coeficiente de apuntamiento más grande.

Por el contrario, la distribución uniforme es la que presenta menor densidad en las proximidades dela media, y carece de colas. En este caso, la densidad es más grande en los valores con desvia-ciones intermedias (µ − σ) y (µ + σ). Como resultado, el coeficiente de apuntamiento será máspequeño para la distribución uniforme.

La distribución normal presenta un comportamiento intermedio entre la T5 y la uniforme.

1El fenómeno de la cola es difícilmente perceptible en la Figura 3. Aún así, se puede observar que el trazo rojo,correspondiente a la T5, se encuentra ligeramente más elevado que el azul, correspondiente a la normal, en las colas. Esuna pequeña diferencia a la vista, porque ambas densidades convergen a cero en las colas. Sin embargo, la consecuenciaes que la T5 presenta una frecuencia no despreciable de observaciones muy grandes, cosa que no ocurre con la normal.Estas observaciones grandes (o extremas), al elevarlas a la potencia cuarta, aportan una contribución considerable a lakurtosis.


−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

yt

Figura 3: Funciones de densidad normal (trazo azul), T de Student (trazo rojo) y uniforme (trazoverde). La T de Student tiene cinco grados de libertad, y las distribuciones normal y uniforme hansido tomadas con la misma media y varianza que la T5.

Si una distribución tiene un apuntamiento similar al de la normal decimos que es mesocúrtica, si elapuntamiento es mayor se dice leptocúrtica, y si es menor se dice platicúrtica. La T de Studentes una distribución leptocúrtica y la uniforme platicúrtica.

Volviendo al propósito de contraste de la normalidad, si estamos ante una distribución simétrica,podemos valorar una posible desviación del modelo normal en función de su apuntamiento o kurto-sis. Rechazaremos la normalidad si la kurtosis muestral es mucho mayor o mucho menor que cero,que es lo que corresponde a la distribución normal.

Ciertos cálculos de probabilidad, que omitimos aquí, permitieron determinar la distribución de lakurtosis muestral, bajo la hipótesis nula de normalidad. Así, si la distribución de los datos muestraleses normal, entonces la kurtosis tiene distribución asintótica normal de media cero y varianza 24/n,por lo que se puede emplear como estadístico de contraste el siguiente:√

n

24K ≈ N(0, 1)

Se rechazará la normalidad, en base a la kurtosis, cuando el estadístico anterior sea muy grande(en positivo o negativo), en comparación con los cuantiles de la N(0, 1).

Ejemplo 2. Vamos a extraer muestras simuladas de tamaño 100 de cada una de las tres distribu-ciones que se han comentado en esta sección, y cuyas densidades se representan en la Figura 3:


T5 de Student, normal y uniforme. El código R figura en el anexo al final de tema. A continuaciónmostramos los valores obtenidos para el coeficiente de apuntamiento, el estadístico de contraste,que no es más que la estandarización del coeficiente, y el nivel crítico para el contraste.

Los resultados son los que cabía esperar. Así, el coeficiente de apuntamiento muestral es próximo acero para la normal, negativo para la uniforme y positivo para la T5. Al estandarizarlos, se obtienencantidades comparables con la N(0, 1), que arrojan los niveles críticos que aparecen en la últimalínea. Las discrepancias más significativas se obtienen con la T5 de Student.

> c(k_normal,k_uniforme,k_tstudent)

[1] -0.1864935 -1.1646089 1.6039029

> c(estadistico_normal,estadistico_uniforme,estadistico_tstudent)

[1] -0.3806784 -2.3772480 3.2739530

> c(pvalor_normal,pvalor_uniforme,pvalor_tstudent)

[1] 0.703441930 0.017442358 0.001060542

2.3. Test de Shapiro-Wilk

Consideremos los datos estandarizados

Zi =Xi − X̄

Si ∈ {1, . . . , n}

El estadístico de Shapiro-Wilk se construye de la siguiente manera:

W =

[n/2]∑i=1

ai,n(Z(n−i+1):n − Zi:n

)siendo Z1:n < . . . < Zn:n la muestra ordenada de los datos estandarizados y ai,n ciertas constan-tes. Consiste en calcular las distancias entre los datos de la muestra ordenada, simétricos respectode la mediana, esto es, la distancia entre el primero y el último, el segundo y el penúltimo, y asísucesivamente; en general el Zi:n y el Z(n−i+1):n. El propósito es comparar estas distancias con lasque habría en una muestra de observaciones normales.

Al final, el coeficiente de determinación tiene una relación muy estrecha con el QQ-Plot, pues sepuede interpretar como el coeficiente de determinación de los puntos representados en el QQ-Plot.


En consecuencia, se rechazará la normalidad cuando el estadístico de Shapiro-Wilk sea pequeño,pues eso será debido a que los puntos del QQ-Plot se alejan de la recta esperada.

Ejemplo 3. Vamos a extraer muestras simuladas de tamaño 100 de cada una de las distribucionesvistas en las secciones anteriores: normal, exponencial, uniforme y T de Student.

Ciertos parámetros de estas distribuciones, como media, desviación típica u otros, que en las sec-ciones anteriores se determinaron con el propósito de facilitar la comparación, ahora son irrele-vantes, porque el test de Shapiro-Wilk comienza con una estandarización de los datos.

La idea es que el test de Shapiro-Wilk es más general, pues permite detectar tanto defectos desimetría como de kurtosis, o incluso de otro tipo no considerado por los tests anteriores.

En la Figura 4 se representan los cuatro QQ-Plots. El primero de ellos, situado en la esquina su-perior izquierda, corresponde a los datos simulados de una distribución normal. Hay leves desvia-ciones respecto de la recta en la cual estarían los datos que coinciden con los cuantiles esperadosbajo normalidad. Estas desviaciones son perfectamente justificables por el azar. Los resultados deltest de Shapiro-Wilk figuran debajo, donde se obtuvo como valor del estadístico 0’9938 y como nivelcrítico 0’931. Se acepta por tanto la normalidad.

> shapiro.test(z)

Shapiro-Wilk normality test

data: z

W = 0.9938, p-value = 0.931

En el gráfico situado en la esquina superior derecha se presenta el QQ-Plot asociado a la muestrade observaciones exponenciales. Los puntos deberían encontrarse sobre la línea, si procedieran dela distribución normal. Sin embargo, la falta de simetría hace que los cuantiles grandes estén muypor encima de la recta. Los cuantiles pequeños también se encuentran por encima de la media,aunque no tan distanciados.

Los dos gráficos inferiores representan distribuciones simétricas. En ambos casos, los cuantiles delas colas no coinciden con los esperados bajo distribución normal. La diferencia es que la distribu-ción uniforme tiene un comportamiento más regular, con un conjunto amplio de observaciones quediscrepan de la normalidad. Por el contrario, en la distribución T de Student casi todas las obser-vaciones se asemejan bastante bien a la distribución normal, mientras que de vez en cuando unaspocas observaciones pueden adoptar valores extremos incompatibles con la normalidad.

En los tres casos los niveles críticos conducen al rechazo de la normalidad. No reproducimos todaslas salidas, que puede obtener el lector ejecutando el código R, que se acompaña en el anexo aeste tema.


−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

Datos normales

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

−2 −1 0 1 2

01

23

45

Datos exponenciales


Sam

ple

Qua

ntile

s

−2 −1 0 1 2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Datos uniformes


Sam

ple

Qua

ntile

s

−2 −1 0 1 2

−4

−2

02

Datos T de Student


Sam

ple

Qua

ntile

s

Figura 4: QQ-Plots de datos simulados de distintas distribuciones.


3. Contraste de la normalidad multivariante

En esta sección veremos cómo se pueden extender los conceptos de asimetría y kurtosis al ca-so multivariante. Asimismo, también se verá la manera de extender el test de Shapiro-Wilk condatos multivariantes. Empezamos estudiando ciertos conceptos previos en relación con este tipode contrastes.

3.1. Conceptos previos: invariancia, estandarización, y distancias y ángulos de Ma-halanobis

Sabemos que la normalidad se conserva frente a traslaciones y transformaciones lineales, esto es:

Para cualesquiera b vector de dimensión d y A matriz d× d no singular,

X tiene distribución normal ⇐⇒ AX + b tiene distribución normal

Por tanto, si estamos contrastando que el vector X tenga distribución normal, tanta evidencia habráa favor o en contra de esta hipótesis, si empleamos los datos de X como si empleamos los datostransformados AX + b.

Definición . Diremos que un test de normalidad multivariante es invariante si proporciona losmismos resultados con los datos originales que con datos transformados por traslaciones o trans-formaciones lineales.

Nos parece que la invariancia es una propiedad deseable para un test de normalidad.

Ahora, si somos libres de transformar los datos, se nos ocurre aplicar la estandarización multivarian-te, pues es una transformación que los simplifica al suprimirles la media y la matriz de covarianzas.

Pasamos entonces de los datos originales X1, . . . , Xn a los datos estandarizados:

Zi = S−1/2(Xi − X̄

)siendo X̄ la media muestral y S la matriz de covarianzas muestral.

La idea es que los datos Z1, . . . , Zn deberían presentar una distribución normal estándar, esto es,deberían mostrar un aspecto esférico, sin especial predilección por unas direcciones frente a otras,y con mayor concentración en la zona central.

Las distancias de Mahalanobis de las observaciones al vector de medias se pueden expresar así:

rii =(Xi − X̄

)S−1

(Xi − X̄

)= Z ′

iZi = ∥Zi∥2

Ahora consideramos los valores

rij =(Xi − X̄

)S−1

(Xj − X̄

)= Z ′

iZj = ∥Zi∥ · ∥Zj∥ · cos(θij)


−3 −2 −1 0 1 2

−2

−1

01

2

(a)

(b)

−(b)

Figura 5: Representación de los valores rij .

siendo θij el ángulo que forman las observaciones estandarizadas Zi y Zj en el espacio usual.

En este momento definimos θij como el ángulo de Mahalanobis que forman las observaciones Xi

y Xj en el espacio original.

En la Figura 5 se representa una muestra de observaciones, que han sido estandarizados. Por tan-to, las distancias y los ángulos de Mahalanobis coinciden con las distancias y ángulos ordinarias enesta representación. El punto central, representado en color azul, es la posición del vector de me-dias. En el gráfico se han destacado también dos puntos, denotados por (a) y (b), respectivamente.

Las longitudes de las flechas, que son sus distancias al vector de medias, serían las raíces cuadra-das de sus valores rii y rjj . El valor rij para este par de puntos sería el producto de las longitudes,multiplicado por el coseno del ángulo que forman las dos flechas. Así, si el ángulo es de 90 grados,rij vale cero, si es menor de 90 grados rij es positivo, y si es mayor de 90 grados es negativo. Deeste modo, rij refleja si los dos puntos (a) y (b) están del mismo lado o si se encuentran en ladosopuestos. Esto será utilizado en la sección siguiente para definir una medida de asimetría.

3.2. Tests basados en medidas de asimetría y kurtosis

Existen diversas formas de definir medidas de asimetría y kurtosis con datos multivariantes. Consi-deraremos aquí las introducidas por Mardia.


Coeficiente de asimetría multivariante

Así, calcularemos la asimetría de la siguiente manera:

Am =1

n2

n∑i=1

n∑j=1

r3ij

En la Figura 5 se ofrece una representación que resulta muy útil para interpretar los valores rij .Como vimos en la sección anterior, rij es positivo si los dos puntos en cuestión, (a) y (b) en elgráfico, están del mismo lado (ángulo inferior a 90 grados). Por el contrario, rij será negativo si seencuentran en lados opuestos respecto del vector de medias.

Siempre se cumple quen∑

i=1

rij = 0 =

n∑j=1

rij

esto es, se cancelan los valores positivos con los negativos, lo cual es muy comprensible, pues elvector de media ocupa la posición central. Esto también se cumplía en el caso univariante.

Sin embargo, al elevar al cubo los rij , se desequilibra este balance. Para mantener el equilibrio, porcada punto, como el (b), tendría que haber otro punto, que se representa como -(b) en el gráfico,situado en la posición contraria a (b) respecto del vector de medias. Los puntos (b) y -(b) tendríanlos mismos valores rij con el resto de la muestra, pero con signos cambiados. Al efectuar cualquierpotencia impar, como el cubo, se cancelarían.

Así, si cada punto de la muestra tuviera otro punto simétrico en la propia muestra, el coeficiente deasimetría valdría cero. En otro caso, si la simetría se cumple aceptablemente, el coeficiente seríasólo algo mayor que cero, mientras que si hay un comportamiento claramente distinto en ladosopuestos, el coeficiente de asimetría sería más grande.

En la Figura 6 se presentan seis ejemplos de muestras bivariantes de tamaño 40. Mediante puntoshuecos de color negro se representan los datos muestrales, con un punto relleno de color azul serepresenta el vector de medias y con una elipse de color azul se representa la matriz de covarianzas,siguiendo el procedimiento del documento de Preliminares.

El gráfico (b) contiene 40 puntos situados en una circunferencia centrada en cero. El coeficientede asimetría vale cero. El gráfico (a) representa datos simulados de la distribución normal. A nivelteórico, la distribución normal multivariante tiene un coeficiente de asimetría teórico igual a cero. Sinembargo, a nivel muestral dicho coeficiente puede ser algo mayor que cero. Los datos del gráfico(a) presenta un valor de 0’299 para el coeficiente de asimetría multivariante, Am.

En el gráfico (c) se representan datos bivariantes con marginales exponenciales e independientes.La asimetría del modelo se refleja en un coeficiente de asimetría muestral de 15’04.

En el gráfico (d) se han simulados tres grupos de datos normales multivariantes. Esto hace que ladistribución de la muestra completa no sea normal. De hecho, la presencia de varios grupos es una


causa muy común de falta de normalidad. También es común que produzca un efecto de asimetría,que permite detectar esa falta de normalidad. En este caso, el coeficiente Am ha tomado el valor2’45.

En el gráfico (e) se representó una muestra simulada cuyas marginales tienen distribución deLaplace y son independientes. Entonces la distribución teórica es simétrica. Sin embargo el co-eficiente de asimetría muestral Am tomó el valor 6’14, lo cual es grande. La causa se encuentra enalgunos valores extremos, que son frecuentes en un modelo Laplace, y que desequilibran la mues-tra. Recordemos que la distribución de Laplace se puede ver como diferencia de dos exponencialesindependientes.

En el gráfico (f) se han simulado observaciones uniformes en el cuadrado unidad. El modelo teóricoes simétrico y de hecho el valor muestral de Am ha sido 0’484.

Como test de normalidad, y dado que la distribución normal es simétrica, rechazaremos la nor-malidad, por falta de simetría, si el coeficiente Am es demasiado grande, comparado con ciertosvalores tabulados correspondientes a muestras normales. Aproximaremos estos valores por simu-lación. Los detalles sobre la aplicación práctica del test se encuentran en la sección 3.4.

Coeficiente de kurtosis multivariante

El coeficiente de kurtosis propuesto por Mardia adopta la forma siguiente:

Km =1

n

n∑i=1

r2ii

A la vista de esta definición, el coeficiente de kurtosis está basado únicamente en los valores rii.Como rii es el cuadrado de la distancia del dato i-ésimo al vector de medias, los valores r2ii quefiguran en la definición de Km son las potencias cuartas de estas distancias.

Por tanto, el coeficiente Km generaliza la medida de kurtosis al caso multivariante como estaspotencias cuartas de la distancia a la media. De esta manera, para la kurtosis no importará ladirección o sentido de la desviación respecto de la media, sino únicamente la magnitud de dichadesviación. Se trata, pues, de detectar si los datos se agrupan en torno a la Media±Desviacióntípica, que en el caso multivariante sería la elipse en azul de la Figura 6, o si por el contrario seagrupan o muy cerca de la media o muy lejos de ésta. Si están cerca de la elipse la kurtosis serápequeña (distribución platicúrtica), y si están o muy cerca de la media o muy lejos de ella, la kurtosisserá grande y diremos que la distribución es leptocúrtica.

Igual que en el caso univariante, la distribución normal multivariante presenta un valor intermedio dekurtosis (diríamos que es mesocúrtica). Así, en el gráfico (a) de la Figura 6 el valor del coeficientede kurtosis Km es 7’56. Los gráficos (b), (d) y (f) presentan valores menores, serían platicúrticos,mientras que los gráficos (c) y (e) son leptocúrticos.

Respecto del contraste de normalidad, el test basado en la kurtosis rechazará la normalidad tanto


−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

(a) Normales

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

00.

00.

51.

0

(b) Circunferencia

0 2 4 6

0.0

1.0

2.0

3.0

(c) Exponenciales

8 10 14 18

810

1214

16

(d) Tres grupos

−2 0 2 4 6

−4

−2

02

46

(e) Distribuciones de Laplace

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

(f) Uniforme en el cuadrado

Figura 6: Ejemplos de muestras bivariantes para su contraste de normalidad.


para valores demasiado grandes como para valores demasiado pequeños de Km. De nuevo, losvalores críticos están tabulados y los aproximaremos por simulación siguiendo las pautas de lasección 3.4.

3.3. Extensiones multivariantes del test de Shapiro-Wilk

Existen diversas maneras de extender el test de Shapiro-Wilk. Nos centraremos en una idea muysencilla, que surge del concepto de invariancia. Así, el vector aleatorio es normal multivariante si ysólo si su estandarización lo es, esto es:

X ∈ Nd(µ,Σ) ⇐⇒ Z = Σ−1/2(X − µ) ∈ Nd(0, Id)

Lo interesante es que Z tiene sus d componentes (las d variables) incorrelacionadas, y entonces Z

es normal si y sólo si sus componentes son normales. Ante tal resultado, basta con comprobar silas d variables resultantes de la estandarización multivariante son normales.

Volvemos entonces a los datos estandarizados:

Zi = S−1/2(Xi − X̄

)siendo X̄ la media muestral y S la matriz de covarianzas muestral.

Si W1, . . . ,Wd son los estadísticos de Shapiro-Wilk de cada componente de Z1, . . . , Zn, entoncespodemos considerar el estadístico de Shapiro-Wilk multivariante:

WV G =1

d

d∑j=1

Wj

Este estadístico ha sido propuesto por Villasenor Alva y González Estrada (2009).

Se rechazará la normalidad cuando WV G sea pequeño, en comparación con ciertos valores tabula-dos, que de nuevo podemos aproximar por simulación, según se indica en la sección 3.4, que vienea continuación.

3.4. Aplicación práctica de los test de normalidad multivariante

Para la aplicación práctica de los tests de normalidad multivariante hemos programado tres fun-ciones en código R, que figuran en los anexos al final del tema:

representa (x,texto) A partir de una matriz x de observaciones bivariantes (dos columnas), obtieneun gráfico de dispersión, acompañado del vector de media y la matriz de covarianzas.


estadisticos (x) A partir de una matriz x de observaciones multivariantes (con cualquier númerode columnas), calcula los estadísticos Am, Km y WV G.

pvalores (d,n,ns,am0,km0,w0) A partir de los valores d=número de variables, n=tamaño muestral,ns=número de muestras simuladas, am0=valor de Am en la muestra, km0=valor de Km en lamuestra y w0=valor de WV G en la muestra, proporciona una tabla aproximada por simulacióncon los cuantiles de estos estadísticos bajo la hipótesis de normalidad, y aproxima tambiénpor simulación los niveles críticos para el contraste de normalidad.

Para poder emplear estas funciones, habría que ejecutar el código correspondiente a cada una deellas. La ejecución de ese código no genera salidas ni cálcuo alguno, sino que “compila" el código,como paso previo para poder llamar a las funciones.

Para la ejecución de los tests sólo son necesarias las funciones estadisticos y pvalores, mientrasque la función representa sirve para representar los datos en el caso bivariante.

En el último anexo se encuentra el código para la obtención de los seis ejemplos representados enla Figura 6, así como para el contraste de normalidad sobre ellos.

Este código contiene una parte dedicada a la simulación de las muestras y definición de variables.Para realizar los tests en otra muestra, no necesariamente obtenida por simulación, bastaría conejecutar las funciones:

> estadisticos(x)

> est

> pvalores(d,n,ns,est[1],est[2],est[3])

donde las variables x, d, n y ns deben contener los valores correspondientes.

Sobre los seis ejemplos simulados, comentaremos la salida de resultados para el último ejemplo.Los demás siguen la misma estructura.

El vector est contiene los valores del coeficiente de asimetría Am, el coeficiente de kurtosis Km yel estadístico de Shapiro-Wilk multivariante WV G. Los vemos a continuación.

> est # Estadísticos

Asimetría Kurtosis Shapiro-Wilk

0.4844482 6.2222052 0.9538382

Para saber si estos valores son grandes o pequeños, de cara al contraste de normalidad, se com-paran con los cuantiles en 10.000 muestras simuladas de una distribución normal. Los resultadosfiguran debajo. En primer lugar se presentan los cuantiles. Los órdenes de los cuantiles son 0.01,


0.025, 0.05, 0.1, 0.5, 0.9, 0.95, 0.975, 0.99. La mediana es el cuantil 0.5, que sería un valor dereferencia para saber si el estadístico en cuestion (Asimetría, Kurtosis o Shapiro-Wilk) es grande opequeño.

Así, la asimetría de esta muestra es 0’484 lo cual es superior a 0’427, que es la mediana bajo nor-malidad. Por tanto, esta muestra es algo más asimétrica que lo que corresponde bajo normalidad.Para saber si este resultado es significativo como para rechazar la normalidad, recordamos que serechaza la normalidad si la asimetría es grande. Por tanto, el nivel crítico sería la probabilidad quedeja 0’484 a su derecha. Esa probabilidad, nivel crítico, vale 0’4386. Se aproximó por simulaciónconsiderando que 4.386 de las 10.000 muestras simuladas tenían una asimetría superior al valor0’484 obtenido en la muestra original.

Para la kurtosis, su valor en la muestra original ha sido de 6’22, lo cual es inferior a 7’49, que esla mediana bajo normalidad. Por tanto, esta distribución es algo más platicúrtica que lo que corre-spondería bajo normalidad. Para efectuar el contraste recordamos que se rechaza la normalidadtanto por exceso como por defecto de kurtosis. El valor muestral 6’22 se encuentra entre el cuantil0’025 y el cuantil 0’05. El nivel crítico unilateral se hallará entre esos dos órdenes, mientras queel bilateral estará entre 0’05 y 0’10. El cálculo más preciso haciendo el recuento exacto sobre lasmuestras simuladas arroja un nivel crítico bilateral aproximado de 0’0948.

Para el estadístico de Shapiro-Wilk multivariante, el valor en la muestra original es de 0’954. Cuantomenor sea este estadístico, peor es el ajuste de normalidad, y se rechaza la normalidad cuandoel estadístico es muy pequeño. El valor 0’954 es inferior a la mediana bajo normalidad, que vale0’973. Además, se encuentra entre el cuantil 0’05 y el cuantil 0’1. Por tanto el nivel crítico se hallaráentre estos dos órdenes. Su valor aproximado de manera más precisa con las 10.000 muestrassimuladas es de 0’0566, pues sólo 566 de las 10.000 muestras simuladas presentaban un valor delestadístico inferior al de la muestra original.

> pvalores(d,n,ns,est[1],est[2],est[3])

$tabla

0.01 0.025 0.05 0.1 0.5 0.9

Asimetría 0.03549275 0.05503973 0.0847581 0.1253795 0.4266827 1.0577071

Kurtosis 5.87278811 6.04901296 6.2419949 6.4783751 7.4851531 8.8914292

Shapiro-Wilk 0.94019144 0.94735872 0.9529298 0.9582334 0.9733307 0.9829626

0.95 0.975 0.99

Asimetría 1.327830 1.607430 1.9728774

Kurtosis 9.429676 9.986294 10.6976297

Shapiro-Wilk 0.985076 0.986636 0.9882852

$Niveles_críticos

Asimetría Kurtosis Shapiro-Wilk

0.4386 0.0948 0.0566


Los resultados de los estadísticos y los niveles críticos para los seis ejemplos se obtienen ejecu-tando el código R del último anexo. Sólo la muestra (a) procede de una distribución normal. Lostests rechazan la normalidad de las demás muestras, excepto en el caso (f), cuya desviación de lanormalidad es menor.

Al igual que en el caso univariante, el test de Shapiro-Wilk es el mejor como método general decontraste de normalidad, mientras que los tests basados en la asimetría o la kurtosis son eficacespara detectar algunas alternativas más específicas.

Bibliografía.

Henze, N. (2002). Invariant tests for multivariate normality: a critical review. Statistical Papers, 43,467–506.

Mardia, K.V. (1975). Assessment of multinormality and the robustness of Hotelling’s T 2 test. Ap-plied Statistics, 24, 163–171.

Villasenor Alva, J.A. y González Estrada, E. (2009). A generalization of Shapiro-Wilk test for multi-variate normality. Communications in Statistics – Theory and Methods, 38, 1870–1883.


Código R para los ejemplos

Ejemplo 1. Test de asimetría en datos univariantes

set.seed(123456)

#--- Generación de observaciones normales

n=30

z=rnorm(n)

hist(z)

points(z,rep(0,n))

#--- Cálculo de la media, la varianza y el coeficiente de asimetría

med=mean(z)

s2=var(z)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

a_normal=mean(( (z-med)/s )^3)

points(med,0,col="blue",pch=19)

#--- Test basado en el coeficiente de asimetría

estadistico_normal=sqrt(n/6)*a_normal

pvalor_normal = 2 *( 1 - pnorm( abs(estadistico_normal) ) )

windows()

par(mfrow=c(1,2))

#--- Generación de observaciones exponenciales

u=runif(n)

x=-log(u)

hist(x)

points(x,rep(0,n))


med=mean(x)

s2=var(x)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

a_exponencial=mean((x-med)^3)/s^3


#--- Test basado en el coeficiente de asimetría

estadistico_exponencial=sqrt(n/6)*a_exponencial


pvalor_exponencial = 2 *( 1 - pnorm( abs(estadistico_exponencial) ) )

#--- Se cambia el signo a las observaciones

x=-x

hist(x)

points(x,rep(0,n))


med=mean(x)

s2=var(x)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

a=mean(( (x-med)/s )^3)


par(mfrow=c(1,1))

#--- Presentación de resultados

c(a_normal,a_exponencial,-a_exponencial)

c(estadistico_normal,estadistico_exponencial,-estadistico_exponencial)

c(pvalor_normal,pvalor_exponencial,pvalor_exponencial)

Ejemplo 2. Test de kurtosis en datos univariantes

set.seed(123456)

n=100


z=rnorm(n)

#--- Test basado en el coeficiente de kurtosis

med=mean(z)

s2=var(z)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

k_normal=mean( ( (z-med)/s )^4) - 3

estadistico_normal=sqrt(n/24)*k_normal

pvalor_normal = 2 *( 1 - pnorm( abs(estadistico_normal) ) )

#--- Generación de observaciones uniformes

z=runif(n)



med=mean(z)

s2=var(z)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

k_uniforme=mean( ( (z-med)/s )^4) - 3

estadistico_uniforme=sqrt(n/24)*k_uniforme

pvalor_uniforme = 2 *( 1 - pnorm( abs(estadistico_uniforme) ) )

#--- Generación de observaciones T de Student

z=rt(n,5)


med=mean(z)

s2=var(z)*(n-1)/n

s=sqrt(s2)

k_tstudent=mean( ( (z-med)/s )^4) - 3

estadistico_tstudent=sqrt(n/24)*k_tstudent

pvalor_tstudent = 2 *( 1 - pnorm( abs(estadistico_tstudent) ) )

#--- Presentación de resultados

c(k_normal,k_uniforme,k_tstudent)

c(estadistico_normal,estadistico_uniforme,estadistico_tstudent)

c(pvalor_normal,pvalor_uniforme,pvalor_tstudent)

Ejemplo 3. Test de Shapiro-Wilk con datos univariantes

set.seed(123456)

n=100

windows()

par(mfrow=c(2,2))


z=rnorm(n)

qqnorm(z,main="Datos normales")

qqline(z)

shapiro.test(z)

#--- Generación de observaciones exponenciales


z=rexp(n)

qqnorm(z,main="Datos exponenciales")

qqline(z)

shapiro.test(z)

#--- Generación de observaciones uniformes

z=runif(n)

qqnorm(z,main="Datos uniformes")

qqline(z)

shapiro.test(z)

#--- Generación de observaciones T de Student

z=rt(n,5)

qqnorm(z,main="Datos T de Student")

qqline(z)

shapiro.test(z)

par(mfrow=c(1,1))

representa: Función R que representa datos bivariantes, junto con el vector de me-dias y la matriz de covarianazas

representa=function(x,texto){

# Los datos se encuentran en la matriz x

#d=ncol(x) # Número de variables=2

n=nrow(x) # Número de individuos

#--- Cálculo del vector de medias y matriz de covarianzas

med=apply(x,2,mean)

sc=cov(x)

s=sc*(n-1)/n

#--- Diagonalización de s

auto=eigen(s)

v=auto$vectors

lambda=auto$values

#--- Representación


plot(x,xlab=texto,ylab="")

points(med[1],med[2],pch=19,col="blue")

tita=seq(0,2*pi,length=101) # Vector con los ángulos

medr=matrix(rep(med,101),byrow=TRUE,nrow=101)

# Truco para repetir el vector de medias diez veces, en 101 filas

elipse0=medr+t(sqrt(lambda[1])*v[,1]%*%t(cos(tita))

+sqrt(lambda[2])*v[,2]%*%t(sin(tita)))

lines(elipse0,col="blue")

}

estadisticos: Función R para el cálculo de la asimetría, la kurtosis y el estadístico deShapiro-Wilk en sus versiones multivariantes

estadisticos=function(x){

# Los datos se encuentran en la matriz x

d=ncol(x) # Número de variables

n=nrow(x) # Número de individuos


med=apply(x,2,mean)

sc=cov(x)

s=sc*(n-1)/n


auto=eigen(s)

v=auto$vectors

lambda=auto$values

si12=v%*%diag(1/sqrt(lambda))%*%t(v)

#--- Estandarización multivariante

xs=(x-rep(1,n)%*%t(med))%*%si12

#--- Similaridades

r=xs%*%t(xs)

#--- Cálculo de los estadísticos

am=sum(r^3)/(n*n)

km=sum(diag(r)^2)/n


w=0

for (j in 1:d){s=shapiro.test(xs[,j])

w=w+s$statistic}

w=w/d

salida=c(am,km,w)

names(salida)=c("Asimetría","Kurtosis"," Shapiro-Wilk")

salida}

pvalores: Función R que aproxima por simulación los cuantiles de los estadísticosmultivariantes, y los niveles críticos

pvalores=function(d,n,ns,am0,km0,w0){

set.seed(123456)

am=c() # Inicialización de vectores

km=c()

w=c()

for(is in 1:ns){

#--- Generación de un vector normal multivariante

x=matrix(rnorm(d*n),ncol=d)


med=apply(x,2,mean)

sc=cov(x)

s=sc*(n-1)/n


auto=eigen(s)

v=auto$vectors

lambda=auto$values

si12=v%*%diag(1/sqrt(lambda))%*%t(v)

#--- Estandarización multivariante

xs=(x-rep(1,n)%*%t(med))%*%si12

#--- Similaridades


r=xs%*%t(xs)

#--- Cálculo de los estadísticos

am[is]=sum(r^3)/(n*n)

km[is]=sum(diag(r)^2)/n

w[is]=0

for (j in 1:d){s=shapiro.test(xs[,j])

w[is]=w[is]+s$statistic}

w[is]=w[is]/d

}

p=c(0.01,0.025,0.05,0.1,0.5,0.9,0.95,0.975,0.99) # Órdenes de los cuantiles

am=sort(am)

qam=am[p*ns]

km=sort(km)

qkm=km[p*ns]

w=sort(w)

qw=w[p*ns]

tabla=rbind(qam,qkm,qw)

colnames(tabla)=p

rownames(tabla)=c("Asimetría","Kurtosis","Shapiro-Wilk")

pvalor_am0=sum(am>am0)/ns

pvalor_km0=sum(km>km0)/ns

pvalor_km0=2*min(pvalor_km0,1-pvalor_km0)

pvalor_w0=sum(w<w0)/ns

pvalores=c(pvalor_am0,pvalor_km0,pvalor_w0)

names(pvalores)=c("Asimetría","Kurtosis","Shapiro-Wilk")

list(tabla=tabla,Niveles_críticos=pvalores)

}


Código R para los seis ejemplos multivariantes

set.seed(123456)

d=2 # Número de variables

n=40 # Número de individuos

ns=10000 # Número de muestras simuladas para las aproximaciones

windows()

par(mfrow=c(3,2))

#--- Normales

x=cbind(rnorm(n),rnorm(n))

representa(x,"(a) Normales")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos

pvalores(d,n,ns,est[1],est[2],est[3])

#--- Una circunferencia

tita=seq(from=0,to=2*pi*39/40,by=2*pi/40)

x=cbind(sin(tita),cos(tita))

representa(x,"(b) Circunferencia")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos


#--- Exponenciales

x=cbind(rexp(n),rexp(n))

representa(x,"(c) Exponenciales")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos


#--- Mixtura de normales

n1=10

x1=cbind(10+rnorm(n1),10+rnorm(n1))

n2=20


n3=10


x=rbind(x1,x2,x3)


representa(x,"(d) Tres grupos")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos


#--- Distribuciones de Laplace

x1=rexp(n)

x2=rexp(n)

x3=rexp(n)

x4=rexp(n)

x=cbind(x1-x2,x3-x4)

representa(x,"(e) Distribuciones de Laplace")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos


#--- Distribuciones uniformes

x=cbind(runif(n),runif(n))

representa(x,"(f) Uniforme en el cuadrado")

est=estadisticos(x)

est # Estadísticos


par(mfrow=c(1,1))

Tema 3. Contraste de la normalidad multivariante -...

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