TEMA 3. Álgebra (II). Ecuaciones y sistemas. Matemáticas Aplicadas I

IES Melide 2015/16

5. Ecuaciones5.1. Ecuaciones de segundo grado

Ya hemos list aim resolver las emacines de Ztgrado complete .

Las incomplete tamkin las pdemos resolve Hands lafdrmukperolo mejory ma's rapid es usar el sigientemitodo .

A la emaion de segundo grad . le puede falter eltermino en

× o el termini independiente .

Ecuador del tip a ×2+c=O , at 0.

En este cab, despejamos x

'

y an,

x sera' trait Cuadrado

,siempx y uando el mimeo sea positiw .

ax2+c=O ; ax'

= - a ; x'

.= - to ; x=±Fa

tfexnftssizo; }×z=n ; x.tn#x2=4.x=HtxxszI2z

7×2+9=0 ; 7×2=-9 ; x ? - § ; x=±Ff no tiene rains reales.

Si le folta el tdrmino independiente ,sacamos factor Comins logue

sepueda y el product de los factors debe so Go .Por tanto

,Cada

factor lo igualamos a cero.

ax2+bx=o ; × ( ax +4=0 1×1=0\

ax +5=0 ; ax .- b; a- hat

En estos Cases,

una Shui oh sex siempoe cero .

5.2. Ecuaciones bicuadradas

Eject3×2-5×-0 ; × (3×-5)=0 ; 1×+3×-5=93×-5

; xz = 55

2×2+6×-0 ; 2×1×+31=0 ;1×1=0\

xt 3=0 ; xzi - 3

Son las emaiones del tip ax 4+5×4<=0 . Son ecnai ones

de grade 4 sin exponent impair .

Para resolve las,traumas el ( ambo xty , por logue ×4=y?

As '

,la euacioi original setransfoma en :

9×4+5×2 +c= 0 ajtbytc =O C Ecnacion de H grado

en yl .

Resolve moo esta men ecnaioh, y par cada rahr positive

de y ,habvi dos values de x. . x = try .

Ejemp÷3×2+36=0

Hacienda el camko y =x2, y'

- 13g +36=0

Por tanto. y = 13+-756/1= l3±At¥ , 13¥11

= 13¥ = 9

A Parter de y . = Q ×2= a ×=±rg ,× ,

= ra = }

'Y2= "¥=4

\x ,

- T9= - 3

yz = 4 xk 4 ×= ± of / ×s'

-A = 2

\Xu = . Th = - 2

Solna .

ones : x.

= 3, xz = - 3

,x

,'s 2

, xgi - 2

5.3. Ecuaciones con radicales

VER EJERLI C 105 RESVE LAS PA'

6.

78

ETERCKIOS 1 Y 2 Pa'

6 78

EJERCLCWS 18,19 ,20

,21

,22 4 23 PA

'

6 94

Son las emaiones en las que la incognita a enmutr bajo el signradical

.

El pro Kdimiento para retdvolas consist en aislar un radical,elerar

al Cuadrado ambos miembs,A queda un radical wlvrb a aislar

,ele -

VW al cuadrado,resolver la emacioi que obtengamos y COMPROBAR

LAS SOLVCLONES.

VER EJERCLAOS RESUELTOS Pk GINA 79

ETERCLCLOS : 3 Pa'

6 79 ;24,25 , 264127Pat 695

5.4. Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2

5.5. Ecuaciones exponenciales

En este cab . factor izamos elpolinomo y las rains delpdino .

mio serin las souci ones de la ecnaioin.

Por otra parte ,las ECAAONES can la incognita en eldenominator

no on objet de estudio, peo rpueden redw transform ando

ambos miembs en faciones algebras e igualando los nnmeradores.

Hath que ekminw las blnicnes que anulen el denominadw.

EJERCI Clos 28,

29 4 30 PA'

6.

95

Una ecuauoi es EXPONENCIAL cuando La incognita esta' en el

exponent:

e pueden resolve expresando ambos miembm Como potencies de la misma

base y depue's igudamos los exponent es.

Tamkin puede to necesario

haw un cambio de variable.

En

otnscanstambienpuedeestwindicadotomWlogaritmos.Encudguiercahtenemosguedominorlaspwp.edadesdeIaspoteniasydehslogaritmos.Ejemplos_i@3th-ztz.com

27=33,

31*2=3-3

Por tank, ignalams exponents .

tx ? -3; x 2=4 ; 4--3×2=-2

�2� 5*5×+6=1.En este can ponemos

1=50.

As'

,

5×2-5×+6=50:

Igualando exponents .x ? 5×+6=0 /×¥

×z=BSdnciones : ×

,= 2

, xz =3

�3� 2×+2×+1=13 . Eh este case, transform amos 2×+1=292

.

La euaioin queda : 2×+2.2×-12.

Haumos el cambia de

variable y=2× .

Entries : y +2g -12 ; 3y=t2 ; y=4Pw tanto

,4=2 ×

: x=2

�4� 5=18 ; Enestecahtomando logantmos decimates, por ejempb ,

leg3× ' log H ; x log 3 : logty . ×= lostlog 3

EJERCKLOS 7 Y 8 PEG.

81

EJEKCIUOS 374 38 Pa'6 96

5.6. Ecuaciones logarítmicasSon aguellas eurmime en las que la incognita ap area afectq

da por el logarithm .

Ej= .

-

�1� log zx = - 315.

Por la dfiiuin de logditmo,

×=[3.5

×=z÷=÷,=÷r=÷r= F- ¥�2� logxlb 9=2 ; Por la definition de logarithm ,

x ? 169 ; x=±F69

⇒ ×= 13 pues la base no puede so negative .

�3� log ×= log 15 - log 2 + log 3 . Aplicando las pvpiedades de loslogaritmos, log x = log 1¥ .

Asi,

x= 15¥ ;x=h£EJERCI ( 10 40 Pa

'

6.

96

6. Sistemas de ecuacionesUn SLSTENA DE EWA Clones es un Conjunto de emacicnes con

Varig incognita .

Una Sowcion del sistema es un conjunto de values ( ho paraCada incognita) que haun gene

Las eunaciones fear cietas.

Recor demos que si tenemos un sistema lined de dos ecnaciones

Con dos incognitos to podemos resolver por los me 't dos de SUSAN ain,

IGUALAC l£N YREDUCCLSN

.

Los dos primers mitodis tankers hs podemos war en Artemas no

line ales.

Not Un sistema es lineal a. las ecuaciones son polinomios de

ghdo 1.

tjxelftp.t.fm,

¥¥ uoteeaoltnol ; utgt - zott 360=9

t '. 96++1728=0 ; t=96±X#= q6±¥ ,

k=H¥=72it

, = 4¥ = 24

Si -4=72,

e ,= 20 (72-18)=1080

Sitz = 24, ez = 20.124-181=120

Sdniones : ( ta - -72,

e,

= 1080 )( tL= 24

. ez = 120 )

�2� 2x - y - 1=0

|×t7=y+z 12936 yen la 1 " euiaciai : y=z× . z

Sustituyendo en la Segunda emaeiai :

×2 -7=2×-1+2 ; x2 . 2×-8=0 ; ×=2±o¥2 . ¥ 1×1×2=-2

Six ,= 4 , y .= 2.4-1=7

S .

xz : - 2, yz= 2.1-21-1=-5

sohu.ws : ( ×,=4

, yn=7 )

( ×z= - 2, y ,

= - 5)

EJERACW Zal PKG 83

ETERCKLOS 41, 43 y 44 Pa 'G 96

6.1. Método de Gauss para sistemas linealesUn Sistema de 3 emaiones can 3 incognita se llama GRADUADO s

.

en

una de las eunaiones solo apace una incognita y en otk de las

earaches falta alguna de las Otar dos incognita .

As '

,es final resolve reo

. Despejams la incognita que esta'

sola en

la emaciois, derpue's snrtitimos eh valor en la euauai con dos

incognitos para calulw el valor de oth de Las incognita g final-

mente sustitnimos en la de tres incognita .

MEND DE G.÷

Es una generalization del mitodo de reduccioi gue vu a anhstir

en transformer el sistema original en mo grhdnado .

EjemphEE¥¥¥ti t¥¥e¥ EHIME:[islet:*× - 3g + 4 z = 21 × - 3.1+4 . 7=21 ; X = . 4

\ II?!' ' ⇐ '

y . ¥o⇒n

sohu.im : x= 4, y =L

,Z it

ETERCLCLOS 3 y 4 PA'

6.

85

SISTEMAS INCOMPATIBLES.

Si al aplica Gauss llegamos a una eanaiai del tpo O=n÷,

el sistema a incompatible ,no tiene sohu.ci

.

SLSTENAS INDETERMINABUJ.

En este Caso llegamos a 0=0.

Ueamos Como resolve mos estvs

Cato

jetI¥IHIt.it#IiiikHsIts::?osHIHIY.

⇐he;×+±±⇒→KII ⇒ 8ts =7 s . ⇐ - s ljIk ,

{ lamando Z =L,

X=2, y=d . 1

,2- =D

,DER es La Sobrio's del sistema

.

Para cada valor de d hay una sduuvi.

Si t=l,

( 2, 0,1 ) es sohu.ci Materna

.

Sorkin : ( 2,d - 1

,d)

,

der

ETERCKIO 5 Pa 'G 86

ETERCLC 6 5h Pa'

6 97