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1
Tema 2:
Juegos estáticos con información completa
Teoría de las decisiones y de los juegos.
2
Juego en forma normal
g = ( N={1,2,…,n},(S1,…,Sn), (u1,…,un) )N conjunto de jugadores, i œ N (finito)Si, conjunto de estrategias del jugador i ui: SØ√ pago (utilidad, beneficio) del jugador i (S = S1x…x Sn)
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2050-C
2
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Juego en forma normal
g = ( I={1,2,…,I},(S1,…,SI), (u1,…,uI) )I conjunto de jugadores, i œ I (finito)Si, conjunto de estrategias del jugador i ui: SØ√ pago (utilidad, beneficio) del jugador i (S = S1x…x SI )
No publicidadPublicidad
No publicidad Publicidad5080-C
2050-C
5050-C80-C
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4
¿Qué caracteriza a los juegos estáticos con información completa?
Supuestos básicos:Elección simultanea.
Información completa de pagos, estrategias, número de jugadores.
Racionalidad (cada uno maximiza su pago)
Conocimiento mutuo de la racionalidad. Yo soy racional y sé que los otros jugadores son racionales y también sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales y que yo sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales ….
3
5
Conceptos de solución
Dominancia y dominancia iterativa.
Equilibrio de Nash
6
2.2 Dominancia y dominancia iterativa
Definición de estrategia estrictamente dominada:La estrategia si œ Si es estrictamente dominada por si’ œ Si si,
( ) ( ) ,, iiiiiiii Ssssussu −−−− ∈∀>′
4
7
2.2 Dominancia y dominancia iterativa
Definición de estrategia débilmente dominada:La estrategia si es débilmente dominada por si’si
( ) ( )( ) ( ) ,, que tal
,,
iiiiiiii
iiiiiiii
ssussuSsySsssussu
−−−−
−−−−
>′∈∃∈∀≥′
8
Ejemplo 2.1: El dilema del prisionero
(-1,-1)
(0,-12)NC
(-12,0)NC
(-10,-10)CCA/B
2.2
Alfonso (A) y Bernardo (B) han sido arrestados bajo sospecha dehaber cometido un crimen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A cada uno se le da la oportunidad de confesar el crimen e incriminar al otro. Si solo uno de ellos escoge esta opción, este es premiado con la libertad mientras su compañero sufre una pena de 12 años. Si ambos confiesan, la evidencia recolectada es suficiente para condenar a ambos con una pena de 10 años. En cambio si ninguno confiesa no hay suficientes pruebas y ambos son condenados a 1 año de prisión.
1),(12),(
0),(10),(
},{
−=−=
=−=
==
NCNCuCNCu
NCCuCCu
NCCSS
A
A
A
A
BA
5
9
¿Hay alguna estrategia estrictamente o débilmente dominada?Para el jugador A:
Confesar maximiza la utilidad de A si B confiesa.
Confesar maximiza la utilidad de A si B no confiesaNo confesar (NC) es una estrategia estrictamente dominada por confesar (C) para A.
…El dilema del prisionero
),(),(
),(),(
NCNCuNCCuy
CNCuCCu
AA
AA
>
>
2.2
10
… El dilema del prisionero
Para el jugador B:
Confesar maximiza la utilidad de A si B confiesa.
Confesar maximiza la utilidad de A si B no confiesaNo confesar (NC) es una estrategia estrictamente dominada por confesar (C) para B.
),(),(
),(),(
NCNCuCNCuy
NCCuCCu
BB
BB
>
>
2.2
6
11
¿Cuál podría ser una solución natural de este juego?
… El dilema del prisionero
12
2.2 Dominancia y dominancia iterativa
Eliminación iterativa de estrategias dominadas.Ningún jugador elegirá una estrategia estrictamente dominada. Para el ejemplo 2.1 (dilema del prisionero) podemos eliminar la estrategia estrictamente dominada para el jugador A: NC.El juego se reduce a:
(0,-12)NC
(-10,-10)CCA B
7
13
2.2 Dominancia y dominancia iterativa
El jugador B también tiene una estrategia dominada. Dado que el jugador B es racional no jugará la estrategia dominada: NCEl juego se reduce:
(-10,-10)CCA/B
La solución del juego por eliminación iterativa de estrategias dominadas es {C, C}
14
Ejemplo 2.2: Eliminación iterativa de estrategias dominadas
(0,1)(2,0)M
(3,2)
(2,2)
R
(2,1)D
(1,3)U
L1/2
8
15
Ejemplo 2.2: Eliminación iterativa de estrategias dominadas
(0,1)(2,0)M
(3,2)
(2,2)
R
(2,1)D
(1,3)U
L1/2
(3,2)(2,1)D
(0,1)(2,0)M
RL1/2U es estrictamente dominada
2
L es una estrategia dominada para 2
16
… Eliminación iterativa de estrategias dominadas
(3,2)(2,1)D
(0,1)(2,0)M
RL1/2
(3,2)D
(0,1)M
R1/2L es estrictamente dominada
3
(3,2)DR1/2
4
M es estrictamente dominada
Solución {D, R}
9
17
Ejemplo 2.3: Limitaciones de la eliminación iterativa de estrategias dominadas.
(3,5)
(0,4)
(4,0)
C
(5,3)(4,0)M
(6,6)
(5,3)
D
(3,5)B
(0,4)A
I1/2
Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}
¿Cuáles son las estrategias dominadas?
¿Que predicciones de solución tenemos para este juego?
18
Ejemplo 2.4: Limitaciones de la eliminación iterativa de estrategias dominadas (II)
(4,4)
(3,1)
(4,0)
D
(6,0)M
(6,4)B
(5,1)A
I1/2
Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, D}, u1,u2}.
¿Cuáles son las estrategias dominadas?
¿Cuáles son las estrategias dominadas débilmente?
¿Que predicciones de solución tenemos para este juego?
Conclusión: eliminar estrategiasdominadas débilmente puedellevarnos a predicciones distintas.
10
19
Definición: En el juego de forma normal , las estrategias forman un equilibrio de Nash si, para cada jugador i, si* es la mejor respuesta del jugador i (o al menos una de ellas) a las estrategias de los otros n-1jugadores, :
para cada posible si en Si; esto es, si*, es una solución de:
{ }{ }n
iini uSNG 11};{; ===
2.3 Equilibrio de Nash
),...,,,...,( **1
*1
*1 niii sssss +−− =
),...,,,,...,(),...,,,,...,( **1
*1
*1
**1
**1
*1 niiiiniiii sssssusssssu +−+− ≥
),...,,,,...,(max **1
*1
*1 niiiiSs
sssssuii
+−∈
),...,( **1 nss
20
Ninguna desviación unilateral es beneficiosa. Esto implica que es mejor respuesta a denotamos MRi{ } la mejor respuesta del jugador i a la estrategia Con dos jugadores, en el equilibrio de Nash se intersecan las MRs;
*is−
2.3 Equilibrio de Nash
*is*is−
*is−
}{ *21
*1 sMRs =
}.{ *12
*2 sMRs =
11
21
Ejemplo 2.3
Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}
(3,5)
(0,4)
(4,0)C
(5,3)(4,0)M
(6,6)
(5,3)D
(3,5)B
(0,4)AI1/2
Vamos a buscar las mejores
respuestas de cada jugador
Si encontramos algún par de
estrategias tal que
y
Entonces es un
equilibrio de Nash.
}{ *21
*1 sMRs =
),( *2
*1 ss
}{ *12
*2 sMRs =),( *
2*1 ss
22
Ejemplo 2.4Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}
(3,5)
(0,4)
(4,0)C
(5,3)(4,0)M
(6,6)
(5,3)D
(3,5)B
(0,4)AI1/2
),(),( *2
*1 DBss =
21
BDMRACMRMIMR
===
}{}{}{
1
1
1
DBMRCMMRIAMR
===
}{}{
}{
2
2
2
Existe un único equilibrio de Nash:
12
23
Ejemplo 2.5: La batalla de los sexos.
(-1,-1)(1,2)C
(2,1)
F
(0,0)F
CA/B
Considera el siguiente juegoAlbert (A) y Berta (B) deben decidir que hacer el sábado por la noche. Deben elegir entre cine o fútbol. Ambos prefieren ir juntos a cualquiera de las actividades a ir solos. Albert prefiere ir al fútbol, pero Berta prefiere ir al cine.G = {SA=SB={C,F}; uA, uB}Los pagos (utilidad) están representados en la matriz de pagos:
24
… Batalla de los sexos
21(-1,-1)(2,1)C
(2,1)
F
(0,0)F
CA/B
FFMRCCMR
A
A
==
}{}{
Sea G = {SA=SB={C,F}; uA,uB}:
FFMRCCMR
B
B
==
}{}{
Existen múltiples equilibrios de Nash:
)},(),,{( FFCCEN =
13
25
Votación por mayoría
Tres votantes 1,2,3Tres opciones A,B,CEstrategias Si={ vA , vB , vC }.La opción ganadora es la que obtiene mayoría de votos. En caso de empate, la opción ganadora es A. Utilidad depende solo de la opción ganadora.
u1(A)=u2(B)=u3(C)=2u1(B)=u2(C)=u3(A)=1u1(C)=u2(A)=u3(B)=0
26
Votación por mayoría: EN
¿Es votar por la opción favorita (vA,vB,vC)un equilibrio de Nash?¿Cuál es un equilibrio de Nash?
(vA,vA,vA), (vB,vB,vB), (vC,vC,vC)
(vA,vB,vA), (vA,vC,vC)
14
27
Ejemplo 2.6: Los ciclos de Edgeworth o Bertrand con restricciones de capacidad.
Dos empresas idénticas A y B compiten en precios (la llamada competencia a la Bertrand). Ambas ofrecen un bien homogéneo.
La demanda total D(p)=10 – p donde p = min{pA, pB}.
Restricción de capacidad: la que vende al precio mas barato sólo podrá proveer a 6 consumidores.
(versión corregida)
28
Ejemplo 2.6: Los ciclos de Edgeworth o Bertrand con restricciones de capacidad.
De este modo si una empresa vende más caro no saldría del mercado, vendería solamente a D(p) - 6consumidores. Si ambas empresas eligen el mismo precio se reparten el mercado a medias. Para simplificar suponemos que las empresas sólo pueden elegir tres precios: 2, 3 y 5. Supongamos que el coste de producir el bien es cero.
g = {{A,B},SA=SB={ 2, 3, 5 }; πA, πB}
(versión corregida)
15
29
… Bertrand con restricciones de capacidad
3
3
2
5
5
2A/B
( )18,5( )12,10
( )6,12
Dado que los costos marginales son nulos sólo necesitamos calcular los ingresos para escribir la matriz de pagos.
¿Existe un equilibrio de Nash?
¿Que predicciones de solución tenemos para este juego?
( )8,8 ( )10,12
( )12,6 ( )221
221 ,
( )225
225 ,
( )5,18
30
… Bertrand con restricciones de capacidad
En el juego de Bertrand con restricciones de capacidad no existe ningún equilibrio de Nash …
EN ESTRATEGIAS PURAS.
BA
3}5{2}3{5}2{
===
B
B
B
MRMRMR
3}5{2}3{5}2{
===
A
A
A
MRMRMR
16
31
Hemos definido Si como el conjunto de estrategias con que cuenta el jugador i, un equilibrio de Nash en estrategias puras es una combinación de estrategias si, para cada jugador i si* es la mejor respuesta del jugador i a las estrategias de los otros n-1 jugadores.
2.4 Estrategias mixtas
),...,( **1 nss
32
Como hemos visto no existe un EN enestrategias puras en el juego de Bertrand con restricciones de capacidad (también conocido como duopolio de Edgeworth).
Otro ejemplo: El juego de piedra, papel o tijera; Si el otro jugador sabe que escogemos piedra con certeza éste escogerá papel. Nos conviene elegir “al azar” entre las distintas estrategias.
2.4 Estrategias mixtas
17
33
Definición: En el juego en forma normal G={N; S1,…,Sn; u1,…,un } supongamos que Si = {si1,…,siK}.
En este caso para el jugador i una estrategia mixta es una distribución de probabilidad pi= (pi1,…, piK), dondepara k = 1,…,K y pi1 + …+piK = 1.
2.4 Estrategias mixtas
10 ≤≤ ikp
34
Ejemplo 2.7: El juego de las monedas.
Imaginemos que cada jugador tiene una moneda y debe elegir si mostrar una cara de la moneda. Si las dos monedas coinciden, esto es, ambas muestran la misma cara, el jugador 2 gana la moneda del jugador 1. Si las caras de las monedas no coinciden entonces el jugador 1 gana la moneda del jugador 2.G = {{1,2},S1=S2={cara,cruz }; u1, u2}
(1, -1)(-1, 1)cara
(-1,1)
cruz
(1, -1)cruz
cara1/2
18
35
Ejemplo 2.7: El juego de las monedas.
(1, -1)(-1, 1)cara
(-1,1)
cruz
(1, -1)cruz
cara1/2 BA
caracruzMRcruzcaraMR
==
}{}{
1
1
cruzcruzMRcaracaraMR
==
}{}{
2
2
No existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras.
36
… El juego de las monedas.
¿Cómo hallar un EN en estrategias mixtas?Para este juego un equilibrio de Nash es una distribución de probabilidad pk para el jugador 1 y qk para el jugador 2 con k ={cara, cruz}. Como tenemos sólo dos estrategias posibles un EN, en estrategias mixtas es (p*, q*) tal que,
Donde p es la probabilidad de que 1 juegue cara y qes la probabilidad de que 2 juegue cara.
),(),( ),(),(
*2
**2
*1
**1
qpuqpuyqpuqpu
≥≥
19
37
… El juego de las monedas.
¿Cómo calcular los pagos?
pq = Probabilidad de que 1 juegue cara y 2 juegue cara (eventos independientes)
p(1-q) = Probabilidad de que 1 juegue cara y 2 juegue cruz (eventos independientes).
(1-p)q = Probabilidad de que 1 juegue cruz y 2 juegue cara (eventos independientes).
(1-p)(1-q) = Probabilidad de que ambos jueguen cruz (eventos independientes)
)1)(1)(1( )1()1()1)(1()1(),( )1)(1)(1()1()1()1)(1()1(),(
2
1
qpqpqppqqpuqpqpqppqqpu−−+−−+−−+=
−−−+−+−+−=
38
… El juego de las monedas.Jugador 1: ¿cuál es la mejor respuesta (p) a q ?
La utilidad es lineal en p. El jugador 1 escogerácara con probabilidad 1 si -4q + 2 > 0. Es decir, escoge p = 1 si q < ½.Si -4q + 2 < 0 entonces jugará cruz con probabilidad 1. Es decir, escoge p = 0 si q > ½.Si q = ½ el jugador 1 puede elegir cualquier p(entre cero y uno) ya que le daría la misma utilidad.
12)24(),( 1224),(
1),(
1
1
1
−++−=⇒−++−=⇒
−++−−+−+−=
qpqqpuqppqqpu
pqpqpqqpqppqqpu
20
39
… El juego de las monedas.Correspondencia de mejor Correspondencia de mejor
respuesta del jugador 1: respuesta del jugador 2:
p q1 1
1/2 q 1/2 pp = 1 si q < ½. p = 0 si q > ½.
024 si 0024 si 1
12)24(),(2
<−=>−=
+−−=
pqpq
pqpqpu
40
… El juego de las monedas.
p
q1/2
1/2
El equilibrio de Nash en estrategias mixtas es (p*, q*) = (1/2, 1/2)
MR1(q)
MR2(p)
21
41
i. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.5 (batalla de los sexos)?
ii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.6 (Bertrand con restricciones de cantidad)?
iii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.1 (dilema del prisionero)?
iv. ¿Qué relación existe entre el EN (enestrategias puras o mixtas) y la eliminación iterativa de estrategias dominadas?
2.4 Estrategias mixtas
42
2.4 Estrategias mixtasi. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias
mixtas del juego del ejemplo 2.5 (batalla de los sexos)?
Proposición (Propiedad de “neutralizar”)(p*, q*) es un equilibrio de Nash en estrategiasmixtas si y sólo si cada jugador escoge las probabilidades de tal manera que las estrategiascon probabilidad estrictamente positiva tengan elmismo pago esperado.
),(),(
),(),(**
**
FpuCpu
qFuqCu
BB
AA
=
=En el ejemplo 2.5:Facilita los cálculos!
22
43
2.4 Estrategias mixtas
ii. Para el juego del ejemplo 2.6 (Bertrandcon restricciones de cantidad), ¿cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas donde todas las estrategias tienen probabilidad >0?
La proposición también se verificasi hay más de 2 jugadoreso si los jugadores tienen más de 2 estrategias:
44
2.4 Estrategias mixtas
Proposición:Si después de la eliminación iterativa de estrategiasdominadas sólo queda un perfil de estrategias (es decir,una estrategia para cada jugador),entonces este perfil es el único equilibrio de Nash.
iii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.1 (dilema del prisionero)?
23
45
2.4 Estrategias mixtas
Proposición:Cada equilibrio de Nash (en estrategias puraso mixtas) sobrevive la eliminación iterativade estrategias dominadas.
46
2.4 Estrategias mixtas
(4,0)(1,5)(2,4)a2
(2,1)
b2
(1,3)(1,0)a1
b3b1A/B
iv. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash del siguiente juego?
¿Cuál es la conclusión?
(¡Ojo!)
24
47
2.4 Estrategias mixtas
v. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash del siguiente juego?(¡Todavía más ojo!)
(0,0)(1,1)(2,4)a2
(2,1)
b2
(1,4)(1,0)a1
b3b1A/B
¿Cuál es la conclusión final?
48
Ejemplo 2.8: Juego de inspección
Trabajador: {Trabajar, Vago}Jefe: { Inspeccionar, No inspeccionar}
4 , 404, 40-cTrabajar
10 , -100 , -cVago
No InspeccionarInspeccionar
25
49
Ejemplo 2.8: Juego de inspección
c=5No hay EN puro
4 , 404, 35Trabajar
10 , -100 , -5Vago
No InspeccionarInspeccionar
p
1-p
q 1-q
50
Ejemplo 2.8: Juego de inspección
c=6
4 , 404, 34Trabajar
10 , -100 , -6Vago
No InspeccionarInspeccionar
p
1-p
q 1-q
26
51
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
TeoremaEn el juego de forma normal G = {N; S1,…, Sn; u1,…, un}, si n es un numero finito y Si es finito para cada i, existe al menos un equilibrio de Nash, que posiblemente incluye estrategias mixtas.
52
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
Demostración para juegos 2x2c>a, b >d
dc1-p
bap
1-qq
p
q
MR1(q)
0 1
1
0 q*
q* tal quea q*+b(1-q*)=c q*+d(1-q*)
27
53
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
Demostración para juegos 2x2a>c, d >b
dc1-p
bap
1-qq
p
q
MR1(q)
0 1
1
0 q*
q* tal quea q*+b(1-q*)=c q*+d(1-q*)
54
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
Demostración para juegos 2x2a>c, b >d
dc1-p
bap
1-qq
p
q
MR1(q)
0 1
1
0
28
55
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
Demostración para juegos 2x2c>a, d >b
dc1-p
bap
1-qq
p
q
MR1(q)
0 1
1
0
56
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
p
q0 1
1
0 q*
Un único equilibrio de Nash en estrategias mixtas
p*
29
57
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
p
q0 1
1
0 q*
Tres equilibrios de Nash, uno en estrategias mixtas
p*
58
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
p
q0 1
1
0
Un único equilibrio de Nash
30
59
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
p
q0 1
1
0
Un único equilibrio de Nash
60
Demostración formal:Si el conjunto de estrategias forman un equilibrio de Nash, entonces para todo i, es equivalente a
El equilibrio de Nash es un punto fijo de f.
)s(s )s(
**
**
fMRs ii
==
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
)(,mixtassestrategiaEn
** σfσ =
31
61
Demostración:La demostración hace uso de los siguientes teoremas:Teorema de punto fijo de Kakutani.Sea S un conjunto no vacío, compacto y convexo en Rn
y sea f: S → S una correspondencia s.c.s f tiene al menos un punto fijo que satisface s*œ S y s* œ f(s*).
Teorema del máximo.Sea h = maxy u(x,y) y G = arg maxy u(x,y)(Berge) Sea X œ Rm y Yœ Rk. Sea u : X × Y → R continua y Γ : X → Y continua con Y compacto. Entonces h : X →R es continua y G : X → Y es no vacío, Y es compacto, y s.c.s (semi continuo superiormente)
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
62
¿Se cumplen las condiciones?(En estrategias mixtas)Σ es compacto: Recuérdese que 0 ≤ σ ≤ 1. Es cerrado y acotado.Σ no esta vacío: Maximizamos u en un conjunto compacto. Existe un maximo entonces MR(σ -i) no esta vacio.Σ es convexo: supongamos que no. Existen dos MR σ’ y σ’’ como ambas pertenecen a Σ, ambas proporcionan el mismo pago u(σ’) = u(σ’’). Tenemos σ’’’= λ σ’ +(1-λ) σ’’, necesariamente u(σ’’’)< u(σ’)=u(σ’’).u(σ’’’)= ∑i σi’’’ si = λ ∑i σi’ si +(1-λ) ∑i σi’ si = u(σ’)llegamos a una contradicción, entonces Σ es convexo.Para que la correspondencia de mejor respuesta sea u.h.c. necesitamos que u sea continua.
2.4 Existencia del equilibrio de Nash
32
63
1) Oligopolio de CournotModelo de Oligopolio de Cournot (nempresas)Ejemplo con 2 empresas y función de demanda lineal.Existencia del equilibrio de Nash, en estrategias puras, en juegos infinitos con funciones de pago continuas.
2.5 Aplicaciones
64
Oligopolio de Cournot
Sea un determinado mercado de un cierto producto homogéneo cuyos consumidores reaccionan agregadamente de acuerdo a una función de demanda Q(p), pœR+ Satisface la llamada ley de la demanda (es estrictamente decreciente). Su función inversa es P(Q).Supongamos que participan n empresas en el mercado identificadas con el subíndice i, cada empresa tiene asociada una función de costes Ci (qi), creciente y convexa.La variable de decisión de las empresas es su cantidad producida qi decidida simultáneamente por todas ellas. La cantidad total Q = q1 + q2 + … + qn.Los beneficios obtenidos por la empresa i son πi(q) = P(Q)qi –Ci(qi) ; q = (q1 , q2 , … , qn)
33
65
Duopolio de Cournot
Sea un determinado mercado de un cierto producto homogéneo. La función inversa de demanda viene determinada por P(Q) = max { 12 – 3 Q, 0}.Supongamos que participan 2 empresas en el mercado identificadas con el subíndice i, cada empresa tiene asociada una función de costes Ci (qi) = ci qi. La variable de decisión de las empresas es su cantidad producida qi decidida simultáneamente por ambas. La cantidad total Q = q1 + q2.Los beneficios obtenidos por la empresa i son πi(q) = P(Q)qi –Ci(qi) ; q = (q1 , q2 , … , qn)Suponemos además que c1 = 2 , c2 = 3.
66
Existencia del equilibrio de Nash/Cournot
La función de mejor respuesta de cada empresa es qi = fi (qj ) donde
212
)(
0212 CPO
)12(maxarg)(
ijji
iji
iiijii
ji
cqqf
cqq
qcqqqqqf
−−=
=−−−
−−−=
34
67
Existencia del equilibrio de Nash/Cournot
f1(q2 )=(10-q2)/2f2(q1 )=(9-q1)/2EN: q1 = f1(q2 ) ; q2 = f2(q1 )q*1 = 11/3 ; q*2 = 8/3
))(),(()
de fijo puntoun es ),(
122121
**1 2
qfqf,q(q
a
q1
q2
4.5
5
f1
f2
68
Existencia del equilibrio de Nash en estrategias purasTeorema: Sea g=(I,S,u) un juego en
forma normal, tal que, para cada iSi es compacto y convexo, yui continua en s=(s1,…,sn)ui concava en si
Entonces, g tiene un equilibrio en estrategias puras.
35
69
… Aplicaciones
2) El modelo de DownsEl modelo de Downs y el teorema del votante medianoLos juegos de suma cero o suma constante.
70
El modelo de Downs
Dos candidatos A y B intentan conseguir el máximo de número de votos en unas elecciones. Ambos deben elegir una posición política en la línea de [-X, X] donde –X se interpreta como la extrema izquierda y X la extrema derecha. Ambos candidatos eligen simultáneamente las posiciones políticas, xA y xB con xA, xB œ [-X, X] El electorado tiene preferencias ideológicas sobre la política: cada votante tiene su política ideal x y votará al candidato A si | xA -x| < | xB -x| y al B si | xA -x| > | xB -x| . (En caso de | xA -x| = | xB -x| votará a cada candidato con probabilidad ½ . )Suponemos que las políticas ideales del electorado son caracterizadas por la función de distribución F(x) con x œ[-X, X] y F’(x)>0.
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El modelo de Downs
Pagos: si xA = xB
uA(xA, xB)= ½ , uB(xA, xB)= ½si xA < xB
uA(xA, xB)= F((xA+xB)/2),uB(xA, xB)= 1- F((xA+xB)/2).
-X XxA xB
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El modelo de Downs
Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA < xB ?
-X XxA xB
-X XxB
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El modelo de Downs
Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA = xB < xM ? ( donde F(xM)= ½ )
-X XxA= xB xM
-X XxA xM
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El modelo de Downs
Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA = xB = xM ? ( donde F(xM)= ½ )
-X XxA=xB=xM
-X XxA=xM
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Juegos suma constante
u1(s)+u2(s)=c para cada s ejemplos: Downs, juego moneda
Sea v = maxp minq u1(p,q)
Teorema (von Neumann):Para cualquier equilibrio de Nash (p*,q*),u1(p*,q*) = v,y además v = minq maxp u1(p,q).
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… Aplicaciones
3) Contribuciones privadas a un bien público
Contribuciones privadas a un bien público y el problema del “free rider”Comparación con el nivel óptimo de bien público.Aplicación a la economía del medioambiente.
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Contribuciones privadas a un bien público
Considérese una comunidad de n individuos que desea financiar un bien público cuyo nivel de dotación lo denotamos por y. Este bien público se ha de costear mediante la contribución de la comunidad yi , i=1,…,n. Supongamos que la tecnología que transforma las contribuciones en bien público tiene rendimientos constantes a escala: y = ∑ yi.La función de utilidad de cada individuo es igual aUi (y1,…,yn) = ◊xi +◊y ; i=1,…,n. xi es el nivel de consumo del individuo i: renta menos contribución, xi = ω – yi , con ω >0.
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Contribuciones privadas a un bien públicoEjemplo númerico: n=3, ω=4Comportamiento estratégicoUi(y1, y2 ,y3) = ◊(4- yi)+◊(y1+y2 +y3)
y1=y2 =y3=1 , Ui (1, 1 ,1) = 2 ◊3
i
yyyy
yyyyi
−=++
=+=∂∂++−
−
4
0yU cpo
321
21
421
ii321
40
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Contribuciones privadas a un bien públicoEjemplo númerico: n=3, ω=4Maximizando bienestar totalUT(y1, y2 ,y3) = Si◊(4- yi) +3◊(y1+y2 +y3)
y1=y2 =y3=3 , Ui (3, 3 ,3) = 4 > 2 ◊3
i
yyyy
yyyyi
−=++
=+=∂∂++−
−
43
0yUT cpo
321
23
421
i321
80
Contribuciones privadas a un bien públicoComportamiento estratégicoUi(y1, … ,yn) = ◊(w- yi)+◊(y1+…+yn)
y1=… =yn= w/(n+1) , Ui = 2 ◊n w/(n+1)
Si nض , yiØ0, UiØ2◊w
in
yyy
yyyni
−=++
=+=∂∂++−
−
ω
ω
L
L
1
21
21
ii
0yU cpo1