TEMA 2: DESCRIPCIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS:

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIÓN

GRÁFICA

● La naturaleza numérica de las variables cuantitativas

permite un tratamiento estadístico más elaborado que con

las variables cualitativas.

● Con las variables cuantitativas pueden realizarse

operaciones matemáticas, lo que permite una descripción

más precisa y completa.

● En este tema estudiaremos la distribución de frecuencias y

su representación gráfica (como hemos hecho para las

variables cualitativas en el Tema 1) y en los siguientes

temas veremos otras formas de describir una variable

cuantitativa.

1

A) Variables Discretas

● La distribución de frecuencias para las variables discretas

es semejante a lo que hemos visto para el caso de las

variables cualitativas, ya que las categorías en que se

agrupan los datos vienen dadas de forma natural por los

valores que toma la variable.

Ejemplo 1:

Cien familias se han clasificado según el número de hijos,

resultando los siguientes datos:

Nº de Hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nº de familias 11 13 20 25 14 10 4 2 1

N=100; k=9

2

Frecuencias absolutas:

n1=11; n2=13; n3=20; n4=25; n5=14; n6=10; n7=4; n8=2; n9=1

Frecuencias relativas:

3

Distribución de frecuencias:

Categorías ni fi

0 11 0,11

1 13 0,13

2 20 0,2

3 25 0,25

4 14 0,14

5 10 0,1

6 4 0,04

7 2 0,02

8 1 0,01

N=100 1

La categoría más numerosa es la de familias con 3 hijos y la

menos frecuente es la de familias con 8 hijos

4

Diagrama de barras

Frecuencias relativas fi

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 43 5 6 7 8

Frecuencias absolutas ni

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

● En general, las clases vienen ordenadas de forma

natural de menor a mayor por lo que tiene sentido

definir la distribución de frecuencias acumulada .

● Para construir la distribución de frecuencias

acumulada hay que sumar a la frecuencia de cada

clase (absoluta o relativa) la de las clases anteriores.

● Los valores de la distribución de frecuencias

acumulada no decrecen.

● La información sobre los datos que proporcionan la

distribución de frecuencias y la distribución de

frecuencias acumulada es equivalente. Cada una

puede obtenerse a partir de la otra.

6

Ejemplo: Nº DE HIJOS

Categorías

Frecuencias

absolutas

ni

Frecuencias absolutas

acumuladas

Ni

Frecuencias

relativas

fi

Frecuencias relativas

acumuladas

Fi

0 11 11 0,11 0,11

1 13 24 0,13 0,24

2 20 44 0,2 0,44

3 25 69 0,25 0,69

4 14 83 0,14 0,83

5 10 93 0,1 0,93

6 4 97 0,04 0,97

7 2 99 0,02 0,99

8 1 100 0,01 1

N=100 1

● El último valor de la distribución de frecuencias

absolutas acumuladas coincide con N.

7

● El último valor de la distribución de frecuencias

relativas acumuladas es 1 (salvo error de redondeo).

● La distribución de frecuencias acumulada nos

permite conocer la proporción (o el número) de

observaciones por debajo de cierto valor, entre dos

valores o por encima de una cantidad.

Ejemplo: Nº de hijos

- ¿Qué proporción de familias tiene menos de 2 hijos?

0,24

- ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos? 69

- ¿Qué proporción de familias tiene más de 6 hijos?

0,03=1-0,97=0,01+0,02

8

- ¿Qué proporción de familias tiene más de 3 hijos pero

menos de 7? 0,28=0,14+0,1+0,04=0,97-0,69

Representación gráfica de la distribución de frecuencias

acumulada

Frecuencias relativas Fi

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9

Ejercicio 3.2 de Peña y Romo

Los siguientes datos corresponden al número de

bibliotecarios en las bibliotecas públicas de las diferentes

provincias españolas:

4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4 3 4 3 2 4 4 1 10 2 5 3 2 2 5 3 3 8

12 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3 15 16 6 7 12

(a) Hallar la distribución de frecuencias relativas y

representarla mediante un diagrama de barras

(b) Obtener y representar la distribución de

frecuencias relativas acumuladas

(c) ¿Qué proporción de provincias tiene más de 7

bibliotecarios?

10

Bibliotecarios

Frecuencias

absolutas

ni

Frecuencias absolutas

acumuladas

Ni

Frecuencias

relativas

fi

Frecuencias relativas

acumuladas

Fi

1 3 3 0,06 0,06

2 7 10 0,14 0,2

3 9 19 0,18 0,38

4 10 29 0,2 0,58

5 6 35 0,12 0,7

6 4 39 0,08 0,78

7 4 43 0,08 0,86

8 2 45 0,04 0,9

10 1 46 0,02 0,92

12 2 48 0,04 0,96

15 1 49 0,02 0,98

16 1 50 0,02 1

11

Frecuencias relativas: fi

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 16

Frecuencias relativas acumuladas: Fi

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 15 16

12

- La proporción de provincias con más de 7

bibliotecarios es de 0,14

0,14=1-0,86=0,04+0,02+0,04+0,02+0,02

- La mayoría de las provincias (62%) tiene 4

bibliotecarios o más: 0,62=1-0,38=

=0,2+0,12+0,08+0,08+0,04+0,02+0,04+0,02+0,02

- 4 es la clase más frecuente con una frecuencia relativa

de 0,2

- Más de la mitad de las provincias españolas (F4=0,58)

tiene menos de 5 bibliotecarios

- La proporción de provincias españolas que tienen

entre 5 y 7 bibliotecarios es de 0,28

0,28=0,12+0,08+0,08=0,86-0,58

13

B) Variables Continuas

● El análisis de la distribución de frecuencias de las variables

cuantitativas continuas es más complejo que el de las

variables cualitativas o discretas.

● Las categorías o clases no vienen dadas de forma natural

sino que deben elegirse.

● Tendremos que dividir el recorrido (o conjunto de posibles

valores de la variable) en intervalos que no se solapen.

● El punto central de cada intervalo se llama marca de clase

(ci).

● El resto de los elementos y conceptos de la distribución de

frecuencias de una variable continua es equivalente a lo

visto en las cualitativas y discretas.

14

Ejemplo:

La variable GTINE representa el gasto total. Los datos

correspondientes a 75 hogares son:

81.861 105.628 110.690 134.246 226.177 273.870 142.376 309.964 101.431

276.273 662.803 493.728 308.787 254.420 172.928 142.678 510.223 158.829

278.854 168.620 176.204 179.108 113.074 876.161 64.425 112.352 255.465

321.307 434.375 707.444 90.460 89.498 466.862 87.112 309.829 247.425

427.812 195.740 257.638 176.656 285.935 450.571 56.292 306.488 156.772

531.099 475.760 316.500 279.586 48.586 96.670 256.548 514.330 161.595

228.368 638.366 442.162 65.060 160.580 197.390 152.077 228.808 76.920

255.196 241.986 417.103 752.436 352.708 259.472 225.388 174.341 308.705

455.125 122.696 479.791

- Tomando intervalos o clases iguales y de tamaño

100.000 pesetas, vamos a calcular la distribución de

frecuencias.

- Por ejemplo, el primer intervalo será:

0<GTINE≤100.000 y la marca de clase c1=50.000.

- El número de intervalos o clases será k=9.

15

Gasto Total (GTINE ó G)

Gasto

(en miles de ptas.)

Frecuencias

absolutas

ni

Frecuencias absolutas

acumuladas

Ni

Frecuencias

relativas

fi

Frecuencias relativas

acumuladas

Fi

0<G≤100 10 10 0,13 0,13

100<G≤200 22 32 0,29 0,42

200<G≤300 17 49 0,23 0,65

300<G≤400 8 57 0,11 0,76

400<G≤500 10 67 0,13 0,89

500<G≤600 3 70 0,04 0,93

600<G≤700 2 72 0,03 0,96

700<G≤800 2 74 0,03 0,99

800<G≤900 1 75 0,01 1

N=75 1

16

- La proporción de familias que gasta 200.000 pesetas o

menos es de 0,42.

- La proporción de familias que gasta más de 600.000

pesetas es 0,07=1-0,93=0,03+0,03+0,01.

- La proporción de familias que gasta más de 100.000

pero no más de 300.000 es 0,52=0,29+0,23=0,65-0,13

17

Representación gráfica de la distribución de frecuencias

1) El Histograma

● El histograma es un gráfico que representa las

frecuencias mediante áreas. Sobre cada clase (o rango

de valores) se dibuja un rectángulo cuyo área

representa la frecuencia (absoluta o relativa) de esa

clase.

● Cuando las clases (o intervalos) en que dividimos los

datos son de distinta longitud el eje vertical no tiene

sentido. Como la frecuencia es el área de cada

rectángulo, si dibujamos rectángulos con distinta base

su mayor o menor altura no nos da información.

(Ver Ejemplo de GTINE en Figura 3.4 de Peña y

Romo)

18

● Cuando las clases (o intervalos) son de la misma

longitud, las frecuencias son proporcionales a las

alturas de los rectángulos. La altura nos informa

sobre la densidad o concentración de datos en ese

intervalo:

- donde los rectángulos son más altos hay más datos de

la variable

- donde los rectángulos son más bajos los datos de la

variable son más escasos

Ejemplo: GTINE (distribución frecuencias pag.16)

19

● Los rectángulos se dibujan contiguos (a diferencia del

diagrama de barras o de Pareto) para transmitir la

idea de variable continua.

● La forma del histograma es la misma si

representamos frecuencias absolutas o relativas, sólo

cambia la escala del eje vertical.

Ejemplo: GTINE

Comparar con el histograma de frecuencias relativas

de la página anterior.

● La forma del histograma sí que depende de:

20

- anchura de las clases o tamaño de los intervalos

- elección del punto donde empieza la primera clase

Ejemplo: GTINE

● ¿Cómo elegimos los intervalos (o el número de clases)?

- Empezar con pocas clases y ver (en el histograma) si

con más clases tenemos más información (ver Figura

3.6 de Peña y Romo de la variable NOTAS)

- Si tenemos N observaciones elegir el número de clases

igual al entero más próximo a (En el ejemplo de

GTINE como N=75 entonces )

21

● ¿Por qué nos preocupa tanto la forma del

histograma? Porque la forma del histograma refleja

propiedades importantes de la variable.

● El histograma (al igual que el diagrama de barras)

nos muestran características de una variable que

pueden apreciarse visualmente:

- Se puede ver si la distribución es simétrica alrededor

de un eje central o si es asimétrica

Ejemplo:

GTINE es asimétrica a la derecha (ver pag. 19)

NOTAS es simétrica alrededor del 5 (ver Figura 3.6

de Peña y Romo)

- Se puede ver si presenta un solo máximo o pico o

moda y es, por tanto, unimodal o si presenta varias

modas

- Algunas de las formas más frecuentes de histogramas

son (ver Figura 3.8 de Peña y Romo):

22

o Unimodal simétrico: se suele dar en variables en

las que hay una gran cantidad de observaciones

con valores intermedios y algunos valores en

ambos extremos (notas, peso, altura…)

o Unimodal asimétrico a la derecha: se da en

variables que tienen una gran cantidad de

observaciones pequeñas o intermedias y algunos

datos grandes (gasto, ingreso…)

o Unimodal asimétrico a la izquierda: variables

con muchas observaciones de valor alto o

intermedio (esperanza de vida en los distintos

países)

o Bimodal simétrico: suele aparecer cuando los

datos son de 2 grupos heterogéneos y conviene

estudiarlos por separado (un objeto que se

hiciera en dos tamaños distintos en cantidades

iguales)

23

● El histograma se puede emplear también para

representar frecuencias acumuladas (absolutas o

relativas)

Ejemplo: GTINE

24

2) El polígono de frecuencias

● El polígono de frecuencias es una representación

gráfica de las frecuencias equivalente al histograma.

● Se obtiene a partir del histograma uniendo los centros

de la base superior de sus rectángulos.

Ejemplo: GTINE

25

● Se puede obtener para frecuencias acumuladas a

partir del histograma de frecuencias acumuladas.

● La diferencia fundamental entre el histograma y el

polígono es que éste proporciona una representación

más suavizada de la distribución de frecuencias.

3) El diagrama de tallos y hojas

● Nos permite obtener simultáneamente la distribución

de frecuencias de la variable y su representación

gráfica.

● Para construirlo hay que separar en cada dato el

último dígito de la derecha (la hoja) del resto de las

cifras (el tallo).

● Los tallos aparecen a la izquierda de una línea

vertical y a la derecha de cada uno anotamos las

cifras finales (hojas) de todos los datos de cada clase.

26

Ejemplo:

Se tienen datos del rendimiento anual (en %) de unas

acciones a lo largo de 30 años:

-3 17 -13 -10 20 15

3 -2 41 21 6 -22

21 53 10 15 -14 -35

25 31 -1 10 -1 28

17 4 26 -13 11 18

-3 5

-2 2

-1 4 3 3 0

-0 3 2 1 1

0 3 4 6

1 0 0 1 5 5 7 7 8

2 0 1 1 5 8 6

3 1

4 1

5 3

27

● Al igual que el histograma o el polígono, el diagrama nos

proporciona una impresión visual del número de

observaciones de cada clase.

● Tiene la ventaja de que al darnos un mayor detalle nos

permite recuperar los datos, lo que no puede hacerse

con el histograma o el polígono.

● Con conjuntos de datos muy grandes puede no resultar

informativo porque las clases tengan demasiados datos,

aunque siempre se pueden subdividir

En el ejemplo en lugar de poner los valores de 10 en 10,

podemos cogerlos de 5 en 5, es decir, cada línea

podemos dividirla en 2 (en vez de 10 a 19, hacer de 10 a

14 y de 15 a 19).

28

Ejemplo: GTINE

Stem-and-Leaf Display for GTINE: unit = 10000,0 1|2 represents 120000,0

10 0|4566788899 32 1|0011123445556667777799 (17) 2|22224455555577778 26 3|00000125 18 4|1234556779 8 5|113 5 6|36 3 7|05 1 8|7

La columna situada a la izquierda nos da las

frecuencias absolutas acumuladas de arriba hacia

abajo y de abajo hacia arriba hasta llegar al valor

entre paréntesis que es frecuencia de la clase que

contiene el dato central.

29

Ejercicio 3.6 (Peña y Romo)

Los datos de la variable G4 (Tabla 2.1) miden el gasto en

menaje de 75 hogares:

a,b) Construir la distribución de frecuencias y representarla

con un histograma.

Frequency Tabulation for G4

-------------------------------------------------------- Lower Upper Class Limit Limit ci ni fi Ni Fi

-------------------------------------------------------- at or below 0 6 0,0800 6 0,0800 1 0 14000 7000 40 0,5333 46 0,6133 2 14000 28000 21000 9 0,1200 55 0,7333 3 28000 42000 35000 8 0,1067 63 0,8400 4 42000 56000 49000 6 0,0800 69 0,9200 5 56000 70000 63000 2 0,0267 71 0,9467 6 70000 84000 77000 1 0,0133 72 0,9600 7 84000 98000 91000 1 0,0133 73 0,9733 8 98000 112000 105000 1 0,0133 74 0,9867 9 112000 126000 119000 1 0,0133 75 1,0000

30

c) Marque en el histograma la proporción de valores de G4

menores que 40.000 pesetas ¿Qué porcentaje de las

observaciones suponen esos datos?

Algo más del 80% (el 84%)

---------------------------------------------------- Lower Upper Class Limit Limit ci ni fi Ni Fi

---------------------------------------------------- at or below 0 6 0,0800 6 0,0800 1 0 10000 5000 32 0,4267 38 0,5067 2 10000 20000 15000 13 0,1733 51 0,6800 3 20000 30000 25000 7 0,0933 58 0,7733 4 30000 40000 35000 5 0,0667 63 0,8400 5 40000 50000 45000 2 0,0267 65 0,8667 6 50000 60000 55000 5 0,0667 70 0,9333 7 60000 70000 65000 1 0,0133 71 0,9467 8 70000 80000 75000 1 0,0133 72 0,9600 9 80000 90000 85000 0 0,0000 72 0,9600 10 90000 100000 95000 1 0,0133 73 0,9733 11 100000 110000 105000 1 0,0133 74 0,9867 12 110000 120000 115000 0 0,0000 74 0,9867 13 120000 130000 125000 1 0,0133 75 1,0000

31

32

e) Marcar en el histograma el área correspondiente a las

observaciones entre 50.000 y 70.000 pesetas. ¿Qué proporción

representan? ¿Cómo obtendría a partir de las frecuencias

acumuladas esa proporción?

Son el 8% (0,08=0,0667+0,0133=0,9467-0,8667)

f) ¿Qué porcentaje de hogares tiene un gasto en menaje

superior a 80.000 pesetas?

El 4% (0,04=1-0,96=0,0133x3)

g) ¿Cómo es la distribución de G4?

Es asimétrica a la derecha

h) Dibuje el diagrama de tallos y hojas

33

Stem-and-Leaf Display for G4: unit = 1000,0 1|2 = 12000,0

(38) 0|00000000000011122222333344456667888889 37 1|0001233356689 24 2|0444889 17 3|33355 12 4|69 10 5|02249 5 6|7

HI|79828,0 91068,0 104452,0 120444,0

Datos de G4:

780 4296 3044 52016 13128 2392 8536 35800 4000 0

28432 16856 50800 6188 8544 24441 33012 28999 16440

360 2268 0 10764 0 0 1960 91068 24000 35136 46000

2144 3524 104452 2480 1528 19516 0 0 18191 3172 13936

8300 8660 4524 6256 10346 11820 20468 33496 192 9000

29856 24685 3848 54228 120444 67379 10048 288 216

8099 7620 5428 15360 2028 33220 12212 52768 49896

6752 840 79828 59280 1692 13782

34

Ejercicio 3.14 (Peña y Romo)

La variable TMUN (Tabla 2.1) expresa el tamaño del

municipio: 1 menos de 2000 habitantes, 2 entre 2000 y 10000,

3 entre 10000 y 50000 y 4 capitales de provincia o con más de

50000.

a, b) Obtener la distribución de frecuencias absolutas,

relativas y acumuladas.

TMUN ni Ni fi Fi

1 4 4 0,0533 0,0533

2 9 13 0,12 0,1733

3 14 27 0,1867 0,36

4 48 75 0,64 1

35

c) Dibujar el histograma de la distribución

d) ¿Qué tipo de simetría o asimetría presenta?

Asimetría a la izquierda

Datos de TMUN:

4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 3 4 1 4 4 3 4 2 3 4 3 4 3 4 2

4 4 1 2 3 4 2 4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 4

3 4 4 4 2 1 4 3 1 3 4 4 2 4 3 4 4 4 4 4 4

36