Tema 2 4to

1

TEMA 2: PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de multiplicar dos o más

polinomios, en forma directa sin necesidad de

aplicar la propiedad distributiva.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 a

2 + 2ab + b

2

(a - b)2 a

2 - 2ab + b

2

COROLARIO:

IDENTIDADES DE LEGENDRE

(a + b)2 + (a - b)

2 = 2(a

2 + b

2)

(a + b2) – (a - b)

2 = 4ab

Ejm.:

(x + 3)2 + (x - 3)

2 =

(x + 2)2 – (x - 2)

2 =

(2x + y)2 + (2x - y)

2 =

22 )23()23(

Importante:

(x - y)2 (y - x)

2

Desarrollando:

x2 – 2xy + y

2 y

2 – 2yx + x

2

Reducir:

r)qp(

)rqp()rqp(N

22

Sol. Por Legendre:

(p + q + r)2 – (p + q - r)

2 = 4 (p + q)r

4r)qp(

r)qp(4N

N = 2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b) (a - b) = a2 – b

2

(x + 3) (x - 3) =

(x + 4) (4 - x) =

(x2 + 5) (x

2 - 5) =

(m + n + p) (m + n - p) =

Observación:

(x + y)2 x

2 + y

2

Siendo x, y no nulos.

Calcular:

446 . 444 – 447 . 443

Sol. Haciendo: x = 445

La operación se convierte en:

(x + 1)(x - 1) – (x + 2)(x - 2)

Aplicando productos notables:

x2 – 1 – (x

2 - 4)

Reduciendo términos semejantes:

-1 + 4 = 3

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON

TÉRMINO COMÚN

(x + a)(x + b) x2 + (a + b)x + ab

2

(x + 3) (x + 4)

(x - 4) (x – 5)

(x + 2) (x - 4)

(x2 + 5) (x

2 - 3)

Si:

x2 + x – 3 = 0. Calcule:

(x2 - 1) (x + 2) (x - 3) (x

2 + 4x)

Sol.:

De: x2 + x – 3 = 0 x

2 + x = 3

Entonces :

(x2 - 1) (x +2) (x - 3) (x

2 + 4x)

(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x

MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE

(x2 + x)(x

2 + x - 2)(x

2 + x - 12)

Reemplazando:

(3) (3 - 2) (3 - 12) = -27

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab + 2ac + 2bc

(x + y + 3)2 __________________________

____________________________________

(a + b - 2)2 __________________________

____________________________________

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Efectuar:

E = (x + 2y)2 – (x – 2y)

2 – 4xy

a) xy b) 3xy c) 4xy

d) 6xy e) 9xy

2. Reducir:

R = (a + b)2 – (b - a)

2 + (a – 2b)

2 – a

2 – 4b

2

a) 0 b) a c) b

d) 2ab e) ab

3. El valor de:

2)245245(N

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

4. Efectuar:

)12)(12(

)13)(13()15)(15(P

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

5. Efectuar:

R = (x + n)(x - n)(x2 + n

2)(x

4 + n

4)(x

8 + n

8) + n

16

a) x12

b) n16

c) x16

d) x16

+ n16

e) 1

6. Si: yx

4

y

1

x

1

Calcular: 2

222

x

)yx(

yx

xy

xy

yxE

a) 2

8x b)

2

4x c)

2

yx

d) 2

y3x e) 1

7. Luego de efectuar:

3

E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x +

5)

Se obtiene:

a) 15 b) 14 c) 13

d) 12 e) 11

8. Luego de efectuar:

A = (x2 + x + 4)(x

2 + x + 5) – (x

2 + x + 3)(x

2 + x + 6)

Indicar lo correcto:

a) 31A d) A2 + 1 = 5

b) 1A0 e) A es impar

c) 37A3

9. Si: m = 2a + 2b + 2c

Calcular:

2222

2222

cbam

)cm()bm()am(mE

a) a + b + c b) 1 c) a2 + b

2 + c

2

d) abc e) -1

10. Hallar el valor numérico de:

1)2x)(4x(E

Para: x = 2 000

a) 2001 b) 2002 c) 2003

d) 2004 e) 2005

11. Si: (x + y)2 = 4xy

Calcular el valor de:

yx

xyyxN 20002000

a) x/2 b) x c) 2x

d) x/3 e) 5 + x/2

12. Reducir:

(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x2 + 4x)

2 – 9x(x + 4)]

a) 36 b) -36 c) 30

d) -30 e) -48

13. Efectuar:

3 633 63 nmmm.nmmmP

a) m b) n c) m2

d) n2

e) 1

14. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

Calcular: )ba(3 dc27S

a) 1 b) 2 c) 3

3

d) 3 e) 3

2

15. Si: 10x+y

+ 10x-y

= m

102x

= n

Calcular: T = 100x+y

+ 100x-y

a) m2 + 2n b) m

2 - 2n c) m

2 - n

d) m2 + n e) m - n

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Efectuar:

R = (3x2 – 2y

3)2 + (3y

3 + 2x

2)2 – 13(x

4 – y

6)

a) 12x3y

3 b) -12x

2y

3 c) 0

d) 26y6

e) 1

2. Efectuar:

E = (x + y - 2)2 + (x + y + 3)

2 – 2(x + y)

2 - 13

a) -4(x + y) b) 6(x + y) c) 2(x + y)

d) -4 e) x2

3. Efectuar:

35233

233253235

yx24)242(

)242()x2y3()y3x2(S

a) 24x5y

3 b) 16 c) 24x

5y3 + 16

d) 16 – 24x5y

3 e) 12x

2y

3 + 8

4. Si: x + y = 5; xy = 2; x > y

4

Hallar:

17yxyxT 22

a) 17 b) 3 c) 17

d) 21 e) -21

5. Si: x + y = 2; x2 + y

2 = 3; x > y

Hallar:

P = x – y + x4 + y

4 - 8

a) 8 b) 22 c) 2

d) -4 e) N.A.

6. Hallar “m” m Z.

Si: P(x, y) = 9x6 + 7mx

3y

4 + 2x

3y

4 + 25y

8

Sea un trinomio cuadrado perfecto.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

7. Efectuar:

)1x)(1x)(1x()x4)(4x(E

a) x2

b) 15 c) 0

d) 2x2

e) 2

8. Efectuar:

)3yx)(3yx()3yx)(3yx(S

a) 4xy b) 6 c) 2(x2 + y

2)

d) 4xy – 6 e) xy

9. Efectuar:

T = (a + b - c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b - c)

a) 4ac b) -4ac c) 2b2

d) –b2

e) 2(a2 + b

2+ c

2)

10. Efectuar:

Q = (3x + y)(9x2 – 3xy + y

2) + (2x - y)(4x

2 + 2xy + y

2)

a) 2y3

b) 19x3

c) 35x3

d) 19x3 – 2y

3 e) 1

11. Efectuar:

E = (x2 - 7)(x

2 + 11) – (x + 3)(x - 3)(x

2 + 13)

a) 40 b) -40 c) -22x2

d) 30x2

e) 40x

12. Efectuar:

T = (x2 + x + 3)(x

2 + x + 2) – (x

2 + x + 1)(x

2 + x + 4)

a) 2 b) -2 c) 6x

d) -6x e) 6x + 2

13. Efectuar:

E = (x - 3)4 – x(x - 6)(x - 4)(x - 2) – 10x(x - 6) + 9

a) 15 b) -72 c) -90

d) 72 e) 90

14. Si: a2 + b

2 + c

2 = 2

(a + b + c)(1 + ab + bc + ca) = 32

Calcule: N = a + b + c

a) 4 b) 16 c) 3

32

d) 64 e) 2


1y

1xy

1x

1yxR

Para: 23

35x

35

23y

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Desarrollada

(a + b)3 a

3 + b

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Abreviada

(a - b)3 a

3 - 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Desarrollada

(a - b)3 a

3 – b

3 – 3ab(a – b)

Forma Abreviada

Ejm.:

Si: x + y = 6

xy = 7

Hallar: N = x3 + y

3

Sol.:

Recordando el producto notable.

(x + y)3 = x

3 + y

3 + 3xy(x + y)

Reemplazando:

63 = x

3 + y

3 + 3(7)(6)

Despejando:

x3 + y

3 = 6

3 – 3(7)(6)

x3 + y

3 = 90

Ejm.:

Si: 4x

1x

33

Calcular: x

1xP

Sol.:

Recordando:

x

1x

x

1)x(3

x

1x

x

1x

33

3

Reemplazando:

P3 = 4 – 3(P)

Despejando:

P3 + 3P = 4

P(P2 + 3) = 4

P = 1

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 – ab + b

2) = a

3 + b

3

(a - b) (a2 + ab + b

2) = a

3 – b

3

(x + 1) (x2 – x + 1)

(x + 3) (x2 – 3x + 9)

)139()13(333

(2x - 3) (4x2 + 6x + 9)

IDENTIDAD DE ARGAND

(x2 + xy + y

2) (x

2 – xy + y

2) x

4 + x

2y

2 + y

4

Caso Particular:

(x2 + x + 1) (x

2 – x + 1) x

4 + x

2 + 1

CUBO DE UN TRINOMIO

(a + b + c)3 a

3 + b

3 + c

3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)

(a + b + c)3 a

3 + b

3 + c

3 + 3(a + b + c)

(ab + bc + ac) – 3abc

IGUALDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0

Se cumple:

a2 + b

2 + c

2 -2(ab + ac + bc)

a3 + b

3 + c

3 3abc

6

Si quieres saber más

entonces aplica tu

ingenio.

Si: a2 + b

2 + c

2 ab + ac + bc

Donde: a, b, c R

Se demuestra que:

a = b = c

Caso Especial:

Si:

a2 + b

2 + c

2 + ….. n

2 = 0

Será posible si:

a = b = c = ……… = n = 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

16. Si: a + b = 5

ab = 2

Calcular: a3 + b

3

a) 83 b) 64 c) 78

d) 81 e) 95

17. Si: 5x

1x

Calcular:

3223

x

1

x

1xxE

a) 133 b) 121 c) 89

d) 76 e) 98

18. Efectuar:

P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x

2 + x + 1)

a) x3

b) 2 c) 2x3

d) 54 e) 27

19. Reducir:

(x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x

2 + 3x + 9)(x - 3)

a) x3

b) 18 c) 2x3

d) 54 e) 27

20. Efectuar:

3)253549()57(R33333

Indique lo correcto:

a) R + 1 = 0 b) 2 R < 3 c) R N

d) R2 + 1 = 3 e) R – 1 = 7

21. Si: 33

1212x

Hallar: M = x3 + 3x + 8

a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 18

22. Calcular el valor numérico de:

A = (a - b)[(a + b)2 + 2ab + (a - b)

2] + 2b

3

Si: 3 33

12by4Q

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 12

23. Si: 0cba333

Entonces el valor de 3

3

cbaL

es:

a) (abc)2

b) 3

abc c) (abc)3

d) abc3 e) abc

7

24. Si: x = a – b

y = b - c

z = c - a

Calcular:

yzxzxy

xyz

zyx

zyxM

333

222

a) -6 b) 3/4 c) -2/3

d) 3/2 e) 1

25. Sabiendo que: a; b; c R

(a - b)2 + (b - c)

2 + (a - c)

2 = 0

Calcular:

45

555

)cba(

cbaM

a) 1 b) 3 c) 1/3

d) 2 e) 1/2

26. Simplificar:

)zx)(zy)(yx(

)xz()zy()yx(E

333

a) -3 b) 3 c) 1

d) -1 e) 0

27. Si: x3 = 1 y además x 1

Calcular:

1x

xxE

6

48

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) -1/2 e) -2

28. Siendo x; y R que verifican:

x2 + y

2 + 10 = 6x + 2y

Calcular: xy

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

29. Sabiendo que: x3 + y

3 = xy

Calcular:

3 4466 )xy2(yx2)yx(xyP

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

30. Reducir:

F = (a + b - c)3 + (a – b + c)

3 + 6a(a + b - c)(a – b + c)

a) 8a3

b) 8b3

c) 8c3

d) 3abc e) 0

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

16. Si: x – y = 3

xy = 5

Hallar: E = x3 – y

3

a) 18 b) -18 c) -72

d) 72 e) 27

17. Si: x + y = 2

x2 + y

2 = 3 ; x > y

Hallar: E = x3 – y

3

a) 5 b) 3 c) -5

d) -3 e) 2

27

18. Simplificar:

M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)

3

a) a3

b) b3

c) c3

d) 0 e) 3abc

19. Calcular:

4)1525)(15(N333

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

20. Multiplicar:

P = (4x6 – 2x

3 + 1)(2x

3 + 1)

a) 8x3 + 1 b) 8x

3 – 1 c) 8x

9 + 1

d) 9x9 -1 e) N.A.

8

21. Si: x + y = -z

Simplificar:

xyz

zyxK

333

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

22. Siendo: 110100xy33

322 101yx


S = (x - y)4 – (x + y)

4

a) 44 b) 88 c) 50

d) -100 e) -88


12

)ca()cb()ba(M

222

Si se sabe que:

3cbba

a) 0 b) 1/5 c) 3/2

d) 3/5 e) 4/3

24. Si: ab = 1. El valor de:

1b

1ab

1a

1baS

2

2

2

2

a, b R

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

25. Si se sabe que:

x2 + y

2 + z

2 = xy + xz + yz


9101010

10

zyx

)zyx(M

a) 4 b) 3 c) 1

d) 5 e) 2

26. Siendo: x + 4y + 9z = 0

Según ello reducir:

xz

)xz3(

yz

)z3y2(

xy

)y2x(N

222

a) 42 b) -36 c) abc

22

d) 31 e) 23abc

27. Si: 33

3232x

Calcular:

x3xR 3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

28. Si: (a + b)2 + 1 = (a + 1) (b + 1)

Calcular:

23

23

bb

aaE

a) 1/2 b) 2 c) -1

d) 3 e) 1

29. Si: 2x-1

= 2 – x

Calcular:

N = x9 – (x

4 + x

2 + 1)(x

6 + x

3 + 1)

a) -1 b) 1 c) 2

d) -2 e) 3

30. Si: a + b + c = 1

a2 + b

2 + c

2 = 2

a3 + b

3 + c

3 = 3

Calcular: a4 + b

4 + c

4

a) 3/4 b) 5/2 c) 2/5

d) 17/4 e) 25/6

Tema 2 4to

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