TEMA 12

TEMA 12 ANALISIS Y DISEO DE LOSAS MEDIANTE

LINEAS DE FLUENCIA

La mayor parte de las losas de concreto se disean para momentos determinados esencialmente en la teora elstica o considerando traslaciones plsticas, pero muy reducidas. Por otro lado, el refuerzo de las losas se calcula con metodologas de resistencia que tienen en cuenta el comportamiento inelstico real de los elementos en estado de carga mayorada.

Esto, evidentemente es una contradiccin, por lo que en el proceso de anlisis y diseo de vigas y prticos se introdujo el concepto de anlisis al limite o anlisis plstico del concreto reforzado, Esta forma de tratamiento del problema no slo elimina la inconsistencia de combinar el anlisis con el diseo inelstico, sino que tambin tiene en cuenta la reserva de resistencia caracterstica de muchas estructuras de concreto reforzado y permite, dentro de ciertos lmites, un ajuste arbitrario de los momentos encontrados por el anlisis elstico, para llegar a momentos de diseo que permitan una disposicin ms prctica del refuerzo. El mtodo de anlisis por "lneas de fluencia" es la aplicacin de estos conceptos al diseo de losas de concreto armado.

El anlisis plstico completo de una viga o un prtico continuo de concreto reforzado es tedioso y complicado a causa de la necesidad de calcular las demandas de la rotacin en todas las rtulas plsticas y asegurar que sea la ms adecuada. Sin embargo, para losas, que tienen por lo general cuantas de acero a tensin muy por debajo de la cuanta balanceada y, en consecuencia cuentan con gran capacidad de rotacin, se puede asumir en forma segura que la ductilidad necesaria esta presente.

El cdigo del ACI no incluye disposiciones especificas para el anlisis plstico de losas, sin embargo permite la utilizacin de "Sistemas especiales de diseo o construccin" que hayan demostrado ser adecuados por su utilizacin exitosa. Este es el caso del mtodo de "Lneas de falla".

En el anlisis plstico se defini el concepto de rtula plstica, como un sitio a lo largo del elemento en una viga o prtico continuo en el cual, al aplicar una sobrecarga, se presentarn rotaciones inelsticas considerables para momentos resistentes esencialmente constantes. Para losas, el mecanismo correspondiente es la lnea de fluencia.

Para una losa con sobrecarga uniformemente repartida, el momento resistente por unidad de longitud medido a lo largo de una lnea de fluencia es constante a medida que ocurre la rotacin inelstica; la lnea de fluencia sirve de eje de rotacin para el segmento de losa

1.- ANLISIS DE UNA LOSA ARMADA EN UNA DIRECCIN, SIMPLEMENTE APOYADA Y UNIFORMEMENTE CARGADA

La figura ilustra una losa de concreto armado simplemente apoyada y cargada uniformemente, y como es usual, se supondr, que esta sub reforzada, es decir, p < pb Se muestra el diagrama de cargas y el diagrama de momentos elstico.

A medida que se aumenta la carga cuando el momento aplicado resulta igual a la capacidad ltima a flexin de la seccin transversal de la losa ocurrir que, M = Mp.

El acero a tensin empieza a fluir a lo largo de la lnea transversal de mximo momento. Al fluir, la curvatura de la losa en la seccin de la fluencia aumenta repentinamente y las deflexiones se incrementan en forma

desproporcionada.

Las curvaturas elsticas a lo largo de laluz de la losa son pequeas en comparacin con la que generan las deformaciones plsticas en la lnea de fluencia y es aceptable tener en cuenta que los segmentos de losa entre la lnea de fluencia y los apoyos permanecen rgidos, mientras toda la curvatura ocurre en las lneas de fluencia.

La resistencia por unidad de ancho de losa es la resistencia nominal a flexin de la losa, es decir mp= mn donde mn se calcula mediante las ecuaciones corrientes.

Para efectos de diseo, mp ,se tomara igual a mn con igual a 0.9.

Para una losa estticamente determinada, como la de la figura, la formacin de una lnea de falla produce el colapso. Se forma s un "mecanismo" es decir los segmentos de la losa entre la rtula y los apoyos pueden desplazarse sin que se incremente la carga.

Sin embargo las estructuras indeterminadas pueden resistir por lo general, sus cargas sin presentar colapso an despus de la formacin de una ms lneas de fluencia.

2.- ANLISIS DE UNA LOSA ARMADA EN UNA DIRECCIN, DOBLEMENTE EMPOTRADA Y UNIFORMEMENTE CARGADA

La figura ilustra una losa de concreto armado doblemente empotrada, y cargada uniformemente, igualmente se supondr subreforzada. Se muestra el diagrama de cargas y el diagrama de momentos elstico.

Supondremos la losa con igual refuerzo para los momentos negativos y positivos y que esta cargada de manera uniforme, en el inicio presentar una distribucin elstica de momentos. (Relacin de 1 a 2).

A medida que se incrementa la carga, las secciones sometidas a mayores esfuerzos en los apoyos comenzarn a fluir. Se producen entonces rotaciones en las rtulas lineales de los apoyos, pero continan actuando momentos de restriccin con valor constante Mp. De este modo, la carga puede incrementarse an ms hasta que el momento en el centro de la luz sea igual a la capacidad de momento en este punto y se forme as una tercera lnea de fluencia, como se muestra en la figura.

La losa es en este momento un mecanismo donde ocurren grandes deflexiones y se presenta el colapso.

Por ltimo, en la figura se muestra el diagrama de momentos justo antes de la falla . Obsrvese que ya no es vlida la relacin de momentos elsticos positivo negativo (1:2) ; como consecuencia de las deformaciones inelsticas (redistribucin de momentos) la relacin entre estos dos momentos justo antes colapso es de 1-1, para esta estructura en particular.

Debemos mencionar tambin que la relacin de momentos para el estado de falla dependen principalmente del refuerzo proporcionado, no de los resultados de los anlisis elsticos.

La posibilidad de aceptar rotaciones que permitan la redistribucin depende de la cuanta de acero "p" cuanto menor sea "p" existir mayor capacidad de rotacin. Esto es aprovechable en losas, las que generalmente tienen cuanta pequea.

3.- REGLAS PARA LA UBICACIN DE LAS LNEAS DE FLUENCIA

En los casos vistos en los tem anteriores la ubicacin de la o las lneas de fluencia fueron evidentes y se determinaron con suma facilidad. En otros casos la ubicacin puede no ser tan simple, por lo que resulta til tener un conjunto de "reglas" para dibujar las lneas de fluencia y localizar los ejes de rotacin.

Los trminos lnea de fluencia positiva y lnea de fluencia negativa se utilizan para diferenciar entre aquellas asociadas con tensin en la parte inferior y tensin en la superior de la losa respectivamente.

Las pautas para determinar los ejes de rotacin y las lneas de fluencia se indican a continuacin :

a.- Las lneas de fluencia son lneas rectas (Son la interseccin de dos planos).

b.- Las lneas de fluencia representan ejes de rotacin.

c.- Los bordes apoyados de la losa, establecen ejes de rotacin (Si el borde esta empotrado se forma una lnea de fluencia negativa que suministra resistencia constante a la rotacin. Si el borde esta simplemente apoyado el eje de rotacin proporciona restriccin nula.

d.- Un eje de rotacin pasar por encima de cualquier columna de apoyo.

e.- Una lnea de fluencia entre dos segmentos de losa debe pasar por el punto de interseccin de los ejes de rotacin de los segmentos adyacentes de losa.

f.- Debajo de las cargas concentradas, se forman lneas de falla que salen radialmente a partir del punto de aplicacin de la carga.

3.1 Ejemplo.-

El ejemplo ilustra el caso de una losa simplemente apoyada a lo largo de sus cuatro bordes:

La rotacin de los segmentos de losa A y B ocurre alrededor de "ab" y "cd"; la lnea de fluencia "ef" entre estos dos segmentos de losa es una lnea recta que pasa por f, el punto de interseccin de los ejes de rotacin.

3.2 Otros ejemplos .-

Se presenta ilustraciones de la aplicacin de las pautas para determinar la ubicacin de las lneas de fluencia y los mecanismos de falla para losas con diferentes condiciones de apoyo.

Una vez que se establece el patrn general de fluencia y rotacin, mediante la aplicacin de las pautas indicadas, la ubicacin y orientacin especficas de los ejes de rotacin y la carga de falla de la losa pueden establecerse por uno cualquiera de los dos mtodos siguientes :

- Mtodo de equilibrio de segmentos.

- Mtodo de Trabajo virtual.

Cualquiera sea el mtodo elegido, la solucin tiene dos partes esenciales :

a) Establecer el patrn de falla correcto.

b) Encontrar los parmetros geomtricos que definen la ubicacin y orientacin exactas de las lneas de fluencia y obtener la relacin entre la carga aplicada y los momentos resistentes.

Debe tratar de encontrarse el mecanismo correcto, por ejemplo la losa rectangular de la figura siguiente, apoyada a lo largo de slo tres lados y libre a lo largo del cuarto, puede fallar por cualquiera de los dos mecanismos expuestos.

4.- ANALISIS MEDIANTE EL METODO DE EQUILIBRIO DE SEGMENTOS

Este mtodo considera el equilibrio de los segmentos individuales de losa que forman el mecanismo de colapso, en base a ello, se genera un conjunto de ecuaciones simultneas que permiten encontrar los parmetros geomtricos desconocidos y la relacin entre capacidad de carga y momentos resistentes.

Cada segmento de losa, estudiado como cuerpo libre, debe estar en equilibrio bajo la accin de:

- Las cargas externas.

- Los momentos a lo largo de las lneas de fluencia.

- Las reacciones cortante a lo largo de las lneas de apoyo.

Para las ecuaciones de equilibrio solo se considera los momentos unitarios (m). A lo largo de las lneas de fluencia, los momentos de fluencia son momentos principales, los momentos torsionales son iguales a cero, y en muchos casos, las fuerzas cortantes tambin son iguales a cero.

IMPORTANTE .- Se debe investigar diversas configuraciones de lneas de falla y rotacin, la crtica ser la que nos de la carga de falla menor lo que es lo mismo la que requiera el mayor momento resistente.

Ejemplo N1 .-

Analizar la losa continua, armada en una direccin, cargada uniformemente. La losa tiene una luz de 3 mt. y esta reforzada para proporcionar una resistencia a la flexin positiva mn = 700 Kg mt/m y una resistencia igual en el momento negativo del apoyo A y de mn = 1000 Kg mt/m en el apoyo C. Determinar la capacidad ltima de carga de la losa.

Si tenemos el segmento izquierdo de la losa como un cuerpo libre :

Del grfico b:

Ecuacin(1)

De modo similar para el segmento del sector derecho :

Del grfico c :

Ecuacin(2)

Se resuelven simultneamente ambas ecuaciones y tenemos :

de (1)

de (2)

0.21 x2 + 6x - 9 = 0

NO !!!

Luego :x = 1.43 reemplazando

En el anlisis de lneas de fluencia resulta conveniente representar los momentos con vectores. Se seguir la convencin estndar, mediante la cual los momentos actan en direccin de las agujas del reloj cuando se observan a lo largo de la flecha del vector.

Ejemplo N2 .-

Analizar la losa cuadrada, simplemente apoyada a lo largo de todos los bordes, reforzada con igual armadura en cada sentido. Determinar el momento resistente m = mn por metro lineal, requerido para sostener una carga mayorada w Kg/m, distribuida uniformemente.

- Por condiciones de simetra se deduce el esquema de lneas de falla.

Considerando el equilibrio de cualquiera de los segmentos con respecto a su apoyo:

Reemplazando en

5.- ANALISIS MEDIANTE EL METODO DE TRABAJO VIRTUAL

Este mtodo se basa en igualar el trabajo interno realizado en las rtulas plsticas con el trabajo externo que efectan las cargas al someter el mecanismo predefinido de falla a un virtual desplazamiento pequeo.

Puesto que los momentos y las cargas estn en equilibrio cuando se forma el patrn de lneas de falla, un aumento infinitesimal en la carga producir una deflexin adicional de la estructura.

El trabajo externo realizado por las cargas para producir una deflexin virtual arbitrariamente pequea, debe ser igual al trabajo interno hecho a medida que la losa rota alrededor de las lneas de fluencia para permitir esta deflexin.

Trabajo externo cargas = Trabajo interno en lneas de fluencia.

Por consiguiente; se le da a la losa un desplazamiento virtual unitario y de este modo pueden calcularse las rotaciones correspondientes en las diversas lneas de fluencia.

Al igualar el trabajo interno con el externo, se obtiene la relacin entre las cargas aplicadas y los momentos ltimos resistentes de la losa.

6.- TIPOS DE ARMADO

Por lo general, el refuerzo en las losas se coloca ortogonalmente, es decir en dos direcciones perpendiculares. El mismo refuerzo puede proporcionarse en cada direccin, pero en muchos casos prcticos puede utilizarse refuerzo con diferentes reas de barras diferentes espaciamientos, en cada una de las direcciones.

Cuando los momentos en dos direcciones perpendiculares, son iguales, lo son tambin en todas las direcciones.

IMPORTANTE .- El anlisis por "lneas de falla" se enfoca totalmente hacia la capacidad en flexin de la losa; por lo tanto, deber ponerse especial cuidado en determinar que no ocurrir una falla temprana por cortante por torsin y que el agrietamiento y las deflexiones con las cargas de servicio no se presentarn en exceso.

En muchos textos ya estn analizados diferentes tipos de losas, por lo que se cuenta con frmulas que dan directamente los momentos, lo que hace muy prctico este mtodo.

7.- ANLISIS PRACTICO

a) Nomenclatura

b) Anlisis

En general cuando el grado de fijacin (empotramiento) es diferente en cada apoyo, tendramos:

c) Ejemplo de aplicacin

Disear el pao de la losa mostrada en la figura y para las condiciones de borde mostradas en ella:

1 .- Determinacin del peralte de la losa:

h = 12.2

Usaremos 14 cm.

2.- Cargas:

Wu = 1.5 x 586 + 1.8 x 300 = 1419 Kg / m

3.- Diseo:

3 / 8 @ 22Usaremos @ 20

Asmin = 0.0018 x 13 x 100 = 2.34 < 3.26

Smax = 3 t = 3 x 14 = 42 cm.

3 / 8 @ 22.5 en c/sentido es OK.

4.- Esquema de armado:

5.- Otras frmulas : Losas apoyadas en 3 y 2 lados

PAGE 221CONCRETO ARMADO II / Julio Arango Ortiz

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