Analisis y diseño de losas Exp_Morales_LOSAS_01

7/27/2019 Analisis y diseo de losas Exp_Morales_LOSAS_01

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Ing. Roberto Morales Morales

RECTOR UNI - PERU

ANALISIS Y DISEO DE LOSAS


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Losas en una DireccinLosas en una Direccin

Las losas armadas en una direccin son panelesLas losas armadas en una direccin son panelesde piso de concreto para los cuales la relacinde piso de concreto para los cuales la relacinde luz mayor a la luz menor es igual o mayor quede luz mayor a la luz menor es igual o mayor que2.0. Cuando esta relacin es menor que 2 el2.0. Cuando esta relacin es menor que 2 el

panel de piso llega a ser una losa en dospanel de piso llega a ser una losa en dosdirecciones.direcciones.Una losa en una direccin es diseada como unUna losa en una direccin es diseada como un

pao de viga de ancho de 1m usando el mismopao de viga de ancho de 1m usando el mismoprocedimiento de anlisis y diseo que el deprocedimiento de anlisis y diseo que el devigas con refuerzo simple.vigas con refuerzo simple.


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En el diseo de losas, normalmente se asume unEn el diseo de losas, normalmente se asume unespesor.espesor.

Las losas normalmente para cargas tpicas noLas losas normalmente para cargas tpicas no

requieren de refuerzo por corte.requieren de refuerzo por corte.

Ln

t

b b b b b

Ln

Ln

Ln

1 m


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Refuerzo transversalRefuerzo transversal

Astemp = 0.0020 bt para fAstemp = 0.0020 bt para fyy = 2800, 3500 kg/cm2= 2800, 3500 kg/cm2= 0.0018 bt para f= 0.0018 bt para fyy = 4200= 4200

s < 5t, 45 cms < 5t, 45 cm con y = 0.35%con y = 0.35%

Ast 0.0018 bt 4200fy

0.0014 bt=


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Aplicacin:Aplicacin:

Disear la losa simplemente apoyada reforzadaDisear la losa simplemente apoyada reforzadaen una direccin, que se muestra en la figura.en una direccin, que se muestra en la figura.

Considere:

f'c = 280 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

wD = 0.56 t/m2

wL = 0.50 t/m2

Dimensionar la losa para una cuanta de 0.004


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Solucin:

Considerando un ancho de 1mConsiderando un ancho de 1m

wuwu = 1.2= 1.2 wwDD + 1.6+ 1.6 wwLL = 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m= 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.472 t/m22

MuMu == f'f'cc bdbd22

(1(1--0.590.59 ))

2.38 * 102.38 * 1055 = 0.9 * 280 * 100 d= 0.9 * 280 * 100 d22 * 0.060 (1* 0.060 (1--0.59 * 0.060)0.59 * 0.060)

3.60

Mu u2

81.47 *

3.602

82.38 t m= = = w

L

fy

fc0.004 *

4200

2800.060=

= =


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Usar:Usar: h = 16 cm d = 16h = 16 cm d = 16 -- (2 + 0.635) = 13.36 cm(2 + 0.635) = 13.36 cm

maxmax = 0.75= 0.75 bb = 0.0213 > 0.004........... Conforme= 0.0213 > 0.004........... Conformeminmin == temptemp = 0.0018 < 0.004 .....= 0.0018 < 0.004 ..... ConformeConforme

Diseo:Diseo:

a = 2 cma = 2 cm d = 13.36 cmd = 13.36 cm

d 12.77 cm h d2

12.77 21.27

215.4 cm= = + + = + + =r

( )

da

212.36 cm As

Mn

fy da

2

2.38 * 105

0.9 * 4200 12.36 = =

=

As 5 cm2 a

As fy

0.85 f c b

5.09 * 4.2

0.85 * 0.28 * 1000.90 cm= = = =.

'09


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CONFORME

Usar:

1/2" @ 0.26 Respuesta

d a2

12.91 cm As 4.88 cm2 a 0.86 cm = = =

As / bd100 * 13.36

0.003654.88

= = =

= = = = = =b 1 A 1.27A nA s 0.26ms n n A / m 4.88s


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Refuerzo transversal

Ast

= 0.0018 bt = 0.0018 * 100 * 16 = 2.88 cm2 /m

Usar: 3 / 8" @ s0.71

2.880.25 m= =

f 1/2 @ 0.26

f3/[email protected]

5

0.16

f 3/8 @ 0.25

f 1/2 @ 0.26


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Diseo de una Losa Maciza

Disear la losa maciza por flexin reforzada enuna direccin. Considere: espesor = 14 cm, s/c= 600 kg/m2, f'c = 210 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2.

Solucin:

P.P. = 0.14 * 1 * 2.4 * 1.2 = 0.40

acab = 0.10 * 1.2 = 0.12S/C = 0.60 * 1.6 = 0.96

wu = 1.48 t/m


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S/C = 600 kg/m2

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

1/24

1/14

3.40 3.70

1/14

1/9 1/24

1

24 0.71 t m a 0.40 cm As 1.68 cm2

= =

3 / 8" @ 0.42

19

2.07 t m

1

24

0.84 t m a 0.47 cm As 2.00cm2 = =


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Diseo:

Mu = 2.07 t-m a = 2 cm

3 / 8" @ 0.36 m

1

141.22 t m a 0.69 cm A

s2 cm2 = = .93

3 / 8" @ 0.24 m 1

141.45 t m a 0.83 cm As 3.51 cm

2 = =

3 / 8" @ 0.20 m

d 14 21.27

211.37 cm= + =


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As = 5.09 cm2 a = 1.20 cm Conforme

Usar

As 2.07 * 105

0.9 * 4200 11.37a

2

5.28 cm2=

=

=

=a As fy0.85 fc 100

1.24 cm

1/ 2" @1.27

5.100.25 m=


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2.07 t-m ............... 1.20 cm

Mu ........................ xAs min = 0.0018 bd = 0.0018 * 100 * 11.37 = 2.05 cm2

3/8" @ 0.35

s < 3t, 45 cm = 42, 45 cm Conforme

f 3/8 @ 0.24

f 3/8 @ 0.42f 1/2 @ 0.25

f 3/8 @ 0.36

f 3/8 @ 0.20


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Lneas de fluencia

Los trminos "Lneas de Fluencia Positiva" y"Lneas de Fluencia Negativa" son usados paradistinguir los asociados a traccin en la parteinferior de la losa y traccin en la parte superiorde la losa respectivamente.

P

Lnea de Fluencia PositivaLnea de Fluencia Negativ

PLANTA


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Las orientaciones para establecer los ejes de rotacin y

lneas de fluencia son:1. Las lneas de fluencia son generalmente rectas.2. Los ejes de rotacin generalmente se encuentran a

lo largo de las lneas de apoyo, las cuales puedenser rtulas reales o lneas de fluencia que actancomo rtulas plsticas.

3. Los ejes de rotacin pasan por los puntos de apoyo

(como las columnas).4. La lnea de fluencia comun a dos porciones de losa

pasa por el punto de interseccin de los ejes de

rotacin de dichas porciones.5. Las deformaciones en la estructura plastificada seproducen alrededor de un eje de rotacin y se hallanconcentradas en las lneas de fluencia. Las

porciones limitadas por ellas permanecen planas


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Apoyos simples en todos los lados

Apoyo Apoyo


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Formas tpicas de lnea de fluencia:

Apoyos no paralelos

Apoyos simples

en todos los lados

213

4

1

2


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4 Apoyossimples

3 Apoyossimples

Bordelibre 2 Apoyos

empotrados2

1

1

2

3

Borde Libre


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Eje de rotacin

Bordelibre

3 Apoyosempotrados

2

1

3


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Columna

2 apoyos empotrados

Apoyo simple

Libre


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Mtodos de anlisisa) Anlisis por el mtodo de equilibrio

A partir de una configuracin aproximada de las lneasde fluencia puede encontrarse la verdadera,considerando el equilibrio de las porciones de la losa.Cada porcin considerada como cuerpo libre, debeestar en equilibrio bajo la accin de las cargasaplicadas, momentos flectores a lo largo de las lneasde fluencia y reacciones o fuerzas cortantes a lo largode las lneas de apoyo.Debe notarse que los momentos de fluencia sonmomentos principales, por lo tanto los momentos detorsin son nulos a lo largo de las lneas de fluencia ygeneralmente las fuerzas cortantes son tambin nulas.


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Mtodos de anlisisb) Anlisis por el mtodo de los trabajos

virtualesEn base a una configuracin de lneas defluencia se le da al sistema un conjunto de

desplazamientos virtuales compatibles con laconfiguracin supuesta, siendo posiblecalcular las rotaciones correspondientes.

Igualando el trabajo exterior con el trabajointerior, se encuentra la relacin entre lascargas aplicadas y los momentos ltimos dela losa.


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Losas isotrpicas y ortotrpicas

Si una losa es reforzada idnticamente en

direcciones ortogonales, los momentosresistentes ltimos son los mismos en esas dosdirecciones y a lo largo de cualquier otra

direccin. Estas losas son llamadasIsotrpicamente reforzadas.Si una losa es reforzada diferentemente en dos

direcciones ortogonales, la losa es llamadaanisotrpica u ortotrpica.


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Momentos ltimos en ejes noperpendiculares a las armaduras

El problema es calcular el momento ltimo enuna direccin cualquiera si se conocen losmomentos ltimos resistentes en dos direccionesperpendiculares.

mq

1

q

q

senq

cosq

mx

my


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mq, mx ,my : momentos ltimos por unidad de longitud.

Tenemos:

En caso de losas isotrpicas

(Los momentos ltimos son iguales en cualquier direccin)

m (mx cos ) cos (my sen ) sen = +

m mx cos2

my sen2

= +

=mx my

= +m mx cos2 mx sen

2

m mx my = =


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Ejemplos de Aplicacin

a) Mtodos de Equilibrio

Aplicacin N 01:Se tiene una losa continua uniformementecargada como se muestra en la figuraadjunta. La losa tiene una luz de 3 m y estreforzada para proveer una resistencia aflexin positiva de 0.70 t-m/m. A flexinnegativa tiene una resistencia de 0.70 t-m/m en la seccin A y de 1.05 t-m/m en C.Hallar la capacidad de carga lmite de la

losa..


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Solucin:

Considerando un metro de ancho tendremos:

w t/m

A

B

C

3-xx

1 m

PLANTA

3.00


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Analizando cada parte de la losa como cuerporgido:

.. .(1)

..(2)

De (1) .......................(3)

MAwx2

20.70 0.70 0 = =

MCw (3 x)2

20.70 1.05 0 =

=

w2.8

x2=


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Aplicacin N 02:

Se tiene una losa cuadrada simplemente

apoyada en sus cuatro lados eisotrpicamente reforzada. Determinar elmomento resistente lmite por metro lineal

requerido para sostener una cargauniformente distribuida de W t/m2.


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Solucin:

Tenemos la configuracin de falla

L

L


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Considerando una de las cuatro partes iguales ysu equilibrio alrededor de su eje de rotacin.


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La carga distribuida concentrada en el centro de gravedad

ser:

La proyeccin de los momentos sobre el eje de rotacinser:

Luego:

PewL2

4=

Mp MBC cos mL2

2

2

2

mL

2

= = =

MEJEwL2

4

1

3

L

2

mL

2

mL

2

0= =

= mw L2

24t m m/


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Aplicacin N 03:

Para la losa que se muestra simplemente

apoyada, determinar el momento resistenteltimo para una carga lmite uniformementedistribuida w (t/m2). La losa es isotrpicamente

reforzada.

1

2

2

6.0

x

1.53.01


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Solucin:

Zona 1:

La carga concentrada ser: Pe w3x2

=

m

3.0

m

Pe

x/3

Eje de rotacin

x


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Considerando el equilibrio en el eje tendremos:

De aqu:

........................(1)

MEJE3wx

2

x

33m 0= =

m

wx2

6=


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Zona 2:

Las cargas concentradas considerando lassecciones mostradas sern:

mm

m

x 6 -2x x

1.50

0.50.75

Pe2

Pe1 Pe1

Eje de Rotacin

6.00


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Tomando momentos respecto al eje de rotacin:

6m + 1.5wx - 6.75w = 0 ..... (2)

(1) en (2)

Pe1

wx1.5

2=

Pe2 w(6 2x) 1.5=

MEJE 0 =

( )6 m 2 wx1.5

2 0.5 w(6 2x) 1.5 (0.75) 0 =

6wx2

61.5 wx 6.75w 0 x 1.95 m

+ = =


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t-m/m

b) Mtodo de Trabajos Virtuales

m wx26

m 0.634 w= =

0.70 0.70 1.05

A B C


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Aplicacin N 04:

Se tiene una losa continua uniformemente

cargada. La losa tiene una luz de 3 m y estreforzada para proveer una resistencia a flexinpositiva de 0.70 t-m/m y a flexin negativa de

0.70 t-m/m en A y 1.05 t-m/m en C. Determinar lacapacidad de carga ltima de la losa.


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Solucin:Tenemos las rotaciones:

A1

x= B B1 B2 A C= + = +

= +

Bx x

1 1

3C

1

3 x=

1/21/2

W (t/m )

2

w(3-x)wx

A

B

C

CA

qB1 qB2

x 3 - x

3 3


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Cuando tenemos una deflexin unitaria en B, sedesarrolla un trabajo externo de:

Y un trabajo interno de:

WE wx1

2 w (3 x)1

2= + =

3

2

w

W M 0.701

x0.70

1

x

1

3 x1.05

1

3 x = = + +

+

= +

14 175

3

. .

x x


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Igualando:

Si: WI = WE

........................................... (1)

Para determinar el valor mnimo de w diferenciamos (1)con respecto a x, e igualamos a cero:

+

=1.4

x

1.75

3 x

3w

2

w0.933

x

1.167

3 x

= +

( )

dw

dx0

0.933

x2

1.167

3 x2

0= +

=


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Resolviendo:

2.046 x = 2.898

En (1)w = 1.39 t/m2

0 966 108

3

. .

x x=

x m= 142.


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Aplicacin N 05:

Para la losa que se muestra en la figura adjunta

determinar el momento ltimo resistente parauna carga lmite uniforme w t/m2. La losa esisotrpicamente reforzada.

1.5

3.0

x

6.0


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Solucin:

Considerando un desplazamiento virtual de D =1

de la linea de fluencia paralela a los ladosmayores.

2A

11

D=1

2A2B

X

3.0m


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Tendremos:

051.0

Pe2A

/3

2x/3

D/3

e

1

P

x/3

D=1.0

Zona 1:

Pe2B

D/ 2

Zona 2A:

0.5 0.5

Zona 2B:

We1

Pe1 3

w3x

2

1

3

wx

2

= = =


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Igualamos el trabajo exterior al trabajo interior para eltotal de la losa:

We2A Pe2A3

x1.5 w

2

1

3

wx

4

= = =

We2B Pe2B2

(6 2x) 1.5 w1

24.5 w 1.5 wx= = =

Wi M=

Wi 3 mL

x6 m

L

1.5= +

( )2wx

2 4

wx

4 2 4.5 w 1.5 wx 2

3 m

x

6 m

1.5

+ + = +

+ = +

wx 9 w m

6

x8


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..................................................... (1)

Para hallar el momento ltimo tenemos que diferenciarcon respecto a x e igualar a cero.

simplificando:

x2 + 1.5x - 6.75 = 0

Que viene a ser la misma ecuacin que se obtuvousando el mtodo de equilibrio. En (1)

t-m/m

mw (9 x)

6

x8

=

+

( )

dm

dx (9 x) ( 1)

6

x 8

2

6x

2

1

6

x 8

1

0= +

+ +

=

= =x m m w195 0 634. .


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Aplicacin N 06:

Para la losa exagonal inscrita en un crculo de

dimetro 8.80 m determine el valor de la cargauniforme ltima t/m2. La losa tiene 20 cm deespesor y est reforzada con 1/2" @ 0.15 en

cada sentido (inferior). Est simplementeapoyada en sus bordes. Considere f'c = 210kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.


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Solucin:

Por simetra la hiptesis de falla corresponde a

las lneas de fluencia que pasan por lasbisectrices. Las zonas delimitadas son iguales.

1.27

8.80

C

A B

G

4.40 Eje de Rotacin

3

23 81L .m m


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Por metro de Losa:

As =

a = 1.99 cm

m = 8.45 * 4.2 (0.167 - 0.001) = 5.58 t-m

m = 5.58 t-m/m

1

0.15* 1.27 8.45 cm2 / m=

a = 8 45 4 2

0 85 0 21 100

. * .

. * . *

m A f d as y= 2

a) Mtodo de Equilibrio


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a) Mtodo de Equilibrio

5.58 * 4.40 - 0.5 * 4.40 * 3.81w * 1.27 = 0

w = 2.31 t/m2

b) Mtodo de Trabajo Virtual

M = 1.0WE :

Wi :

MAB 0=

6 * 4.40 * 3.81 * 0.5 W1

316.76 W=

6 * 5.58 * 4.40 *1

3.81 38.66

=

WE Wi w 2.31 t / m2= =


54/250

Aplicacin N 07:

La losa de la figura adjunta tiene sus cuatro

bordes simplemente apoyados. Ignorando losefectos de esquina, complete la configuracin delas lneas de fluencia y determine el valor de la

carga uniformemente repartida que correspondea esta hiptesis de falla. El espesor de la losa es15 cm y tiene refuerzo de 3/8" @ 0.20 en cada

sentido (malla inferior) considere.

2


55/250

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

45

45 30

30

5.0

5.0

45

45

S l i


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Solucin:

Por metro de losa:


57/250

As = 5 * 0.71 = 3.55 cm2/m

dp=h-(r+f)

dp = 15 - (2 + 0.95) = 12.05 cm

a3.55 * 4200

0.85 * 210 * 1000.84 cm= =

( ) 1.73t m / mam A f d 3.55 * 4.2 0.1205 0.0042s y 2= = =

d1d2

Si damos al punto F un desplazamiento virtual


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Si damos al punto F un desplazamiento virtual

encontramos los desplazamientos de los otrospuntos por relaciones geomtricas.

F 1=

E1.10

1.80

0.61= =

IB1.00

1.850.54= =

3A0.95

1.800.53= =

IA 4E3

0.203= = =

2 3B1

3 F1

3= = =

Luego:


59/250

Luego:

WE:(1) (IA):

(IB):

(2)

(3) (3A):

(3B):

1

2* 5 * 1.20 * w * 0.203 0.61 w=

12

* 4.5 * 1.30 * * 0.54 1.58w w=

1

2* 5 * 1.85 *

1

31.54 w=

1

2* 4.10 * 0.50 * w * 0.53 0.54 w=

1

2* 6.83 * 1.80 * w *

1

32.05 w=

(4) 1* 1 83 * 1 10 * *0 203 0 20


60/250

(4)

= 6.52 w

WI:

(1)

(2)

(3)

(4)

= 17.68 t-m WE = WL

6.52 w = 17.68 w = 2.71 t/m2

1

2

* 1.83 * 1.10 * w *0.203 0.20 w=

5 * 1.73 *

1

1.85 4.68 t m=

5 * 1.73 *1

1.854.68 t m=

6.83 * 1.73 *1

1.806.56 t m=

1.83 * 1.73 *

0.61

1.10 1.76 t m=

Efectos de esquina en lneas de


61/250


fluencia

En el estudio anterior se ha considerado que las

lneas de fluencia llegan hasta los ngulos entredos lados que se cortan. Otra posibilidad es quelas lneas de fluencia se bifurquen antes de

llegar al ngulo, como se muestra en la figuraadjunta. a

b

c



62/250


fluenciaSi el ngulo de la losa est anclado ocurre que el eje de

rotacin es a-b y la lnea ab se convierte en una lnea defluencia. Lo que quiere decir que la zona abc no sedeforma.Las distribuciones de las lneas de fluencia con lneas

bifurcadas en los ngulos conducen a una menorcapacidad de la losa, que aquellas que no presentanestas caractersticas. Sin embargo frecuentemente seignora en el anlisis correspondiente, debido a que el

error que se comete ignorando el efecto de esquinausualmente es pequeo y el incluirlo conduce a unanlisis complicado.


63/250

m

mm

1

1/3

A B

2.0

4.00

Anlisis del ejemplo de losa cuadrada con carga


64/250

Anlisis del ejemplo de losa cuadrada con carga

uniforme repartida.

Por equilibrio:

m

a

a

mc

b

m

Pe h

Mab 0 =

( )m m' a1

2

a h w1

3

h 0+ =

(1)1 1


65/250

....................... (1)

Se tiene:

Si: h < 1/2 diagonal Hay efecto de esquinaSi: h > 1/2 diagonal No hay efecto de esquina

Si la esquina no est anclada el elemento triangular abcgirara alrededor del eje ab levantndose de los apoyos.

m' = 0 En (1):

Donde:m = Momento Unitario positivo

( )m m' a1

2 a h w

1

3 h 0+ =

h6 m

w

=


66/250

Aplicacin N 08:Calcular la carga uniformemente repartida que produce la

falla de una losa cuadrada de 4 m de lado, continua ensus cuatro bordes y reforzada en dos sentidos con 3/8"@ 0.25 m en la cara inferior y 3/8" @ 0.20 m en la carasuperior.

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

t=0.15

4.0

4.0


67/250

Solucin:Calculamos los momentos positivos y negativos por unidadde longitud.

m: As = 1/0.25 * 0.71 = 2.84 cm2

m': As = 1/0.20 * 0.71 = 3.55 cm2

a = 0.84 cm

m = 1.73 t-m/m

a2.84 * 4200

0.85 * 210 * 1000.67 cm= =

( )dprom 15 2 22

15 2 0.95 12.05 cm= + = + =

0.0067m 2.84* 4.2 0.1205 1.40 t m/m

2

= =

a) Sin considerar efectos de esquina


68/250

a) Sin considerar efectos de esquina

w = 4.70 t/m2

( ) ( )4 1.4 1.731

24 2 w

1

32 0+ =

m

mm

1

1/3

A B

2.0

4.00

b) Considerando efectos de esquina:


69/250

b) Considerando efectos de esquina:

Tomando un valor de: WE = 0.9w = 0.9 * 4.70 =4.23 t/m2. En (1):

Luego es posible que se bifurquen las lneas defluencia.

( ) ( )h

6 m m'

WE

6 1.40 1.73

4.232.11 m

diag

2=

+=

+=

diag

2

2

2L=


70/250

o 1= P1.76

2.00* 1.0 0.88= =

b

Eje de giro

supuesto

2.36 d/2 10cm.Para losas sin abacos h> 12.5cm.


82/250

LLnn/34/34LLnn/34/34LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/31/31LLnn/28/2852505250



ConConv igasv igas dede

bordeborde

SinSinv igasv igas dede

bordeborde

ConConvigasvigas dedebordeborde

SinSinvigasvigas

dedebordeborde

PaPaoointeriorinterior

PaPaoo exteriorexteriorPaPaoointeriorinterior

PaPaoo exteriorexterior

ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsfuerzoEsfuerzodede

f luenciaf luenciadel acerodel acero

fyfy(kg/cm(kg/cm22))




ConConv igasv igas dede

bordeborde

SinSinv igasv igas dede

bordeborde

ConConvigasvigas dedebordeborde

SinSinvigasvigas

dedebordeborde

PaPaoointeriorinterior

PaPaoo exteriorexteriorPaPaoointeriorinterior

PaPaoo exteriorexterior

ConCon abacosabacosSinSin abacosabacosEsfuerzoEsfuerzodede

f luenciaf luenciadel acerodel acero

fyfy(kg/cm(kg/cm22))

Si : 2.0 >Si : 2.0 > aam > 0.2 , el espesor de losa estar


83/250

dado por la expresin:

Si : am > 2.0 , el espesor mnimo estar dadopor la expresin:

h

Lf

cm

ny

m=

+

+ >

0 814000

36 5 0 212 5

.

( . ). .

h

Lf

cm

ny

=

+

+ >

0 814000

36 9 9 0

.

. .


84/250

El parmetro b es igual a la relacion entre lamayor y menor luz lebre de la losa.

En los extremos discontinuos, la losa deberaproveerse una viga de borde con un valor de ano menor que 0.8 o si no la hay, el peralte sera

igual al espesor determinado con las dosexpresiones anteriores incrementado en un 10%.


85/250

2. bacos o panelesLos dimensiones de los bacos debern

satisfacer las condiciones presentadas en lafigura 3. (ACI-13.3.7)

h

>h/4

>Ib/6>Ia/6

Ia IbAl ejeAl eje

Figura 3. Provisiones para el dimensionamiento de bacos


86/250

2. bacos o panelesPara el clculo del refuerzo negativo sobre la

columna, el espesor del baco por debajo de lalosa no se considerar mayor que un cuarto dela distancia entre la cara de la columna o capitel

y el borde del baco. Si el espesor del baco esmayor, no se tomar en cuenta.


87/250

3. CapitelesLos capiteles reducen la luz libre de los paos de la losa,

sin embargo, para el diseo, esta reduccin es limitada aun mnimo de 65% de la luz entre ejes de apoyos. Parael clculo de los momentos de la losa, las dimensionesde las columnas no se considerarn mayores que las

definidas por la interseccin del mayor cono circular opirmide recta que se pueda inscribir entre el capitel y lasuperficie inferior de la losa del baco si es que existe ycuyos lados estn inclinados 45 respecto al eje de lacolumna. La figura 4 muestra esta consideracin msclaramente.


88/250

3. CapitelesLos capiteles tambin incrementan la resistencia

al punzonamiento de la unin losa-columna puesaumentan el permetro de la columnaAncho Efectivo del Capitel

Losa

Abaco

Capitel

Columna

45 45

Figura 4. Ancho Efectivo de una columna provista de capitel

Diseo de losas Armadas en dos


89/250

Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:Este mtodo solo es aplicable a losas armadas en dossentidos apoyadas en vigas o muros. Se definen lossiguientes parmetros:Ls: luz menor del pao analizado medida centro a

centro de los apoyos o luz libre mas dos veces el

espesor de la losa, el que sea menor.LI: luz mayor del pao analizado medida centro acentro de los apoyos o luz libre mas dos veces elespesor de la losa, el que sea menor.

wu: carag amplificada uniforme por unidad de area.m: cociente de la luz menor del pao entre la luz

mayor, m= Ls/LI.



90/250

Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:La losa se considera dividida en franjas medias y franjas

de columna como se muestra en la fig. La seccin criticapara el maximo momento negativo se ubica en la cara delas vigas y para el mximo positivo, en el centro de lospaos. Los momentos, en la direccin mayor y menor, se

calculan a travs de la siguiente expresin:

M = CwuLs2

El parmetro C depende de las condiciones de apoyo dela losa y se indica en la tabla 2.


Di i J i C i


91/250

Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:El momento por unidad de ancho obtenido a traves de laexpresion anterior corresponde a la franja media. Elmomento de la franja de la columna sera 2/3 delcalculadopara la franja media. Si el momento negativo a un lado

de la viga es menor qu el 80% del momento en su otrolado, los 2/3 de la diferencia se reparten a ambos ladosproporcionalmente a las rigideces de las losas.

El calculo de los momentos en las vigas se efectuahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:


Di i J i t C it


92/250

Direcciones segn e Joint ComiteeASCE-ACI 1940:El calculo de los momentos en las vigas se efectahaciendo uso de las siguientes cargas uniformes,

equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:

Viga paralela a la luz Ls : wequiv= wLs/3Viga paralela a la luz LI : wequiv= wLs/3*(3-m2)/2

El calculo de las fuerzas cortantes se efecta empleandola distribucin real de la carga sobre la viga.

Por su simplicidad este mtodo resulta muy til para eldiseo de losas apoyadas en muros y vigas.

Franjas de Columna

L /4


93/250

Franja Media

L /4s

Ls/2

Ls/4

Ls/4Ls/4

L Ls I 1.0, las vigas debenproporcionarse una resistencia del 85 % del

momento en la franja de columna de acuerdocon la seccin 13.6.5.1 del Cdigo ACI.

2. La porcin del momento factorizado no resistidapor la franja de columna, se asignar a las dosmedias franjas centrales.

Los momentos factorizados en las franjas de

columna y franjas centrales se resumen comosigue:

Momento Momentos e n lasFranja de columna


150/250

Momento Momentos e n lasFactorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas

(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas

(t-m)

Luz extrema:

NegativoExterior

0.16 Mo = 2.87 82 2.35 2.00 0.35 0.52

Positivo 0.57 Mo = 10.23 82 8.39 7.13 1.26 1.84

NegativoInterior

0.70 Mo = 12.57 82 10.31 8.76 1.55 2.26

Luz interior

Negativo 0.65 Mo

= 11.67 82 9.57 8.13 1.44 2.1

Positivo 0.35 Mo = 6.28 82 5.15 4.38 0.77 1.13

%

Franja de columna

Los momentos factorizados en las franjas de

columna y franjas centrales se resumen comosigue:

M t M t lF j d l


151/250

Momento Momentos en las

Factorizado Momento Momento en la Viga Momento en la dos medidas(t-m) (t-m)1 (t-m) losa (t-m) franjas centradas

(t-m)

Luz extrema:

NegativoExterior

0.16 Mo = 4.76 82 3.90 3.32 0.58 0.86

Positivo 0.57 Mo = 16.95 82 13.9 11.82 2.08 3.05

NegativoInterior

0.70 Mo = 20.82 82 17.07 14.51 2.56 3.75

Luz interior

Negativo 0.65 Mo = 19.33 82 15.85 13.47 2.38 3.48

Positivo 0.35 Mo = 10.41 82 8.54 7.26 1.28 1.87

Franja de columna

%

4. Momento factorizado en lascolumnas:

Analizando para la direccin N-S, ejes 2 y 3,tenemos:


152/250

tenemos:

a) Columnas interiores

Con luces iguales en la direccin de

anlisis y luces iguales en la direccintransversal.

M w L Lu L n

=

0 07 0 52

2. .

Mu = 0.07[0.5 (1.7 * 0.50) * 6.5 * 4.55] = 4.0 t-m

Mu = 4.0 t-m


153/250

Con el mismo tamao de la columna y longitudsobre y debajo de la losa.

Este momento se combina con la carga axial

factorizada (para cada piso) para el diseo de lascolumnas interiores.

M t m M t mc c= = = 4 0

22 0 2 0

.. .

b) Columnas exteriores:

El momento negativo exterior total de la losa-viga es transferido a las columnas exteriores;con el mismo tamao de la columna ylongitud sobre y debajo del sistema de losa:


154/250

longitud sobre y debajo del sistema de losa:

M t m M t mc c= = = 3 82

2

191 191.

. .

5. Resistencia al corte:

a) Vigas:


155/250

Puesto que 1L2/L1 > 1.0 para todas lasvigas, deben resistir el cortante total (bw = 35cm, d = 44 cm).

Se verificar slo las vigas interiores, porqueellos transportan fuerzas cortantes muchoms altas que las vigas de borde.

W

S

E

N

L = 6.5 m2

Figura 5.1c reas tributarias para clculos decortante


156/250

L = 5.0 m1

L /2 L - L L /21 2 1 1

Vigas NS:

V w LL w L

u uu

= =1

2 2 41

1 12


157/250

Vigas EW:

( )V wL L

w L L

L

u u u= +

1

2 2 2 2 2

1 1

2 1

1

( ) ( )Vw L

L L L

w L

L Lu

u u

= + = 1

1 2 1

1

2 14 2 2 4 2

Vigas NS:

Vw L

uu= 124


158/250

Vu = 8.88 t

Vc = 0.75 * 0.53 * * 35 * 44/1000 = 10.24 t

Vc = 10.24 t > Vu = 8.88 t .......... OK!

V tu = =142 5 04

8 882. * . .

V f b dc c w= 0 53. '

280

Slo se requiere refuerzo mnimo de corte

Vigas EW:

( )w L L Lu 1 2 12


159/250

Vu = 14.2 t

Vc = 10.24 t < Vu = 14.2 t ..........CONFORME

( )Vu

u

=1 2 1

4

( )V tu =

=

142 5 2 6 5 5

4

14 2. * * .

.

La resistencia requerida al corte, serproporcionada por el refuerzo de corte

( )V

V Vs

u c=


160/250

b) Losas: (bw = 100 cm , d = 12 cm)

( )V ts =

=

14 20 1161

0 753 45

. .

..

V

w L

uu

= 5 21

V tu = =

142 5

2 3 55

. *

.

V f b dc c w= 0 53. '


161/250

Vc = 0.75 * 0.53 * * 100 *12/1000 = 7.99 t

Vc = 7.99 t > Vu = 3.55 t ..........CONFORME

La resistencia al cortante de la losa es adecuadasin el refuerzo por corte

280

7. Las vigas de borde deben disearse pararesistir el momento no transferido a lascolumnas exteriores por las vigasinteriores, de acuerdo con la seccin 11.6del Cdigo ACI.


162/250

de Cd go C

Diseo de una Losa Armada en dos

direcciones y con vigas de borde

Aplicacin:

Un sistema de piso armado en dos direccionespara un edificio de concreto armado est


163/250

p

compuesto por paneles de losa con dimensiones6 * 7.5 m2 en planta, apoyados en vigasperaltadas en los ejes de columnas y vaciadas

monolticamente con la losa, como aparece en lafigura. Utilizando concreto con f'c = 280 kg/cm2 yacero con fy = 4200 kg/cm2, disese un panel

exterior comn para soportar una carga viva deservicio de 600 kg/m2, adems del propio pesodel piso.

50 5035 35 35 35

17.5 17.5

(a)


164/250

Figura, losa de piso armada en dos direccionescon vigas en los ejes de columnas:; (a) SeccinX-X (la seccin Y-Y es similar); (b) Planta parcialdel piso.

(a)

7.5 m 7.5 m 7.5 m

6 m

Y


165/250

(b)

6 m

Y

6 m

PANEL EXTERIORCOMUN PANEL INTERIOR

X X

Solucin:

El sistema de piso satisface todos los lmites establecidos enel Mtodo de Diseo Directo del cdigo ACI. Con propsitosilustrativos, se disear nicamente un panel exterior comn


166/250

como se ilustra en la figura. Los lmites de espesor queindica el cdigo ACI, se utilizarn como gua para obtener elespesor deseado de la losa. Para utilizar las ecuaciones que

indica el cdigo (referidas al espesor) se introducir un valortentativo de h=17.5 cm y se supondrn las dimensiones delas vigas en 35 * 50 cm2 como en la figura. La proyeccinefectiva del ala ms all de la cara de las almas de las vigas

es la menor de 4hf o h - hf, que en este caso es igual a 32.5cm. Los momentos de inercia de las vigas T, sedeterminarn con respecto a su centro de gravedad.

Viga de Borde (Exterior)

17.5


167/250

50

35 32.5

Ib cm= 492446 354

.

Viga Interior

100


168/250

17.5

35

Ib cm= 575656 37 4.

Franja de Columna

El cdigo del ACI divide los paos en franjas para facilitarla distribucin de los momentos en ellos. La franja de


169/250

columna es una franja con un ancho a cada lado del ejede las columnas igual al menor valor entre L1/4 y L2/4,donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del paode la losa.

Ancho de franja = 1.5 m

L14

7.54

1.875m= =

L14

6

4 1.5m= =

Para las Franjas de Losa

En este caso es el ancho entre las lneascentrales de los paneles a cada lado de la viga.


170/250

Para un ancho de 3.93 m (Viga de bordeexterior):

s393 *17.53

12175519.53 cm4= =

Para las Franjas de Losa

Para un ancho de 6 m:

600 *17 53


171/250

Para un ancho de 7.5 m:

s600 *17.53

12267968.75 cm4= =

s750 *17.53

12 334960.94 cm4

= =

Rgidez relativa de la Viga y de la

Losa () =

Ecb b

E


172/250

Para la viga de borde:

Ecs s

= =492446.35

175519.532.8

Rgidez relativa de la Viga y de la

Losa () Para las dos vigas de 7.5 m de largo:

575656 37


173/250

Para la viga de 6 m de largo:

=575656.37

267968.752.1=

= =575656.37

334960.941.7

Rgidez Promedio (m)

2 8 2 1 1 7


174/250

m2.8 2.1 1.7

32.2=

+ += am = 2.2

Relacin entre la luz libre endireccin larga y la luz libre en la

corta ()Luz larga = 750 - 35 = 715 cm

L t 600 35 565


175/250

Luz corta = 600 - 35 = 565 cm

b = 1.27 = =

715

565 1.27

Espesor mnimo de la losa

h

Ln 0.8fy

14000

36 9=

+

+


176/250

0.2 < m < 2 mh > 12.5 cm

Donde:

Ln: Luz libre en direccin larga en cmLn = 750 - 35 = 715 cm

El espesor mnimo no debe ser menor que eldeterminado por la ecuacin.

h

Ln 0.8fy

14000

36 9

+


177/250

h = 16.58 cm

h 36 9= +

h

715 0.84200

1400036 9 *1.27

16.58 cm=+

+=

y el limite necesita no ser mayor que el valor de

la ecuacin:

h

Ln 0.8fy

14000

36

+


178/250

h = 21.85 cm

h 36=

h715 0.8

4200

14000

3621.85 cm= + =

*Para losas con vigas de borde rgidas

relativamente altas, con valores de m 2, laecuacin que controla es:

Ln 0 8

f

y+


179/250

De donde:h = 16.58 cm (mnimo)

El limite de 9 cm de la ecuacin si m 2 9cm (mnimo).

h

Ln 0.8 y14000

36 9=

+

+

Evidentemente no controla en este caso y elespesor tentativo adoptado de 17.5 cm ser labase para los dems clculos.

Sea:


180/250

Sea:wc = 2400 kg/m3 (peso especfico del concreto)

Para una losa de 17.5 cm la carga muertaes:

wD17.5

100* 2400 420

kg

m2= =

wD

17.5

100 * 2400 420

kg

m2= =

Carga viva:

wL = 600

Si se aplican los coeficientes de carga usuales

kg

m2


181/250

Si se aplican los coeficientes de carga usualespara obtener las cargas de diseo, se obtiene:

wu = 1.2wD + 1.6wL

wu = 1.2 * 420 + 1.6 * 600 = 1464 kg/m2

wu = 1.464 t/m2

Momento esttico total para cargas

mayoradas

M wuL2Ln2


182/250

Donde:Ln: Se define como la luz en la direccin del

anlisis de los momentos

L2: Se define como la luz en la direccintransversal

M wuL2Ln28

o =

Para la direccin de la luz corta considerando

la franja de losa y viga centrada en el eje

interior de columnas, el momento esttico

total de diseo es:

21 464 * 7 5 * 5 65


183/250

Mo = 43.81 t-mEsto se distribuye de la siguiente manera:

Momento Negativo de Diseo = 43.81 * 0.65 =28.48 t-m

21.464 * 7.5 * 5.65M 43.81 t - mo 8

= =

Momento Positivo de Diseo = 43.81 * 0.35 =15.33 t-m

La franja de columna tiene un ancho de 2 * 6/4 =

3 m


184/250

3 mL 7.52 1.25L 61

= =

L 7.52 1.7 * 2.131L 61

= =

Tabla, factores de distribucin aplicados almomento esttico Mo para calcular momentospositivos y negativos en la luz extrema.V


185/250

Tabla, momentos en la franja de columna comoporcentaje del momento total en la seccincrtica.


186/250

Los factores de distribucin para el momento de

la franja de columna, se obtendr a partir de latabla.

Interpolando linealmente tenemos:


187/250

Interpolando linealmente tenemos:

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento negativo, o sea 19.37 t-m, de los

cuales las vigas toman el 85% o sea 16 46 t-m y


188/250

cuales las vigas toman el 85%, o sea 16.46 t m yla losa toma el resto o sea 2.91 t-m. Los 9.11 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento positivo, o sea 10.42 t-m, de los cuales

las vigas toman el 85%, o sea 8.86 t-m y la losa


189/250

las vigas toman el 85%, o sea 8.86 t m y la losatoma el resto o sea 1.56 t-m. Los 4.91 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Un anlisis similar se realiza para la direccin

de luz corta, teniendo en cuenta la franja de

losa y viga en el borde del edificio, con baseen un momento esttico total de diseo igual

a:

2


190/250

Mo = 22.96t -m

M1.464 * 3.93 * 5.652

822.96 t mo = =

Del cual el 65% se asigna a la seccin de flexinnegativa y el 35% a la seccin de flexin

positiva, como antes:Momento Negativo de Diseo = 22.96 * 0.65 =14.24 t-m

Momento Positivo de Diseo = 22 96 * 0 35 =


191/250

Momento Positivo de Diseo 22.96 0.35 8.72 t-m

En este caso:

L 7.52 1.25L 61 = =

L

7.52 2.8 * 3.51 L 61 = =

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento negativo, o sea 9.68 t-m, de los cuales

las vigas toman el 85%, o sea 8.23 t-m y la losat l t 1 45 t L 4 56 t


192/250

g , ytoma el resto o sea 1.45 t-m. Los 4.56 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% delmomento positivo, o sea 5.93 t-m, de los cuales

las vigas toman el 85%, o sea 5.04 t-m y la losat l t 0 89 t L 2 79 t


193/250

g , ytoma el resto o sea 0.89 t-m. Los 2.79 t-mrestantes se asignan a la franja central de la

losa.

Momento esttico total de diseo en la

direccin larga del panel exterior, es:

M 61 65 t

= = 2

1.464*6*7.5M 61.76 t m

o 8


194/250

Mo = 61.65 t -m

Este se repartir a las secciones de momentonegativo y positivo de acuerdo con la tabla y sedistribuir lateralmente a travs del ancho de lassecciones criticas de momento con la ayuda dela tabla.

De la tabla, las relaciones de momento quedeben aplicarse para obtener los momentosexteriores negativo y positivo y el momentonegativo interior son respectivamente: 0.16, 0.57y 0.70.


195/250

La constante torsional para la viga de borde se

encuentra a partir de la siguiente ecuacin parauna forma rectangular de 35 * 50 cm con un alasobresaliente de 17.5 * 32.5 cm.

50

17.5


196/250

35 32.5

Cx

y

x y=

1 0 63

3

3

.

Donde:

x: dimensin menory: dimensin mayor

C 1 0.63 * 3550

35

3

* 503

=


197/250

C = 437816.28 cm4

50 3

+

1 0.63 * 17.5

32.517.53 * 32.5

3= 437816.28 cm4

En este caso:

L2L1

6

7.50.8

L2L1

0.8= = =


198/250

1L2L12.1* 6

751.7 1L2

L11.7= = =

La restriccin relativa proporcionada por laresistencia torsional de la viga de bordetransversal efectiva se refleja mediante elparmetro t.

t Ecb C2E

=


199/250

En el problema:

t2Ecs s

t437816.28

2 * 267968.75

0.82= =

Momento Negativo Exterior

El factor de distribucin para el momento de lafranja de columna, se obtendr a partir de la

tabla.Que la franja de columna toma el 93% del


200/250

Que la franja de columna toma el 93% delmomento negativo exterior, o sea (61.76 * 0.16) *

0.93 = 9.19 t-m, de los cuales las vigas toman el85%, o sea 7.81 t-m y la losa toma el resto o sea1.38 t-m. Los (61.76* 0.16) * 0.07 = 0.69 t-m

restantes se asignan a la franja central de lalosa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 81% delmomento positivo, o sea (61.76 * 0.57) * 0.81 =

28.51 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%,o sea 24 23 t-m y la losa toma el resto o sea


201/250

o sea 24.23 t m y la losa toma el resto o sea4.28 t-m. Los (61.76 * 0.57) * 0.19 = 6.69 t-m


Momento Negativo Interior

Que la franja de columna toma el 81% delmomento negativo interior, o sea (61.76 * 0.70) *

0.81 = 35.02 t-m, de los cuales las vigas tomanel 85% o sea 29 77 t-m y la losa toma el resto o


202/250

el 85%, o sea 29.77 t m y la losa toma el resto osea 5.25 t-m. Los (61.76 * 0.70) * 0.19 = 8.25 t-m


Refuerzo de la losa

Es conveniente tabular el refuerzo de diseo de lalosa.

En la direccin de 7.5 m, las dos mediasfranjas de columna pueden combinarse con


203/250

franjas de columna pueden combinarse conel propsito de realizar los clculos en una

sola franja de 265 cm de ancho. En la direccin de 6 m, la media franja de

columna exterior y la media franja de

columna interior generalmente son diferentesy se tratan en forma independiente.

Refuerzo de la losa

Los momentos de diseo determinados con baseen las distribuciones anteriores se resumen en la

columna 3 de la tabla.Primero se colocar el acero positivo en la


204/250

e o se co oca e ace o pos o e adireccin corta, seguido de las barras positivas

en la direccin larga. Si se deja una distancialibre de 2 cm por debajo del acero y se utilizanbarras de 1/2", el espesor efectivo en la

direccin corta ser de 15 cm mientras que en lalarga ser de 14 cm; una situacin similar seobtiene para el acero superior.

Refuerzo de la losa

Despus de calcular los momentos de diseo pormetro de franja de losa (columna 6); debe

encontrarse el espesor efectivo mnimo de losaque se requiere por razones de flexin.


205/250

q q p

Para las resistencias de los materiales utilizados,la mxima cuanta determinada de acero es:

0.75b = 0.02125

Donde:

b

0.85 1f'cfy

*6000

6000 f y=

+

280 6000


206/250

b = 0.02833 0.75b = 0.02125

b

0.85 * 0.85 *280

4200*

6000

6000 4200002833=

+=

Luz de 7.5 m:

b600

4

35

2* 2 265 cm= =


207/250

Luz de 6 m:

b600

4

35

2

132.5 cm= =

Obsrvese que debe proveerse una rea mnimade acero igual a 0.0018 veces el rea bruta deconcreto para control del agrietamiento portemperatura y retraccin de fraguado.

Para una franja de losa de 100 cm el reacorrespondiente es:


208/250

0.0018*17.5*100 = 3.15 cm2

Expresado en trminos de la cuanta de acero

mnima para los espesores efectivos reales, seobtiene:

En direccin de 7.5 m:

En direccin de 6 m:

min

3.1514 *100

0.0023= =


209/250

min

3.15

15 *100

0.0021= =

Estos requisitos controlan en los sitios indicadosen la tabla el rea total de acero en cada franja.Se obtiene fcilmente a partir de la cuanta deacero y est determinada en la columna 8.

Finalmente se obtiene la cantidad necesaria debarras. Obsrvese que en dos sitios, la cantidadexigida de barras la controlan los requisitos de


210/250

exigida de barras la controlan los requisitos deespaciamiento mximo de 2 *17.5 = 35 cm.

La capacidad a cortante de la losa se verifica conbase en las reas tributarias. A una distancia d dela cara de la viga larga.

La resistencia a cortante de diseo de la losa

es:

0.35V 1.464 3 0.15 3.92 tu 2= =

=V 0.75 * 0.53 f' b d


211/250

Donde:bw = 100 cm d = 15 cm

Vc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 9.98 tVu = 3.92 t < Vc = 9.98 t CONFORME

c c w

280

Tabla, diseo del refuerzo de la losa.


212/250

(*)corresponde a: cuanta de acero controlada por los requisitos de retraccin defraguado y temperatura.

(**)corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamientomximo

B) Mtodo del Prtico Equivalente

Descripcin del Mtodo:

Es un procedimiento para el anlisis de sistemas

de losas armadas en dos direcciones mselaborado que el mtodo directo, el cual


213/250

considera un anlisis elstico para la

determinacin de momentos. En este mtodo laestructura se divide, para efectos analticos, enprticos contnuos centrados en los ejes de

columnas y extendindose, tanto longitudinalcomo transversalmente.

Descripcin del Mtodo:

Este mtodo se basa en la transformacin de laestructura tridimensional en una serie desistemas bidimensionales denominados prticos

equivalentes (ver figura 3.1), centrados en losejes de las columnas o de los apoyos, con cada


214/250

prtico extendindose hasta la altura total de la

estructura. El ancho de cada prtico equivalenteest limitado por los ejes centrales de lospaneles adyacentes, adems de que estos son

capaces de reproducir el comportamiento delconjunto si se toman algunas previsiones en ladeterminacin de sus propiedades.


215/250

Figura 3.1 Sistema de prticos bidimensionales

El prtico equivalente, est constituido por treselementos bsicos los cuales se presentan en la

figura 3.2 y son:

1. Las franjas de losa limitadas por las lneas

centrales de los paos adyacentes al eje enestudio. Las vigas dirigidas en la direccindel prtico se consideran parte de ellas al


216/250

del prtico se consideran parte de ellas al

igual que los bacos que pudieran existirsobre las columnas.

2. Las columnas u otros soportes verticalesalineados a lo largo del eje analizado. En caso

de que la losa sea sostenida por capiteles, seconsidera que stos forman parte de lacolumna. La longitud de la columna es evaluada

al eje de las losas de niveles consecutivos.

3 L l t d l t t t it


217/250

3. Los elementos de la estructura que transmiten

los momentos de la losa a la columna, sontransversales a la direccin de anlisis y seextienden a todo lo ancho de la franja de losa.Son denominados tambin elementos de rigideztorsional.

2

A

L2

L1

L2

Kct

K

cb

K

L /2

2L /22

c1


218/250

Vigay losa

L1

Kct

Kcb

Figura 3.2 Elementos que constituyen el prtico equivalente

Consideraciones para la Aplicacindel Mtodo:

1. Debe considerarse que la estructura estconstituida por prticos equivalentes a lo largo de

ejes de columnas tomadas longitudinal ytransversalmente a travs de la estructura.


219/250

2. Cada prtico debe consistir en una hilera decolumnas o apoyos y franjas de viga-losa limitadaslateralmente por el eje central de la losa a cadalado del eje de las columnas o los apoyos.


3. Debe suponerse que las columnas o apoyos estnunidos a las franjas de viga-losa mediante elementos

torsionales (ACI-13.7.5) transversales a la direccin deltramo para el cual se estn determinando losmomentos, extendindose hasta los ejes centrales de


220/250

las losas laterales a cada lado de la columna.

4. Los prticos adyacentes y paralelos a un borde debenestar limitados por dicho borde y el eje central de la

losa adyacente.


5. Se permite el anlisis de cada prtico equivalente en sutotalidad. Alternativamente, para cargas

gravitacionales, se permite un anlisis de cada piso otecho con sus extremos lejanos considerados comoempotrados.


221/250

6. Cuando las vigas-losa son analizadas separadamente,se permite determinar el momento en un apoyo dadosuponiendo que la viga losa esta empotrada en

cualquier apoyo distante dos vanos del considerado,siempre que la losa continu ms all de dicho punto.

Franj a

c e

ntral

Franja

de c

olu

mna

Fran

jad

ec ol u

mn

a

1/2

Fran

jac e

ntra

l

inter i

or

exteri

or

L2 L2

L /22L /22 L /22

L /42L /42 L /42

L1


222/250

Figura 3.3 Franjas de diseo del prtico equivalente

equivalenteequivalentePrtico

interior

Prtico

exterior

Clculo del Momento Total enambos sentidos de la Losa:

Definida la geometra y las rigideces efectivas dela franja de la viga losa y de los apoyos, el

anlisis del prtico equivalente puede llevarse acabo mediante el mtodo de distribucin demomentos En general el prtico se analiza en su


223/250

momentos. En general el prtico se analiza en su

totalidad, sin embargo, si slo se considerancargas de gravedad, es posible analizar cadanivel por separado. En este caso, se asume que

los extremos de las columnas del nivelcorrespondiente se encuentran empotrados enlos extremos opuestos a la losa.


Una vez determinados los momentos de diseopositivos y negativos, falta distribuirlos a lo ancho delas secciones crticas. Para fines de diseo, el anchototal de la franja se divide en franjas de columna ymedias franjas centrales adyacentes, definidas

i t l t t t


224/250

previamente y los momentos se suponen constantes

dentro de los lmites de cada una de ellas. Ladistribucin de momentos a las franjas de columna ya las franjas centrales se realiza utilizando los

mismos porcentajes determinados con relacin alMtodo de Diseo Directo. Estos se resumen en latabla 4-1.1 del captulo IV.


La distribucin de momentos y cortantes a vigasen los ejes de columnas, si stas existen, se

realiza tambin segn los procedimientos delMtodo de Diseo Directo. La restriccin N 6para la aplicacin del Mtodo de Diseo Directo,


225/250

para la aplicacin del Mtodo de Diseo Directo,

relacionada con la rigidez relativa de vigas en losejes de columnas en las dos direcciones,tambin es aplicable en este caso si se utilizan

estas relaciones de distribucin.


En apoyos interiores, la seccin crtica para elmomento negativo factorizado (tanto en la franja de

columna como en las franjas intermedias) se debetomar en el borde de los apoyos rectilneos, pero ano ms de 0.175L1 del centro de la columna. En los


226/250

apoyos exteriores provistos de mnsulas o capiteles,

la seccin crtica para el momento negativofactorizado en el tramo perpendicular a un borde,debe considerarse situada a una distancia del borde

del elemento de soporte no mayor de 1/2 de laproyeccin de la mnsula o capitel ms all de lacara del elemento de apoyo (ver figura 3.4).


227/250

Figura 3.4 Seccin crtica para la determinacin del momento negativo de diseo


A travs de las tablas 4-2.1 hasta la 4-2.6 delcaptulo 4 se obtienen los coeficientes de

rigidez, factores de transporte y los coeficientesde momento de empotramiento para lasdiferentes geometras y configuraciones de


228/250

g y g

carga. Una amplia gama de proporciones detamao-luces de columna en ambas direccioneslongitudinales y transversales es abarcado en las

tablas.


La tabla 4-2.1 puede usarse para placas planas ylosas en dos direcciones con vigas. Las tablas 4-

2.2 hasta la 4-2.5 se proponen que sean usadospara losas planas y losas reticulares con variospaneles deprimidos (cabeza slida). La tabla 4-


229/250

p p ( )

2.6 cubre el caso excepcional de una placa planacombinado con una losa plana. Los coeficientesde momento de empotramiento se proveen para

cargas uniformes y parcialmente uniformes.


Los coeficientes parciales de carga han sidodesarrollados para cargas distribuidas sobre la

longitud del tramo igual a 0.2L1. Sin embargo, lascargas que actan sobre las porciones mslargas del tramo pueden ser consideradas


230/250

g p

sumando los efectos de las cargas que actansobre cada intervalo de 0.2L1. Por ejemplo, si lacarga parcial se extiende sobre 0.6L1, entonces

los coeficientes que corresponden a los tresintervalos consecutivos de 0.2L1 sernagregados.


Para cargas concentradas, una carga parcial dealta intensidad puede ser considerada para una

situacin apropiada, y se asume que serdistribuido sobre 0.2L1. Para valores delparmetro entre aquellos listados, la


231/250

interpolacin puede hacerse. Se muestran losdiagramas de rigidez en cada tabla. Con uncriterio adecuado por parte del diseador, las

condiciones de tramos diferentes pueden serconsideradas con la ayuda de la informacindada en las tablas.

Columnas:

Los tipos comunes de columna y condiciones deapoyo en los extremos para los sistemas delosas se muestran en la figura 3.5. La rigidez delas columnas est basada en la longitud de

stas (Lc) desde la mitad del espesor de la losasuperior hasta la mitad del espesor de la losainferior


232/250

inferior.

Los diagramas de rigidez de las columnaspueden usarse para determinar la rigidez aflexin de la columna, Kc. Los diagramas de

rigidez estn basados en las consideracionessiguientes:

a) El momento de inercia de la columna, exterior al nudolosa-viga se basa en la seccin transversal bruta delconcreto. La variacin del momento de inercia a lolargo de los ejes de la columnas entre los nudos deviga-losa se tiene en cuenta. Para columnas concapiteles se asume que el momento de inercia vara

linealmente desde la base del capitel al fondo de lalosa-viga, (13.7.4.1 y 13.7.4.2).


233/250

b) El momento de inercia es asumido infinito desde laparte superior de la losa hasta la parte inferior de laconexin losa-viga. Como en los elementos de la losa-viga, el factor de rigidez Kc para las columnas no

pueden basarse en la suposicin de miembrosprismticos uniformes (13.7.4.3).

La tabla 4-2.7 del captulo IV puede usarse paradeterminar la rigidez de la columna real y factores detransporte.

Elementos Torsionales

El clculo de la rigidez de los elementos torsionalesrequiere varas suposiciones simplificatorias. Si noexisten vigas que formen prticos con la columna, sesupone como viga efectiva una porcin de la losaigual al ancho de la columna o capitel. Si existen


234/250

g p

vigas que lleguen a la columna, se asume uncomportamiento de viga T o viga L, con alas que seprolongan a cada lado de la viga una distancia igual ala proyeccin de la viga hacia arriba o hacia debajo

de la losa

Elementos Torsionales (continuacin)

Pero no mayor de cuatro veces el espesor de lalosa. Adems se supone que no ocurre ningunarotacin por torsin en la viga sobre el ancho delapoyo.

Estos elementos transmiten los momentos de lalosa hacia los apoyos lo cual genera torsin enellos La seccin de los elementos torsionales


235/250

ellos. La seccin de los elementos torsionalesse asumir constante a lo largo de su luz. ElCdigo recomienda considerar, para el anlisis,la mayor de las tres secciones propuestas a

continuacin (ACI-13.7.5):

1. La porcin de losa con un ancho igual al de lacolumna, consola o capitel en la direccin en la

cual se estn determinando los momentos.2. En construcciones monolticas, la porcin de

losa anteriormente definida incluyendo,

adems, la seccin de la viga perpendicular ala direccin de anlisis sobre y por debajo de lalosa.


236/250

losa.

3. La seccin de la viga perpendicular a ladireccin de anlisis considera el aporte de lalosa.

Los elementos torsionales para las conexionescomunes de losa-viga se muestran en la figura

3.6. El primer criterio se aplica a losas sin vigasentre apoyos mientras que el segundo y eltercero se utilizan cuando existen vigas en la

direccin perpendicular al eje en estudio.La rigidez Kt de los elementos torsionales escalculado por la siguiente expresin:


237/250

calculado por la siguiente expresin:

KE C

L

c

L

tcs=

9

122

2

3

Donde la sumatoria es aplicable al caso comncuando hay vigas de borde a ambos lados de la

columna.El trmino C es una seccin transversalconstante que define las propiedades torsionales

de cada elemento torsional que conforma laconexin:

x x y 3


238/250

Donde x es la dimensin menor e y es ladimensin mayor de una parte rectangular.

Cx

y

x y

=

1 0 63 3.

El valor de C es calculado dividiendo la seccintransversal de un elemento torsional en partes

rectangulares separadas y sumando los valores de Cpara las componentes de los rectngulos.

Es apropiado subdividir la seccin transversal de unamanera que en lo posible resulte valores grandes de C.

Cuando las vigas forman prticos con las columnas en ladireccin del tramo para el cual se determinan losmomentos, la rigidez torsional Kt debe multiplicarse por la


239/250

relacin entre el momento de inercia de la losa con estaviga y el momento de inercia de la losa sin ella.

K

K

tat sb

s=

I

I

I=

sin vigas

Sistema de losa Diagrama de rigidez

de la columna

lc

I=

cE Icc

I=

I=

I=

I=

Diagrama de rigidez

de la columna

Sistema de losa con

capiteles de columna

cl ccE cI


240/250

Fondo de la

Superficie de

unin losa-viga

la losa-viga

Sistema de losa

con abacos de la columna

Diagrama de rigidez

lc IE

I=

ccc

I=

de la columna

Diagrama de rigidez

con vigas

Sistema de losa

Il Ec cc c

Figura 3.5 Secciones para calcular la rigidez de la columna Kc.

Donde:

Kta: Incremento de la rigidez torsional debido a laviga paralela (note que la viga paralela se

muestra en la figura 3.2).Is: Momento de inercia del ancho de losa igual al

ancho total entre las lneas centrales del

panel, l2, excluyendo esa porcin del alma deviga que se extiende sobre y debajo de lalosa (note la parte A de la figura 3.2).

IsL h

= 23


241/250

Isb: Momento de inercia de la seccin de la losaespecificada por Isb que incluye esa porcin delalma de la viga que se extiende sobre y

debajo de la losa (para la viga paralela mostradaen la figura 3.2, Isb es para la seccin total Tque se muestra).

s

12

La Columna equivalentes (R13.7.4)

Con la publicacin del ACI 318-05, el concepto dela columna equivalente de definir un elemento de

una sola rigidez consistiendo de columnas realessobre y debajo de la losa-viga ms un elementotorsional transversal agregado se elimin delCdigo Con el uso creciente de las


242/250

Cdigo. Con el uso creciente de lascomputadoras para el anlisis de losas en dosdirecciones por el Mtodo del Prtico Equivalente,el concepto de combinar rigideces de columnasreales y elementos torsionales en una sola rigidezha perdido mucho de continuidad.


La columna equivalente, sin embargo, se retuvoen el comentario hasta la edicin del Cdigo de

1989, como una ayuda de anlisis dnde la losa-viga para diferentes niveles de pisos sonanalizados separadamente para cargas de


243/250

gravedad, especialmente cuando se usa ladistribucin de momentos u otros procedimientosde clculo manual para el anlisis.


244/250

Figura 3.6 Criterios para la determinacin de la seccin transversal de los elementos torsionales.


Mientras el concepto de la columna equivalentetodava se reconoce por R13.7.5, los detalles del

procedimiento contenidos en el comentariodesde la edicin '83 para calcular la rigidez de lacolumna equivalente, Kec, se elimin de R13.7.5


245/250

del Cdigo '95.Los ejemplos 5.2.1 y 5.2.2 utilizan el concepto dela columna equivalente con la distribucin del

momento para el anlisis por carga de gravedad.


El concepto de la columna equivalente modificala rigidez de la columna para tomar en cuenta la

flexibilidad torsional de la conexin losa-columnalo cual reduce su eficiencia para la transmisinde momentos.


246/250

La columna equivalente consiste de columnasreales sobre y debajo de la losa-viga, mselementos torsionales "agregados" a cada lado

de la columna y que se extiende hasta los ejesde los paneles adyacentes y como se muestraen la figura 3.2.

Note que para un prtico exterior, el elementotorsional agregado est en un slo lado. La

presencia de vigas paralelas tambin influir enla rigidez de la columna equivalente.

La rigidez a flexin de la columna equivalente Keces dado en trminos de su inversa, o flexibilidad,como sigue:

1 1 1


247/250

K K Kec c t= +

Para propsitos de clculo, el diseador puedepreferir que la expresin anterior se d

directamente en trminos de las rigideces comosigue:

Las rigideces de las columnas reales, Kc yelementos torsionales, K deben cumplir con la

KK x K

K Kec

c t

c t=

+


248/250

,t

pseccin 13.7.4 y 13.7.5 del Cdigo ACI.Despus de que los valores de Kc y Kt sondeterminados, se calcula la rigidez de la columnaequivalente Kec. Usando la figura 3.2 para lailustracin del procedimiento, se tiene:

Donde:

Kct: Rigidez a flexin en la superficie de la

columna inferior que conforma la conexin.Kcb: Rigidez a flexin en la base de la columnasuperior que conforma la conexin.

( ) ( )K

K K K K

K K K Kec

ct cb ta ta

ct cb ta ta=

+ +

+ + +


249/250

Kta: Rigidez torsional de cada elementotorsional, uno en cada lado de la columna,incrementado debido a la viga paralela (si la

hubiera).


250/250

Analisis y diseño de losas Exp_Morales_LOSAS_01

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