TEMA 10 RESUM TEÒRIC CONTINUÏTAT DE LES...

TEMA 10

RESUM TEÒRIC

CONTINUÏTAT DE LES

FUNCIONS

2BCT

Aquest quadern pertany a: _______________________________________________

Continuïtat de les funcions

Manuel García Ballester 10

M A N U E L G A R C Í A B A L L E S T E R

1

1. FUNCIONS CONTINUES

Una idea intuïtiva d'una funció continua és que la seua gràfica es pot dibuixar sense

alçar el llapis del paper. En cas contrari direm que la funció és discontinua o no és

continua.

La continuïtat d'una funció s'estudia en diferents sectors de la funció: Continuïtat en un

punt. Continuïtat lateral. Continuïtat en un interval

Continuïtat d’una funció en un punt

Definició 1.- Una funció f és contínua en un punt ax si:

a) Existeix )(af .

b) Existeix el límit de )(xf en el punt ax :

)(xflímax

, és a dir, els límits laterals coincideixen: )()( xflímxflímaxax

c) La imatge de a, )(af , i el límit de la funció en a, )(xflímax

, coincideixen:

)()()( afxflímxflímaxax

.

Resumint:

f és contínua en un punt ax si i només si )()()( afxflímxflímaxax

Gràficament es tindria:

Funció Continua

Funció Discontinua

Funció Continua en a

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/continuidad-funciones/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/continuidad-punto/



http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/continuidad-lateral/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/continuidad-intervalo/

10 Continuïtat de les funcions

Manuel García Ballester M A N U E L G A R C Í A B A L L E S T E R

2

2

Exemple 1. Estudia la continuïtat de la funció 2 xxf en 2x .

El primer que farem serà desfer-se del valor absolut que apareix en la funció,

tenint en compte la definició de valor absolut:

22

22)(

022

0222

xsix

xsixxf

xsix

xsixxxf

Vegem ara si es compleix la definició de continuïtat en 2x :

a) Existeix 022)2( f

b) Existeix el límit de la funció en 2x :

0)(0

02)(

02)(

222

22

22

xflímxflímxflímxlímxflím

xlímxflím

xxx

xx

xx

c) La imatge de 2x , )2(f , i el límit de la funció en 2x coincideixen. Per

tant, la funció és continua en 2x .

Exemple 2. Estudia la continuïtat de la funció

01

0)(

2

xsix

xsiexf

x

en 0x .


a) Existeix 1)0( 002 eef


1)(111)(

1)(

000

00

02

00

xflímxflímxflímxlímxflím

eelímxflím

xxx

xx

x

xx

c) La imatge de 0x , )0(f , i el límit de la funció en 0x coincideixen. Per tant,

la funció és continua en 0x .

Exemple 3. Estudia la continuïtat de la funció 1

3)(

x

xxf en 1x .


Observem que la funció no està definida en 1x , donat que 1 RfDom ,

aleshores no existeix el valor de la funció en 1x , )1(f , per la qual cosa ja

podem afirmar que la funció no és continua en 1x .




3

2. CONTINUÏTAT LATERAL

La continuïtat lateral d'una funció xf estudia si aquesta és continua en els laterals d'un

punt ax . Per tant, s'estudia la continuïtat lateral a l'esquerra o dreta.

Definició 2.- Una funció xf és contínua per l’esquerra en ax si

)()( afxflímax

Definició 3.- Una funció xf és contínua per la dreta en ax si )()( afxflímax

Gràficament:

a) )(af

b) )(xflímax

c) )()( xflímafax

a) )(af

b) )(xflímax

c) )()( xflímafax

Continuïtat lateral per la dreta

Continuïtat lateral per l’esquerra

Continuïtat per l'esquerra

Continuïtat per la dreta






4

4

Exemple 4. Estudia la continuïtat lateral per l'esquerra en 1x i la continuïtat lateral

per la dreta en 4x de la següent funció definida a trossos.

xsix

xsi

xsix

xf

45

412

11

)(

La gràfica de la qual és:

Estudiem la continuïtat lateral per l'esquerra en 1x . Per a la qual cosa, 1f i el

límit lateral per l'esquerra en 1x han de ser iguals.

21 f

211)1()(11

xlímxflímxx

Com els dos valors coincideixen, la funció és continua per l'esquerra en 1x .

Estudiem la continuïtat lateral per la dreta en 4x . Per a la qual cosa, 4f i el

límit lateral per la dreta en 4 han de ser iguals.

24 f

145)5()(44

xlímxflímxx

Com els dos valors no coincideixen, la funció és discontinua per la dreta en 4x .

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-discontinuas/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-definidas-trozos/




5

Continuïtat en un interval

Una funció xf és contínua en un interval ba, si és continua en tots els seus punt:

Podem diferenciar quatre casos, segons si l'interval és obert (no inclou a i b), tancat

(inclou a i b), obert per l'esquerra (no inclou a) o obert per la dreta (no inclou b)

Definició 4.- Una funció xf és contínua en un interval obert ),( ba si i només si és

contínua en tots i cadascun dels punts de l’interval.

Definició 5.- Una funció xf és contínua en un interval tancat ba, si i només si:

a) És contínua en tots els punts de l’interval obert ),( ba .

b) És contínua per la dreta en ax , és a dir: )()( afxflímax

.

c) És contínua per l’esquerra en bx , és a dir: )()( bfxflímbx

.

Definició 6.- Una funció f és contínua en un interval ba, si i només si

a) És contínua en l’interval obert ),( ba .

b) És contínua per la dreta en ax , és a dir: )()( afxflímax

.

Definició 7.- Una funció f és contínua en un interval ba, si i només si

a) És contínua en l’interval obert ),( ba .

b) És contínua per la l’esquerra en bx , és a dir: )()( bfxflímbx

.

Continuïtat en

l’interval ba,



6

6

Exemple 5. Estudiar la continuïtat de la funció en l'interval 4,1 , sent xf :

xsix

xsi

xsix

xf

42

411

12

)(

a) xf és continua en tots els punts interiors de l'interval, és a dir, en 4,1 . La

funció en aquest interval està definida mitjançant una funció polinòmica (una

funció constant) que és continua.

b) Ara hem de veure si és continua per la dreta en 1x , és a dir, si 1f i el límit

lateral per la dreta en 1x coincideixen:

)()1(11)(

11

111

xflímflímxflím

f

xxx

c) Per últim, veurem si la funció és continua per l'esquerra en 4x , és a dir, si

4f i el límit lateral per l'esquerra en 4x coincideixen:

)()4(11)(

14

444

xflímflímxflím

f

xxx

Com xf és continua en l'interval obert )4,1( i també en els seus extrems,

aleshores direm que la funció és continua en l'interval tancat 4,1

Exemple 6. Estudia la continuïtat de la funció 3 xxf en 3x .

Observem, primer que res, que el domini de la funció és ,3 i per tant, la

funció únicament podrà ser continua a la dreta de 3x , doncs a l'esquerra no està

definida. Vegem si es compleix la definició de continua per la dreta en 3x :

a) Està definida en 3x i la seua imatge és: 0)3( f .

b) Calculem el límit lateral per la dreta en 3x : 03)(33

xlímxflímxx

.

Com

)()3(3

xflímfx

)(xf és continua per la dreta en 3x .




7

Continuïtat de funcions definides a trossos.

Les funcions definides a trossos són continues si són continues en tot el seu domini, és a

dir:

a) La funció és continua en els trossos on està definida.

b) La funció és continua en els punts frontera dels intervals de definició.

Exemple 7. Estudia la continuïtat o discontinuïtat de la següent funció definida a

trossos:

xsix

xsi

xsix

xf

42

411

12

)(

Hem d'estudiar la continuïtat en els tres trossos en els quals està definida la funció

(en els intervals, )1,( , 4,1 i ),4( ) i en els punts 1x i 4x .

La gràfica de la funció és la següent:

La funció és continua en tots els seus trossos, donat que xxf 2 , 1xf i

xxf 2 són funcions lineals, que són continues en tot el seu domini.

Continuïtat en 1x :

Vegem ara que és continua en el punt 1x , comprovant que es compleixen les

tres condicions de continuïtat en un punt:

a) Existeix la imatge de 1x i val: 11 f


Funció continua en tots els seus trossos





8

8

1)()()(

11)(

12)(

11111

11

xflímxflímxflímlímxflím

xlímxflím

xxxxx

xx

c) La imatge de la funció en 1x i el límit de la funció en 1x

coincideixen: )(1)1(1

xflímfx

Per tant, la funció és continua en 1x .

Continuïtat en 4x :

Vegem ara que és continua en el punt 4x , comprovant que es compleixen les

tres condicions de continuïtat en un punt:

a) Existeix la imatge de 4x i val: 14 f

b) Vegem que no existeix el límit de la funció en 4x :

)(21)(

22)(

11)(

4444

44xflímxflím

xlímxflím

límxflím

xxxx

xx

)(4

xflímexisteix Nox

.

És a dir, la funció és discontinua en 4x .

Per tant, la funció és continua en tot el seu domini excepte en 4x : 4\R .

Exemple 8. Calcula el valor de m per a que la funció xf siga contínua en R, sent

,34

3,4)(

2 xsimxx

xsix

mx

xf

En l'interval 3, la funció ve donada per una funció racional, el denominador

de la qual no s'anul·la, per la qual cosa serà contínua en aquest interval.

En l'interval ,3 la funció ve donada per una funció polinòmica, que és

contínua en R, i per tant, en aquest interval.

Imposarem ara la condició de continuïtat en el punt frontera dels intervals de

definició, 3x :

a) Existeix la imatge de 3x i val: mmm

f

3

1

3

43

33 .


mmmxxlímxflím

mm

x

mxlímxflím

xx

xx

354394)(

31

3

4)(

2

43

33




9

248353)()(33

mmmmxflímxflímxx

És a dir, la funció és continua en 3x si 2m i, per tant, la funció és continua

en R si 2m .

Exemple 9. Calcular els valors que han de prendre m i n perquè la següent funció

xf siga continua en R:

,31,

3,11)( 2 xsinmxx

xsixxf

Si ,31,x , la funció bé donada per nmxxxf 2)( , que per ser un

polinomi de segon grau sabem que és una funció continua.

Si 3,1x , la funció bé donada per 1)( xxf , que igualment, per ser un

polinomi de primer grau és una funció continua.

Aleshores la funció xf és continua en R, excepte possiblement en els punts

frontera dels intervals, és a dir, en 1x i 3x .

Cap de les anteriors conclusions ens aporta res sobre els valors d’m i n. Vegem

què ocorre en 1x i 3x .

Imposem la condició de continuïtat en 1x : )1()()(11

fxflímxflímxx

nm

nmf

xlímxflím

nmnmxxlímxflím

Igualant

xx

xx

12

1)1(

2)1()(

1)(

11

2

11

Eq. (1)

Imposem la condició de continuïtat en 3x : )3()()(33

fxflímxflímxx

nm

nmf

nmnmxxlímxflím

xlímxflím

Igualant

xx

xx

394

39)3(

39)()(

41)(

2

33

33

Eq. (2)

Resolem el sistema format per les dues equacions (1) i (2):

53

1)1(

53

1

394

12

nm

nm

nm

nm

nm

nm

Sumant les dues equacions tenim: 362 mm .

Substituïm m en E1 tenim: 413 nn

A les hores la funció xf serà continua en R si 3m i 4n .



10

10

3. DISCONTINUÏTAT D'UNA FUNCIÓ. TIPUS.

Definició 8.- Si una funció xfy no és contínua en ax , direm que és

discontínua en ax .

Observacions:

a) Una funció serà discontínua en ax si no es compleix alguna de les

condicions de la definició de funció contínua en un punt.

b) Si ax no pertany al domini de la funció, la funció no serà contínua en ell.

Els tres casos en els quals una funció no és continua es resumeixen en les següents

gràfiques:

a) )(af

b) )(xflímax

a) )(af

b) )(xflímax

a) )(af

b) )(xflímax

Però no coincideixen

Exemple 10. Estudia la continuïtat o discontinuïtat en 1x i 4x de la següent funció

definida a trossos.

xsix

xsi

xsix

xf

42

411

12

)(

La gràfica de la qual és la següent:

No existeix f(a)

No existeix el límit f(a) i el límit no són iguals







11

Vegem si és continua en 1x , comprovant si es compleixen les tres condicions

de la definició:

a) La funció existeix en 1x i la seua imatge és: 11 f .

b) Existeix el límit de xf en 4x :

1122)(11

xlímxflímxx

11)(11

xx

límxflím

Aleshores com: 1)()()(111

xflímxflímxflímxxx

c) La imatge de 1 i el límit de la funció en 1 coincideixen: )(1)1(1

xflímfx

Podem dir, per tant, que la funció és continua en 1x .

Vegem ara si és continua en 4x , comprovant si es compleixen les tres

condicions de la definició:

a) La funció existeix en 4x i la seua imatge és: 14 f .

b) Existeix el límit de xf en 4x :

11)(44

xx

límxflím ; 2242)(44

xlímxflímxx

Aleshores com: )()(21)(444

xflímxflímxflímxxx

Com la funció no té límit en 4x , podem dir que la funció xf és discontinua

en 4x .

Per tant, la funció és continua en 1x però és discontinua en 4x .

Exemple 11. Siga la funció

24

21)(

2

xsix

xsixxf . Estudia la continuïtat en 2x .

Observem, primer que res, que 2x pertany al domini de la funció. A més a més,

a l'esquerra de 2 (nombres menors que 2) la funció bé definida d'una forma

diferent (polinomi quadràtic) a com bé definida per la dreta (nombres majors que

2), que és una afí.


a) Existeix 312)2( 2 f

b) Calculem els límits laterals:

3121)( 22

22

xlímxflím

xx; 2424)(

22

xlímxflím

xx



12

12

Com els límits laterals no coincideixen, direm que xflímx 2

i per tant, la funció

no és continua en 2x .

La discontinuïtat la podem observar en la seu gràfica:

Tipus de discontinuïtat

Recordem que una funció no és continua en ax o presenta una discontinuïtat en

ax quan no es compleix la definició de continuïtat.

Quan una funció és discontinua en un punt, poden donar-se tres tipus de discontinuat:

Discontinuïtat evitable, Discontinuïtat no evitable o inevitable i Discontinuïtat essencial

Discontinuïtat evitable:

Definició 9.- Direm que una funció xf té una discontinuïtat evitable en ax si

existeixen els límits laterals en ax , coincideixen i són finits:

Lxflímxflímaxax

)()( .

La imatge de ax no existeix i si existeix no coincideix amb els límits

laterals.

Es diu que la discontinuïtat és evitable perquè es podria evitar definint la

imatge de ax con el valor del límit en aquest punt.

Discontinuïtat evitable en a

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/discontinuidad-evitable/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/discontinuidad-inevitable/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/discontinuidad-esencial/




13

Exemple 12. Comprovar que la funció xf té una discontinuïtat evitable en el punt

2x , sent

xsix

xsi

xsix

xf

24

24

2

)( .

a) El límit en 2x és igual a 2, sent finit.

)(2)(

24)(

2)(

2222

22xflímxflím

xlímxflím

xlímxflím

xxxx

xx

b) En aquest cas, la imatge existeix i val: 42 f

Aleshores: )()2()(24)2(22

xflímfxflímfxx

Vegem la seua gràfica:

Com el límit en 2x existeix i és finit, sent aquest diferent de la imatge 2f ,

podem dir que existeix una discontinuïtat evitable en 2x .

Aquesta discontinuïtat és evitable perquè si canviem la imatge en 2x i la fem

ser 2, 22 f , aleshores dita funció xf seria continua en 2x , evitant la

discontinuïtat.

Discontinuïtat evitable en 2



14

14

Discontinuïtat inevitable o no evitable:

Una funció xf té una discontinuïtat inevitable en ax si els límits laterals

existeixen però no coincideixen, és a dir:

)()( xflímxflímaxax

Es diu que la discontinuïtat és inevitable perquè no hi ha cap manera d'ajuntar els dos

costats en ax al ser distints.

Definició 10.- Anomenem salt de la funció en ax a la diferència en valor absolut dels

límits laterals:

)()( xflímxflímSaltaxax

Segons aquesta diferència siga finita o infinita la discontinuïtat inevitable es classifica

en:

Definició 11.- Direm que xf té una discontinuïtat inevitable de salt finit en ax

si els límits laterals en ax són finits però no coincideixen.

Discontinuïtat inevitable en a de salt finit

Discontinuïtat inevitable en a

Salt finit




15

Definició 12.- Direm que xf té una discontinuïtat inevitable de salt infinit en

ax si els límits laterals en ax existeixen, però al menys un d’ells és

infinit.

Exemple 13. Tenim una funció definida com:

xsix

xsixxf

21

212)(

Anem a estudiar com en 2x es produeix una discontinuïtat i aquesta es

inevitable de salt finit.

312212)(22

xlímxflímxx

1121)(22

xlímxflímxx

Com el límit lateral per l’esquerra de xf en 2x és 3 i per la dreta és 1, no

coincideixen i són finits, per tant, es produeix una discontinuïtat inevitable de salt

finit:

213)()(22

xflímxflímSaltxx

En la gràfica es pot apreciar el salt de 2 unitats de la funció en 2x :

Exemple 14. Siga la funció xf definida per:

xsix

xsixxf

12

11

1

)(

Estudiar la continuïtat de la funció en 1x , i en cas de discontinuïtat classifica-la.

Els límits laterals en 1x són:

0

1

11

1

1

1)(

11 xlímxflím

xx

1122)(11

xlímxflímxx

Discontinuïtat inevitable en a de salt infinit

Salt infinit



16

16

El límit lateral per la dreta és 1 i el límit lateral per l’esquerra és infinit. Els límits

són diferents i un d’ells és infinit, per la qual cosa es produeix una discontinuïtat

inevitable de sal infinit en 1x .

En la gràfica es pot apreciar el salt de la funció en 1x :

Exemple 15. Estudia la continuïtat de la funció xf definida per:

3ln

3112

132

)(

2

xsix

xsix

xsixx

xf

El primer que hem de fer és calcular el domini de la funció: 3RfDom

Vegem la continuïtat en els intervals de definició:

Si 1x , la funció bé donada per 32)( 2 xxxf , que per ser un polinomi de

segon grau sabem que és una funció continua.

Si 31 x , la funció bé donada per 12)( xxf , que igualment, per ser un

polinomi de primer grau és una funció continua.

Si 3x , la funció bé donada per xxf ln)( , que és continua i el seu argument

(en aquest cas x) és positiu.

Aleshores la funció xf és continua en R, excepte possiblement en els punts

1x i 3x .

Vegem ara què passa en els punts en els quals la funció canvia de definició:

En 1x :

1112)1( f

231232)( 2

11

xxlímxflímxx

1)12()(11

xlímxflímxx




17

Com

)(12)(11

xflímxflímxx

La funció presenta una discontinuïtat de

salt finit i amplitud 1.

En 3x :

No existeix )3(f , doncs 3x no pertany al domini de la funció, però vegem

quin tipus de discontinuïtat presenta en aquest punt:

51612)(33

xlímxflímxx

3lnln)(33

xlímxflímxx

Com

)(3ln5)(33

xflímxflímxx

La funció presenta una discontinuïtat

de salt finit i amplitud 3ln5 .

Discontinuïtat essencial

Definició 13.- Direm que una funció té una discontinuïtat essencial en ax quan un o

els dos límits laterals en ax no existeixen.

Si ens fixem en la gràfica, vegem que no existeix el límit lateral per l'esquerra en 1x ,

per tant, la funció té una discontinuïtat essencial en 1x .

Exemple 16. Considera la funció 3 xxf . Estudia la continuïtat en 3x .

Calculem primer el domini de la funció: ,3)( fDom .

Observem, per tant, que no pot existir el límit lateral per la dreta en 3x , per la

qual cosa direm que la funció té una discontinuïtat essencial en 3x .

Discontinuïtat essencial en x=1

No existeix



18

18

4. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS

Les funcions elementals: funcions polinòmiques, potencials d'exponent enter, racionals,

irracionals, logarítmiques, exponencials, trigonomètriques, són continues en els seus

respectius dominis de definició.

A més a més, si xf i xg són funcions continues en un punt d'abscissa ax , és té:

a) gf és continua en ax .

b) gf és continua en ax .

c) gt és continua en ax , R t (El símbol significa "per a qualsevol")

d) g

f és continua en ax , si 0)( ag .

e) gf és continua en ax , sempre que g siga continua en )(af

5. PROPIETATS I TEOREMES DE LES FUNCIONS CONTINUES

Teorema de Bolzano o de l'existència d'arrels

Teorema 1.

Si una funció )(xf és continua en un interval tancat ba, i )(af i )(bf són de distint

signe, existeix al menys un punt c entre a i b, a < c < b, per al qual 0)( cf .

Simbòlicament:

0)(/,

cfbac

0f(b)f(a)

ba, encontinua f

Geomètricament, el teorema estableix que si dos punts )(, afa i )(, bfb de la

gràfica d'una funció continua estan situats en diferents costats de l'eix OX, aleshores la

gràfica interseca a l'eix en algun punt entre a i b. Per suposat que poden haver distintes

interseccions, però al menys hi ha una.




19

Les aplicacions més importants del teorema de Bolzano són:

a) La determinació de zeros d’una funció en un interval donat.

b) La determinació de solucions d’una equació en un interval donat.

c) La determinació de punts de tall de les gràfiques de dues funcions en un

interval donat.

Vegem alguns exemples.

Exemple 17. Donada la funció xxxf sin13)( 2 , demostra que té al menys un zero

en l’interval

2,0 .

Vegem que la funció compleix les hipòtesi del teorema de Bolzano:

)(xf és contínua per ser la suma de dues funcions contínues.

010sin1)0(3)0( 2 f ; 04

3

2sin1

23

2

22

f

Aplicant el teorema de Bolzano podem dir que: 0)(/2

,0

cfc

Exemple 18. Demostra que l’equació 0133 xx , té solució en l’interval 1,0 .

Considerem la funció 13)( 3 xxxf i vegem si compleix les hipòtesi del

teorema de Bolzano:

La funció )(xf és contínua en R, per ser polinòmica, i per tant també ho serà en

l’interval tancat 1,0 .

011)0(3)0()0( 3 f ; 011)1(3)1()1( 3 f

Aplicant el teorema de Bolzano direm que 0)(/1,0 cfc

013/1,0 3 ccc , és a dir, l’equació inicial té solució en l’interval 1,0 .

Exemple 19. Demostra que l’equació 2sin xx , té alguna solució real.

Definim una funció, l'expressió de la qual siga l'equació igualada a zero:

2sin)( xxxf .

vegem ara si aquesta funció compleix el teorema de Bolzano.

Busquem dos valors per als quals la funció canvia de signe (cal anar provant):

Si 0x : 0220sin0)0( f .

Ara hem de trobar un valor per al qual la funció siga positiva.



20

20

Si x : 022sin)( f .

Estudiem ara si la funció compleix les hipòtesi del teorema de Bolzano per a

l'interval determinat pels dos valors trobats, és a dir, per a l'interval ,0 .

La funció 2sin)( xxxf és la composició de funcions continues en R i per

tant, també serà continua en l'interval ,0 .

Ara podem aplicar el teorema de Bolzano a la funció )(xf en l'interval ,0 :

02sin/,00)(/,0 ccc cfc , per tant, l'equació inicial té al

menys una solució en l'interval ,0 .

Exemple 20. Demostra que les gràfiques de les funcions 2)( 2 xxf i xxg ln)(

es tallen en un punt d’abscissa positiva.

Les gràfiques de les funcions )(xf i )(xg coincidiran en un punt d’abscissa

positiva si )()( cgcf sent 0c .

Considerem la funció )(xh , determinada per la diferència de les dues funcions

)(xf i )(xg : xxxgxfxh ln2)()()( 2

Comprovem que aquesta funció compleix les hipòtesi del teorema de Bolzano:

La funció )(xh és una funció contínua en el seu domini, és a dir, en l’interval

,0 : ),0()()()( RgDfDhD

Calculem el valor de la funció en els següents punts:

011ln21)1( h ; 069,22ln24)2( h

Aleshores, aplicant el teorema de Bolzano en l’interval 2,1 , es té:

)()(/)1,00)()(/1,00)(/1,0 cgcfc cgcfc chc .




21

Exercicis

1. Comprova, utilitzant el teorema de Bolzano, que la gràfica de la funció

12cos)( xxxf talla a l'eix d’abscisses en un punt de l’interval 2,0 .

2. Comprova, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció 532)( 2 xxxf talla

a l'eix d’abscisses en un punt de l’interval 3,2 .

3. Comprova, utilitzant el teorema de Bolzano, que l’equació 0824 23 xxx té

una solució en l’interval 2,1 .

4. Comprova, utilitzant el teorema de Bolzano, que la funció 3)( xexf té un zero

en l’interval 2,1 , i calcula’l amb un error menor que 0,05.

Solució: 05,1c .

5. .Aplica el teorema de Bolzano per provar que les gràfiques de les funcions

xxf ln)( i xexg )( es tallen en algun punt i troba un interval d’amplitud

menor o igual que 1 on estiga eixe punt.

Solució: Té solució en l’interval 2,1



22

22

Teorema dels valors intermedis o de Darboux:

El teorema dels valors intermedis és equivalent al teorema dels zeros de Bolzano. Si

aquest afirma que en quan una funció continua pren valors positius i negatius, ha

d'anul·lar-se, el teorema dels valors intermedis trasllada aquesta afirmació a qualsevol

número real: en quan una funció continua pren dos valors distints, també ha d'assolir els

valors intermedis. Tot açò és cert únicament quan el domini és in interval tancat.

Teorema 2.

Si una funció )(xf és contínua en un interval tancat ba, , aleshores la funció pren tots

els valors compresos entre )(af i )(bf .

Simbòlicament: Si kcfbacbfafk )(/,)(),( .

Interpretació geomètrica del teorema dels valors intermedis:

Si una funció és continua en un interval tancat i la seua gràfica passa del punt )(, afa

al punt )(, bfb tallarà necessàriament a la recta ky en almenys un punt, c,

d’abscissa compresa entre a i b.

Observació: Si la funció )(xf compleix les condicions del teorema dels valors

intermedis o de Darboux, aleshores la funció auxiliar kxfxg )()( compleix les

condicions del teorema de Bolzano.

Una de les aplicacions d’aquest teorema és el veure si una funció pren un determinat

valor en un interval donat. Ho veurem amb uns exemple.




23

Exemple 21. Demostra que la funció xxxf sin2)( pren el valor 3, en algun punt

de l’interval

2,0 .

Solució:

Vegem que )(xf compleix les hipòtesi del teorema dels valors intermedis:

La funció )(xf és una funció contínua en R, per ser suma de funcions contínues

en R, per tant, també serà contínua en l’interval

2,0π

.

A més a més, es té:

00sin)0(2)0( f

1416,412

sin2

22

f

Aleshores, com

23)0( ff , es té que existeix, al menys, un valor

3)(/2

,0

cfc

Exemple 22. Provar que la funció 1sin)( xxxf pren el valor 2.

Solució:

La funció és continua en tot R per ser el producte de dues funcions continues.

Prenem l'interval

2,

2 i estudiem el valors de les imatges de la funció en els

extrems:

20112

12

sin22

f .

2112

12

sin22

f

Ara com 2)(/2

,22

22

cfcff



24

24

Exemple 23. Siga la funció 1)( 2 xxf . Es pot afirmar que la funció assoleix tots

els valors de l'interval 5,1 ?

Solució:

011)( 2 xxxf

251)( 2 xxxf

La funció és continua en R per ser una funció polinòmica.

És en l'interval [0,2] on es verifica que 1)0( f i 5)2( f .

Aplicant el teorema dels valors intermedis o de Darboux, la funció assoleix tots

els valors compresos en l'interval [1,5].

Teorema de Bolzano-Weierstrass o dels valors extrems:

Teorema 3.

Si )(xf és una funció contínua en un interval tancat ba, , aleshores la funció assoleix,

en l’interval ba, , el seu mínim absolut (m) i el seu valor màxim absolut (M).

El teorema de Weierstrass no ens indica on es troben el màxim i el mínim, sòls afirma

que existeixen. Aquests màxim i mínim absoluts es poden assolir o bé en els extrems de

l'interval (en ax i bx ) o bé en els punts crítics que pertanyen a l'interval ba, , és

a dir, en aquells on la seua derivada és zero 0)(' x f , que una vegada sapiguem

derivar podrem calcular d'una manera còmoda. Aquest teorema serà d'utilitat en els

exercicis d’optimització. Però açò encara ha de vindre!!!!

Gràficament:




25

No s'assegura que existeixen extrems absoluts si es defineix en un interval obert.

Conseqüències immediates:

Si )(xf és contínua en un interval tancat ba, , aleshores Mmbaf ,, , on m

és el mínim absolut i M és el màxim absolut, i per tant la funció estarà acotada en

ba, .

Dit d’altra manera, la imatge d’un interval tancat per una funció contínua també és un

interval tancat, on l’extrem inferior i superior de l’interval imatge són el mínim absolut

(m) i màxim absolut (M) respectivament de la funció en l’interval inicial:

És a dir, si )(xf és continua en ba, i Mmxfbax ,)(,

Si una funció )(xf és contínua en l’interval ba, i, a més a més, és monòtona creixent

o monòtona decreixent en ba, , )(xf assolirà el màxim i el mínim absolut en els

extrem de l’interval.

Observació: El màxim i mínim absoluts pot ser assolit en els extrems i la funció no ser

una funció monòtona creixent o monòtona decreixent.

NOTES

Hi ha activitats resoltes a les pàgines 237, 239, 241.

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-

discontinuas/

http://matematica.50webs.com/teorema-de-bolzano.html

TEMA 10 RESUM TEÒRIC CONTINUÏTAT DE LES...

Documents

Transcript of TEMA 10 RESUM TEÒRIC CONTINUÏTAT DE LES...