Tema 10 Aplicaciones de La Derivada

5/13/2018 Tema 10 Aplicaciones de La Derivada - slidepdf.com

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COLEGIO RAIMUNDO LULIO

CENTRO CATÓLICO - CONCERTADOFranciscanos T.O.R.

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

UNIDAD DIDÁCTICA 10. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

1. Halla los máximos y los mínimos relativos de las siguientes funciones. Calcula los intervalos decrecimiento y decrecimiento:

;x

2x2x)j)f(x;xx1xi)f(x) ;

1xxh)f(x) ;1x)x(f)g

;xx4f)f(x) ;1x3x3xe)f(x) ;2xxd)f(x)

);1xx(Lnc)f(x) ;x8xx34x

41b)f(x) ;ex)x(f)a

2

3

22

2233

2234x2

−+=

−

+=

+=−=

−=−+−=−+=

++=+−−=⋅=

2. Calcula los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientesfunciones:

;1x

x y)g ;x4xf)y ;2xe)y

;ed)y ;x1c)y ;3x6x4x3b)y );1x(Ln y)a

2

234

x-232 2

−=+=−=

==−+−=+=

3. Resuelve los siguientes problemas relacionados con rectas tangentes:a) Calcula las rectas tangentes a f(x) = x3 + 3x2 - 6x -2 que son paralelas a la recta y - 3x = 0;(Observación la recta y-3x = 0; es igual a y = 3x;)b) Calcula la recta tangente o las rectas tangentes a f(x) = x2 - 4x + 3 que pasan por el punto (1,

-2).4. Un joyero tiene un alambre de oro blanco de 17 cm. de longitud y quiere cortarlo en dostrozos. Con uno hará un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base será el doble de laaltura. Calcula dónde debe cortar para que la suma de las dos áreas creadas sea mínima.

5. La empresa Perezo S.A. se fundó hace ocho años y ahora el propietario la vende a una granmultinacional que hará una reducción de plantilla. Los beneficios de la empresa en función de losaños transcurridos desde su creación viene dados por la función B(x) = x3 - 12x2 + 36x, dondeB(x) es el beneficio en millones de euros y x el tiempo transcurrido desde la fundación. (0 ≤ x ≤

8).a) Calcula cuando se alcanzó el máximo beneficio.b) Hubo pérdidas en algún momento.c) ¿Hubo algún año que no tuviera ni pérdidas ni beneficios?d) ¿En qué periodo decreció el beneficio?e) En el 2º año se hizo una reforma para los tres próximos años, ¿tuvo éxito?f) En qué periodo el beneficio superó los 27 millones de euros.6. Responde a las siguientes cuestiones:a) Encuentra dos números cuya suma sea seis y el producto de sus cuadrados sea máximo.b) Encuentra dos números cuya suma sea seis y el producto de sus cuadrados sea mínimo.








7. Un prestigioso científico de tebeos quiere realizar un fertilizante para el cultivo de perejil enel bajo Aragón. Para ello ha creado un cultivo con unas cuantas bacterias. Según sus estudios la

función que indica el número de bacterias en función del tiempo (t medido en días) viene dadopor la función

)[ ∞=

+−

+−= ,0 Domf(t) ;

10 t 6 t

1900 t 1200 t 200 ) t ( f

2

2

a) Calcula las bacterias que introdujo en el cultivo.b) ¿Cuándo tendrá la máxima población? ¿Y cuántas habrá?c) Él es muy emprendedor y se ha olvidado de este proyecto para participar en la primera placasolar nocturna. El cultivo ha quedado olvidado en una estantería del laboratorio, ¿a qué númerode individuos tenderá la población con el paso del tiempo?8. El vuelo entre las ciudades de Madrid-Wien (Viena) dura dos horas y la función que indica la

altura del avión tras t horas de viaje es h(t)= 2tet-t2et, donde h es la altura en miles de metros(es decir kilómetros).a) Calcula la altura máxima alcanza y el momento en el que se hace. Primero hazlo de formaexacta y luego aproximada. ¿Qué accidente geográfico sobrevolarían en ese momento?b) A los 36 minutos vuelan sobre Pamplona ¿a qué altura lo hacen?c) ¿En qué momento del trayecto gana más altura?

9. Determina las dimensiones del rectángulo de mayor área de todos aquellos que tienen treintacentímetros de perímetro.

10. La empresa aeronáutica Kaxa fabrica aviones AR327. El coste en millones de euros de lafabricación de x unidades es C(x) = x2 - 10x + 64 por unidad de tiempo. En esa misma unidad detiempo, solamente pueden fabricar un máximo de 10 aviones. ¿cuántas unidades deben fabricar

para que el coste mediox

x ( C ) x ( C = sea el mínimo posible? Si venden cada AR327 a 8

millones de euros, ¿cuántos deben fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿A cuántoasciende ese beneficio.

11. Una persona que está tumbada lanza una piedra al aire y la relación que guarda la altura que

alcanza con el tiempo transcurrido desde su lanzamiento en segundos viene dada por la funciónh(t) = 3t - t2. Esta relación es válida mientras la piedra está en el aire y toca el suelo. El tiempose mide en segundos y la altura en metros. Calcula:a) ¿Cuándo se alcanza la altura máxima?b) ¿Cuánto tiempo dura la piedra en el aire?c) ¿Cuánto tiempo tarda en ascender?d) ¿En algún momento la velocidad de la piedra es de 1’25 m/s?








12. Representa gráficamente las siguientes funciones reales de variable real haciendo unestudio analítico completo de la misma. Calcula la curvatura y los puntos de inflexión de

todas las funciones excepto de la d).

;4t

t2)t(k)f

;2xx y)e

;3x3x y)d

;x1x)x(h)c

;xx3x3x)x(g)b;x4x4x)x(f)a

22

2

2

3456

234

+=

−−=

−

−=

+=

−+−=

−+−=

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