Tema 1 Sucesiones de numer´ os reales...

Tema 1

Sucesiones de numeros reales

Teorıa

1.0 Preliminares

Definicion 1.0.1 (Sucesion)Una sucesion de numeros reales es una aplicacion a : N→ R o bien a : N∗ → R.

Ademas de la notacion a(n), habitual para funciones, se utilizan tambien (an)n∈N, [an]n∈No simplemente an.

Los numeros reales a0, a1, a2, . . . se llaman terminos de la sucesion.

Para definir una sucesion es necesario dar una regla que permita calcular an para cadanumero natural n. Esto se puede hacer de modo explıcito y por recurrencia.

Ejemplo 1.0.2La sucesion [0, 2, 4, 6, . . . ] de los numeros pares se puede definir dando la expresion explıcita desu termino general an = 2n si n ≥ 0.

La misma sucesion se puede definir recursivamente, expresando cada termino en funcion delos anteriores y proporcionando los valores iniciales necesarios: a0 = 0, an+1 = an + 2 si n ≥ 0.

En general, una progresion aritmetica, [a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, . . . ], se puede definirexplıcitamente por an = a + nd si n ≥ 0 y recursivamente por a0 = a, an = an−1 + d si n ≥ 1.

De modo analogo, una progresion geometrica, [a, ar, ar2, ar3, ar4, . . . ], se puede definir explı-citamente por an = arn si n ≥ 0 (r 6= 0) y recursivamente por a0 = a, an = ran−1 si n ≥ 1.

Ejemplo 1.0.3A veces, para definir una sucesion se listan sus primeros terminos, deteniendose cuando la reglade formacion parece evidente. Tal es el caso de la sucesion [1,−1/2, 1/3,−1/4, 1/5,−1/6, . . . ],

cuya expresion explıcita puede ser an = (−1)n−1

nsi n > 0 o tambien an = (−1)n

n+1si n ≥ 0.

Ejemplo 1.0.4La sucesion an = n! si n ≥ 0 se puede definir recursivamente por a0 = 1, an = nan−1 si n ≥ 1.

Ejemplo 1.0.5La sucesion de Fibonacci 1 [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ] se puede definir recursivamente por a0 = 0,

1Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci (1180-1250).

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a1 = 1, an+2 = an+1 + an, si n ≥ 0. Mas adelante se vera como obtener una expresion explıcitaequivalente.

Definicion 1.0.6 (Sucesion acotada)(a) Se dice que una sucesion an esta acotada superiormente si y solo si el conjunto de sus

terminos esta acotado superiormente, es decir, existe K ∈ R tal que an ≤ K para todon ∈ N.

(b) Se dice que una sucesion an esta acotada inferiormente si y solo si el conjunto de susterminos esta acotado inferiormente, es decir, existe k ∈ R tal que k ≤ an para todon ∈ N.

(c) Se dice que una sucesion an esta acotada si y solo si lo esta superior e inferiormente, esdecir, existe M ∈ R tal que |an| ≤ M para todo n ∈ N.

Ejemplo 1.0.7(a) La sucesion

(−1)n−1

nesta acotada, pues |an| ≤ 1 para todo n ∈ N− {0}.

(b) La sucesion de Fibonacci no esta acotada, pues an ≥ n para todo n ∈ N−{2, 3, 4}, cosaque puede probarse por induccion, luego para todo M ∈ R existe n ∈ N tal que an > M .

Definicion 1.0.8 (Sucesion monotona)Se dice que una sucesion an es

crecientedecreciente

estrictamente crecienteestrictamente decreciente

si y solo si para todo n ∈ N

an ≤ an+1

an ≥ an+1

an < an+1

an > an+1

En cualquiera de estos casos se dice que la sucesion es monotona.

Ejemplo 1.0.9(a) La sucesion de los numeros pares es estrictamente creciente.

(b) La sucesion(−1)n−1

nno es creciente ni decreciente.

(c) La sucesion de Fibonacci, a partir de n = 2 es estrictamente creciente.

(d) La sucesion an =

[n + 20

10

], donde [x] denota la parte entera de x, es creciente a partir

de n = 3, pero no estrictamente.

Definicion 1.0.10 (Lımite de una sucesion)(a) Sucesion convergente: Se dice que un numero real l es lımite de una sucesion an si

y solo si∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 |an − l| < ε

Es decir, para una tolerancia arbitraria (el numero real positivo ε) existe un termino dela sucesion (el que ocupa el lugar n0) a partir del cual todos distan del lımite menos queesa tolerancia.

Si l ∈ R es lımite de an, se dice que la sucesion es convergente o que converge a l y senota lim

n→∞an = l, lim an = l o an → l.

Departamento de Matematica Aplicada (E.U. Informatica)

Teorıa 3

(b) Sucesion divergente: Se dice que una sucesion an tiene lımite ∞ (respectivamente,−∞) si y solo si

∀M ∈ R ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 an > M (respectivamente, an < M)

Es decir, fijada una cota (el numero real M) existe un termino de la sucesion (el queocupa el lugar n0) a partir del cual todos estan por encima (respectivamente, por debajo)de dicha cota.

Si lımite de an es ∞ (respectivamente, −∞), se dice que la sucesion es divergente a ∞ oque diverge a ∞ (respectivamente, −∞) y se nota lim

n→∞an = ∞, lim an = ∞ o an → ∞

(resp. limn→∞

an = −∞, lim an = −∞ o an → −∞).

Ejemplo 1.0.11(a) Una sucesion constante, an = c para todo n ∈ N, es convergente y tiene por lımite la

propia constante c.

(b) La sucesion an =(−1)n−1

nes convergente y tiene lımite 0.

(c) La sucesion de los numeros pares, an = 2n, diverge a ∞.

(d) La sucesion an = −n diverge a −∞.

(e) La sucesion an = (−1)n, formada por [1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . ], no tiene lımite, ni finito niinfinito.

Nota 1.0.12(a) De la definicion se deduce que lim an = l ∈ R⇔ lim(an − l) = 0 ⇔ lim |an − l| = 0.

(b) El caracter de una sucesion (convergente o no convergente) y el lımite, cuando existe, nodependen de sus primeros terminos.

Ejemplo 1.0.13Las sucesiones

an =

−n si n ∈ {1, . . . , 1000}

1

nsi n ≥ 1001

y bn =1

n∀n ∈ N− {0} tienen el mismo caracter.

Proposicion 1.0.14Si una sucesion tiene lımite, finito o infinito, este es unico.

Proposicion 1.0.15 (Algebra de lımites finitos)Si an y bn convergen a a y b respectivamente, entonces:

(a) an + bn converge a a + b.

(b) Para todo c ∈ R, c · an converge a c · a.



(c) an − bn converge a a− b.

(d) anbn converge a a · b.

(e) Si a > 0, abnn converge a ab.

(f) Si b 6= 0, la sucesionan

bn

esta definida a partir de cierto termino y converge aa

b.

Proposicion 1.0.16Si an converge a l ∈ R y f es una funcion continua en l, entonces f(an) converge a f(l).

Ejemplo 1.0.17Puesto que la sucesion

n− 1

2nconverge a

1

2y la funcion logaritmo neperiano es continua en

(0,∞), entonces la sucesion ln(n− 1

2n) converge a ln

1

2= − ln 2.

Nota 1.0.18 (Algebra de lımites infinitos)El algebra de lımites de sucesiones, cuando alguno de los lımites que aparecen es infinito, esanaloga al algebra de lımites finitos, con las excepciones siguientes, llamadas indeterminaciones:

∞−∞, 0 · ∞,∞∞

,0

0, 1∞, 00, ∞0

Para resolver muchas de estas indeterminaciones es util el siguiente resultado.

Proposicion 1.0.19 (Regla de L’Hopital)Sean f, g : (a,∞) → R dos funciones derivables tales que lim

x→∞f(x) = lim

x→∞g(x) = 0. Si existe

limx→∞

f ′(x)g′(x)

, entonces tambien existe limx→∞

f(x)g(x)

y ambos coinciden.

Un resultado analogo es valido cuando limx→∞

f(x) = ±∞ y limx→∞

g(x) = ±∞.

Ejemplo 1.0.20Al intentar calcular el lımite de la sucesion n

√n aplicando las propiedades del algebra de lımites

se obtiene lim n√

n = lim n1/n = (lim n)lim(1/n) = ∞0, que es una indeterminacion.

Para resolverla, y teniendo en cuenta que n√

n > 0 para todo n > 0, se toman logaritmos enla expresion inicial, ln n

√n = ln n1/n = 1

nln n = (ln n)/n, y a continuacion lımites,

limln n

n=

lim ln n

lim n=∞∞

,

con lo que se obtiene otra indeterminacion que puede resolverse por la regla de L’Hopital. Seconsideran las funciones derivables f(x) = ln x y g(x) = x, entonces:

limx→∞

ln x

x= lim

x→∞

(ln x)′

(x)′= lim

x→∞

1/x

1= 0,

por tanto limln n

n= 0.

Es decir, ln lim n√

n = lim ln n√

n = 0, de donde se deduce que lim n√

n = e0 = 1.


Teorıa 5

1.1 Resultados generales

Proposicion 1.1.1Toda sucesion convergente esta acotada.

Demostracion.El resultado es consecuencia de la definicion de lımite.

Sea an una sucesion convergente y llamemos l a su lımite. Por definicion,

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 |an − l| < ε

En particular, tomamos ε = 1, por ejemplo. Para dicho ε existe n0 ∈ N tal que para todon ≥ n0 se verifica |an − l| < 1. De aquı se deduce que −1 < an − l < 1 para todo n ≥ n0 y enconsecuencia l − 1 < an < l + 1. Ası an ∈ (l − 1, l + 1) para todo n ≥ n0.

Por otro lado, como el conjunto {a0, . . . , an0} es finito estara acotado, y pongamos que m yM son sus cotas inferior y superior respectivamente.

Por tanto, todo termino de la sucesion an verificara que min{l−1, m} ≤ an ≤ max{l+1, M},que es lo que querıamos demostrar.

�

El siguiente resultado se enuncia sin demostracion.

Proposicion 1.1.2(a) Toda sucesion monotona y acotada es convergente.

(b) Toda sucesion monotona creciente y no acotada tiene lımite ∞.

(c) Toda sucesion monotona decreciente y no acotada tiene lımite −∞.

Ejemplo 1.1.3(a) La proposicion anterior es muy util para probar la existencia de lımites en el caso de

sucesiones definidas de modo recursivo. Por ejemplo

(i) la sucesion

an =

{3 si n = 1

an−1

2+ 1 si n ≥ 2

es convergente pues es monotona decreciente y acotada inferiormente (ambas cuestio-nes se probarıan por induccion sobre n). Por tanto an tiene lımite finito, pongamos

l. Tomando lımites en la relacion de recurrencia an =an−1

2+ 1, se tiene, aplicando

propiedades del algebra de lımites, que l =l

2+ 1. Por tanto l = 2.

(ii) La sucesion recurrente a1 = 1, an+1 = an/2 + 3/4 es creciente y acotada, como sepuede probar por induccion, luego converge. Llamando l al lımite y tomando lımitesen la relacion de recurrencia, se obtiene la ecuacion l = l/2 + 3/4, cuya solucionl = 3/2 debe ser el lımite.



(b) La sucesion an = rn es convergente si y solo si r ∈ (−1, 1]. Ademas

lim an =

1 si r = 10 si |r| < 1∞ si r > 16 ∃ si r ≤ −1

Demostracion.Lo demostraremos por casos:

• Si r = 1, la sucesion es la constante [1, 1, 1, . . . ], que tiene lımite 1.

• Si 0 ≤ |r| < 1, la sucesion |r|n es monotona decreciente (se prueba por induccion) yacotada pues |r|n < 1, para todo n > 1. Luego es convergente.

Una forma de calcular el lımite consiste en definir recursivamente la sucesion. Ası,tenemos que |an| = |r| |an−1|. Tomando lımites en la relacion anterior tenemos quel = |r| l, de donde l (|r| − 1) = 0. Como |r| 6= 1, entonces 0 = l = lim |r|n, de dondelim rn = 0.

• Si r > 1, la sucesion an es monotona creciente (se probarıa por induccion) y noacotada (pues por reduccion al absurdo, si estuviera acotada serıa convergente y elunico lımite posible es l = 0, imposible en este caso). Por tanto, si r > 1 entonceslim rn = ∞, esto es, la sucesion diverge a ∞.

• Si r ≤ −1 la sucesion ni converge ni diverge a ∞: los terminos pares forman unasucesion monotona creciente de terminos positivos mientras que los terminos imparesforman una sucesion monotona decreciente de terminos negativos. Luego en este casoan no tiene lımite.

(c) Se puede probar, aunque no es trivial, que la sucesion(1 + 1

n

)nes creciente y acotada,

por tanto converge. Su lımite es, por definicion, el numero e.

�

Proposicion 1.1.4Si an esta acotada y bn converge a 0, entonces anbn converge a 0.

Demostracion.Tenemos que ver que

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |an bn| < ε, ∀n ≥ n0

Fijemos un ε > 0, y veamos que para dicho ε existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 severifica |an bn| < ε.

De la hipotesis tenemos que:

• an esta acotada, esto es, ∃M ∈ R+ tal que ∀n ∈ N : |an| < M .

• bn converge a 0, esto es, si tomamos ε′ =ε

M, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se

verifica |bn| < ε′.


Teorıa 7

Combinando los dos resultados anteriores se tiene que, para todo n ≥ n0,

|an bn| = |an| |bn| < Mε′ = Mε

M= ε

como se querıa demostrar.

�

Ejemplo 1.1.5La sucesion cn =

sen (nπ2)

ntiene lımite 0 pues se puede expresar como el producto de dos

sucesiones: una de ellas acotada, an = sen (nπ

2), y la otra, bn =

1

n, con lımite cero.

Proposicion 1.1.6(a) Si lim an = l < m (respectivamente, l > m), entonces existe n0 ∈ N tal que, para todo

n ≥ n0, an < m (respectivamente, an > m).

(b) Si an ≥ 0 para todo n ∈ N y an es convergente, entonces lim an ≥ 0.

(c) Si an ≥ bn para todo n y ambas sucesiones son convergentes, entonces lim an ≥ lim bn.

Demostracion.Probaremos el apartado (a) para mostrar como pueden extraerse consecuencias de la definicionde lımite.

Puesto que an → l, si tomamos ε = m − l > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 severifica |an − l| < ε. De aquı se deduce que −ε < an− l < ε para todo n ≥ n0 y en consecuenciaan < l + ε = l + (m− l) = m. �

Proposicion 1.1.7 (Regla del sandwich)(a) Si an ≤ bn ≤ cn para todo n ∈ N y lim an = lim cn, entonces bn converge al mismo lımite

que an y cn.

(b) Si an ≤ bn para todo n ∈ N y lim an = ∞, entonces lim bn = ∞.

(c) Si an ≤ bn para todo n ∈ N y lim bn = −∞, entonces lim an = −∞.

Demostracion.Probaremos el apartado (a). Los restantes se dejan como ejercicio para el curioso lector.

La tesis es que lim bn = lim cn o, equivalentemente, lim(bn − cn) = 0. Por tanto habra queprobar que

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que |bn − cn| < ε, ∀n ≥ n0

Fijemos un ε > 0.

• Como an ≤ bn ≤ cn entonces 0 ≤ cn − bn ≤ cn − an.

• Como lim an = lim cn entonces lim (cn − an) = 0. Luego, dado ε > 0, existe un n0 ∈ Ntal que |cn − an| < ε, ∀n ≥ n0.



Por tanto, para todo n ≥ n0

|cn − bn| ≤ |cn − an| < ε

como se querıa probar. �

Ejemplo 1.1.8(a) La sucesion

n!

nnconverge a 0, ya que

0 ≤ n!

nn=

n(n− 1) · · · 1n n · · ·n

=n

n· n− 1

n· n− 2

n· · · 1

n≤ 1 · · · 1︸︷︷︸

n−1

1

n=

1

n

y las sucesiones 0 y1

nconvergen a 0.

(b) La sucesion n√

nn + 1 tiene lımite infinito, ya que n ≤ n√

nn + 1 y lim n = ∞.

1.2 Ordenes de magnitud

Los programas son implementaciones de algoritmos. Distintos programas pueden resolver unmismo problema, ası pues surge la necesidad de poder compararlos por algun metodo, que puedeser teorico o empırico. Dentro del modo empırico, una forma estandar de comparar programases elegir un conjunto de datos de entrada “tıpico” y ver como de rapida es la ejecucion de cadaprograma propuesto. Lo malo de estos tests empıricos es que dependen fuertemente

• de la implementacion realizada del algoritmo (un cambio de una lınea de codigo de unprograma puede afectar a la rapidez de la ejecucion), y

• de la maquina en la que se ejecutan (dos programas distintos que resuelvan un mismoproblema ejecutados en una maquina y luego en otra pueden dar conclusiones diferentes).

Una alternativa muy util a los tests empıricos consiste en comparar algoritmos en lugar deprogramas, esto es, analizar la complejidad de los algoritmos. Por ejemplo, si disenamos algunalgoritmo para ordenar los elementos de una lista de tamano n, podemos considerar una funcionde n, a(n), que mida el numero de operaciones elementales realizadas por el algoritmo sobrelistas de tamano n. La funcion anterior nos permite medir la rapidez con la que dicho algoritmolleva a cabo esa tarea pues nos da una estimacion del coste computacional del algoritmo.Otra pregunta que cabe plantearse es: y si hubiera varios algoritmos para resolver un mismoproblema, ¿como podemos decidir cual es mejor?

En esta seccion desarrollaremos las bases matematicas para comparar complejidades dealgoritmos, esto es, los fundamentos matematicos para contestar a esta ultima cuestion.

Definicion 1.2.1 (Sucesion mucho menor que otra)Se dice que la sucesion an es mucho menor que la sucesion bn, y se nota an � bn, si y solo si

liman

bn

= 0.

Esta definicion implica que los terminos de la sucesion bn deben ser no nulos a partir de unode ellos.


Teorıa 9

Ejemplo 1.2.2(a) 100n2 � n3.

(b)1

n� 1− 1

n.

(c) 2√

n � n

3− sen n.

(d) sen n � ln n.

Ejemplo 1.2.3Si 0 < c < d entonces nc � nd. En efecto,

limnc

nd= lim

1

nd−c= 0.

Ejemplo 1.2.4Si 0 < c < d entonces cn � dn, ya que

limcn

dn= lim

( c

d

)n

= 0.

Ejemplo 1.2.5Veamos que ln n � np para todo p > 0.

Aplicando la regla de L’Hopital se obtiene que para todo p > 0:

limx→∞

ln x

xp= lim

x→∞

1/x

pxp−1= lim

x→∞

1

pxp= 0.

Por lo tanto limln n

np= 0.

Ejemplo 1.2.6Tambien con la regla de L’Hopital es inmediato comprobar que lim

n

en= 0, y por tanto n � en.

Ejemplo 1.2.7Si p > 0 y r > 1 entonces np � rn. En efecto, razonando de manera analoga al ejemploanterior, se tiene que

limx→∞

xp

rx=(

limx→∞

x

rx/p

)p

=

(lim

x→∞

1

rx/p(1/p) ln r

)p

= 0.

Luego limnp

rn= 0.

Ejemplo 1.2.8Para todo r > 1, rn � n!.

En efecto, consideremos la sucesion an = rn/n!, que se puede definir recursivamente por{a0 = 1

an = rnan−1, n ≥ 1.



Ahora es facil comprobar que an < an−1 para n > r y por lo tanto (an) es monotona decrecientepara n suficientemente grande. Como ademas an ≥ 0 para todo n, se concluye que (an) esconvergente. Entonces

lim an = limr

nlim an−1 = 0.

Por tanto, limrn

n!= 0.

Ejemplo 1.2.9Como ya se vio en el ejemplo 1.1.8, aplicando la regla del sandwich se deduce que lim

n!

nn= 0

y por lo tanto n! � nn.

Los ejemplos anteriores se pueden agrupar para obtener el siguiente resultado:

Proposicion 1.2.10 (Jerarquıa de infinitos)Para todo 0 < c < d y todo 1 < r < s se verifica

ln n � nc � nd � rn � sn � n! � nn.

La jerarquıa de sucesiones anterior no es exhaustiva.

Definicion 1.2.11 (Sucesiones del mismo orden)Se dice que la sucesion an es del mismo orden que la sucesion bn, y se nota an ∼ bn, si y solo si

lim

∣∣∣∣an

bn

∣∣∣∣ = l ∈ R− {0}.

Nota 1.2.12• Esta definicion implica que los terminos de ambas sucesiones deben ser no nulos a partir

de uno de ellos.

• Si an � bn entonces an 6∼ bn.

• Si an ∼ bn entonces ni an es mucho menor que bn ni bn es mucho menor que an.

Ejemplo 1.2.13(a) 2n2 ∼ 3n2 + 1.

(b)2n2

√n3∼√

n.

(c) ln n2 6∼ n.

(d) Si r > 1,n3 + r2n

rn∼ rn.

Definicion 1.2.14Determinar el orden de magnitud de una sucesion es calcular otra del mismo orden lo massencilla posible.

Ejemplo 1.2.15Vamos a determinar el orden de magnitud de la sucesion an = 3 ln nn + 2n2. Se tiene que:

(a) 3 ln nn ∼ ln nn = n ln n.


Teorıa 11

(b) 2n2 ∼ n2.

Como n ln n � n2, por la proposicion anterior, an ∼ n2.

Para la obtencion del orden de magnitud tambien pueden ser interesantes las siguientespropiedades:

Proposicion 1.2.16 (Propiedades)• Si an 6= 0 para todo n ∈ N⇒ αan ∼ an para todo α ∈ R∗.

• an ∼ bn ⇒1

an

∼ 1

bn

.

• an ∼ bn y cn ∼ dn ⇒ ancn ∼ bndn.

• an � bn ⇒ an + bn ∼ bn.

En analisis de algoritmos se utiliza otra clasificacion de las sucesiones, ligeramente distintade las relaciones anteriores, que permite comparar mas sucesiones. Esta clasificacion, realizadautilizando un criterio mas general, se estudia seguidamente.

Definicion 1.2.17 (Notacion o grande)Dada la sucesion bn, se define el conjunto O(bn), llamado o grande de la sucesion bn, como

O(bn) = {an /∃M ∈ R, ∃n0 ∈ N : |an| ≤ M |bn|, ∀n ≥ n0}

Si an ∈ O(bn), se dira que an es una o grande de bn, o que an esta dominada asintoticamentepor bn.

Nota 1.2.18Observese que:

- bn ∈ O(bn).

- Si bn 6= 0 a partir de cierto termino, se puede definiran

bn

. En este caso, an ∈ O(bn) equivale

a decir quean

bn

esta acotada.

Geometricamente, la relacion an ∈ O(bn) significa que, a partir de cierto termino, la graficade la sucesion |an| se halla por debajo de la grafica de |bn| multiplicada por una cierta constante,M > 0.

Desde el punto de vista algorıtmico, si an y bn definen las funciones de coste de dos algoritmosA y B respectivamente, entonces para problemas de tamano n0 o mayores, el coste de laejecucion del algoritmo A nunca sera superior a M veces lo que cueste la ejecucion del algoritmoB.

Ejemplo 1.2.19(a) Sucesiones como (an) = (1, 1, 1, · · · ) y (bn) = (1, 2, 1, 2, · · · ), no son del mismo orden, ni

una mucho menor que la otra pues no existe el lımite liman

bn

. Sin embargo, se verifica que

• bn ∈ O(an): basta tomar n0 = 1 y M = 2 en la definicion, y



• an ∈ O(bn): basta tomar n0 = 1 y M = 1 en la definicion.

(b) Se tiene que 2n ∈ O(n2) y que n2 6∈ O(2n).

(c) an esta acotada si y solo si an ∈ O(1). Esto es, O(1) esta formado por el conjunto de todaslas sucesiones acotadas. En particular, O(1) contiene al conjunto de todas las sucesionesconvergentes.

Proposicion 1.2.20Dadas dos sucesiones an y bn, se tiene que: bn ∈ O(an) si y solo si O(bn) ⊂ O(an).

Ejemplo 1.2.21Teniendo en cuenta el ejemplo 1.2.19 y la propiedad anterior, se obtiene que las sucesiones(an) = (1, 1, 1, · · · ) y (bn) = (1, 2, 1, 2, · · · ) verifican que O(an) = O(bn).

Nota 1.2.22La inclusion conjuntista “⊂ ” permite ordenar parcialmente los conjuntos O(an).

Ejemplo 1.2.23Las sucesiones (an) = (1, 0, 1, 0, 1, · · · ) y (bn) = (0, 2, 0, 2, · · · ) verifican que

• an 6∈ O(bn) y bn 6∈ O(an), por lo que no son comparables con la inclusion.

• Por otro lado, como ambas sucesiones estan acotadas, se tiene que O(an) ⊂ O(1) y

O(bn) ⊂ O(1).

El siguiente resultado muestra que la relacion de dominancia asintotica generaliza simulta-neamente las relaciones “ser mucho menor” y “ser del mismo orden”.

Proposicion 1.2.24Dadas dos sucesiones an y bn, si

an

bn

converge, entonces an ∈ O(bn). En particular,

(a) si an � bn, entonces an ∈ O(bn) y bn /∈ O(an).

(b) si an ∼ bn, entonces an ∈ O(bn) y bn ∈ O(an).

Demostracion.Basta recordar que si la sucesion

an

bn

converge, entonces esta acotada. �

Como consecuencia de la proposicion anterior y de 1.2.10 se tiene la siguiente jerarquıa parala dominancia asintotica.

Proposicion 1.2.25Dados 0 < c < d y s > r > 1, se tiene la siguiente cadena de contenidos propios

O(1) O(ln n) O(nc) O(nd) O(rn) O(sn) O(n!) O(nn).

Ejemplo 1.2.26Como consecuencia de la proposicion anterior y de los ejemplos ya vistos sobre las relacionesser mucho menor y ser del mismo orden, es inmediato verificar que:

(a) 100n2 ∈ O (n3), n3 /∈ O (100n2). Esto es, O (100n2) O (n3).


Teorıa 13

(b)1

n∈ O

(1− 1

n

), 1− 1

n/∈ O

(1

n

). Por tanto O

(1

n

) O

(1− 1

n

).

(c) Para todo p ∈ R, p > 0, ln n ∈ O (np), pero np 6∈ (ln n).

(d) sen n ∈ O (ln n), pero ln n 6∈ O (sen n)

(e) O

(2n2

√n3

)= O (

√n).

Proposicion 1.2.27(a) El conjunto O(an) es cerrado para la multiplicacion por constantes, esto es, si bn ∈ O(an),

entonces c bn ∈ O(an) para todo c ∈ R.

(b) El conjunto O(an) es cerrado para la suma, esto es, si bn, cn ∈ O(an) entonces se tieneque bn + cn ∈ O(an).

La propiedad anterior indica que el conjunto O(an) es un subespacio vectorial del R-espaciovectorial de las sucesiones.

Proposicion 1.2.28(a) Si an ∈ O(bn) y cn ∈ O(dn), entonces ancn ∈ O(bndn).

(b) Si las sucesiones an y bn son no nulas a partir de un cierto termino y O(an) = O(bn)

entonces O(1

an

) = O(1

bn

). En particular,1

an

∈ O(1

bn

) y1

bn

∈ O(1

an

).

Ejemplo 1.2.29Aplicando las propiedades anteriores se prueba que

ln nn +√

n4 + 1

4n2 + n− 20∈ O(1), pues

• ln nn +√

n4 + 1 = n ln n +√

n4 + 1 ∼√

n4 + 1 ∈ O(n2).

• O(4n2 + n− 20) = O(n2) y n2 6= 0, ∀n > 1. Luego O(1

4n2 + n− 20) = O(

1

n2)

Por tanto,

ln nn +√

n4 + 1

4n2 + n− 20∈ O(

n2

n2) = O(1)

Nota 1.2.30Conviene tener en cuenta que en analisis de algoritmos,

(a) en ocasiones se abusa de la notacion, y suele escribirse an = O(bn), en lugar de an ∈ O(bn).Por ejemplo: n ln n + n2 = n2 + O(n ln n) = O(n2). En cualquier caso, esta manera demanipular los ordenes, en la asignatura de AMYMN, sera considerada un error.

(b) la complejidad de un algoritmo suele encuadrarse en alguno de los casos siguientes que,puesto que aparecen con frecuencia, se designan con nombres particulares:



Orden Nombre

O(1) Constante

O(ln n) Logarıtmica

O(n) Lineal

O(n2) Cuadratica

O(rn), r > 1 Exponencial

O(n!) Factorial


Tema 2

Ecuaciones en diferencias

Teorıa

2.1 Ecuaciones en diferencias

Como ya se ha visto, una forma usual de definir sucesiones es por recurrencia, escribiendo cadatermino en funcion de algunos anteriores y proporcionando condiciones iniciales, que son loscasos base de la recurrencia.

La relacion de recurrencia que aparece en este tipo de definicion es un caso particular de loque se conoce como ecuacion en diferencias: una igualdad que liga los terminos de una sucesion.

Definicion 2.1.1• Una ecuacion en diferencias de orden k es una igualdad de la forma

f(xn+k, xn+k−1, . . . , xn+1, xn, n) = 0

donde la incognita de la ecuacion es la sucesion xn.

• Resolver la ecuacion es hallar la forma explıcita de todas las sucesiones que satisfacenesa igualdad. Esto se llama solucion general de la ecuacion. Una solucion concreta de laecuacion se llama solucion particular y generalmente se obtiene imponiendo condicionesiniciales en la solucion general.

• Una ecuacion en diferencias de orden k se dice lineal si y solo si es de la forma

xn+k + ak−1(n)xn+k−1 + · · ·+ a1(n)xn+1 + a0(n)xn + b(n) = 0

donde a0, a1, . . . , ak−1 y b son funciones de n y a0(n) 6= 0 para algun n ∈ N.

Si b(n) = 0 para todo n ∈ N, la ecuacion se llama homogenea.

Si las funciones ai son constantes, la ecuacion se llama de coeficientes constantes.

Ejemplo 2.1.2La ecuacion xn−xn−1−n = 0 es de orden 1, lineal, no homogenea, con coeficientes constantes.Admite, entre otras, la solucion xn = 1 + 2 + · · ·+ n, esto es, xn es la suma de los n primeros

terminos de una progresion aritmetica de razon 1. El resultado de dicha suma esn(n + 1)

2.

16 Tema 2. Ecuaciones en diferencias

Nota 2.1.3Se recuerda que la suma de n terminos consecutivos de una progresion aritmetica es:

ak+1 + ak+2 + · · ·+ ak+n =ak+1 + ak+n

2n

que se lee: la semisuma de los extremos multiplicada por el numero de terminos.

Se recuerda que la suma de n terminos consecutivos de una progresion geometrica de razonr es:

ak+1 + ak+2 + · · ·+ ak+n =

ak+1 − ak+nr

1− rsi r 6= 1

ak+1 n si r = 1

Ejemplo 2.1.4La ecuacion en diferencias xn = xn−1 + 1 es de orden 1, lineal, no homogenea, con coeficientesconstantes.

Esta ecuacion admite como solucion la sucesion de los numeros naturales [0, 1, 2, 3, . . . ], perotambien cualquier sucesion de la forma [a, a + 1, a + 2, a + 3, . . . ], a ∈ R. En este caso, xn = nes una solucion particular de la ecuacion, mientras que xn = a + n, con a ∈ R, es la soluciongeneral, a expensas de demostrar que no existen otras.

Ejemplo 2.1.5La ecuacion xn+2 = (n + 2)xn+1 es de orden 1, lineal y homogenea, pero no es de coeficientesconstantes. Admite, entre otras, la solucion xn = n!.

Ejemplo 2.1.6La ecuacion xn+2−xn+1−xn = 0 es de orden dos, lineal, homogenea, con coeficientes constantes.Admite como solucion, entre otras, la sucesion de Fibonacci.

Ejemplo 2.1.7La ecuacion xn− x2

n−1 = 0 es de orden 1, no lineal. Su solucion general es xn = c2n, con c ∈ R.

En este tema se van a resolver unicamente dos tipos de ecuaciones en diferencias: las deprimer orden lineales y las de segundo orden lineales, homogeneas, con coeficientes constantes.

2.2 Ecuaciones lineales de primer orden

Una ecuacion en diferencias lineal de primer orden es una ecuacion del tipo

xn+1 = a(n)xn + b(n).

El proceso se resolucion de ecuaciones de primer orden lineales lo dividimos en tres fases.En primer lugar resolveremos las ecuaciones homogeneas (es decir, aquellas para las cualesb(n) = 0), en segundo lugar las ecuaciones, no homogeneas, para las que sea a(n) = 1, yfinalmente procederemos a resolver el caso general, basandonos en los dos casos anteriores.

Proposicion 2.2.1 (Ecuaciones homogeneas)Una ecuacion en diferencias lineal de primer orden homogenea se puede escribir en la forma

xn+1 = a(n)xn


Teorıa 17

Aplicando la regla recursiva sucesivas veces se obtiene:

xn+1 = a(n)xn = a(n) a(n− 1) xn−1 = a(n) a(n− 1) a(n− 2) xn−2 = . . .

Ası, el termino n-esimo se obtiene multiplicando el primer termino por el producto acumula-do de los a(k) anteriores. Por lo tanto, la solucion de esta ecuacion que satisface la condicioninicial xn0 = c es

xn = a(n− 1) · · · a(n0 + 1) a(n0) c = c

n−1∏j=n0

a(j) ∀n ≥ n0

como se puede comprobar por induccion.

Nota 2.2.2• Por convenio un producto sin factores vale 1.

• Si algun a(i) es nulo entonces xn = 0 para todo n > i.

• Si se usa directamente la formula del producto hay que tener cuidado con la forma enque esta escrita la ecuacion (no es lo mismo xn+1 = a(n)xn que xn = a(n)xn−1) y con elrango que debe recorrer el producto.

Proposicion 2.2.3 (Ecuaciones de la forma xn+1 = xn + b(n))Puesto que

xn+1 = xn + b(n) = xn−1 + b(n− 1) + b(n) = xn−2 + b(n− 2) + b(n− 1) + b(n) = . . . ,

el termino n-esimo se obtiene sumando el primer termino a la suma acumulada de los b(k)anteriores. Por lo tanto, la solucion de esta ecuacion que satisface la condicion inicial xn0 = ces

xn = c + b(n0) + b(n0 + 1) + · · ·+ b(n− 1) = c +n−1∑j=n0

b(j) ∀n ≥ n0

como se puede comprobar por induccion.

Proposicion 2.2.4 (Caso general)Una ecuacion en diferencias lineal de primer orden de la forma

xn+1 = a(n)xn + b(n)

se puede resolver por el llamado metodo de variacion de las constantes, que consiste en:

• Resolver la ecuacion homogenea xn+1 = a(n)xn, con lo que se obtiene una solucion deltipo xn = c

∏n−1j=n0

a(j).

• Hacer variar la constante c, convirtiendola en una sucesion (cn) y buscar esta sucesionobligando a xn = cn

∏n−1j=n0

a(j) a verificar la ecuacion completa xn+1 = a(n)xn + b(n).Simplificando, se obtiene una ecuacion del tipo (b) para la sucesion cn.

• Resolver la ecuacion en cn, teniendo en cuenta que debe ser cn0 = xn0 .

• Una vez obtenida (cn), la solucion de la ecuacion completa vendra dada por la sucesionxn = cn

∏n−1j=n0

a(j) para n ≥ n0 y se puede comprobar por induccion.



Nota 2.2.5Para la solucion de la ecuacion lineal completa xn+1 = a(n)xn +b(n), tambien se puede dar unaformula, similar a la dada en los otros dos casos, pero que tiene el inconveniente de ser difıcilde recordar.

Concretamente la solucion de la ecuacion con la condicion inicial x1 = c es:

xn =n−1∏i=1

a(i)

(c +

n−1∑i=1

bi∏ij=1 a(j)

)(n > 1).

Como se ha comentado antes, si se usa esta formula hay que ser cuidadoso con la forma en queesta escrita la ecuacion y la condicion inicial.

Ejemplo 2.2.6La ecuacion xn = 2xn−1, con condicion inicial x0 = 3, tiene por solucion xn = 3

∏n−1j=0 2 = 3(2n).

La comprobacion, por induccion, es trivial.

Ejemplo 2.2.7La ecuacion xn = xn−1 + n, con condicion inicial x3 = c, tiene por solucion

xn = c + 4 + 5 + · · ·+ n = c +(4 + n)(n− 3)

2∀n ≥ 3

(Observese que 4 + 5 + · · ·+ n es la suma de los terminos de una progresion aritmetica).

Comprobacion por induccion sobre n:

Paso base: si n = 3, se tiene que c + (4+n)(n−3)2

= c.

Paso de induccion: supongamos que la expresion obtenida es valida para n ≥ 3, esto es que

xn = c +(4 + n)(n− 3)

2. (H.I.)

Entonces, usando la relacion de recurrencia y la hipotesis de induccion (H.I.) se tiene que:

xn+1 = xn + n + 1 = c +(4 + n)(n− 3)

2+ n + 1 = c +

n2 + 3n− 10

2= c +

(5 + n)(n− 2)

2.

Es decir

xn+1 = c +(4 + (n + 1))((n + 1)− 3)

2y la igualdad es valida para n + 1.

Ejemplo 2.2.8Se trata de resolver la ecuacion xn = (n− 1)xn−1 + n!, con condicion inicial x1 = 2.

Como es una ecuacion completa seguimos los pasos del algoritmo general:

• La ecuacion homogenea es xn = (n− 1)xn−1 y su solucion, con x1 = c, es

xn = (n− 1)(n− 2) . . . 1 · c = c(n− 1)!

(Notese que

x2 = 1 · x1 = 1 · c,x3 = 2 · x2 = 2 · 1 · c,x4 = 3 · x3 = 3 · 2 · 1 · c

etc.)


Teorıa 19

• Ahora se hace variar la constante c y se debe buscar una sucesion cn que haga quexn = cn(n− 1)! sea solucion de la completa. Para ello se debe cumplir la ecuacion:

cn(n− 1)! = (n− 1)cn−1(n− 2)! + n!

Dividiendo por (n− 1)! resultacn = cn−1 + n

• Se resuelve ahora esta ecuacion, en cn, teniendo en cuenta que debe ser c1 = x1 = 2, conlo que

cn = c1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 2 + 2 + 3 + · · ·+ n

= 2 +2 + n

2· (n− 1) = 1 +

n(n + 1)

2

• La solucion de la ecuacion lineal completa es xn = cn(n− 1)!, es decir:

xn =

(1 +

n(n + 1)

2

)(n− 1)! = (n− 1)! +

(n + 1)!

2.

Se puede probar por induccion que esta sucesion es solucion de la ecuacion propuesta.

2.3 Ecuaciones de segundo orden

Para finalizar, vamos a ver como se resuelven algunas ecuaciones en diferencias de orden dos,concretamente las lineales, homogeneas y con coeficientes constantes, es decir aquellas que sepueden escribir de la forma:

xn+2 + axn+1 + bxn = 0 con a, b ∈ R.

Definicion 2.3.1 (Polinomio caracterıstico de una ecuacion homogenea)Dada una ecuacion en diferencias de segundo orden homogenea con coeficientes constantes

xn+2 + axn+1 + bxn = 0,

al polinomio x2 + ax + b se le llama polinomio caracterıstico de la ecuacion.

Proposicion 2.3.2Sean z1 y z2 las raıces del polinomio caracterıstico de la ecuacion en diferencias homogenea desegundo orden xn+2 + axn+1 + bxn = 0.

(a) Si z1, z2 ∈ R, z1 6= z2, la solucion general es xn = αzn1 + βzn

2 , con α, β ∈ R.

(b) Si z1 = z2 ∈ R, la solucion general es xn = αzn1 + βnzn−1

1 , con α, β ∈ R.

(c) Si z1 = z2 = reiϕ ∈ C − R, la solucion general es xn = rn(α cos(nϕ) + β sen(nϕ)), conα, β ∈ R.

La solucion particular que satisface las condiciones iniciales xn0 = c, xn0+1 = d es unica y seobtiene imponiendo estas en la solucion general y resolviendo el sistema lineal de dos ecuacionesen α y β que aparece.



Demostracion.Veamos algunos elementos de la demostracion, aunque no la completaremos.

Si z es una raız del polinomio caracterıstico de la ecuacion, entonces xn = zn es una solucionparticular:

xn+2 + axn+1 + bxn = zn+2 + azn+1 + bzn = zn(z2 + az + b) = zn · 0 = 0.

Si el polinomio caracterıstico tiene una raız doble, debe ser z = −a/2. En este caso,xn = nzn−1 es tambien una solucion particular:

xn+2 + axn+1 + bxn = (n + 2)zn+1 + a(n + 1)zn + bnzn−1 = zn−1(n(z2+az+b) + z(2z+a)

)= zn−1(n · 0 + z · 0) = 0.

Si las raıces del polinomio caracterıstico son imaginarias, z = reiϕ y z = re−iϕ, entonces

xn =(reiϕ

)n= rneinϕ = rn(cos(nϕ) + i sen(nϕ))

yxn =

(re−iϕ

)n= rne−inϕ = rn(cos(nϕ)− i sen(nϕ))

son dos soluciones. Combinando ambas se pueden obtener otras dos soluciones que no tienenparte imaginaria y son xn = rn cos(nϕ) y xn = rn sen(nϕ).

En definitiva, en todos los casos se generan dos soluciones particulares de la ecuacion. Lademostracion se completa probando que cualquier otra solucion se obtiene como combinacionlineal de estas dos. Esta es la parte que omitiremos. �

Ejemplo 2.3.3La ecuacion xn+2 = 4xn tiene por polinomio caracterıstico x2 − 4, cuyas raıces son −2 y 2. Susolucion general es, por tanto, xn = α(−2)n + β2n.

Si se imponen las condiciones iniciales x2 = 1, x3 = 0, se obtiene el sistema

x2 = 4α + 4β = 1

x3 = −8α + 8β = 0

cuya solucion es α = β = 1/8. La solucion particular buscada es

xn =1

8(−2)n +

1

82n = (−1)n2n−3 + 2n−3 = ((−1)n + 1)2n−3 si n ≥ 2.

En esta expresion se observa que todos los terminos de ındice impar son 0.

Vamos a comprobar que las soluciones obtenidas verifican tanto la ecuacion xn+2 = 4xn

como las condiciones iniciales.

• Si n = 2: x2 = ((−1)2 + 1)22−3 = (2)2−1 = 1.

• Si n = 3: x3 = ((−1)3 + 1)23−3 = (0)2−1 = 0.

• Si n ≥ 2: xn verifica la relacion xn+2 = 4xn pues

(a) xn+2 = ((−1)n+2 + 1)2n+2−3 = ((−1)n+2 + 1)2n−1, y


Teorıa 21

(b) 4 xn = 4 ((−1)n + 1)2n−3 = 22 ((−1)n+2 + 1)2n−3 = ((−1)n+2 + 1)2n−3+2 = xn+2.

Ejemplo 2.3.4Para resolver la ecuacion xn+1 − 4xn + 4xn−1 = 0 con condiciones iniciales x1 = 5 y x2 = 8, secalculan las raıces del polinomio caracterıstico x2 − 4x + 4, resultando la raız doble 2, luego lasolucion general es xn = α2n + βn2n−1. A continuacion se imponen las condiciones iniciales

x1 = 2α + β = 5

x2 = 4α + 4β = 8

obteniendose α = 3 y β = −1. La solucion buscada es xn = 3 · 2n − n2n−1 si n ≥ 1.

Ejemplo 2.3.5El problema de valores iniciales xn+4xn−2 = 0, x1 = 1, x2 = 4 tiene por polinomio caracterıstico

x2 + 4, cuyas raıces son −2i y 2i = 2eiπ/2, luego la solucion general es

xn = 2n(α cos

nπ

2+ β sen

nπ

2

).

Las condiciones iniciales llevan al sistema

x1 = 2β = 1

x2 = −4α = 4

de donde α = −1 y β = 1/2. La solucion buscada es

xn = 2n

(− cos

nπ

2+

1

2sen

nπ

2

)si n ≥ 1.


Tema 1 Sucesiones de numer´ os reales...

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