2 Guia 01 Semestre 1 Sucesiones

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemtica

Puerto Montt Curso: IV Medio Electivo

1

Gua de ejercicios N2, Primer Semestre

Tema: Sucesiones, sumatorias, lmite de sucesiones

Debes saber que:

El concepto abstracto de sucesin se puede asociar, en una primera aproximacin, a los procesos

discretos de la naturaleza, o a aquellos que se pueden describir de esta forma, por ejemplo, la

evolucin de una poblacin en instantes de tiempo equiespaciados o una seal digital.

Aparte de su inters como mecanismo para modelar, la teora de sucesiones aporta una

importante herramienta deductiva en el Anlisis Matemtico.

En 1902, el matemtico italiano, Leonardo Pisano, llamado Fibonacci, investig el siguiente

problema: un hombre pone un par de conejos (macho y hembra) de diferente sexo, en un lugar cercado. Los conejos pueden aparearse a partir del primer mes de vida, y las hembras dan a luz

tras un mes de gestacin. Suponiendo que ningn conejo muere en un ao, y que las camadas de

conejos que ha parido la hembra estn formadas por una nueva pareja de conejos de diferente

sexo, cada mes a partir de su segundo mes de vida, cuntos pares de conejos habr en un ao?. Fibonacci formul una respuesta mes a mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144.

Aunque el problema de Fibonacci no era muy realista, su resultado dio origen a una sucesin

numrica llamada sucesin de Fibonacci, una de las maravillas de la matemtica, presente en los

ms inslitos fenmenos de la naturaleza y en la creacin humana. Algunos de estos ejemplos

son: la forma en que se ordenan las semillas de un girasol (tienen 34 curvas en un sentido y 21

en otro, las espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda), el ordenamiento de las

hojas en una rama

Variable discreta

Si una magnitud vara mediantes saltos, como por ejemplo el nmero de personas que llegan a la caja

de un banco en intervalos de tiempos fijos, el nmero de nacimientos o muertes medidos da a da, se

dice que es discreta. Otra forma de concebir algo discreto es algo que al ser fraccionado pierde su

esencia. Por ejemplo: la mitad de una mesa no es una mesa y la tercera parte de 34 nacimientos no son

11,333...nacimientos. En cambio, existen otras magnitudes que permiten, al menos abstractamente,

infinitas posibilidades de divisin. La ms tpica de las magnitudes continuas son el tiempo y la

temperatura.

Las variables discretas, en general, aparecen al contar objetos, sucesos o fenmenos y, por tanto, quien

modela una variable discreta es el conjunto de los nmeros naturales .

En una relacin funcional de variable independiente y dependiente, cuando la variable independiente

es discreta necesariamente la variable dependiente tambin lo es, este tipo de asignacin se les llama

sucesiones. Una sucesin es una abstraccin de un proceso cuyas etapas se pueden contar y extender

indefinidamente.



2

Definicin:

Una sucesin de nmeros reales es una funcin definida en los naturales que toma valores en los

reales, es decir, una sucesin se define como:

:

f

n f n

Observacin:

El trmino f n se escribe como na , esto es nf n a , donde na recibe el nombre de trmino general.

Una sucesin de trmino general na se identifica como na o tambin n na

Ejemplo

Dada la sucesin 3na n , se tiene que

1 3 1 3a

2 3 2 6a

3 3 3 9a

Es decir, 3na n corresponde a los mltiplos de 3

Ejemplo

Dada la sucesin 1, 7, 25, 79, 241,...., determine el trmino general.

Tenemos que

1

2

3

4

5

1 3 2 3 2

7 9 2 3 2

25 27 2 3 2

79 81 2 3 2

241 243 2 3 2

Luego, el trmino general viene dado por 3 2nna

Observacin:

Una sucesin est bien definida cuando es posible conocer cada uno de sus trminos. De esta

manera, se debe tener la precaucin de indicar varios trminos (ms de tres trminos) de una

sucesin para determinar su trmino general.



3

Ejemplo

Si tenemos los trminos 1, 3, 5,... podemos indicar como trmino general 2 1na n , donde

1

2

3

4

2 1 1 1

2 2 1 3

2 3 1 5

2 4 7

a

a

a

a

Pero tambin, podemos considerar como trmino general 3 26

6n

n n na

, donde

3 2

1

3 2

2

3 2

3

3 2

4

1 6 1 1 61

6 6

2 6 2 2 183

6 6

3 6 3 3 305

6 6

4 6 4 4 366

6 6

a

a

a

a

Ejercicios

1. Determinar los primeros cuatro trminos y el dcimo trmino de las siguientes sucesiones.

a. 1

2 1na

n

e.

2

2n n

ne

i. 1nni n

b. 1

2 1nb

n

f.

3 12

n

nf

j.

11

n

nhn

c. 1

n

ncn

g. 22 4ng n i. 1ni n n

d. 31

n

nd

n

h.

11

n

nhn

k. .

2 Si es par

1 Si es impar

n

n n

in

n



4

2. Determinar el trmino general de las siguientes sucesiones.

a. 1 1 1 1

1, , , , ,...3 9 27 81

f. 2, 5, 10, 17, 26,...

b. 1 1 3 1 5

, , , , ,...2 2 8 4 32

g. 0, 3, 8, 15, 24,...

c. 1, 4, 9, 16, 25,... h. 2, 1, 0, 1, 2,...

d. 1, 1, 1, 1, 1,... i. 2, 5, 8, 11, 14,...

e. 1 2 3 4

0, , , , ,...3 4 5 6

j. 4 5 6

2, 1, , , ,...5 7 9

Observacin:

Dadas dos sucesiones na y nb , diremos que estas son iguales si y solo si se tiene n na b para cada n

Ejemplo

Sea 1na n y 2 1

1n

nb

n

, entonces n na b .

En efecto,

2 111

n

nnb

n

1

1

n

n

1 nn a

Sucesin Recurrente

Definicin:

Algunas sucesiones infinitas se describen enunciando el primer trmino 1a junto con una regla que

muestra cmo obtener cualquier trmino 1na a partir del trmino anterior ka . A una descripcin de

este tipo se le llama definicin recursiva o recurrente y se dice que la sucesin est definida

recursivamente.



5

Ejemplo

Determinar los cinco primeros trminos y el dcimo trmino de la sucesin definida como

1 3a , 1 2n na a

Solucin

2 1

3 2

4 3

5 4

2 2 3 6

2 2 6 12

2 2 12 24

2 2 24 48

a a

a a

a a

a a

Determinando el trmino general, tenemos

2 1

2

3 2

3

4 3

4

5 4

1

2 2 3 6 2 3

2 2 6 12 4 3 2 3

2 2 12 24 8 3 2 3

2 2 24 48 16 3 2 3

2 3nn

a a

a a

a a

a a

a

As el dcimo trmino corresponde a

10 1 9

10 2 3 2 3 512 3 1 536a

Ejercicios

1. Determina los cuatro primeros trminos de las siguientes sucesiones recurrentes.

a. 11 a y 12

1 nn aa

b. 1 0a y 11n

n

aa

n

c. 1 1a y 1 2 1n

n na a

d. 1 1a y 1n na na

e. 1 1a , 2 1a y 2 1n n na a a



6

Progresin Aritmtica y progresin geomtrica

Se denomina progresin a una sucesin en la que entre dos trminos consecutivos siempre hay una

misma relacin. De acuerdo a lo anterior y continuando con el estudio de recurrencia, hay dos

sucesiones recurrentes que estudiaremos y que se identifican como progresin aritmtica y progresin

geomtrica.

A. Progresin aritmtica

Una sucesin es una progresin aritmtica cuando cada uno de sus trminos es igual al anterior ms

una cantidad constante d llamada diferencia aritmtica de la progresin, donde

1n nd a a

Para determinar el trmino general consideremos lo siguiente:

1 1

2 1

3 2 1 1

4 3 1 1

1 1 1

2

2 3

2 1n n

a a

a a d

a a d a d d a d

a a d a d d a d

a a d a n d d a n d

Es decir, el trmino general de una progresin aritmtica queda definido como

1 1na a n d

Ejemplo

1. Encontrar el trmino general de una progresin aritmtica, donde 7 11a , 3d .

Solucin

Como 7 11a , entonces

1

1

1

1

11 7 1 3

11 6 3

11 18

7

a

a

a

a

Luego

7 3 1na n



7

Ejercicios

1. Encuentra el trmino general y el trmino solicitado en las siguientes progresiones aritmticas.

a. El trmino N19 en la progresin 7,10,13....

b. El trmino N12 en la progresin 5,10,15....

c. El trmino N48 en la progresin 9,12,15....

d. El trmino N12 en la progresin 1 3

, ,1....2 4

e. El trmino N21 en la progresin 3 14

, ....5 15

2. Encuentre los trminos quinto, dcimo y n-simo de la progresin aritmtica dada:

a. 2,6,10,14,...

b. 16,13,10,7,....

c. 6 ; 4,5 ; 3,....

d. 8, 3, 2, 5,....x x x x

3. Deduce el decimoquinto trmino de una progresin aritmtica en que el primer trmino es 40 y la diferencia 0,5

4. Determina el lugar que ocupa el 109 en la progresin aritmtica: -15, -11, -7,

5. El sptimo trmino de una progresin aritmtica es 29 y el decimoctavo es 73. Encuentra el primer trmino y la diferencia.

6. Dada la progresin aritmtica en que 3 7a y 20 43a . Determina 15a

7. Encuentre el decimosegundo trmino de la progresin aritmtica cuyos primeros trminos son 9.1 y 7.5.

8. Hallar el decimoprimer trmino de la progresin cuyos primeros trminos son 2 2 y 3.

9. Los trminos sexto y sptimo de una progresin aritmtica son 2,7 y 5,2. Obtenga el primer trmino.

10. Hallar la diferencia en la progresin 1 3

,...,2 8

, donde

3

8

corresponde al decimosptimo

trmino.

11. Cuntos trminos tiene la progresin 4,6,...,30?

12. El primer trmino de una progresin aritmtica es 15

5 , el segundo trmino 6 y el ltimo

trmino es18. Hallar el nmero de trminos.



8

B. Progresin geomtrica

Una sucesin es una progresin geomtrica cuando entre cada par de trminos consecutivos hay una

razn constante r llamada factor o razn geomtrica de la progresin, donde

1n

n

ar

a

Para determinar el trmino general consideremos lo siguiente:

1 1

2 1

2

3 2 1 1

2 3

4 3 1 1

2 1

1 1 1

n n

n n

a a

a a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

Es decir, el trmino general de una progresin geomtrica queda definido como

1

1

n

na a r

Ejemplo

1. Encontrar el quinto trmino general de una progresin geomtrica, donde 1 3a , 4r .

Solucin

Como 1 3a , entonces

1

1

5 1

5

4

5

5

entonces

3 4

3 4

768

n

na a r

a

a

a

2. Determine la razn de una progresin geomtrica si 1 5a y 4 135a

Solucin 3

4 1a a r

Luego 3

3

3

135 5

135

5

27

3

r

r

r

r



9

Ejercicios

1. Determina el trmino general de las siguientes progresiones geomtricas.

a. 3,9,27,81,... d. 5, 15,45, 135

b. 80,40,20,10,5,... e. 1 1

, ,1,...9 3

c. 1 1

16, 4, 1, , ,...4 16

f. 5 10 20 40 80

, , , , ,...3 9 27 81 243

2. Calcula el trmino 24 de la progresin geomtrica 4,12,36,

3. En una progresin geomtrica el sexto trmino es 27 y el tercero es 1. Encontrar la razn.

4. En una progresin geomtrica 1 8a y 3 2a . Calcula y su trmino general.

5. Calcula la razn y el primer trmino de una progresin geomtrica en que el tercer trmino es

3 y el sptimo es 3

16 .

6. En una progresin geomtrica el primer trmino es 6 y la razn 2. Determina el lugar que ocupa el trmino de valor 6 144.

7. En una progresin geomtrica se sabe que 5 48a y 10 1536a . Hallar el primer trmino y la

razn.



10

Operaciones entre sucesiones

Dadas dos o ms sucesiones, estas se pueden operar, sumar, restar, multiplicar y dividir, con las

restricciones debidas (por ejemplo, la divisin por 0 no es una operacin vlida), obteniendo una nueva

sucesin.

A. Suma de Sucesiones

Dadas las sucesiones na y nb , la suma de ellas determina una nueva sucesin nc , donde su

trmino general se define como n n nc a b para cada n . Es decir

1 1 1

2 2 2

n n n

c a b

c a b

c a b

Ejemplo

Sean las sucesiones de trmino general 2

n

na y 2

nb n , determine la sucesin de trmino general

nc que se obtiene de la suma de ellas.

Solucin:

2

2

2

2

2

n n n

n

n

c a b

nc n

n nc



11

B. Sustraccin de Sucesiones

Dadas las sucesiones na y nb , la sustraccin o resta de ellas determina una nueva sucesin nc ,

donde su trmino general se define como n n nc a b para cada n . Es decir

1 1 1

2 2 2

n n n

c a b

c a b

c a b

Ejemplo


nan

y 1

1nb

n

, determine la sucesin de trmino general

nc que se obtiene de la suma de ellas.

Solucin:

1 1

1

1

1

1

1

n n n

n

n

n

c a b

cn n

n nc

n n

cn n

C. Multiplicacin de Sucesiones

Dadas las sucesiones na y nb , la multiplicacin de ellas determina una nueva sucesin nc , donde

su trmino general se define como n n nc a b para cada n . Es decir

1 1 1

2 2 2

n n n

c a b

c a b

c a b



12

Ejemplo

Sean las sucesiones de trmino general 2 1na n y 1

1n

nb

n

, determine la sucesin de trmino

general nc que se obtiene de la suma de ellas.

Solucin

2 111

1

n n n

n

n

c a b

nc n

n

c n

1

11

nn

n

2

1nc n

D. Divisin de Sucesiones

Dadas las sucesiones na y nb , con 0nb , para cada n la divisin de ellas determina una

nueva sucesin nc , donde su trmino general se define como n

n

n

ac

b para cada n . Es decir

11

1

ac

b ; 22

2

ac

b nn

n

ac

b

Ejemplo


n

na

n

y 2nb n , determine la sucesin de trmino

general nc que se obtiene de la suma de ellas.

Solucin:

32

3

2

1

1

nn

n

n

n

n

ac

b

nc n

n

nc

n n

cn n



13

Ejercicios

1. Sean dos sucesiones de trminos generales: 2 3na n y 3 1nb n . Encuentra la sucesin de

trmino general n n nc a b y calcula sus cinco primeros trminos.

2. Sean dos sucesiones de trmino generales 2 2na n y 2

1nb n , determina la sucesin

n na b y determina los cuatro primeros trminos.

3. Determina los trminos 4c , 8c y 12c donde n n nc a b , con

2

1

2 1n

na

n

y

1

1nb

n

.

4. Dadas las sucesiones 2 1

n

na

n

y

1

1n

nb

n

, encuentra los cinco primeros trminos de.

a. n na b

b. n na b

c. n na b

d. n

n

a

b



14

Sucesiones montonas

Existen sucesiones que presentan una misma relacin de orden entre sus trminos consecutivos. A

estas sucesiones se les llama sucesiones montonas y se presentan los siguientes casos:

1. Sucesin estrictamente creciente

Definicin:

Una sucesin na es estrictamente creciente cuando para cada n , se tiene que 1n na a

Ejemplo

La sucesin de trmino general 2na n es estrictamente creciente. En efecto,

2 2 2

22

1

1 Para cada

2

1 2

0 2 1 Sumando 1

2 1 Sumando

1 es decir,

n n

n n

n

n

n n n n

n n

a a

2. Sucesin creciente (Tambin llamada no decreciente)

Definicin:

Una sucesin na es creciente cuando para cada n , se tiene que 1n na a

Ejemplo

La sucesin 1,1,2,3,5,8, conocida como sucesin de Fibonacci es una sucesin creciente.



15

3. Sucesin estrictamente decreciente

Definicin:

Una sucesin na es estrictamente decreciente cuando para cada n , se tiene que 1n na a

Ejemplo

La sucesin de trmino general na n es estrictamente decreciente. En efecto,

1

1 Para cada

1 Multiplicando por 1

es decir,

n n

n n n

n n

a a

4. Sucesin decreciente (Tambin llamada no creciente)

Definicin:

Una sucesin na es decreciente cuando para cada n , se tiene que 1n na a

Ejemplo

La sucesin de trmino general 2

n n

na es decreciente. En efecto,

1

1

1

1

1 Para cada

2 2 Multiplicando por 2 ,2 0

2 2 2 Reescribiendo

2 2 2

2 2 2

2 2 1

1 es decir

2 2

n n n n

n n

n n n

n n n

n n

n n

n n

n

n n n

n n

n n

n n

n n

1

,

n na a



16

Sucesiones limitadas

Definicin:

Una sucesin na es limitada cuando el conjunto de sus trminos es limitado, es decir, cuando existe

un nmero real positivo c , tal que na c para cada n .

Observacin:

Dicho de otra manera: todos los trminos de la sucesin pertenecen al intervalo ,c c

Observacin:

Cuando una sucesin no es limitada se dice que es ilimitada.

Definicin:

Una sucesin na se dice limitada superiormente cuando existe un nmero real b tal que para cada

n , se tiene na b . Lo que significa que todos los trminos de la sucesin pertenecen al intervalo

,b

Definicin:

Una sucesin na se dice limitada inferiormente cuando existe un nmero real a tal que para cada

n , se tiene na a . Lo que significa que todos los trminos de la sucesin pertenecen al intervalo

,a

Observacin:

Una sucesin na es limitada cuando lo es inferiormente y superiormente.



17

Ejemplo

1. Analice la sucesin de trmino general 1

nan

.

Esta sucesin es montona estrictamente decreciente y limitada.

La determinacin de la monotona se deja de tarea.

Por otro lado, observa que 1

0 1n

para cada n

Ejercicios

1. Determine la monotona de las siguientes sucesiones

a. 1

nan

b. na n

c. 1n

na

d. 2 1

3 2n

na

n

e. 1

n

na

n

2. Analiza si las siguientes sucesiones son montonas o no, si son limitadas, limitadas inferiormente, limitadas superiormente o ilimitadas.

a. 1na n

b. ( 1)

1

n

nan

c. 1n

na n

d. 1

n

na

n

e. 1

n

na

n

f. 0 si es par

1 si es imparn

na

n

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