Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Repaso de...

Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC

Repaso de conceptos básicos de matemáticas necesarios para

establecer balances

Jesús Carrera

IJA Ciencias de La Tierra

CSIC


Motivación

• Para actuar sobre el territorio es necesario cuantificar.

• Para ello:– Compresión del fenómeno (peculiaridades)– Principios generales (Conservación de masa, energía,

etc)

• Esto se puede hacer de muchas maneras y a muchas escalas.– Escala integrada (cajas)– Distribuida (mecánica de medios continuos, estadística,

molecular o cuántica)

• El “lenguaje” que se emplea es el de las matemáticas, pero el “dialecto” depende de la escala


Contenido

Niveles de descripción de la naturaleza

Balances de masa integrados (cajas)• Ecuaciones diferenciales ordinarias

Balances de masa distribuidos en espacio• Campos: definiciones y conceptos básicos• Operadores diferenciales: gradiente y tal• Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc• Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y

soluciones


La naturaleza se puede describir a muchas escalas

• Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).

P.ej., se puede estudiar la temperatura media de La Tierra haciendo un balance de Energía, con solo conocer el albedo

O la de un lago (aquí las interacciones son mas complejas)

En ambos casos T(t)


Ejemplo 1: Un lago que recibía un caudal de entrada de 110 L/s con una salinidad

(TDS) de 100 mg/L. Del mismo salía un arroyuelo de 10 L/s. Estudiar la salinización del lago al ponerse en marcha un proyecto de regadío.

1. Como la cartografía es mala, deduce la superficie y volumen históricos del lago a partir de la observación de que se evapora 1 m/año y que el vaso del lago es cónico con pendiente lateral del 1%

2. Deduce la concentración histórica del lago.3. Al ponerse en marcha el regadío, se derivan 70 L/s del lago, de los que

10 vuelven como retorno de regadío, presumiblemente trayendo todas las sales que llevaba el agua de riego. Repite el balance de agua del apartado 1 para deducir la superficie y volumen a que tenderá el lago.

4. Repite también el balance de sales para calcular el valor al que tenderá la nueva salinidad del lago.

5. Sorprendido por el resultado del cálculo anterior, Eugenio analiza la situación y se da cuenta que dejarán de salir los 10 L/s del arroyuelo, por lo que te pide que recalcules como evolucionará en el tiempo la salinidad con esta nueva hipótesis.

6. Sugiere una manera de reducir el impacto del secado del arroyuelo.(El lago es una CAJA)



• Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).

• La mecánica de medios continuos describe el medio mediante variables de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos)

En ambos casos, ahora T(x,t)


EJEMPLO 2:

Se produce accidentalmente una liberación desastrosa de 1 kg de un gas extremadamente tóxico a una altura de 200 m en un momento en que la velocidad del viento es de 10 km/h y se dan unas condiciones de estabilidad atmosférica de Pasquill tipo B. A una distancia de 2 km a sotavento se encuentra un pueblo. La cuestión es cuál es la concentración máxima que se llegará a alcanzar en el pueblo, cuándo ocurrirá y cuál será la extensión de la zona contaminada.


Se pueden necesitar escalas mas detalladas

sepiensa.org.mx



Los modelos agregados tratan los sistemas “cajas” y los describen a través de los valores medios de sus “variables de estado”, que reflejan los procesos internos y la interacción con otros sistemas (p.ej, mecánica del sólido rígido, temperatura media de un lago).

La mecánica de medios continuos describe el medio mediante variables de estado, definidas sobre el continuo en el Espacio Geométrico Ordinario (EGO) y el tiempo, que se rigen por leyes macroscópicas (p.ej., la Ley de Hooke y la elasticidad, o la de Newton y la mecánica de fluidos)

La mecánica estadística describe el comportamiento de sistemas macroscópicos a partir del de partículas que obedecen leyes de la mecánica clásica (o de la cuántica). Para la agregación se utilizan herramientas estadística.

La dinámica molecular estudia sistemas moleculares complejos mediante simulación numérica en la que se permite que átomos y moléculas interactúen bajo las leyes de la física. Se utiliza para estudiar el comportamiento de moléculas con las que no es fácil experimentar.

La mecánica cuántica describe el comportamiento de átomos, moléculas y partículas elementales y sus interacciones sobre la base de: cuantización, dualidad onda-partícula y descripción probabilística (inc. ppio de incertidumbre).


Modelos agregados

• El estado del sistema se define por una (o varias) variables de estado, que (normalmente) evolucionan en el tiempo.

• Esta evolución está controlada por algún principio de conservación (masa, energía, cantidad de movimiento). Nosotros tenderemos a llamarlo “balance” (de masas o energía).

• Al escribir este principio de conservación, suele resultar una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), que se ha de resolver.


Planteamiento del Balance de masas escalar

• Balance: Var. Almac.= Entradas – Salidas– Permite evaluar la evolución temporal– En estacionario: Entradas = Salidas

• Ejemplo

– Entradas: Q, Ce

– Definición del medio (lago, reactor, rio, …): V, C– Procesos que ocurren en el medio: – Salidas: Sale con la concentración media

– Concentración inicial: C0

• Planteamiento del Balance

• Var. Estado: V, C• Degradación -C

Q·Ce Q·C

e

dV CQC QC VC

d t


Discusión del planteamiento

• Acotar y definir bien el medio suele ser una de las primeras tareas. Su geometría suele tomarse invariante, pero puede variar con el tiempo.

• Las entradas suelen ser un dato, aunque, en la realidad, se puede actuar sobre ellas (p.ej.: Reducir Ce)

• Tiempo medio de residencia• Procesos

– Contienen la “chicha” del fenómeno– Pueden ser complejos


Q·Ce Q·C

R

Vt

Q


Ejemplo

Q = 2 m3/dia Caudal

V = 80 m3 Volumen

C0=17 g/m3 Conc. Inic

0,1 dia-1 Const. Degradación

Ce=1000 g/m3 Concentración Entrada


Q·Ce Q·C


Solución estacionaria


Q·Ce Q·C

1. Imponer derivada temporal nula:

2. Operar

3. Despejar C

4. Sustituir valores (verificar unidades):

0eQC QC VC

( )eQC Q V C

( )eQC

CQ V

3 33

3 1 3

(2 / )·(1000 / )200 /

2 / (0,1 )·(80 )

m d g mC C g m

m d d m


Evolución temporal

• Dos posibilidades– Numérica– Analítica

• Solución numérica1. Inicializar: k=0, C0=Co

2. k=k+1

3. Aproximar derivadas

4. Evaluar balance

5. Despejar Ck+1

6. Repetir pasos 2-5 hasta acabar

• Ventajas: Se puede hacer en hoja Excel, fácil, rápido• Inconvenientes: Ojo a enterarse de qué depende cada

cosa y a errores numéricos

1

1

k k

k k

d C C CV V

d t t t

. k keVarAlmac QC QC VC

1 · .k k t Var Almac

C CV


1. Escribir ecuación de forma cómoda

, donde y

2. Resolver ecuación homogénea (hacer b=0)

3. Variación de las constantes: suponer A=A(t) y sustituir en ec. original

4. Integrar

5. Sustituir valores iniciales para calcular B

6. Sustituir B en la solución

Solución Analítica: EDO’s lineales

eQCb

V

Q

V

ln lnd C d C

C d t C t Ad t C

d C

C bd t

' 't t t tC Ae A e A e C b A be

tt be

A be dt B

( )t

t t tbe bC B e Be C Be

0

0 0C C Be B C C

0( ) tC C C C e


1. Escribir ecuación de forma cómoda

2. Se integra facilmente

3. La constante de integración A se saca de la condición inicial

4. Se sustituye A en la solución

5. El paso 2 puede sustituirse por

Que es idéntica a la obtenida en el paso 4

Separación variables cuando y b constantes

0

1ln( )C b A

1ln( )

d Cd t C b t A

C b

00 0

1ln( ) ( )t tC b C b

t e C C C C eC b C b

d C d CC b d t

d t C b

0 0

0

1ln( )

C t

C

d C C bd t t

C b C b


Ejemplo 1: Balance de agua en la situación inicial

Entradas = Salidas Qe = Qs + E

luego E = Qe - Qs = 110 – 10 L/s = 100 L/s

Cambio de unidades:

E = 100 L/s · 3,15·107 s/año·10-3m3/L = 3,15·106 m3/año

La superficie del lago será tal que se puede evaporar este caudal: E = S.e

Como la pendiente lateral es del 1%, la profundidad en el centro del lago será de 10 m. Su volumen será:

E

Qe Qs

6 3

6 23.15 10 /3.15 10

1 /

E m aS m

e m a

2S R

3.150.000

1000S

R m

6 31 1. 3150.000·10 10·10

3 3V S h m


Ejemplo 1: Balance de sal en la situación inicial

Entrada de sal = Salida de sal

Qe ·Ce = Qs.C

luego

E

Qe·Ce Qs·C

. 110 / 100 /

110010 /

xe e

s

Q C L s mg L mgC

Q L s L


Ejemplo 1: Nuevo balance de agua tras el regadío

Entradas = Salidas

Qe + Qr = E + QR + Qs

Es decir

E = Qe + Qr – QR – Qs = 110 + 10 – 70 – 10 = 40 L/s

E = 40 L/s· 3,15·107 s/año 10-3 m3/año=

EQe.

Qr

QR

Qs

440·3,15 10700

sR m

7100

Rh m

2 2 6 31700 ·7 3,5 10

3 3V R h m


Ejemplo 1: Nuevo balance de sales tras Regadío

Entradas Qe Ce + Qr Cr

Salidas Qs C + QR C

Pero como toda la sal retorna, luego Qr·Cr = QR·C

Por tanto Qe Ce = Qs C

Es decir la concentración del lago no se ve afectada, lo cual es lógico ya que al lago le da igual que la evaporación se produzca en su superficie o en la de regadío.

E

Qe.Ce Qs.C

C

Qr.Cr

Regadío

1100 /e e

s

Q CC mg L

Q


Ejemplo 1: Balance de sales sin drenaje

Entradas- Salidas = Qe Ce

La integración de esta ecuación es trivial:

es decir, si no hay salida, la concentración aumenta a un ritmo de 100 al año. El aumento es indefinido hasta que precipiten minerales, cosa que conducirá a la salinización del suelo y, probablemente, al abandono del regadío.

e eo

Q CC C t

V

dC

Vdt

9

6 3 3

350.10 /100

3,5.10 1000 / .e eQ C mg a mg

V m L m L año


Ejemplo 1: Qué se debe hacer

• Para evitar la salinización del lago, lo que se puede hacer es recoger el retorno del regadío mediante drenes y conducirlo a balsas de evaporación. Con ello, disminuye ligeramente el volumen del lago (se pierde el retorno de riego), pero se evita la salinización.


Balance de masa distribuido

• Se hace en cada punto• Se trabaja con campos.• En lugar de derivadas se utilizan operadores

diferenciales (grad, div,…)• Se plantean EDP’s

• Medios Continuos


Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:

Definiciones: Campo, VERUn campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO):

d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación).

Es el concepto que se emplea para definir las variables naturales

3:

( )

df

fx x

( )0( ) lim VV xx

VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que adopte valor estable


Coordenadas cartesianas.

e2

e’ 2

e1

e’ 1

x

x1

x2

x 1

X’ 2

e2e2

e’ 2e’ 2

e1e1

e’ 1e’ 1

x

x1

x2

x 1

X’ 2

xx

x1

x2

x 1

X’ 2

x1

x2

x1

x2

x 1

X’ 2

x 1

X’ 2

1 1 2 2 1 1 2 2' ' ' 'x x x xe e e e

1 1

2 2

' cos' ·

' cos

x xsen

x sen xx P x

P es una matriz de rotación

Cambio de coordenadas

x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición: i i i i

i

x y z x xx i j k e e

( , , )x y z1 2 3( , , )x x x


Tensores

Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores.

Definición

Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: ' v P vEjercicio

Supongase en el sistema y enSustituyendo

Resuta

Analogamente

Cambio de coordenadas en matrices q K g ( , )x y ' ' 'q K g ( ', ')x y

' q P q 'g P g

1 'K P K P

1' K PK P


Valores principales. Círculo de Mohr

Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación

Direcciones principales

p12

11 22

22 p

Ktg

K K

Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales:

Valores principales

I mK K d

11 22

2m

K KK

22 11 2212 2

K Kd K

II mK K d

Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales

Círculo de Mohr


Campo escalar

Función escalar definida sobre el EGO: Definición

Depende de la dimensión del EGO.

1-D: f vs x

2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc.

Visualización

Temperatura, presiones, viscosidad, etcEjemplos

3:f


Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc

Campo Vectorial

Función vectorial definida sobre el EGO: Definición

Casi solo en 2D. •mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección •mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza.

Visualización

Ejemplos

: , 1, 2 3n nf n ó


conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones

Campo Tensorial

Función tensorial definida sobre el EGO: Definición

DifícilMediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales

Visualización

Ejemplos

: , 1, 2 3n n nf n ó


Gradiente

Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple:

Perpendicular a las isolineas de h

Orientado en el sentido creciente de las isolineas

Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas.

Propiedades

1

2

3

/

/

/

h x

h h h x

h x

grad

Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por:

Definición

Ejemplo


Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen.

Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por:

Divergencia

Propiedades

Definición

Ejemplo

1

21 2 3

3

( ) , ,

f

div fx x x

f

f f

31 2

1 2 3

i

i

ff f f

x x x x

1 2 3-1 x1

1

2

x2

1 1( ) 0,1f x x

2 0f x

1 2

1 2

0,1 0 0,1f f

x xf


Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha.

El gradiente de un campo es irrotacional:

El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial:

Rotacional

Propiedades

Definición

1 1 1

2 2 2

3 3 3

/

/

/

x f

x f

x f

e

rot f f e

e

3 32 1 2 11 2 3

2 3 3 1 1 2

f ff f f f

x x x x x xe e e

Ejemplo

32f e

1 2 3-1 x1

1

2

x2

1 2

2 1

3 0

f x

f x

f

( ) 0frot grad


Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente

Laplaciano

Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia.

Propiedades

Definición

1 2 2 22

2 2 2 21 2 3 1 2 3

3

/

, , /

/

xh h h

h h x fx x x x x x

x


Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano

31 2

1 1 11

31 22 1 2 3

2 2 23

31 2

3 3 3

/

( ) ( ) / ( , , )

/

ff f

x x xx

ff fx f f f

x x xx

ff f

x x x

Jac f J f f

2 2 2

21 1 2 1 3

1 2 2 2

2 21 2 3 2 1 2 2 3

3 2 2 2

23 1 3 2 3

/

( ) /

/

h h h

x x x x xx

h h hh h x h

x x x x x x x xx

h h h

x x x x x

H


Flujo. Teorema de la divergencia

n f

f cantidad por unidad de superficie

f·n cantidad por unidad de superficie de

Flujo de f a través de : Cantidad total que pasa (entradas-salidas)

F d

f n

Flujo

Teorema de la divergencia

d d f n f

•Da sentido a la divergencia

•Se emplea mucho para establecer balances


Se toma un campo escalar tal que entonces la primera identidad quedaría como:

Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green:

Segunda Identidad de Greeng

2 d d d

n

2 2( ) ( )d d

n

Identidades de Green

Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta:

Primera Identidad de Green

( ) f g g g

d d d

g g n g

f g


Circulación. Teoremas de Stokes y de Green

t f

L

circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva

Circulación

LC d l f t

Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie

Teorema de Stokes

Ld dl

f n f t

Versión 2-D del Teorema de Stokes

Teorema de Green

2 11 1 2 2

1 2

( ) ( )L

f ff d x f d x d

x x


El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por:

La integración es trivial por separación

Si a y f son constantes queda:

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200

distancia (unidades arbitrarias)

con

cen

trac

ión

(u

nid

. ar

b.)

Inicial

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150 200

distancia (unidades arbitrarias)

con

cen

trac

ión

(u

nid

. ar

b.) Inicial

Inicial + a(t-t0)

EDP’s de primer orden: Acumulación

( , ) ( , )u

a x t f x tt

0 0

( )( ) ( )

( )

t f tu t u t d t

a t

0 0( , ) ( , ) ( )f

u x t u x t t ta

EDP

Integración


La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es =b/a):

La integración es trivial por separación:

Integrando, queda:

Imponiendo condiciones iniciales:

Si es constante (1/ es lavida media):

EDP’s de primer orden: DegradaciónEDP

Integración

u

b1

Vel. degrad.

0du

udt

( )du

t dtu

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200

distancia (arbitrarias unidades)

co

nc

en

tra

ció

n (

un

ida

de

s a

rb.) Inicial

Inicial*exp(-a(t-t0))

0

ln ( ) ( )t

tu I t t dt K

( )0

I tu u e

0( )0( , ) ( , ) t tu x t u x t e


Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante , el balance es:

EDO’s de primer orden linealesEDO

Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable

Sustituyendo en la ecuación original y simplificando:

Integrando de nuevo:

Imponiendo condiciones iniciales para determinar D:

donde es la solución estacionaria.

( )( ) I tu C t e

( )'( ) ( )I tC t e f t

( )( ) ( ) I tC t f t e dt D

0 0( ) ( )0( ) 1t t t tf

u t u e e

0( )0( ) ( ) t tu t u u u e

u

Integración

duu f

dt

t

u

u

0u


El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicasEDP

( , ) ( , ) ( , )u u

a x t q x t f x tt x

Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda:

Con

Si esta ecuación define la trayectoria ( )

La ecuación queda:

Cuya solución es:

O

Coefs. ctes.

( , )du x t u dx u

dt x dt t

/dx dt v

0x x vt 0

du

dt

0 0( ( ), ) ( )u x t t u x

0( , ) ( ) ( )u x t u x vt u x vt

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200

distancia (m)

conc

entr

ació

n vt

conduce a

Coefs. variables

0u dx du f

vx dt dt a

00( )

t

tt dt x x v

00 0 0

( ( ), )( ( ), ) ( , )

( ( ), )

t

t

f t tu t t u t dt

a t t

xx x

x


El término difusivo. Ecuaciones parabólicas

Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc:

Ecuación de difusión

2

2

u ua D

t x

Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda:

Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp.

Adimensionalización

D

xx

L

2D

Dtt

aL

2

2D D

u u

t x

Haciendo el cambio:

la ecuación queda

Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual)

Transf de Boltzmanx

t

2

20

2

du d ua D

d d


tD=.01

tD=0.1

tD=0.3

esfera

Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno

Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0.

Problema

( ,0) 0u x 0( , )u L t u

tD=.01

tD=0.1

tD=0.4

cilindro

tD=.01

tD=0.1

tD=0.8

placa

Por separación de

variables

2

200

4 ( 1) (2 1) (2 1)exp cos

(2 1) 4 2

n

n

u n Dt n x

u n aL L

Solución

x/L

u/ u

0


0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.

Difusión, en medio infinito de una masa M. Problema

Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo

Para dimensiones n=1, 2 ó 3

La conc. max. Se reduce propordinalmente a

,0M

u x xa

2 /Dt a 2

2exp

22

M xu

a

2 2 2

2 / 2 2exp

(2 ) 2n

M x y zu

a

/ 2(4 / )mx n

Mu

a Dt a

/ 21/ ntmxu

Solución

Si ,

Es decir,

Empieza a enterarse para tD=0,1

3 3 2 /x Dt a 0u

2

1

18D

Dtt

a x


1

/ 2

1exp ( ) (2 / ) ( )

22 /

t t

n

Mu e f t t t a t

a t ax v D x v

D

( )u

a u u u ft

D q

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

inicial

tras dispersión

tras advección

tras degradación

tras acumulación

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras degradación

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Condición inicial

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras dispersión

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

con

cen

trac

ión

Tras advección

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200distancia (m)

co

nc

en

tra

ció

n

tras acumulación

Transporte de un pulso instantaneo


1

/ 2

1exp ( ) (2 / ) ( )

22 /

t t

n

Mu e f t t t a t

a t ax v D x v

D


Solución para inyección puntual continua

• Despreciando dispersión longitudinal (gradiente pequeño)

22

2 2

1, , exp

2 2ss

y z y z

z zQ yc x y z

u

2 2 /y yD x u

2 2 /z zD x u

Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Repaso de...

Documents

Transcript of Tema 1. Repaso Mates. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC Repaso de...