Tema 1. Los numeros reales.

Asignatura: Calculo Infinitesimal I

Grado en Matematicas

Indice

1. Introduccion axiomatica de los numeros reales. 2

2. Propiedades de los numeros reales 3

3. Representacion geometrica de los numeros naturales, enteros y racionales. 8

4. El axioma de completitud. Supremos e ınfimos 11

5. La propiedad arquimediana y consecuencias 13

6. Potencias y raıces 16

7. Complementos 187.1. Conjuntos finitos, numeros naturales y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2. ¿Existen los numeros reales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3. Algunas nociones de topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4. La recta numerica extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8. Hoja de problemas 21

El conjunto de los numeros reales no es un objeto matematico tan sencillo como en principiose puede pensar. La representacion decimal que usamos solo tiene 300 anos de antiguedad y laformulacion abstracta que presentamos en este tema es de finales del siglo XIX, lo que contrastacon otros conceptos que parecen mas complicados, como derivadas e integrales, que en realidadfueron desarrollados mucho antes.

Serıa razonable comenzar el estudio de los numeros reales por los numeros naturales pues estosson la clase mas elemental de numeros que existen. Los numeros naturales admiten una formulacionaxiomatica simple y a partir de ellos se construye el anillo de los numeros enteros y el cuerpo delos numeros racionales. Finalmente, con algo mas de trabajo, se llega al conjunto de los numerosreales. El problema de este camino constructivo de los numeros reales es que precisa de demasiadotiempo para su desarrollo completo, aunque desde luego representa un modo bastante intuitivoy ordenado de presentar los numeros reales. La forma que hemos elegido aquı, la presentacionaxiomatica, es mucho mas efectiva desde la perspectiva temporal lo cual permite destinar mastiempo a los demas contenidos fundamentales del curso.

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1. Introduccion axiomatica de los numeros reales.

Existe un conjunto de numeros que denotamos por R y que llamaremos conjunto de los numerosreales, sobre el cual hay definidas dos operaciones que llamamos suma, denotada por +, y multi-plicacion o producto, denotada por ·, que cumplen las siguientes propiedades (llamadas axiomasde cuerpo):

La suma es conmutativa: x+ y = y + x para todo par de numeros reales x, y.

La suma es asociativa: x+ (y + z) = (x+ y) + z para toda terna de numeros reales x, y, z.

Elemento neutro para la suma: existe un numero que denotamos por 0 que cumple lo siguiente,x+ 0 = x para todo x ∈ R.

Elemento opuesto para la suma: dado un numero real x, existe otro numero que denotaremospor −x tal que x+ (−x) = 0.

La multiplicacion es conmutativa: x · y = y · x para todo par de numeros reales x, y.

La multiplicacion es asociativa: x · (y ·z) = (x ·y) ·z para toda terna de numeros reales x, y, z.

Elemento neutro para el producto: existe un numero que denotamos por 1, que es distintode 0, que cumple lo siguiente: x · 1 = x para todo x ∈ R.

Elemento opuesto o inverso para el producto: dado un numero real x distinto de 0, existeotro numero que denotaremos por x−1 tal que x · x−1 = 1. El inverso para la multiplicaciontambien se denota por 1/x.

Propiedad distributiva: x · (y + z) = x · y + x · z para toda terna de numeros reales x, y, z.

Usualmente el sımbolo · es eliminado de la escritura, de modo que pondremos xy para denotarel producto de x por y. Esto es

xy := x · y.La operacion resta entre dos numeros reales x e y se define mediante la formula

x− y := x+ (−y).

La operacion resta es la opuesta de la operacion suma, esto es, dado x ∈ R, si le sumamos unnumero real y y luego lo restamos, queda el numero de partida: x+y−y = x+y+(−y) = x+0 = x.

La operacion division entre dos numeros reales x e y, con y distinto de cero, se define mediantela formula

x

y:= xy−1.

La division es la operacion inversa de la multiplicacion. Esto quiere decir que si un numero x lomultiplicamos por un numero y distinto de cero y luego lo dividimos por y, se obtiene el numerode partida: xyy−1 = x1 = x.

Suponemos tambien que sobre R existe una relacion de orden > (que se lee mayor que) quecumple los siguientes propiedades (axiomas del orden):

Dado un numero real x, ocurre una y solo una de las siguientes relaciones: o bien 0 > x, obien x > 0 o bien x = 0.

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Si x > 0 e y > 0 entonces x+ y > 0

Si x > 0 e y > 0 entonces xy > 0

La relacion de orden permite establecer una comparacion entre dos numeros reales cualesquiera.

Definicion 1.1. Dados x, y ∈ R, diremos que x es mayor que y, cosa que escribiremos x > y o deforma equivalente y < x (que se lee y es menor que x), si ocurre que x− y > 0.

Tambien escribiremos x ≤ y o equivalentemente y ≥ x, para expresar que o bien x es menorque y o bien x = y.

Definicion 1.2. Los numeros reales x tales que x > 0 se llaman positivos y los que satisfacenx < 0 se llaman negativos.

Falta un ultimo axioma, el mas complejo e importante, que se llama Axioma de completitudo de continuidad. El enunciado de este axioma es el siguiente: Sean A y B dos subconjuntosno vacıos de numeros reales. Supongase que a ≤ b para cualquier a ∈ A y para cualquier b ∈ B.Entonces existe α ∈ R tal que a ≤ α ≤ b para cualquier a ∈ A y para cualquier b ∈ B.

Comentario 1.1.

Estos son todos los axiomas de los numeros reales: los axiomas de cuerpo, los axiomas deorden y el axioma de completitud. A partir de ellos, mediante razonamiento deductivo,demostraremos uno a uno todos los resultados importantes de la teorıa. Los axiomas sonpor lo tanto los cimientos que sirven para edificar la estructura de la asignatura.

El conjunto R formado por los numeros reales no es mas que un conjunto abstracto deelementos y como tal hay que entenderlos. No obstante, existe una forma muy adecuadade imaginarlos: el conjunto R se representa por una recta y los numeros reales se piensancomo puntos en esa recta. Por eso, el conjunto de los numeros reales se llama a veces rectanumerica. Esto lo veremos con detalle en las proximas secciones.

2. Propiedades de los numeros reales

En esta seccion estudiamos propiedades elementales de los numeros reales que se demuestran apartir de los axiomas de cuerpo y de orden. Probaremos algunas y otras se dejaran como ejercicio.Una vez terminada la seccion, todas ellas podran ser utilizadas libremente a lo largo del curso.

1. El elemento neutro de la suma es unico.

2. El numero opuesto a uno dado es unico.

3. Para cualquier numero real x se tiene que −(−x) = x.

4. Para cualquier par de numeros reales x, y se tiene que −x− y = −(x+ y).

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5. La ecuacion a+ x = b tiene solucion unica en R y es x = b− a.

6. El elemento neutro del producto es unico.

7. El numero inverso a uno dado (distinto de cero) es unico.

8. Para cualquier numero real x no nulo (x−1)−1 = x.

9. Para cualquier par de numeros reales x, y no nulos se tiene que (xy)−1 = x−1y−1.

10. La ecuacion ax = b tiene solucion unica en R y es x = b/a siempre que a sea distinto de cero.

11. Para cualesquiera numeros reales x, y, z se tiene que x(y − z) = xy − xz.

Demostracion. Partimos de la parte izquierda de la igualdad y tratamos de llegar a la partederecha:

x(y−z) = x(y−z)+xz−xz = x((y−z)+z)−xz = x(y+(z−z))−xz = x(y+0)−xz = xy−xz.

12. Para cualquier numero real x se tiene que x · 0 = 0.

Demostracion. Observese que 0 = 1− 1, luego:

x · 0 = x(1− 1) = x · 1− x · 1 = x− x = 0,

donde hemos utilizado la propiedad 11 en uno de los pasos.

13. Si xy = 0 entonces o bien x = 0 o bien y = 0.

Demostracion: Sean x, y ∈ R. Supongamos que x 6= 0. Entonces existe x−1 inverso de x parael producto. Multiplicando en la igualdad xy = 0 por x−1 queda que xyx−1 = 0 · x−1 yteniendo en cuenta la propiedad 12 y que el producto es conmutativo y asociativo se deduceque y = 0. Del mismo modo se puede demostrar que si y 6= 0 entonces x = 0. Esto terminala demostracion.

14. Para cualesquiera numeros reales x, y se tiene que (−x)y = −xy, y tambien que (−x)(−y) =xy. En particular (−1)y = −y para todo numero real y.

Demostracion: Vamos a demostrar primero que (−x)y = −xy. Para ello partimos de la parteizquierda de la igualdad y tratamos de llegar a la derecha. Tenemos

(−x)y = (−x)y + xy − xy = ((−x) + x)y − xy = 0 · y − xy = 0− xy = −xy.

Ahora vamos a demostrar que (−x)(−y) = xy. En primer lugar observemos que (−x)(−y) =−x(−y) aplicando lo que ya hemos demostrado en el parrafo anterior. Mas aun, aplicandolouna segunda vez podemos escribir:

(−x)(−y) = −x(−y) = −((−y)x) = −(−xy) = xy.

Para terminar observese que la formula (−1)y = −y es un caso particular de la formula(−x)y = −xy que ya hemos demostrado (poniendo x = 1).

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15. Sean t e y dos numeros reales distintos de cero. La igualdad s/t = x/y es valida si y solo sisy = tx.

Demostracion. Supongamos que s/t = x/y y vamos a demostrar que entonces sy = tx.Si st−1 = xy−1, multiplicando ambos lados de la igualdad por t tenemos que s = xy−1t,y multiplicando por y en la ultima igualdad obtenemos sy = xy−1ty = xt, justo lo quequerıamos demostrar. Recıprocamente, vamos a demostrar que si sy = tx entonces s/t = x/y.Multiplicando la igualdad por y−1 queda syy−1 = txy−1, luego s = txy−1. Multiplicandoahora por t−1 obtenemos st−1 = txy−1t−1, por lo que st−1 = xy−1, o de otro modo s/t = x/y.

16. Sean y, z numeros reales distintos de cero. Se tiene que

x

y=xz

yz.

Demostracion. Segun la propiedad 15, para demostrar que x/y = (xz)/(yz) basta demostrarque x(yz) = y(xz), pero esto es evidente por los axiomas de cuerpo.

17. La suma de fracciones se realiza mediante la regla

x

y+s

t=tx+ sy

yt,

siempre que los denominadores sean distintos de cero.

Demostracion. Partimos de la derecha:

tx+ sy

yt= (tx+sy)(yt)−1 = (tx)(yt)−1+(sy)(yt)−1 = txy−1t−1+syy−1t−1 = xy−1+st−1 =

x

y+s

t.

Hemos utilizado la propiedad distributiva y que el inverso de un producto es el productode los inversos. Por supuesto tambien hemos usado la conmutatividad y asociatividad delproducto.

18. La multiplicacion de fracciones se realiza mediante la regla

x

y· st

=xs

yt,

siempre que los denominadores sean distintos de cero.

Demostracion. Observese que

x

y· st

= (xy−1)(st−1) = (xs)(y−1t−1) = (xs)(yt)−1 =xs

yt.

19. La division de fracciones se realiza mediante la regla

x/y

s/t=xt

sy,

siempre que y, s, t sean distintos de cero.

Demostracion. Para demostrar la igualdad basta demostrar que (x/y)(sy) = (s/t)(xt), peroesto es inmediato pues (xy−1)(sy) = xs y (st−1)(xt) = sx.

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20. Si x > y e y > z entonces x > z (propiedad transitiva del orden).

Demostracion. Tenemos que demostrar que x−z > 0. Sabemos que x−y > 0 y que y−z > 0.Por uno de los axiomas del orden deducimos que x− z = (x− y) + (y − z) > 0.

21. Si x > y entonces x+ z > y + z para todo z ∈ R.

Demostracion. Tenemos que demostrar que x + z − (y + z) > 0, pero esto es evidente puesx+ z − (y + z) = x− y > 0 pues x > y.

22. Dados x, y ∈ R ocurre una y solo una de las siguientes afirmaciones: x < y, x > y, x = y.

Demostracion. Es inmediata a partir del axioma de orden que dice que dado un numero realx, ocurre una y solo una de las siguientes posibilidades: o bien x < 0, o bien x > 0, o bienx = 0.

23. Si x < y entonces −x > −y. En particular, si x > 0 entonces −x < 0. Tambien se tiene quesi x < 0 entonces −x > 0.

Demostracion. Sabemos que y − x > 0 y tenemos que demostrar que −x − (−y) > 0. Estoes claro pues −x − (−y) = −x + y = y − x. Poniendo como x = 0 se deduce que si y > 0entonces −y < 0. Y poniendo como y = 0 se deduce el otro caso particular.

24. Si x < y y s ≤ t entonces x+ s < y + t.

Demostracion. Tenemos que demostrar que y + t − x − s > 0. Observese que y − x > 0 yque t − s ≥ 0. Vamos a distinguir dos casos: t = s y t > s En el caso t = s la desigualdadse reduce a la propiedad 21 y no tenemos nada nuevo que demostrar. En el segundo caso, sit > s, entonces t − s > 0. Por los axiomas de orden, la suma de dos numeros positivos espositivo, luego y − x+ t− s > 0 y por lo tanto y + t− x− s > 0.

25. Si x < y y s ≥ t entonces x− s < y − t.Demostracion. Tenemos que demostrar que y − t− x+ s > 0. Si s = t no tenemos nada quedemostrar, ası que podemos suponer que s > t. En ese caso sabemos que s − t > 0 y porsupuesto tambien sabemos que y − x > 0. La suma de dos numeros positivos es positivo,luego s− t+ y − x > 0 y eso es justo lo que tenıamos que demostrar.

26. Si x < y y z < 0 entonces xz > yz.

Demostracion. Tenemos que demostrar que xz−yz > 0. Observese que xz−yz = (−z)((−x)+y) = (−z)(y−x). Como x < y sabemos que y−x > 0 y tambien sabemos que −z > 0 ya quez < 0. El producto de dos numeros positivos es positivo (por los axiomas de orden), luego(−z)(y − x) > 0 y esto demuestra que xz − yz > 0.

27. El producto de dos factores no nulos de igual signo es positivo.

Demostracion. Evidentemente el producto de dos numeros positivos es positivo por los axio-mas de orden. Sean ahora x e y dos numeros negativos. Entonces −x y −y son numerospositivos y por ello xy = (−x)(−y) > 0.

28. El producto de dos factores no nulos de signo opuesto es negativo.

Demostracion. Sea x > 0 e y < 0. Entonces −y > 0. Por ello xy = −x(−y) < 0 puesto quex(−y) es positivo por ser el producto de dos numeros positivos.

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29. Se cumple que 1 > 0.

Demostracion. Por reduccion al absurdo, supongase que no es cierto que 1 > 0. Como 1 6= 0es claro que esto es lo mismo que suponer que 1 < 0. En ese caso −1 > 0 y (−1)(−1) > 0 porser el producto de dos numeros positivos. Pero (−1)(−1) = 1 ·1 = 1 con lo que obtendrıamosque 1 > 0, justo lo contrario de lo que hemos supuesto como cierto. Esto es una contradicciony debe ser falso la suposicion de partida, esto es, debe ser 1 > 0.

30. Si x > 0 entonces x−1 > 0 y si x < 0 entonces x−1 < 0.

Demostracion. Sea x un numero real positivo. Sabemos que xx−1 = 1 > 0 luego debe serx−1 > 0 ya que de lo contrario, si fuese x−1 < 0, el producto de x con x−1 serıa un numeronegativo, lo que contradice que 1 > 0.

Terminamos la seccion introduciendo un nuevo concepto sobre los numeros reales, el valorabsoluto.

Definicion 2.1. Para cualquier numero real x se define el valor absoluto mediante la formulasiguiente

|x| =

{x si x ≥ 0 ,

−x si x < 0.

El valor absoluto de un numero se llama tambien modulo. Una forma diferente (pero equiva-lente) de definir el valor absoluto es la siguiente:

|x| = max{x,−x}.

El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

1. El valor absoluto de un numero real es un numero mayor o igual que cero.

Demostracion: Inmediata a partir de la definicion.

2. El valor absoluto de un numero y el de su opuesto es el mismo: |x| = | − x| para todo x ∈ R.Demostracion: observese que |x| = max{x,−x} = max{−(−x),−x} = | − x|.

3. Para cualquier numero real x se tiene que

−|x| ≤ x ≤ |x|.

Demostracion. Como |x| = max{x,−x} es claro que x ≤ |x| y que −x ≤ |x|. De la segunda,multiplicando por -1 la desigualdad queda x ≥ −|x| y si la unimos con la primera nos quedajusto la cadena de desigualdades que deseamos probar.

4. Sean a y x dos numeros reales. Se cumple que |x| ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a.

Demostracion. Primero voy a demostrar que si |x| ≤ a entonces −a ≤ x ≤ a. Si |x| ≤ aentonces x ≤ |x| ≤ a y tambien −x ≤ |x| ≤ a. De la ultima se deduce que −a ≤ x y de laprimera ya tenıamos que x ≤ a, luego ya esta demostrado. Ahora vamos a demostrar quesi −a ≤ x ≤ a entonces |x| ≤ a. Basta demostrar que x ≤ a y que −x ≤ a. Ambas soninmediatas a partir de la relacion −a ≤ x ≤ a.

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5. Dados x, y ∈ R se cumple que |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular).

Demostracion: Sabemos que −|x| ≤ x ≤ |x| y lo mismo para y: −|y| ≤ y ≤ |y|. Sumandoambas cadenas de desigualdades tenemos −|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y|. Como −|x| − |y|es el opuesto de |x|+ |y| podemos entonces deducir que |x + y| ≤ |x|+ |y| por la propiedadanterior poniendo a = |x|+ |y|.

6. Dados x, y ∈ R se cumple que ||x| − |y|| ≤ |x− y| (desigualdad triangular inversa).

Demostracion: observese que |x| = |x − y + y| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|, por lotanto |x| − |y| ≤ |x − y|. De la misma forma |y| = |y − x + x| ≤ |y − x| + |x| y por ello|y| − |x| ≤ |y − x| = |x − y| pues el valor absoluto de un numero y el de su opuesto son elmismo. Entonces

||x| − |y|| = max{|x| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x− y|pues cada uno de los dos elementos del conjunto donde tomamos el maximo es menor que|x− y| segun hemos demostrado antes.

7. Dados x, y ∈ R se cumple que |xy| = |x||y|.Demostracion. Ejercicio.

3. Representacion geometrica de los numeros naturales,

enteros y racionales.

Como ya comentamos al final de la seccion 1 podemos utilizar una recta para representargeometricamente los puntos de R. Para empezar colocamos en un lugar arbitrario el 0 y ahora ve-remos como vamos disponiendo los demas numeros. La colocacion se hace de modo que los numerospositivos quedan a la derecha del cero, y los negativos a la izquierda. Mas aun, la representacionsera tal que si x < y, al disponerlos sobre la recta, x debe estar situado a la izquierda de y.

Los numeros naturales se construyen a partir del elemento neutro del producto, el 1, mediantela reiteracion del proceso de sumar 1. Ası formamos los numeros 1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, etc.El conjunto formado por los numeros naturales se denota por N. La representacion de los numerosnaturales sobre la recta numerica es muy sencilla: el 1 se situa a la derecha del 0 puesto que 1 > 0,a una distancia arbitraria, y a partir de ahı se dibujan los demas numeros naturales conservandola misma escala.

Los numeros enteros son los numeros naturales, el 0, y los opuestos para la suma de los numerosnaturales. El conjunto de los numeros enteros es denotado por Z:

Z = {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

Los numeros enteros se disponen sobre la recta numerica de la forma evidente, poniendo los opuestosde los naturales a la izquierda del cero de forma simetrica, conservando la escala que hayamoselegido.

Los numeros naturales tienen unas propiedades especıficas notables. A continuacion vamos aenunciar las mas interesantes para nosotros:

1. Sea A un subconjunto de los numeros naturales. Pongamos que A cumple las dos siguientespropiedades: a) 1 ∈ A; b) si x ∈ A entonces x + 1 ∈ A. Entonces A = N. Esta propiedad sellama principio de induccion y se utiliza para la demostracion de formulas.

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2. Sea A un subconjunto de los numeros naturales. Pongamos que A cumple las dos siguientespropiedades: a) 1 ∈ A; b) si 1, 2, · · · , x ∈ A entonces x + 1 ∈ A. Entonces A = N. Estapropiedad se llama principio de induccion fuerte.

3. Si A es un subconjunto no vacıo de los numeros naturales entonces A tiene un primer ele-mento, esto es, existe x ∈ A tal que x ≤ y para todo y ∈ A.

4. El algoritmo de la division euclıdea: dados dos numeros naturales x < y, existe un numeronatural q y un numero entero r tales que y = qx+ r con 0 ≤ r < x.

5. Teorema de factorizacion en numeros primos: todo numero natural se expresa de forma unicacomo producto de numeros primos. Esto es, dado n ∈ N existen numeros primos p1, p2, · · · , pk

y numeros naturales n1, n2 · · · , nk tales que n = pn11 · · · p

nkk siendo la escritura unica salvo

ordenacion de los factores del producto.

No vamos a demostrar ninguna de ellas, pero podran ser utilizadas en todo lo que sigue con libertad.

Los numeros racionales son los numeros reales x que se pueden escribir de la forma x =m

n,

donde m ∈ Z y n ∈ N. El conjunto formado por los numeros racionales se denota Q.Obviamente se da la cadena de inclusiones siguiente: N ⊂ Z ⊂ Q, puesto que todo numero

entero m puede ser visto como un caso particular de numero racional: m = m/1. Para representarlos numeros racionales en la recta real es necesario utilizar el teorema de Tales. Este teoremaproporciona un metodo constructivo para dividir un segmento en una cantidad finita de partesiguales. El algoritmo para representar un numero racional x = m/n es el siguiente:

Dividimos el segmento que va desde el 0 hasta el 1 en n partes iguales utilizando el teoremade Tales. Cada uno de los subsegmentos representa una longitud igual a 1/n.

Si m > 0, yuxtaponemos hacia la derecha del 0 el subsegmento obtenido en el paso anteriorm veces. El punto que obtengamos al final es el que representa el numero m/n.

Si m < 0 yuxtaponemos hacia la izquierda del 0 el subsegmento obtenido en el paso primero|m| veces. El punto que obtengamos al final es el que representa el numero m/n. Otra formaalternativa serıa dibujar el numero −m/n y luego pintar el simetrico de este punto respectodel 0.

Mediante este procedimiento obtenemos una representacion de los numeros racionales como puntosde la recta numerica. Y este proceso es tal que la representacion hecha respeta el orden > definidosobre los numeros reales, en el sentido de que si x, y ∈ Q y x < y entonces x esta a la izquierda dey sobre la recta numerica.

Ya tenemos dibujados todos los numeros reales que son racionales. En este momento cabeplantearse la siguiente cuestion: ¿existen otros tipos de numeros reales que no son los racionales?;o de otro modo, ¿existe puntos en la recta numerica que no representan a ningun numero racional?

La respuesta es que sı. Concretamente, vamos a demostrar que

no existen numeros racionales r tales que r2 = 2.

existe un numero real x > 0 tal que x2 = 2.

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Con ello habremos demostrado que el conjunto de los numeros reales es estrictamente mayor queel de los racionales, puesto que al menos contiene un elemento mas. De hecho, como estudiaremosmas adelante, existen muchos numeros reales (la mayorıa de ellos), que no son racionales. Estosnumeros se llaman numeros irracionales y el conjunto formado por ellos se denota por I:

I = {x ∈ R : x /∈ Q}.

En esta seccion vamos a demostrar el primer punto, esto es, vamos a demostrar que no puedeexistir ningun racional r tal que r2 = 1. Dejaremos para secciones posteriores la demostracion delsegundo punto puesto que requiere de tecnicas mas avanzadas.

En el teorema que vamos a ver a continuacion utilizaremos la siguiente propiedad de los numerosracionales: si r es un numero racional, existen m ∈ Z y n ∈ N sin divisores comunes tales quer = m/n. Esta forma de escribir r se llama forma canonica y es unica. No vamos a demostrar estapropiedad aunque apuntamos que se deduce facilmente del teorema de factorizacion en numerosprimos.

Teorema 1. No existe ningun racional r tal que r2 = 2.

Demostracion. Por reduccion al absurdo. Supongase que existe un numero racional r de modo quer2 = 2. Como r es un racional debe ser un numero real de la forma r = m/n donde m ∈ Z y n ∈ Nson numeros que no tienen divisores comunes entre sı (forma canonica del numero racional r).

Como r2 = 2 tenemos quem2

n2= 2 y por ello m2 = 2n2. De aquı deducimos que m2 es un

numero par puesto que es multiplo de 2. Pero si m2 es un numero par entonces m tambien es unnumero par, digamos que m = 2m∗ para cierto m∗ ∈ N.

Sigamos con la demostracion. Como m = 2m∗ entonces m2 = 4m2∗ = 2n2 y de aquı que

n2 = 2m2∗. Pero entonces n2 es un numero par y por ello n tambien. Esto es una contradiccion

pues habıamos supuesto que m y n no tienen divisores comunes entre sı y hemos llegado a que 2es un divisor comun de ambos.

Terminamos esta seccion con la definicion de ciertos conjuntos de numeros reales fundamentales:los llamados intervalos o segmentos. Si a ≤ b entonces el conjunto de numeros {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}se llama segmento de la recta numerica o intervalo cerrado y se denota por [a, b]:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

En el caso lımite a = b el segmento es un punto. Si a < b entonces el conjunto {x ∈ R : a < x < b}se llama intervalo abierto y se denota por (a, b):

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

El intervalo abierto (a, b) se llama interior del segmento [a, b].Los conjuntos de la forma [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} y (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} se llaman

intervalos semiabiertos.En general todos los conjuntos anteriores se llaman intervalos. Los puntos a y b se llaman

extremos (izquierdo y derecho) y los puntos x ∈ R tales que a < x < b se llaman puntos interiores.La longitud del intervalo es b− a.

Dado un numero real x, y un numero real ε > 0, el ε-entorno de x es el intervalo abierto(x− ε, x+ ε). Un entorno de x es cualquier ε-entorno suyo.

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Proposicion 2. Dados dos puntos distintos x < y en la recta real, existen dos entornos de x e yque no se cortan entre sı.

Demostracion. Sea ε = (y− x)/2. Consideramos (x− ε, x+ ε) y (y− ε, y + ε), los ε-entornos de xe y. Para demostrar que estos entornos no se cortan basta demostrar que el extremo de la derechade (x− ε, x+ ε) es menor o igual al extremo de la izquierda de (y− ε, y+ ε), esto es, tenemos quedemostrar que x+ ε ≤ y − ε, o lo que es lo mismo 2ε ≤ y − x. Pero esto es claramente cierto conla eleccion de ε que hemos tomado.

4. El axioma de completitud. Supremos e ınfimos

El axioma de completitud, tambien llamado de continuidad, es de todos los axiomas de losnumeros reales el mas profundo. Los axiomas de cuerpo y de orden de los numeros reales nosdicen que R es un cuerpo ordenado. Pero Q tambien es un cuerpo ordenado, ası que estos axiomasno determinan por completo a los numeros reales: es el axioma de completitud el que marca ladiferencia entre Q y R.

En esta seccion introducimos una serie de conceptos que nos permiten enunciar el axioma decompletitud de una forma equivalente con el animo de poder entenderlo mejor.

Definicion 4.1. Sea A ⊂ R un subconjunto de numeros reales no vacıo. Diremos que A esta aco-tado superiormente si existe x ∈ R tal que a ≤ x para todo a ∈ A. El numero x es una cotasuperior del conjunto A. De forma similar se define acotado inferiormente y cota inferior. Dejocomo ejercicio la escritura del enunciado de estas dos definiciones completamente similares.

Los conjuntos no acotados superiormente se llaman no acotados superiormente y lo mismo paralos no acotados inferiormente.

Definicion 4.2. Sea A un conjunto no vacıo de numeros reales acotado superiormente. Diremosque α ∈ R es el supremo del conjunto A si es el mınimo de sus cotas superiores, esto es, α es elsupremo de A si cumple las dos propiedades siguientes:

1. α es una cota superior del conjunto A.

2. Si x es cualquier cota superior de A entonces α ≤ x.

El supremo del conjunto A acotado superiormente, si existe, sera denotado por α = supA.Ası que supA viene caracterizado por dos propiedades: a) es una cota superior del conjunto; b) esla menor de todas las cotas superiores.

Para los conjuntos no acotados superiormente se dice que el supremo es +∞. Esto es, si A esun conjunto no acotado superiormente entonces escribiremos supA = +∞.

Definicion 4.3. Sea A un conjunto no vacıo acotado inferiormente. Diremos que β ∈ R es elınfimo del conjunto A si es el maximo de sus cotas inferiores, esto es, β es el ınfimo de A si cumplelas dos propiedades siguientes:

1. β es una cota inferior del conjunto A.

2. Si x es cualquier cota inferior de A entonces x ≤ β.

11

El ınfimo del conjunto A acotado inferiormente, si existe, sera denotado por β = ınf A. Ası queınf A viene caracterizado por dos propiedades: a) es una cota inferior del conjunto; b) es la mayorde todas las cotas inferiores.

Para los conjuntos no acotados inferiormente se dice que el ınfimo es −∞. Esto es, si A es unconjunto no acotado inferiormente entonces escribiremos ınf A = −∞.

Teorema 3. Todo conjunto acotado superiormente no vacıo tiene supremo.

Demostracion. Sea A un conjunto no vacıo y acotado superiormente. Sea B el conjunto formadopor las cotas superiores del conjunto A, que es distinto del vacıo. El axioma de completitud implicala existencia de un numero real α tal que x ≤ α para todo x ∈ A (esto es, α es una cota superiorde A) y α ≤ x para todo x ∈ B (esto es, α es la menor de todas las cotas superiores de A). Quedademostrado que α = supA.

Obviamente existe un teorema analogo para la existencia del ınfimo. Dejo como ejercicio elenunciado y la demostracion del correspondiente teorema.

En realidad el axioma de completitud es equivalente a la existencia de supremo para conjuntosacotados superiormente o a la existencia del ınfimo para conjuntos acotados inferiormente. Esto es,podrıamos tomar como axioma que todo conjunto no vacıo acotado superiormente tiene supremo(o que todo conjunto no vacıo acotado inferiormente tiene ınfimo), y demostrar a partir de estehecho el axioma de completitud que enunciamos en la seccion 1. Son por lo tanto enunciadosequivalentes.

Teorema 4. Las dos siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El axioma de completitud.

2. Todo conjunto acotado superiormente no vacıo tiene supremo.

Demostracion. (1)⇒ (2) Ya lo hemos demostrado en el teorema 3.(2) ⇒ (1) Sean A y B dos conjuntos no vacıos de numeros reales tales que a ≤ b para todo

a ∈ A y para todo b ∈ B. Tenemos que demostrar que existe un numero real α tal que a ≤ α ≤ bpara todo a ∈ A y para todo b ∈ B. Obviamente A es un conjunto acotado superiormente y todoslos elementos de B son cotas superiores de A. Tomemos α = supA, que existe por (2). Es obvioque a ≤ α para toda a ∈ A (pues el supremo por definicion es una cota superior) y ademas α ≤ bpara todo b ∈ B (pues el supremo es el menor de todas las cotas superiores. Esto demuestra que(2) implica (1).

Es facil de imaginar que existe un teorema equivalente para el ınfimo. Dejo como ejercicio elenunciado y la demostracion del correspondiente teorema.

Para terminar la seccion estudiaremos el principio de los intervalos encajados de Cantor. Unacoleccion de intervalos cerrados [a1, b1], [a2, b2], · · · , [an, bn], · · · se llama sistema de intervalos en-cajados si [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ · · · . Esto es equivalente a que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ · · · ≤an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1.

Teorema 5. Para cualquier sistema de intervalos cerrados encajados existe al menos un numeroreal que pertenece a todos los intervalos del sistema, esto es, la interseccion de todos los intervalos∞⋂

n=1

[an, bn] es distinta del conjunto vacıo.

12

Demostracion. Sean A = {an : n ∈ N} y B = {bn : n ∈ N}. Por ser un sistema de intervalosencajados es claro que cualquier elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de B.En efecto, sea an un elemento de A y bm un elemento de B. Supongase que n < m. Entonces,[am, bm] ⊂ [an, bn] y en ese caso debe ocurrir que an ≤ am ≤ bm ≤ bn. Obviamente se obtiene quean ≤ bm. Si suponemos que n = m entonces es evidente que an ≤ bn. Por ultimo, si suponemos quen > m, entonces [an, bn] ⊂ [am, bm] y en ese caso debe ocurrir que am ≤ an ≤ bn ≤ bm. Tambien seobtiene que an ≤ bm.

El axioma de completitud nos dice que existe al menos un elemento α ∈ R tal que an ≤ α paratodo n ∈ N y tambien α ≤ bn para todo n ∈ N. De aquı se deduce que α ∈ [an, bn] para todo n ∈ N

y por ello α ∈∞⋂

n=1

[an, bn], luego la interseccion es distinta del conjunto vacıo.

Pero podemos demostrar mas cosas, podemos decir exactamente cuales son los elementos queestan en la interseccion. Observese que de lo anterior se deduce que existen supA y ınf B puestoque A esta acotado superiormente (por cualquier elemento de B) y B esta acotado inferiormente(por cualquier elemento de A). No solo eso, es claro que supA ≤ bn para cualquier n ∈ N, con loque supA es una cota inferior del conjunto B y por ello supA ≤ ınf B. Si ahora x es cualquiernumero real tal que supA ≤ x ≤ ınf B, se cumple lo siguiente: para todo numero natural n ∈ N,an ≤ supA ≤ x ≤ ınf B ≤ bn, por lo tanto x ∈ [an, bn] para todo numero natural n. Hemosdemostrado que:

[supA, ınf B] ⊂∞⋂

n=1

[an, bn].

Por otro lado, si x ∈∞⋂

n=1

[an, bn], entonces an ≤ x ≤ bn para todo n ∈ N y por ello x es una cota

superior de A y una cota inferior de B. De aquı deducimos que supA ≤ x ≤ ınf B y por lo tantox ∈ [supA, ınf B] con lo que hemos demostrado que

∞⋂n=1

[an, bn] ⊂ [supA, ınf B].

Uniendo los dos resultados

[supA, ınf B] =∞⋂

n=1

[an, bn].

5. La propiedad arquimediana y consecuencias

La propiedad arquimediana de los numeros reales consiste en lo siguiente:

Teorema 6. Los numeros naturales no estan acotados superiormente.

Demostracion. Supongase que N esta acotado superiormente. Entonces existe el supremo de N quedenotamos por α = sup N. Sea n cualquier numero natural; obviamente n + 1 ∈ N y por lo tanton + 1 ≤ α. Pero entonces n ≤ α − 1 para todo n ∈ N y esto quiere decir que α − 1 es una cotasuperior de N, lo cual es una contradiccion pues α− 1 < α.

13

Corolario 7. Sean 0 < x < y dos numeros reales positivos. Existe un numero natural n tal quenx > y.

Demostracion. Tomese el numero real y/x. Como N no esta acotado superiormente debe existirun natural n tal que n > (y/x). Si multiplicamos por x la desigualdad no cambia de sentido yqueda nx > y.

Corolario 8. Para todo numero real x existe un unico numero entero m que cumple m ≤ x < m+1.El numero m se llama parte entera de x y escribiremos m = [x].

Demostracion. Sea x ∈ R. Primero vamos a demostrar el teorema para los x ≥ 1. Por la propiedadarquimediana, el conjunto A = {n ∈ N : n > x} es un subconjunto de los numeros naturales novacıo y en consecuencia debe tener un primer elemento. Digamos que ese elemento es k; observeseque k ≥ 2. Sea m = k − 1. Es claro que m ∈ N (pues k ≥ 2) y que m /∈ A (pues k es elprimer elemento de A), por lo que m ≤ x < m + 1. Ademas m es unico. En efecto, supongaseque m ≤ x < m + 1 y que n ≤ x < n + 1, siendo m y n dos numeros naturales. Supongase quem > n (el otro caso es completamente similar). Entonces m − n ≤ x − n puesto que m ≤ x yx − n < (n + 1) − n) = 1 luego al final queda que m − n < 1 lo cual es imposible, puesto que lamenor distancia posible ente dos numeros naturales es 1.

Sea ahora x < 1. Tomemos un numero natural k lo suficientemente grande como para quex + k ≥ 1 (la existencia de k esta garantizada por la propiedad arquimediana). Si aplicamos elresultado ya demostrado, obtenemos la existencia de un unico m∗ ∈ N tal que m∗ ≤ x+k < m∗+1.Restando k en la desigualdad queda que m∗ − k ≤ x < m∗ − k + 1. Basta poner m = m∗ − k.

Corolario 9. Si x < y son dos numeros reales cualesquiera, existe un racional r tal que x < r < y.

Demostracion. Por la propiedad arquimediana, existe un numero natural n tal que 1 < n(y − x),por lo que (1/n) < y − x. Sea m = [nx], entonces se tiene que m ≤ nx < m + 1. Teniendo encuenta todo esto:

m

n≤ x <

m+ 1

n=m

n+

1

n≤ x+

1

n< x+ (y − x) = y.

Tomese entonces r = (m+ 1)/n.

En la seccion 3 demostramos que no existen numeros racionales r tales que r2 = 2 y quedo pen-diente la demostracion de que existen numeros reales x tales que x2 = 2. En el siguiente teoremademostraremos un resultado mucho mas general.

Teorema 10. Sea x ≥ 0. Para cada numero natural n existe uno y solo un numero y ≥ 0 tal que

yn = x

Este numero y se llama raiz n-esima de x y se denota por y = n√x = x1/n.

Demostracion. Observese que si 0 ≤ y1 < y2 entonces yn1 < yn

2 , por lo tanto, fijado x solo puedeexistir un y tal que yn = x. Hemos demostrado que de existir la raız n-esima es unica.

Si x = 0 el numero y = 0 es el unico cumple las condiciones exigidas. Por lo tanto podemossuponer que x > 0. Tenemos que demostrar que existe y > 0 (pues y = 0 no puede ser), tal queyn = x.

14

Sea A el subconjunto de numeros reales formados por aquellos η ∈ R, η > 0 y ηn < x. Elconjunto A es distinto del vacıo pues el numero η = (1/2) mın{1, x} esta en A ya que 0 < η, η < 1,luego ηn−1 < 1, y ademas η < x, luego ηn = ηn−1η < 1 · η < x.

Sea B el subconjunto de numeros reales formado por aquellos η ∈ R, η > 0, tales que ηn > x.Este conjunto tambien es distinto del vacıo pues η = 2 max{1, x} pertenece a el ya que ηn =ηn−1η > 1 · η = η ≥ x.

Cualquier elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de B. En efecto, si existieraun elemento de A, digamos α, mayor que algun elemento de B, digamos β, entonces

x < βn ≤ αn

con lo que α no estarıa en A. Ası que debe ocurrir que todos los elementos de A son menores oiguales que cualquiera de los elementos de B.

En virtud del axioma de completitud, existe un numero y tal que α ≤ y ≤ β para todo α ∈ Ay para todo β ∈ B. Vamos a demostrar que este y es tal que yn = x.

En virtud de la desigualdad de Bernoulli, dado cualquier 0 < h < 1 se tiene que

(1− h)n ≥ 1− nh.

Si 0 < h < (1/n) entonces 1− nh > 0 y podemos escribir

1

(1− h)n≤ 1

1− nh

multiplicando por yn > 0 queda(y

1− h

)n

=yn

(1− h)n≤ yn

1− nh.

Tambien se tendrıa que(y(1− h))n ≥ yn(1− hn).

Supongase que yn < x. Entonces tomando un numero h tal que

0 < h <1

n

(1− yn

x

)se tendrıa que 0 < h < (1/n), 1− nh > (yn/x) y por ello(

y

1− h

)n

≤ yn

1− nh<

yn

yn/x= x

de donde y/(1− h) estarıa en el conjunto A y a la vez serıa > y, lo cual es una contradiccion.Si fuese yn > x entonces, tomando un numero h tal que

0 < h <1

n

(1− x

yn

)queda que h < (1/n), 1− nh > (x/yn) y

(y(1− h))n ≥ yn(1− hn) > yn x

yn= x

de donde y(1 − h) estarıa en el conjunto B y a la vez serıa < y. Esto es una contradiccion. Soloqueda la posibilidad de que yn = x.

15

Corolario 11. Si x < y son dos numeros reales cualesquiera, existe un irracional t tal que x <t < y.

Demostracion. Sea r un numero racional tal que x < r < y. Por la propiedad arquimediana, existe

un numero natural n tal que

√2

n< y − r. Tomese t = r + (

√2/n). Entonces:

x < r < r +

√2

n< r + (y − r) = y.

6. Potencias y raıces

Si n ∈ N y x es cualquier numero real, se define la potencia xn como el producto de x consigomismo n veces. Por definicion x0 = 1. Si n ∈ Z es un numero negativo, y x es un numero real nonulo, se define xn del siguiente modo:

xn :=1

x−n= (1/x)−n.

Teorema 12. Sean n,m ∈ Z y x un numero real no nulo. Entonces

1. xm+n = xmxn.

2. (xm)n = xmn.

3. (xy)m = xmym.

4. (x/y)m = xm/ym.

No vamos a escribir la demostracion de este teorema. Apuntamos que hay que diferenciar casosen los apartados (1) y (2): a) m > 0 y n > 0; b) m < 0 y n > 0; c) m > 0 y n < 0; d) m < 0 yn < 0; los casos en que alguno de los dos es cero son muy faciles de demostrar. En los apartados(3) y (4) tambien se diferencian los casos m < 0 y m > 0.

Enunciamos las propiedades basicas de las raıces de numeros reales. En todas ellas suponemosque m y n son numeros naturales y x > 0. Recuerdese que x1/n es el (unico) numero real mayor oigual que cero tal que (x1/n)n = x.

Teorema 13. Sean m,n ∈ N y x, y numeros reales positivos.

1. (x1/n)1/m = x1/mn.

2. (xy)1/n = x1/ny1/n.

3. (x/y)1/n =x1/n

y1/n.

4. x1/n = (xm)1/mn.

5. (x1/n)m = (xm)1/n para todo m ∈ Z.

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Demostracion. (1) Sea b = (x1/n)1/m. Tenemos que demostrar que bmn = x. En primer lugarobservese que bm = x1/n, ası que

bmn = (bm)n = (x1/n)n = x.

(2) Tenemos que demostrar que (x1/ny1/n)n es igual a xy, pero es que esto es directo pues

(x1/ny1/n)n = (x1/n)n(y1/n)n = xy.

(3) Completamente similar al caso anterior.(4) Tenemos que demostrar que (x1/n)mn = xm. Y esto esta claro pues

(x1/n)mn = ((x1/n)n)m = xm.

(5) Tenemos que demostrar que ((x1/n)m)n = xm. Y eso esta claro pues

((x1/n)m)n = ((x1/n)n)m = xm.

Definimos ahora las potencias racionales. Sea x > 0 y r un numero racional cualquiera, es decir,r = m/n donde m ∈ Z y n ∈ N. Se define la potencia xr del siguiente modo:

xr = (xm)1/n.

La definicion es correcta, en el sentido de que no depende de la escritura de r:

Lema 14. Sean m, p ∈ Z y n, q ∈ N. Si m/n = p/q y x > 0 entonces

(xm)1/n = (xp)1/q

Demostracion. Supongase que m > 0 y por ello p > 0. Observese que en virtud del teoremaanterior:

(xm)1/n = (xmp)1/np = (xmp)1/mq = (xp)1/q.

En el caso m < 0 y por ello p < 0 tendrıamos

(xm)1/n = ((1/x)−m)1/n = ((1/x)−p)1/q = (xp)1/q.

Teorema 15. Sean x e y numeros reales positivos y sean r y s dos numeros racionales.

1. xr+s = xrxs.

2. (xr)s = xrs

3. (xy)r = xryr

4. (x/y)r = xr/yr.

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7. Complementos

7.1. Conjuntos finitos, numeros naturales y sucesiones

Un conjunto X tiene cardinal n ∈ N si existe una aplicacion biyectiva del conjunto X alconjunto {1, 2, · · · , n}.

Si para un conjunto existe algun numero natural n tal que X tiene cardinal n, diremos que esfinito. Cualquier conjunto que no sea finito se dice infinito.

El conjunto de los numeros naturales es un ejemplo de conjunto infinito puesto que no se puedeponer en correspondencia biyectiva con ningun conjunto de la forma {1, 2, · · · , n}.

Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de losnumeros naturales se dice que es infinito numerable. Resulta sorprendente comprobar que Z y Qson conjuntos infinitos numerables. Mas aun, Cantor demostro a finales del siglo XIX que R esun conjunto infinito no numerable, esto es, no puede ponerse en correspondencia biyectiva con elconjunto de los numeros naturales, lo cual quiere decir que el infinito de los numeros reales es masinfinito que el de los naturales. La prueba de Cantor se basa en un proceso de diagonalizacion muyutil que aprenderemos en el tema siguiente.

El conjunto vacıo, por definicion, se considera finito y su numero de elementos igual a cero.Sea X un conjunto cualquiera. Cualquier aplicacion f : N→ X se llama sucesion de elementos

del conjunto X. El elemento f(n) se denota por xn y se llama elemento n-esimo de la sucesion. Lasucesion f : N→ X se denota por (xn).

En realidad, cada elemento de la sucesion xn es un par ordenado, compuesto por el numero ny el elemento de X asociado a n, esto es, xn = (n, x). El conjunto de elementos de una sucesion essiempre infinito numerable, aunque elementos distintos de la sucesion pueden tener el mismo valor.Hay que distinguir por lo tanto entre la sucesion (la aplicacion f : N→ X) y los valores tomadospor la sucesion (la imagen de f , que es el conjunto {f(n) : n ∈ N}. Por ejemplo, la sucesionf : N→ R definida por f(n) = (−1)n tiene infinitos terminos, pero solo toma dos valores distintos:−1 y 1. El conjunto de valores que toma la sucesion puede ser incluso un conjunto finito. Un casoextremo serıa considerar la sucesion f(n) = a para todo n ∈ N, que asigna a cada numero naturalel mismo valor a ∈ X. Estas sucesion solo toma un valor, y se llama estacionaria o constante.

7.2. ¿Existen los numeros reales?

Reflexionemos un poco sobre la existencia de los numeros reales. ¿Existen realmente? ¿Puedenexistir otros conjuntos que tengan las mismas propiedades? Con nuestro modo de proceder laexistencia de los reales ha sido garantizada por axioma, y los axiomas son enunciados que no sedemuestran sino que se dan por validos, luego la respuesta de si existen o no los numeros realesesta en el aire. ¿Y la unicidad? Se puede demostrar (es un teorema) que basicamente solo existe unconjunto que verifique los axiomas de los numeros reales, esto es, solo existe un conjunto dotadode dos operaciones que sea cuerpo ordenado y completo.

Teorema 16. Sean (R,+, ·, <) y (R′,+, ·, <′) dos cuerpos totalmente ordenados y completos. En-tonces existe una biyeccion Φ : R→ R′ que conserva la suma, el producto y el orden. La aplicacionΦ es un isomorfismo de cuerpos que identifica las dos estructuras.

La cuestion de la unicidad queda zanjada con este teorema. La respuesta a la existencia estambien positiva: es posible construir un conjunto que cumple todos los axiomas. Pero, ojo, comotoda construccion matematica (que es ciencia deductiva), la construccion se asienta sobre otros

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axiomas. Ası que cuando nos referimos a que es demostrable la existencia del conjunto de losnumeros reales, lo que queremos decir es que su existencia se deduce por razonamiento logico apartir de unos axiomas mas elementales. La labor de fijar los axiomas elementales, base de todo eledificio matematico, es la labor de estudio de la Logica y Fundamentos de la Matematica.

La existencia de los reales se basa en los axiomas relativos a la existencia de los numerosnaturales. A partir de los naturales se construye de forma explıcita el anillo de los enteros y elcuerpo de los racionales. Existen dos metodos clasicos de construccion de los reales a partir de losracionales: uno debido a Dedekind (principio de las cortaduras) y otro debido a Cantor (sucesionesde Cauchy).

7.3. Algunas nociones de topologıa

Sea A un conjunto de numeros reales. Un punto x perteneciente al conjunto A se dice interiorsi existe un numero real δ > 0 tal que el δ-entorno abierto (x − δ, x + δ) esta completamentecontenido en el conjunto A. Si todos los puntos de A son interiores diremos que A es un conjuntoabierto. En general, el conjunto formado por todos los puntos abiertos de A se llama interior deA, y se nota por int(A).

Teorema 17. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos.

Demostracion. Sea I = (a, b) un intervalo abierto, con a < b. Tenemos que probar que todos lospuntos de I son interiores. Sea x un punto cualquiera de I. Por definicion a < x < b. Sea δ elmınimo entre (x − a)/2 y (b − x)/2. Entonces el entorno abierto (x − δ, x + δ) esta contenido enI. En efecto, observese que

a ≤ a+ x

2= x− x− a

2≤ x− δ < x+ δ ≤ x+

b− x2

=x+ b

2≤ b,

por tanto (x− δ, x+ δ) ⊂ I. Esto prueba que x es interior.

Un conjunto de numeros reales C se llama cerrado si su complemento R \ C es un conjuntoabierto.

Sea A un conjunto de numeros reales y x ∈ R un numero cualquiera. Se dice que x es un puntode acumulacion del conjunto A si cumple que para todo ε > 0 el ε- entorno abierto perforado(x− ε, x+ ε) \ {x} corta al conjunto A en algun punto. El conjunto formado por todos los puntosde acumulacion de A se llama derivado de A y se denota por A′.

Teorema 18. Un conjunto es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulacion.

Demostracion. Demostremos en primer lugar que un conjunto cerrado contiene a todos sus puntosde acumulacion. Sea pues F un conjunto cerrado y x un punto de acumulacion de F . Supongaseque x no pertene a F ; entonces pertenece a su complemento R \ F . Como F por hipotesis escerrado, su complemento es un conjunto abierto. Como x ∈ R \ F , x es un punto interior y debeexistir algun δ > 0 tal que (x−δ, x+δ) ⊂ R\F . Pero esto quiere decir en particular que el entornoabierto (x − δ, x + δ) no corta al conjunto F , lo cual contradice que x sea punto de acumulacionde F . Hemos demostrado por reduccion al absurdo que x pertenece a F .

Recıprocamente, supongase que F contiene a todos sus puntos de acumulacion y tratemos deprobar que es cerrado, esto es, que su complemento es abierto. Sea x cualquier punto de R \ F .Como x no esta en F , no es un punto de acumulacion, por ello debe existir algun ε > 0 tal queel entorno perforado (x− ε, x+ ε) \ {x} no corta a F . Esto quiere decir que el entorno perforado

19

esta contenido en R \ F , y por tanto todo el entorno (x− ε, x+ ε) pues x tambien esta en R \ F .Esto demuestra que x es interior a R \ F , y como el razonamiento es valido para cualquier puntox del conjunto sigue que R \ F es abierto.

Teorema 19. Los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.

Demostracion. Ejercicio.

Diremos que un conjunto es compacto si es a la vez cerrado y acotado (superior e inferior-mente).

7.4. La recta numerica extendida

A menudo es comodo completar el conjunto R de los numeros reales con dos puntos mas quese denotan −∞ y +∞, que se llaman respectivamente menos infinito y mas infinito. Cumplen lassiguientes reglas:

−∞ < +∞.

(+∞) + (+∞) = +∞

(−∞) + (−∞) = −∞

(+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞.

(+∞)(−∞) = (−∞)(+∞) = −∞.

Pero, por ejemplo, no estan definidas las operaciones (+∞) + (−∞) o (+∞)/(+∞) Tambiencumplen las siguientes reglas:

−∞ < x < +∞ para todo numero real x.

x+ (+∞) = +∞ para todo numero real x.

x+ (−∞) = −∞ para todo numero real x.

x(+∞) = (+∞)x = +∞ para todo x > 0.

x(−∞) = (−∞)x = −∞ para todo x > 0.

x(+∞) = (+∞)x = −∞ para todo x < 0.

x(−∞) = (−∞)x = +∞ para todo x < 0.

Los elementos +∞ y −∞ se llaman a veces numeros infinitos a diferencia de los numeros realesx que se llaman numeros finitos. En todo lo que sigue si decimos numero, sin precisar, entenderemosque nos estamos refiriendo a un numero finito.

El conjunto R completado con los elementos +∞ y −∞ se llama conjunto extendido de losnumeros reales. Los elementos +∞ y −∞ se llaman a veces puntos infinitamente alejados en larecta numerica (a derecha o a izquierda, respectivamente).

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8. Hoja de problemas

1. Dıgase si puede ser racional:

a) La suma de un racional con un irracional.

b) El opuesto o el inverso de un numero irracional.

c) La suma o producto de numeros racionales.

d) El producto de un racional con un irracional.

e)ax+ b

cx+ ddonde a, b, c, d son numeros enteros, c 6= 0 y x un numero irracional.

2. Demuestre que (x+ y)2 = x2 + y2 solamente cuando x = 0 o y = 0.

3. ¿Cuando es cierto que (x+ y)3 = x3 + y3?

4. Dıgase si son ciertas las siguientes afirmaciones:

a) |x| < 3⇒ x < 3.

b) x < 3⇒ |x| < 3.

c) |x− 4| < 3⇔ 1 < x < 7.

d) |1 + 3x| ≤ 1⇒ x ≥ (−2)/3.

e) No existe ningun numero real x tal que |x− 1| = |x− 2|.

5. Descrıbase el conjunto de numeros reales que cumplen las condiciones siguientes:

a) |3x+ 5| < 2; |4x+ 3| > 7; |4− (1/x)| < 1.

b)|x− 1||x+ 1|

= 1; |2x− 1| ≤ |x+ 2|; |x− 2|+ |x− 1| = 2.

c) |x| = x+ 5; |x| = x− 5; | − 5x+ 1| ≤ 1.

6. Descrıbase el conjunto de numeros reales que cumplen las condiciones siguientes:

a) x2 − 5|x|+ 6 = 0.

b) |x2 − 1| ≥ 1.

c) |x2 − 8x+ 15| > x2 − 8x+ 15.

7. Determine un irracional x tal que −1/3 < x < −1/4.

8. Determine todos los x ∈ R tales que |2− x| < 0,75.

9. Sabiendo que 10−5 ≤ x ≤ 2 · 10−5 y que 9999 ≤ y < 10000 acotese el numero −y/x.

10. Pruebe que si x ∈ [2, 5] entonces 1/(2x+ 1) ∈ [1/11, 1/5].

11. Dıgase si son ciertas o no las siguientes formulas para todo numero real: x ≤ x3, x ≤ 2x,|x| ≤ x2, x ≤ |x|, 1 + |x| ≤ (1 + |x|)2.

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12. Dıgase si son ciertas o no las siguientes formulas para todo 0 < x < 1: x ≤√x, x < 1/x,

1/x2 < 1/√x, x3 < x2.

13. Elige la respuesta correcta: x2 < 9 si y solo si: a) x < 3; b) x < 3 y x < −3; c) |x| < 3; d)x < 3 o x < −3.

14. Determınese el conjunto de numeros reales que satisfacen: a) 2x−3 ≥ 5x−2; b) 3x2−7x < 0;c) (x− 7)2 ≥ 25; d) 4 < x2 < 9.

15. Expresa |x| − |x|2 prescindiendo del valor absoluto, tratando por separado distintos casoscuando sea necesario.

16. Demuestrense las siguientes formulas:

a) max{x, y} =x+ y

2+|x− y|

2.

b) mın{x, y} =x+ y

2− |x− y|

2.

c) |x+ y| = |x|+ |y| si y solo si xy ≥ 0.

d) |x− y| = |x| − |y| si y solo si xy ≥ 0, |x| ≥ |y|.

17. Sean a y b dos numeros reales tales que a ≤ b+ ε para todo ε > 0. Pruebese que a ≤ b.

18. Demuestrense las siguientes formulas:

a) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + · · ·+ n)2.

19. Demuestre la siguiente formula: si x 6= 1 entonces

n∑k=1

xk =x− xn+1

1− x.

20. Demuestra que (n+ 1

k

)=

(n

k − 1

)+

(n

k

).

21. Demuestre la formula del binomio de Newton: para todo par de numeros reales x, y y paratodo numero natural n se cumple que

(x+ y)n =n∑

k=0

(n

k

)xkyn−k.

22. Demuestre la desigualdad de Bernoulli: si x > −1 y n ∈ N entonces (1 + x)n ≥ 1 + nx.

23. Determine el supremo y el ınfimo de los siguientes conjuntos:

(a) {x ∈ R : |x+ 3|+ |x− 3| < 8}; (b) {x ∈ R : |x− 5| < |x− 1|}.

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24. Sean A y B subconjuntos acotados de R. Demuestre los siguientes resultados:

a) ınf A = − sup(−A).

b) sup(A ∪B) = max{supA, supB}.c) ınf(A ∪B) = mın{ınf A, ınf B}.d) supC = supA+ supB donde C = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}.e) max{ınf A, ınf B} ≤ ınf(A ∩B) ≤ sup(A ∩B) ≤ mın{supA, supB}. Ponga un ejemplo

donde las desigualdades sean estrictas.

25. Sean x < y dos numeros reales.

a) Demuestre que si 0 < t < 1 entonces x < tx+ (1− t)y < y.

b) Demuestre que si x < r < y, entonces existe 0 < t < 1 tal que r = tx+ (1− t)y.

26. Calcule la interseccion del sistema de intervalos cerrados encajados [an, bn] = [0, 1/n], conn ∈ N. Lo mismo para el sistema de intervalos encajados abiertos (an, bn) = (0, 1/n).

27. Demuestre que si 0 < a < b entonces

a <√ab <

a+ b

2< b

28. Demuestre que√n es un numero racional si y solo si n es un cuadrado perfecto.

29. Sea an =1001n

n!. Utiliza Mathematica para determinar el supremo y el ınfimo del conjunto

A = {an : n ∈ N}.

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