Tema 1 Herramientas Matematicas.ppt

7/24/2019 Tema 1 Herramientas Matematicas.ppt

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Tema 1:


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Vectores

Defnicin de vector3-dMdulo de unvectorVectores unitariosSuma vectorial

Producto por unescalarProducto escalarBase OrtonormalProducto vectorialDerivadas

Concepto dederivadaTala dederivadasDerivada de unvector

!nte"rales

Concepto deinte"ral!nte"ral defnidaTala de

inte"rales!nte ral de un


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# $a% & a' & a()

B $% & ' &()

Vector e*uipolente:vectores con i"ual direccin

sentido ' mdulo+

Vector lire: Con,unto deinfnitos vectores

e*uipolentes a uno dado+

Vector: Par ordenado #B
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/software-images-wal-geo/software/puntos3D.html


4/56

Caractersticas deun Vector:

Direccin: .ectaen la *ue est/inscrito$' paralelas)+Sentido: Cadadirecc+ dos

sentidos+ Punta de0eca+Mdulo:Distancia delvector en lasmismas unidades+

C/lculo del mdulode un Vector:


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-1

%

'

(

2,emplo: Calcula elmdulo del vector v

$-3& 4& -1)

4

74,314)1(2)3( 222 ==++=v

2,emplos 5sicos:C262.!D#D $v)

!7T27S!D#D D2 6#8.#V2D#D $")

-

3


6/56

P.OP!2D#D2S D26M9D6O

2s defnido positivo

0v

4

2scalar con unidadesi"uales a las del

vector

IRv

1

2l vector elementoneutro tiene mdulo

neutro

)0,0,0(0 == vvSi

3


7/56

r

Defnicin: 2s unvector de mdulo 1

tilidad: 2n 5sicase utili(an para

marcar direccionessin a;ectar al

mdulo

%

'

(

C/lculo de unitario:

v

vuv =

v

vu v

1 =vu


8/56

%

'

(

r

v

2,emplo: )

2n primer lu"ar secalcula el mdulo

de v

C/lculo de unitario:

)8.0,0,6.0(5

)4,0,3( =

==

v

vuv

vu

525)4(0)3( 222

==++=v


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2,emplo 5sico:6e' de

8ravitacinniversal

Campo el?ctrico

rg u

r

GMmF

2=

6os vectores en5sica se suelen

e%presar:

xuxx =

%

'

( x

xu

r

2s decir:Sentido

Mdulo ointensidad

Direccin

rur

KQE

2=


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Defnicin: Sean losvectores a$a%& a'&a() ' b$%& '& ()

.e"la delparalelo"ramo

2l vector suma $oresultante)

a+b$a%@%& a'@'&a(@()


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P.OP!2D#D2S D2 6#SM# V2CTO.!#6

Propiedadconmutativa

vwwv +=+1

2l mdulo de la sumano es i"ual a la suma

de los mdulos

vuwu ++

3

2lemento neutro4 vv =+ 0


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2,emplos 5sicos:52.A# .2S6T#7T2

(R)C#MPO

8.#V!T#TO.!O.2S6T#7T2 (g)

2,emplo: Calcula laresultante de los

vectores v $-3& 4&-1) ' w $4& 4& -4)Compruea *ue el

mdulo de la suma esmenor *ue la sumade los mdulos

==

n

i

iFR1

==

n

i iT

gg1

10,526)3(4)1(

46,312)2(22

74,314)1(2)3(

222

222

222

==++=+

==++=

==++=

wv

w

v

)3,4,1(

)21,22,23(

==++=+wv


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v

vk

Defnicin: Sean elvector v$v%& v'&

v() ' el escalar

2l producto de por vv $v%& v'& v() $v%&

v'& v()

%

'

(

Para 1

Para =

2,emplo 5sico:Momento 6ineal

5uer(a$4E le' 7eFton)

amF=

vmp=


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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTO PO. 7

2SC#6#. camia el sentido

0kSi

4

6a direccin del vectorresultante no camia

vkv

1

2l mdulo tami?n semultiplica veces

vkvk =

3


15/56

Defnicin: Con,untode 3 vectores

unitarios i&j&k&orto"onales entre s& a

partir de los cuales&

puede escriirsecual*uier vector como

una cominacinlineal de ellos+

)1,0,0(

)0,1,0(

)0,0,1(

=

=

=

k

j

i

),,(),0,0()0,,0()0,0,(

)1,0,0()0,1,0()0,0,1(

zyxzyx

zyxkzjyixv

=++=

=++=++=


16/56

Defnicin: Sean losvectores a$a%& a'&a() ' b$%& '& ()

!nterpretacin"eom?trica

Pro'eccin de asore b

cosaa =

Permite calcular lacomponente de un

vector en una

direccin

Vectoresperpendiculares &producto escalar

nulo

2l producto escalar:


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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTO 2SC#6#.

Propiedad conmutativavwwv =1

Propiedad distriutiva4 uvwvuwv +=+ )(

Propiedad distriutiva

$escalar)

3 wkvwvkwvk == )(

> 02 = vvv


18/56

T2O.2M# D26P.ODCTO 2SC#6#.

zzyyxx wvwvwvwv ++=

D2MOST.#C!97

$lneas maestras)1

0;0

0;0

0;0

===

==

==

==

kkjjii

kiik

jkkj

ijji


19/56

#P6!C#C!97 D26T2O.2M# D26

P.ODCTO 2SC#6#. yyyyxx wvwvwvwv ++=

Calcular el /n"ulo *ue;orman dos vectores

entre s wvwv =cos

2,emplo: Calcula el/n"ulo *ue ;orman los

vectoresv $-3& 4& -1) ' w $4&

4& -4)

( ) ( ) ( ) 0212223 =++=wv

27090

046,374,3

0cos

wv

wv

=

==

=


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2,emplo 5sico:Traa,o

ES UN ESC!R"

rFW =

cosrFW =rF


21/56

Defnicin: Sean losvectores u$u%& u'&u() ' v$v%& v'& v()

2l vectorproductovectorial tiene las

si"uientescaractersticas

Mdulo#senvuvu

=

Direccin#Perpendicular al plano

*ue ;orman u'v

Sentido#Gueda determinado por la

re"la de la manoi(*uierda

vuvu =


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P.OP!2D#D2S D26P.ODCTOV2CTO.!#6

Propiedadanticonmutativa

vwwv =1

Propiedad distriutiva4 uvwvuwv +=+ )(

Propiedad distriutiva

$escalar)

3 wkvwvkwvk == )(

Vectores paralelos> 00 == vkvvv


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T2O.2M# D26P.ODCTOV2CTO.!#6

D2MOST.#C!97

(lneas maestras)

0

;

;

;

===

==

==

==

kkjjii

jkijik

ijkikj

kijkji

Nece$ita%o$ una regla de

c&lculo"H


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.286# D2 CI6C6OD26P.ODCTOV2CTO.!#6

==

zyx

zyx

www

vvv

kji

wv


25/56

Paso 1: Se duplican lasdos primeras flas

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

==


26/56

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

==

kwvjwviwv yxxzzy ++

Paso 4: 6os ;actores deestas dia"onales son

positivos


27/56

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

==

kwvjwviwv yxxzzy ++

Paso 4: 6os ;actores deestas dia"onales son

ne"ativos

kwvjwviwv xyzxyz


28/56

==

zyx

zyx

www

vvv

kji

wv

kwvjwviwv yxxzzy ++

kwvjwviwv xyzxyz

Paso 3: Se suman los;actores comunes

No 'ace alta arender lar%ula de %e%oria* $olo

calcular"H


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2J2.C!C!O D2 CI6C6OP.ODCTOV2CTO.!#6

=

=

+=

+=

231

523

23

523

kji

wv

kjiw

kjiv

kji 954 ( ) ( )kji 26)15(


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2,emplos 5sicos:Momento de la

5uer(a $M)Momento an"ular

o cin?tico $!)

FrM =

prL =


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2,emplos 5sicos:Momento de la

5uer(a $M)Momento an"ular

o cin?tico $!)

prL =


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Tasa de VariacinMedia $,M)

7os indica camiosde ;unciones

x

xfTM

= )(


33/56

Derivada:7os indica camios

instant/neos de;unciones

!x

x!ff

)(=


34/56



!x

x!ff

)(=


35/56



!x

x!ff

)(=


36/56



!x

x!ff

)(=


37/56

xsen!x

x!e!x!e

x!x

senx!nx

!x

!x

x!x

x!

!x

!k

x

x

nn

==

==

==

cos

cos

1ln0

1

Tala de derivadasnecesaria para 5sica

de 4KBT


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P.OP!2D#D2S D2 6#SD2.!V#D#S

Derivada de la suma

"gfx"xgxf +=+= )()()(1

Derivada del producto de una poruna ;uncin

gkfxgkxf == )()(4

Derivada de la ;uncin producto

"g"gfx"xgxf +== )()()(3

Derivada de la ;uncin cociente

2 )()()(

""g"gf

x"xgxf

==>

.e"la de la cadena

""gfx"gxf == )())(()( L


39/56

6a derivada de un vectores la derivada de unasuma& por lo *ue se

deriva componente acomponente

( )

),,()(

)(

)(

)()()()(

zyxk!#

#!zj

!#

#!yi

!#

#!x

k#zj#yi#x!#

!

!#

#r!

=++

=++=


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2,emplos 5sicos:Velocidadinstant/nea$vdrdt)

#celeracininstant/nea

$advdt)

2

2)()(

)(

!#

#r!

!#

#v!a

!#

#r!v

==

=


41/56

5$%) es unaprimitiva de ;$%) si

se cumple *ue: )(

)(xf

!x

x!F=

n e,emplo:2ncuentra laprimitiva de la

;uncin ;$%)4%-L%4

kxxxFxxxf +== 32235)(52)(


42/56

#l con,unto de todaslas primitivas de una

;uncin ;$%) se lellama inte"ral

indefnida

+= kxF!xxf )()(

Derivacin

!nte"racin

)(xf

)(xf


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kx!xx

ke!xenk

n

x!xx

kx!xxsenk$x!x$

kxsen!xxk!x

xxn

n

+=

+=++

=

+=+=

+==

+

ln1

1;

1

cos

cos0

1

Tala de inte"ralesnecesaria para 5sica

de 4KBT


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P.OP!2D#D2S D2 6#S!7T28.#62S

6a inte"ral de la suma es la suma deinte"rales

4 [ ] +=+ !xxg!xxf!xxgxf )()()()(

6a inte"ral de C veces la ;uncin es C vecesla inte"ral

1 = !xxf$!xxf$ )()(


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T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


46/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


47/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


48/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


49/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


50/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


51/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


52/56

T2O.2M# D2 B#..ON =%

aaF%F!xxf )()()(


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n e,emplo:2ncuentra lainte"ral de la

;uncin ;$%)4%-L%4entre los lmites

%3 ' %L

5

3

2)52( !xxx

5

3

32

3

5xx =

= 3232 3

3535

355 ( ) 3,147

3

44236

3

550==

=


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6a inte"ral de un vectores la inte"ral de unasuma& por lo *ue se

inte"ra componente acomponente

( )

=++

=++=

!#k#v!#j#v!#i#v

!#k#vj#vi#v!#v

zyx

zyx

)()()(

)()()(

k#r!#v += )(


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-.b/'01

2,emplo 5sico:Traa,o de una

;uer(a noconstante

= %

ar!FW

ikxF = k!zj!yi!xr! ++=

&k

kx!xkxr!ikxW2

25

2

1)(

5

0

25

0

5

0====

2(N)

3(%)

4

4k


56/56

ttp:iescastelar+,untae%tremadura+netvectores3dvectores3d+tml

www5low67roble$5co%089:;

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