Tema 1: Geometr a, Algebra y Algoritmos...Tema 1: Geometr a, Algebra y Algoritmos Miguel Angel...

Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Febrero de 2018

Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 1: Geometrıa, Algebra y Algoritmos Febrero de 2018 1 / 64

Contenido

1 Polinomios y espacio afın

2 Variedades afines

3 Ideales

4 Parametrizacion de variedades afines

5 Polinomios en una variable


Polinomios y espacio afın

Monomio

Definicion (Definicion 1.1)

Un monomio en x1, . . . , xn es un producto de la forma

xα11 · x

α22 · · · x

αnn ,

donde todos los exponentes α1, . . . , αn son enteros no negativos. El gradototal de este monomio es la suma α1 + · · ·+ αn.



Monomio

Simplificaremos la notacion para los monomios de la siguiente forma: seaα = (α1, . . . , αn) una n-upla de enteros no negativos. Entoncesescribiremos

xα = xα11 · x

α22 · · · x

αnn .

Cuando α = (0, . . . , 0) pondremos xα = 1. Por ultimo |α| = α1 + · · ·+ αn

denotara el grado total del monomio xα.



Polinomio


Un polinomio f en x1, . . . , xn con coeficientes en un cuerpo k es unacombinacion lineal (con coeficientes en k) de monomios. Escribiremos unpolinomio f en la forma

f =∑α

aαxα, aα ∈ k ,

donde la suma es sobre un numero finito de n-uplas α = (α1, . . . , αn). Elconjunto de todos los polinomios en x1, . . . , xn con coeficientes en k sedenota k[x1, . . . , xn].



Polinomio

Cuando trabajemos con polinomios en un pequeno numero de variablesnormalmente prescindiremos de los subındices. Ası, los polinomios en una,dos y tres variables estan en k[x ], k[x , y ] y k[x , y , z ] respectivamente.



Polinomio

Usaremos la siguiente terminologıa:


Sea f =∑

α aαxα un polinomio de k[x1, . . . , xn].

(i) Llamamos a cada aα el coeficiente del monomio xα.

(ii) Si aα 6= 0, diremos que aαxα es un termino de f .

(iii) El grado total de f 6= 0, denotado deg(f ), es el maximo |α| tal que elcoeficiente aα es no nulo. El grado total del polinomio nulo esindefinido.



Anillo de polinomios

El conjunto k[x1, . . . , xn] es un anillo con la suma y el producto depolinomios.Diremos que un polinomio f divide a un polinomio g si existe otropolinomio h tal que g = fh.



Espacio afın


Dados un cuerpo k y un entero positivo n, definimos el espacio afınn-dimensional sobre k al conjunto

kn = {(a1, . . . , an) | a1, . . . , an ∈ k}.

En general, llamaremos recta afın a k1 = k y plano afın a k2.



Polinomios y funciones

La forma de relacionar los polinomios con los espacios afines es lasiguiente: considerar un polinomio f =

∑α aαx

α ∈ k[x1, . . . , xn] como unafuncion f : kn → k que a cada (a1, . . . , an) ∈ kn le asocia el elementof (a1, . . . , an) ∈ k que se obtiene al sustituir cada xi por ai en el polinomio.



¿Es f = 0?

Esta naturaleza dual de los polinomios tiene inesperadas consecuencias.Por ejemplo, la pregunta “¿Es f = 0?” tiene dos posibles interpretacionessegun consideremos f como un polinomio o como una funcion.Podemos interpretar la pregunta como “¿es f el polinomio nulo?”, en cuyocaso nos preguntamos si cada coeficiente aα de f es nulo. O bien podemosinterpretarla como “¿¿es f la funcion cero?”, es decir, si f (a1, . . . , an) = 0para todo (a1, . . . , an) ∈ kn.

Si embargo, ambas cuestiones no son equivalentes, como veremos en elsiguiente ejemplo.



¿Es f = 0?

Consideremos el cuerpo de dos elementos F2 = {0, 1}, tal que 1 + 1 = 0.Consideremos el polinomio f = x2 + x ∈ F2, que evidentemente no es elpolinomio nulo.Sin embargo, f : F2 → F2 es la funcion cero, pues f (0) = 0 yf (1) = 1 + 1 = 0.

Esto no ocurre si el cuerpo k es infinito.



¿Es f = 0?

Proposicion (Proposicion 1.5)

Sea k un cuerpo infinito y sea f ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces f = 0 si y solosi f : kn → k es la funcion cero.

Corolario (Corolario 1.6)

Sea k un cuerpo infinito y sean f , g ∈ k[x1, . . . , xn]. Entonces f = g enk[x1, . . . xn] si y solo si f : kn → k y g : kn → k son la misma funcion.



El teorema fundamental de Algebra

Recordemos una propiedad especial de los polinomios sobre C.

Teorema (Teorema 1.7)

Todo polinomio no constante f ∈ C[x ] tiene una raız en C.


Variedades afines

Variead afın


Sea k un cuerpo y sean f1, . . . , fs polinomios de k[x1, . . . , xn]. Entoncespongamos

V(f1, . . . , fs) = {(a1, . . . , an) ∈ kn | fi (a1, . . . , an) = 0 ∀1 ≤ i ≤ s}.

Diremos que V(f1, . . . , fs) es la variedad afın definida por f1, . . . , fs .

Es decir, una variedad afın V(f1, . . . , fs) ⊂ kn es el conjunto de todas lassoluciones del sistema de ecuacionesf1(x1, . . . , xn) = · · · = fs(x1, . . . , xn) = 0.Usaremos las letras V ,W , . . . para denotar variedades afines.


Variedades afines

V(x2 + y 2 − 1)

Veremos a continuacion varios ejemplos de variedades afines en R2 y R3.La variedad V(x2 + y2 − 1) es el cırculo de radio 1 centrado en el origen:

Las secciones conicas estudiadas en otros cursos son variedades afines.


Variedades afines

Grafos de funciones

El grafo de una funcion polinomica y = f (x) es V(y − f (x)). Aunque noes obvio, los grafos de las funciones racionales son variedades afines. Porejemplo, el grafo de y = x3−1

x :

es la variedad afın V(xy − x3 + 1).


Variedades afines

Paraboloide de revolucion

V(z − x2 − y2)


Variedades afines

Cono

V(z2 − x2 − y2)


Variedades afines

V(x2 − y 2z2 + z3)

V(x2 − y2z2 + z3)


Variedades afines

Cubica alabeada

V(y − x2, z − x3)


Variedades afines

V(xz , yz)

V(xz , yz)


Variedades afines

Union e intersecccion de variedades

Lema (Lema 2.2)

Si V ,W ⊂ kn son variedades afines, entonces tambien lo son V ∪W yV ∩W .

El lema anterior implica que las interesecciones y uniones de un numerofinito de variedades afines son tambien variedades afines.

En el ejemplo anterior V(xz , yz) = V(z) ∪ V(x , y).


Variedades afines

Algunas cuestiones

Los ejemplos vistos en est seccion nos inducen algunas cuestionesinteresantes sobre variedades afines. Sean f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn],entonces:

(Consistencia) ¿Podemos determinar si V(f1, . . . , fs) 6= ∅?(Finitud) ¿Podemos determinar si V(f1, . . . , fs) es finito? En casoafirmativo ¿podemos encontrar las soluciones explıcitamente?

(Dimension) ¿Podemos determinar la “dimension” de V(f1, . . . , fs)?


Ideales

Ideales


Un subconjunto I ⊂ k[x1, . . . , xn] es un ideal de si satisface:

(i) 0 ∈ I .

(ii) Si f , g ∈ I entonces f + g ∈ I .

(iii) Si f ∈ I y h ∈ k[x1, . . . , xn] entonces hf ∈ I .


Ideales

Ideal generado


Sean f1, . . . , fs polinomios de k[x1, . . . , xn]. Consideremos

〈f1, . . . , fs〉 =

{s∑

i=1

hi fi

∣∣∣∣∣ h1, . . . , hs ∈ k[x1, . . . , xn]

}.

Lema (Lema 4.3)

Si f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn] entonces 〈f1, . . . , fs〉 es un ideal dek[x1, . . . , xn]. Diremos que 〈f1, . . . , fs〉 es el ideal generado por f1, . . . , fs .


Ideales

Ideales finitamente generados

Decimos que un ideal I es finitamente generado si existenf1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . , xn] tales que I = 〈f1, . . . , fs〉. Decimos entonces quef1, . . . , fs es una base de I .Veremos mas adelante que todo ideal de k[x1, . . . , xn] es finitamentegenerado (Teorema de la base de Hilbert).


Si f1, . . . , fs y g1, . . . , gt son bases del mismo ideal en k[x1, . . . , xn], esdecir, 〈f1, . . . , fs〉 = 〈g1, . . . , gt〉, entonces se tieneV(f1, . . . , fs) = V(g1, . . . , gt).


Ideales

Ideal de una variedad


Sea V ⊂ kn una variedad afın. Consideremos

I(V ) = {f ∈ k[x1, . . . , xn] | f (a1, . . . , an) = 0 ∀(a1, . . . , an) ∈ V }.

Lema (Lema 4.6)

Si V ⊂ kn es una variedad afın, entonces I(V ) ⊂ k[x1, . . . xn] es un ideal.Diremos que I(V ) es el ideal de V .


Ideales

Ideal de una variedad. Ejemplos

Ejemplo

- I({(0, 0)}) = 〈x , y〉.- Si k es infinito I(kn) = {0}.- Si V = V(y − x2, z − x3) es la cubica alabeada entonces

I(V ) = 〈y − x2, z − x3〉.


Ideales

Algunas propiedades

Observacion

Se verifican las siguientes propiedades elementales:

- Sean S y S ′ subconjuntos de k[x1, . . . xn]. Entonces S ⊂ S ′ implicaV(S ′) ⊂ V(S).

- Sean f1, . . . , fs ∈ k[x1, . . . xn]. Entonces

V(f1, . . . , fs) = V(〈f1, . . . , fs〉).


Ideales

Teorema de la base de Hilbert

Definicion (Anillo noetheriano)

Un anillo se dice noeheriano si todo ideal del anillo es finitamentegenerado.

Nota

En adelante supondremos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Teorema (Teorema de la base de Hilbert)

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. El anillo k[x1, . . . xn] esnoetheriano.


Ideales

Ideal producto e ideal suma

Definicion (Ideal producto)

Sean I , J ⊂ k[x1, . . . xn] ideales. Llamamos ideal producto a

IJ = 〈fg | f ∈ I , g ∈ J〉.

Proposicion

Sea {Ij} una familia de ideales de k[x1, . . . xn]. El conjunto∑

Ij de lassumas finitas de elementos de los ideales Ij es un ideal llamado ideal suma.


Ideales

Topologıa de Zariski

Proposicion

En las condiciones anteriores se tiene:

(i) I ⊂ J ⇒ V(I ) ⊃ V(J).

(ii) V(0) = kn, V(k[x1, . . . xn]) = ∅.(iii) V(I ) ∪ V(J) = V(IJ) = V(I ∩ J).

(iv) ∩V(Ij) = V(∑

Ij).

Observacion (Topologıa de Zariski)

De las propiedades (ii), (iii) y (iv) se deduce que las variedades afines V(I )forman la familia de cerrados de una topologıa llamada la topologıa deZariski de kn.


Ideales

Teorema de los ceros de Hilbert. Version debil

Recordemos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Teorema (Teorema de los ceros. Version debil)

Todo ideal I ⊂ k[x1, . . . xn] distinto del total tiene un cero en kn.


Ideales

Algunas propiedades

Observacion

Se verifican las siguientes propiedades:

- Sean V ,W subconjuntos de kn. Entonces V ⊂W implicaI(V ) ⊃ I(W ).

- I(∅) = k[x1, . . . xn], I(kn) = {0}.- Sea {Wi} una familia de subconjuntos de kn. I(∪Wi ) = ∩I(Wi ).


Ideales

Radical de un ideal

Definicion (Radical de un ideal)

Sea I ⊂ k[x1, . . . xn] un ideal. Llamamos radical de I al conjunto

√I = {f ∈ k[x1, . . . xn] | f n ∈ I para algun n}.

Proposicion

El radical de un ideal es un ideal.


Ideales

Ideal radical

Definicion (Ideal radical)

Un ideal I ⊂ k[x1, . . . xn] se dice radical si√I = I .

Observacion

Sea V ⊂ kn, el ideal I(V ) es radical. En particular, si I ⊂ k[x1, . . . xn] esun ideal, se tiene que

I(V(I )) ⊃√I .


Ideales

Teorema de los ceros de Hilbert. Version fuerte

Teorema (Teorema de los ceros. Version fuerte)

(i) I(V(I )) =√I . En particular, si I es radical, I(V(I )) = I .

(ii) V(I(W )) = W , en la topologıa de Zariski. En particular, si V es unavariedad afın, V(I(V )) = V .


Parametrizacion de variedades afines

Algunos ejemplos

- Un ejemplo de algebra lineal:

{x + y + z = 1,

x + 2y − z = 3.

x = −1− 3t,y = 2 + 2t,z = t.

- La circunferencia unidad x2 + y2 = 1.

{x = cos(t),y = sin(t).

O bien

x =

1− t2

1 + t2,

y =2t

1 + t2.



Funciones racionales


Sea k un cuerpo. Una funcion racional en t1, . . . , tm con coeficientes en kes un cociente f /g de dos polinomios f , g ∈ k[t1, . . . , tm], donde g es nonulo. Ademas, dos funciones racionales f /g y f ′/g ′ son iguales sig ′f = gf ′ en k[t1, . . . , tm]. Notaremos al conjunto de todas las funcionesracionales en t1, . . . , tm con coeficientes en k como k(t1, . . . , tm).

Observacion

El conjunto k(t1, . . . , tm) es un cuerpo.



Representacion parametrica racional

Sea la variedad V = V(f1, . . . , fs) ⊂ kn. Una representacion parametricaracional de V consiste en unas funciones racionalesr1, . . . , rn ∈ k(t1, . . . , tm) tales que los puntos dados por

x1 = r1(t1, . . . , tm),x2 = r2(t1, . . . , tm),

...xn = rn(t1, . . . , tm)

esten en V . Tambien requeriremos que V sea la variedad “mas pequena”conteniendo a estos puntos.Si las funciones r1, . . . , rn son polinomios diremos que es unarepresentacion parametrica polinomica.



Representacion implıcita

En contraste, las ecuaciones originales que definen V ,

f1 = · · · = fs = 0,

se llaman representacion implıcita de V .



Las parametricas permiten dibujar

Para dibujar la variedad V(x2 − y2z2 + z3)

hemos usado las parametricasx = t(u2 − t2),y = u,z = u2 − t2.



Dos cuestiones

La utilidad de tener ambos tipos de representaciones sugieren doscuestiones:

- Parametrizacion: ¿Tiene toda variedad afın una representacionparametrica racional?

- Implicitacion: ¿Dada una representacion parametrica racional de unavariedad afın, podemos encontrar sus ecuaciones implıcitas?

La respuesta a la primera pregunta es no. Se llaman uniracionales lasvariedades que tienen representacion parametrica racional. De hecho esdifıcil saber si una variedad afın es o no uniracional.La respuesta a la segunda pregunta es afirmativa.



Teorıa de eliminacion

{x = 1 + ty = 1 + t2 t = 1− x

y = 1 + (1− x)2 V(y − x2 + 2x − 2).



El teorema de Bezout

Teorema (Teorema de Bezout)

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sean C y D dos curvasproyectivas planas de grados m y n respetivamente. Entonces ambascurvas se cortan en m · n puntos contando multiplicidad.



La circunferencia unidad



Superficie tangente



Superficie tangente

Cubica alabeda

y − x2 = z − x3 = 0

x = ty = t2

z = t3

r(t) = (t, t2, t3) r′(t) = (1, 2t, 3t2)



Superficie tangente

r(t) + ur′(t) = (t, t2, t3) + u(1, 2t, 3t2) = (t + u, t2 + 2tu, t3 + 3t2u).

x = t + uy = t2 + 2tuz = t3 + 3t2u

x3z − (3/4)x2y2 − (3/2)xyz + y3 + (1/4)z2 = 0.


Polinomios en una variable

Termino lıder


Dado un polinomio no nulo f ∈ k[x ], pongamos

f = c0xm + · · ·+ cm−1x + cm,

donde ci ∈ k y c0 6= 0 (es decir, m = deg(f )). Entonces decimos que c0xm

es el termino lıder de f , escribiremos lt(f ) = c0xm.



Algoritmo de division

Observacion

Sean f , g ∈ k[x ] polinomios no nulos. Entonces

deg(f ) ≤ deg(g)⇐⇒ lt(f ) divide a lt(g).

Proposicion (Proposicion 5.2. El algoritmo de division)

Sean k un cuerpo y g ∈ k[x ] un polinomio no nulo. Entonces todof ∈ k[x ] se puede escribir

f = qg + r ,

donde q, r ∈ k[x ] y, o bien r = 0, o bien deg(r) < deg(g). Ademas q y rson unicos y existe un algoritmo para calcularlos.



Algoritmo de division

Algoritmo

Input: g , fOutput: q, rq := 0; r := fWHILE r 6= 0 AND lt(g) divide a lt(r) DOq := q + lt(r)/lt(g)r := r − (lt(r)/lt(g))gRETURN q, r



Algunas consecuencias


Si k es un cuerpo y f ∈ k[x ] es un polinomio no nulo, entonces f tiene alo mas deg(f ) raıces en k .


Sea k un cuerpo. Todo ideal de k[x ] se puede escribir como 〈f 〉 para algunf ∈ k[x ]. Ademas, f es unico salvo la multiplicacion por uns constante nonula de k .

Nota

Un ideal generado por un elemento se dice idea principal. Por el corolarioanterior, diremos que k[x ] es un dominio de ideales principales



Maximo comun divisor


Un maximo comun divisor de dos polinomios f , g ∈ k[x ] es un polinomio htal que:

(i) h divide a f y a g .

(ii) Si p es otro polinomio que divide a f y a g , entonces p divide a h.

Escribiremos h = 〈gcd(f , g)〉.



Propiedades del maximo comun divisor


Sean f , g ∈ k[x ]. Entonces:

(i) gcd(f , g) existe y es unico salvo producto por constantes no nulas enk .

(ii) gcd(f , g) es un generador del ideal 〈f , g〉.(iii) Existe un algoritmo para calcular gcd(f , g).



Calculo del maximo comun divisor

Algoritmo

Input: f , gOutput: h = gcd(f , g)h := fs := gWHILE s ≥ 0 DOrem := remainder(h, s)h := ss := remRETURN h



Un ejemplo

Ejemplo

x4 − 1 = 0 · (x6 − 1) + x4 − 1,x6 − 1 = x2 · (x4 − 1) + x2 − 1,x4 − 1 = (x2 + 1) · (x2 − 1) + 0.

Luego

gcd(x4 − 1, x6 − 1) = gcd(x6 − 1, x4 − 1)= gcd(x4 − 1, x2 − 1) = gcd(x2 − 1, 0) = x2 − 1.

Por tanto〈x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x2 − 1〉.



Maximo comun divisor de varios polinomios


Un m aximo comun divisor de los polinomios f1, . . . , fs ∈ k[x ] es unpolinomio h tal que:

(i) h divide a f1, . . . , fs .

(ii) Si p es otro polinomio que divide a f1, . . . , fs entonces p divide a h.

Cuando h verifica estas propiedades escribimos h = gcd(f1, . . . , fs).



Propiedades de gcd(f1, . . . , fs)


Sean f1, . . . , fs ∈ k[x ], donde s ≥ 2. Entonces:

(i) gcd(f1, . . . , fs) existe y es unico salvo producto por constantes nonulas de k .

(ii) gcd(f1, . . . , fs) es un generador del ideal 〈f1, . . . , fs〉.(iii) Si s ≥ 3, entonces gcd(f1, . . . , fs) = gcd(f1, gcd(f2, . . . , fs)).

(iv) Existe un algoritmo para calcular gcd(f1, . . . , fs).



Otro ejemplo

Ejemplo

Sea 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 ⊂ k[x ]. Como

gcd(x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1) = gcd(x3 − 3x + 2, gcd(x4 − 1, x6 − 1))= gcd(x3 − 3x + 2, x2 − 1) = x − 1.

Luego 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x − 1〉.



El problema de la pertenencia a un ideal

Ejemplo

¿x3 + 4x2 + 3x − 7 ∈ 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉?Como 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉 = 〈x − 1〉, basta comprobar si x − 1divide a x3 + 4x2 + 3x − 7. Dividiendo

x3 + 4x2 + 3x − 7 = (x2 + 5x + 8) · (x − 1) + 1.

Por tanto x3 + 4x2 + 3x − 7 /∈ 〈x3 − 3x + 2, x4 − 1, x6 − 1〉


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