ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA

TEMA 4: Aplicaciones Multilineales y Tensores

Convenios previos. En adelante, K denotara un cuerpo conmutativo. Tıpicamen-te, se puede suponer que K es el cuerpo R de los numeros reales o el cuerpo C de loscomplejos. No obstante, la unica restriccion adicional que en algun momento necesi-taremos para los cuerpos conmutativos, sera que tengan caracterıstica distinta de dos(esto es, que verifiquen 1 + 1 6= 0, lo que excluye, por ejemplo, a Z/2Z); en este caso,lo senalaremos explıcitamente.

V (K) denotara un espacio vectorial sobre K. Aunque las definiciones generales seranvalidas para espacios de cualquier dimension, cuando se trabaje con bases la dimensionsera finita n ∈ N, excepto que se expecifique lo contrario.

Previos: repaso y notacion sobre el espacio dual

El objetivo de esta seccion es doble. En primer lugar, se hace un repaso de algunoselementos del espacio dual que seran utiles para estudiar los tensores. En segundo,introduciremos la notacion de ındices “arriba y abajo” que resultara muy convenientepara el estudio sistematico de tensores arbitrarios.

(1) Concepto de dual algebraico. Sea V (K) un espacio vectorial de dimension nsobre K. Se define el espacio dual V ∗(K) de V (K) como:

V ∗(K) := (L(V,K) =){φ : V → K : φ lineal}.

A cada elemento del dual φ ∈ V ∗(K) se le llama forma lineal. El espacio dual V ∗(K),dotado de sus operaciones naturales, es un espacio vectorial de dimension n(= dimV ·dimK). Si fijamos una base ordenada B = (v1, . . . , vn) de V (K) y tomamos {1} comobase de K(K) entonces para cada φ ∈ V ∗(K) podemos calcular la matriz de la aplicacionφ expresada en dichas bases M(φ,B, {1})(≡ M(φ, {1} ← B)), matriz que resulta serigual a (φ(v1) . . . φ(vn)). De esta forma, si v =

∑ni=1 a

ivi ∈ V entonces

φ(v) =n∑i=1

φ(vi)ai = (φ(v1) . . . φ(vn)) ·

a1

...an

= M(φ, {1} ← B) ·

a1

...an

∈ K.

(2) Base dual. Consideremos los espacios vectoriales V (K), V ∗(K) y fijemos una baseB = (v1, . . . , vn) de V (K). Es conocido el siguiente resultado:

1

Teorema 0.1 Existe una unica base B∗ = (φ1, . . . , φn) de V ∗(K) que verifica

φi(vj) = δij ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, (donde δijes la delta de Kronecker).

A esta base B∗ se la llama base dual de la base B. Ademas, para los elementos de estabase se tiene

M(φ1, {1} ← B) = (1, 0, . . . , 0)...

...M(φn, {1} ← B) = (0, 0, . . . , 1).

Fijada la base B = (v1, . . . , vn) y su base dual B∗ = (φ1, . . . , φn) se verifica φj(v) =φj(∑n

i=1 aivi) =

∑ni=1 a

iφj(vi) =∑n

i=1 aiδji = aj. Esto es,

v = φ1(v)v1 + · · ·+ φn(v)vn =n∑i=1

φi(v)vi, ∀v ∈ V.

Analogamente, si φ ∈ V ∗ y φ =∑n

i=1 biφi entonces φ(vj) =

∑ni=1 biδ

ij = bj. Esto es,

φ = φ(v1)φ1 + · · ·+ φ(vn)φn =n∑i=1

φ(vi)φi, ∀φ ∈ V ∗. (1)

(3) Cambio de base dual. Sean B = (v1, . . . , vn), B = (v1, . . . , vn) dos bases de V (K)

y B∗ = (φ1, . . . , φn), B∗

= (φ1, . . . , φ

n) sus respectivas bases duales. Supongamos que

vj =n∑i=1

aijvi, ∀j ∈ {1, . . . , n} (2)

es decir,

M(IdV , B ← B) = (aij)i,j =

a11 . . . a1

n...

. . ....

an1 . . . ann

. (3)

Entonces, si v ∈ V y v =∑n

i=1 aivi =

∑nj=1 a

jvj se tiene ai =∑n

i=1 aij a

j. Esto es, a1

...an

= M(IdV , B ← B) ·

a1

...an

.

Comprobemos a continuacion que

M(IdV ∗ , B∗ ← B∗) = M(IdV , B ← B)t. (4)

Observese que, si escribimos φk =∑n

j=1 bkj φ

j entonces los elementos de la matriz (b kj )

seran los de la matriz M(Id, , B∗ ← B∗), pero el ındice superior indicara ahora columna

y no fila (como en (aij)). Ası, (4) se sigue de b kj = φk(vj) = akj (la primera igualdadpor (1)).

Como consecuencia de (4), si φ =∑n

i=1 biφi =

∑nj=1 bjφ

jse tiene

bj =n∑i=1

aij bi,

2

(o bien, directamente, bj = φ(vj) =∑n

i=1 aij φ(vi) =

∑ni=1 a

ij bi).

(4) Trasposicion de una aplicacion lineal. Sean V (K), V ′(K) dos espacios vec-toriales y f : V → V ′ una aplicacion lineal entre ellos. Para cada φ′ ∈ V ′∗(K) podemosdefinir la aplicacion φ′ ◦ f : V → K. Como φ′ ◦ f es una composicion de aplicacioneslineales se tiene que φ′ ◦ f es tambien lineal y, por tanto, φ′ ◦ f ∈ V ∗(K).

Definicion 0.2 Definimos la aplicacion traspuesta f t de la aplicacion lineal f : V →V ′ como la aplicacion

f t : V ′∗ → V ∗

φ′ 7→ f t(φ′) := φ′ ◦ f.

Se tiene entonces el siguiente resultado:

Teorema 0.3 La aplicacion traspuesta f t de una aplicacion lineal f : V → V ′ verifica:

(i) Es lineal.

(ii) Si B y B′ son bases de V y V ′, respectivamente, entonces

M(f t, B∗ ← B′∗) = M(f,B′ ← B)t.

(iii) La aplicacion trasposicion

t : L(V, V ′) → L(V ′∗, V ∗)f 7→ f t

es lineal. De hecho, es un isomorfismo de espacios vectoriales.

(5) Teorema de reflexividad. Como una nota previa, sobre todas las cuestionesrelativas al teorema de reflexividad la dimension n de V (K) se considerara finita,

Sean V (K) y V ∗(K) un espacio vectorial y su dual, respectivamente. Podemos con-siderar el dual de V ∗(K), o bidual de V (K): V ∗∗(K) = (V ∗(K))∗. Estos tres espaciosvectoriales tienen igual dimension y, por tanto, son isomorfos. Sin embargo, mientrasque no existe ningun isomorfismo canonico general entre V (K) y V ∗(K), sı podemosdefinir uno entre V (K) y V ∗∗(K). Ello, en la practica, equivale a considerar ambosespacios como iguales.

Concretamente, fijado un vector v ∈ V definimos la aplicacion

Φv : V ∗ → Kφ 7→ φ(v)

que es lineal y, por tanto, pertenece al bidual V ∗∗(K). No es difıcil demostrar el siguienteresultado:

Teorema 0.4 (de Reflexividad). La aplicacion

Φ : V → V ∗∗

v 7→ Φv

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

3

Otro modo de construir este isomorfismo es el siguiente (pruebese como ejercicio). SeanB, B dos bases de V (K). Existe un unico isomorfismo F : V → V ∗ que, de maneraordenada, aplica B en B∗. Analogamente, existe un unico isomorfismo G : V ∗ → V ∗∗

que aplica B∗ en B∗∗. Con B obtenemos analogamente isomorfismos F , G. En general,F 6= F y G 6= G. Sin embargo, G ◦ F = G ◦ F , y ambos coinciden con el isomorfismoque proporciona el Teorema de Reflexividad.

Una consecuencia inmediata del Teorema de Reflexividad es que cualquier baseB′ = (φ1, . . . , φn) de V ∗(K) es la base dual de una unica base B de V (K). En efecto,si tomamos la base dual de B′, podemos escribir B′∗ = (Φv1 , . . . ,Φvn) donde B =(v1, . . . , vn) es una base de V (K). Entonces, se comprueba facilmente que B∗ = B′.

1. Concepto de aplicacion multilineal y tensor

Definicion 1.1 Sean V1, . . . , Vm,W espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Unaaplicacion

F : V1 × · · · × Vm → W

se dice multilineal cuando es lineal en cada una de sus m variables, esto es, se verifica:

F (w1, . . . , wi−1, awi + bwi, wi+1, . . . , wm) == aF (w1, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wm) + bF (w1, . . . , wi−1, wi, wi+1, . . . , wm)

para todo wj ∈ Vj, j ∈ {1, . . . ,m}, wi ∈ Vi, a, b ∈ K y para todo i ∈ {1, . . . ,m}.En particular, sea V (K) un espacio vectorial de dimension finita n ∈ N. Un tensor

r veces covariante y s veces contravariante (o tipo(sr

)) sobre V (K) es una aplicacion

aplicacion multilineal con el siguiente dominio y codominio:

T : V × · · · ×(r) V× V ∗ × . . .(s) V ∗ → K(u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) 7→ T (u1, . . . , ur, φ

1, . . . , φs)

Denotaremos por T sr (V ) al conjunto de los tensores tipo(sr

)sobre V (K). De mane-

ra natural se puede definir en este conjunto una suma y un producto por escalares.Concretamente,

(1) si T, T ′ ∈ T sr (V ) su suma T + T ′ se define por:

(T + T ′)(u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) =

T (u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) + T ′(u1, . . . , ur, φ

1, . . . , φs);

(2) si T ∈ T sr (V ), a ∈ K el producto escalar a · T de a por T se define por:

(a · T )(u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) = a · T (u1, . . . , ur, φ

1, . . . , φs).

(siempre para cualesquiera u1, . . . , ur ∈ V, φ1, . . . , φs ∈ V ∗).De hecho, es un ejercicio mecanico comprobar que las aplicaciones T +T ′ y a ·T son

multilineales y, por tanto, T + T ′, a · T ∈ T sr (V ). Analogamente, es directo comprobarque estas operaciones generan una estructura de espacio vectorial, siendo el 0 de esteespacio el tensor nulo T0 definido por T0((u1, . . . , ur, φ

1, . . . , φs) = 0. En resumen:

Proposicion 1.2 (T sr (V ),+, ·K) tiene estructura de espacio vectorial, que sera deno-tado simplemente como T sr (V ).

4

Ejemplos:

(1) Claramente, T 01 (V ) = V ∗ y T 1

0 (V ) = V ∗∗. Ahora bien, puesto que por el Teoremade Reflexividad podemos identificar V ∗∗ con el propio V , podemos considerarT 1

0 (V ) = V . Esto es, un vector v ∈ V se identificar con el tensor 1-contravariante:

v : V ∗ → Kφ 7→ φ(v).

(2) El producto escalar elemental en Rn(R), (~u,~v) 7→ ~u ·~v (o, con mas generalidad, lasmetricas que se veran mas adelante) son tensores 2-covariantes. Analogamente,el producto vectorial sobre R3(R) de la geometrıa elemental (visto como unaaplicacion R3 × R3 → R3, (~u,~v) 7→ ~u× ~v) es una aplicacion multilineal.

(3) Consideremos la aplicacion det : Rn × · · · ×(n) Rn → R definida por

(

a11...an1

, . . . ,

a1n...ann

) 7→

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

. . ....

an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣ .Es directo comprobar que det∈ T 0

n (Rn).

(4) Sea f : V → V un endomorfismo de espacios vectoriales y consideremos la apli-cacion

Tf : V × V ∗ → R(u, φ) 7→ φ(f(u)).

(5)

Se demuestra facilmente que Tf ∈ T 11 (V ).

Observacion 1.3 Definimos por completitud, T 00 (V ) = K. Ası, se puede considerar

que el concepto de tensor incluye simultaneamente los de escalar (por este convenio),vector y forma lineal (por el ejemplo (1)). Mas aun, posteriormente se comprobara quela aplicacion End(V ) → T 1

1 (V ), f 7→ Tf (con Tf definido en el ejemplo (4)) es unisomorfismo de espacios vectoriales. De este modo, tambien los endomorfismos podranverse como casos particulares de tensores.

En adelante simplificaremos la notacion escribiendo, por ejemplo, V r × (V ∗)s enlugar de V × · · · ×(r) V × V ∗ × . . .(s) V ∗.

2. Producto tensorial

El producto tensorial resultara util para estudiar tensores tipo(sr

)a partir de ten-

sores de tipo inferior en r o s. El objetivo final sera poder estudiar todos los tensores apartir de los

(01

)(formas lineales) y

(10

)(vectores).

Definicion 2.1 Sean T ∈ T sr (V ) y T ′ ∈ T s′r′ (V ). Se define el producto tensorial de Tpor T ′ como

T ⊗ T ′ : V r+r′ × (V ∗)s+s′ → R

((u1, . . . , ur+r′), (φ1, . . . , φs+s

′)) 7→ T ⊗ T ′(u1, . . . , ur+r′ , φ

1, . . . , φs+s′),

siendoT ⊗ T ′(u1, . . . , ur+r′ , φ

1, . . . , φs+s′) =

= T (u1, . . . , ur, φ1, . . . , φs) · T ′(ur+1, . . . , ur+r′ , φ

s+1, . . . , φs+s′).

5

Propiedades. Se comprueba facilmente:

(1) T ⊗ T ′ es multilineal y, por tanto, T ⊗ T ′ ∈ T s+s′r+r′ (V ).

(2) La operacion producto tensorial es lineal en cada variable, en el sentido:

(aT + bT )⊗ T ′ = a(T ⊗ T ′) + b(T ⊗ T ′)T ⊗ (aT ′ + bT

′) = a(T ⊗ T ′) + b(T ⊗ T ′)

para todo T, T ∈ T sr (V ) y T ′, T′ ∈ T s′r′ (V ).

(3) La operacion producto tensorial es asociativa (aunque no conmutativa).

3. Tensores tipo(re

)con r + s = 2

3.1. Tensores 2-covariantes

Consideremos en primer lugar el espacio vectorial T 02 (V ). Acabamos de ver que si

φ, ψ ∈ V ∗(= T 01 (V )) entonces φ⊗ ψ ∈ T 0

2 (V ), siendo

(φ⊗ ψ)(v, w) = φ(v) · ψ(w), ∀v, w ∈ V.

Consideremos fijada una base B = (v1, . . . , vn) de V , y su correspondiente base dualB∗ = (φ1, . . . , φn). Nuestro objetivo sera demostrar que una base de T 0

2 (V ) es el con-junto de todos los productos tensoriales de elementos de B∗, esto es

B02 = {φi ⊗ φj : i, j ∈ {1, . . . , n}}.

Lema 3.1 Si T =∑n

i,j=1 tijφi ⊗ φj ∈ T 0

2 (V ) entonces tkl = T (vk, vl) para todo k, l ∈{1, . . . , n}.

Demostracion. Basta con aplicar las definiciones para obtener:

T (vk, vl) =n∑

i,j=1

tij(φi ⊗ φj)(vk, vl) =

n∑i,j=1

tij δikδjl = tkl. 2

Teorema 3.2 El conjunto B02 es una base del espacio T 0

2 (V ).En consecuencia, dim T 0

2 = n2. Mas aun, la coordenada tkl de un tensor T ∈ T 02 (V )

en la base B02 coincide con T (vk, vl).

Demostracion. En primer lugar veamos que B02 es linealmente independiente. En efecto,

si∑n

i,j=1 tijφi ⊗ φj = T0 (tensor nulo) entonces, por el Lema 3.1,

tij = T0(vi, vj) = 0, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

Para demostrar que B02 es un sistema de generadores basta comprobar que para todo

T ∈ T 02 (V ) se tiene T =

∑ni,j=1 tijφ

i ⊗ φj, siendo tij = T (vi, vj). En efecto, si u =∑ni=1 a

ivi, v =∑n

j=1 bjvj entonces

T (u, v) = T (n∑i=1

aivi,

n∑j=1

bjvj) =n∑

i,j=1

T (vi, vj)aibj

6

=n∑

i,j=1

tijaibj =

(n∑

i,j=1

tijφi ⊗ φj

)(u, v)

Por ultimo, la cuestion sobre la dimension es inmediata, y la afirmacion final se siguedel Lema 3.1. 2

Observacion. Las coordenadas tij de T en B02 se pueden escribir de modo matricial

MB(T ) = (tij)i,j =

T (v1, v1) . . . T (v1, vn)...

. . ....

T (vn, v1) . . . T (vn, vn)

.

Por tanto, si u =∑n

i=1 aivi, v =

∑nj=1 b

jvj entonces:

T (u, v) = (a1, . . . , an)MB(T )

b1

...bn

.

Observacion. Todos los tensores tipo(

02

)se pueden escribir como productos tensoriales

del tipo φ ⊗ ψ o sumas finitas de ellos. Esto lleva a usar a veces la notacion T 02 (V ) =

V ∗ ⊗ V ∗ (producto directo de V ∗ por V ∗).

Ejercicio. Sea B∗ = (φ1, . . . , φn) una base de V ∗ con n ≥ 2. Pruebese que no existenφ, ψ ∈ V ∗ tales que φ⊗ ψ = φ1 ⊗ φ2 + φ2 ⊗ φ1.

Estudiemos a continuacion que sucede cuando tomamos otra base B = (v1, . . . , vn)con base dual B

∗= (φ1, . . . , φn), y construimos la correspondiente base

B02 = {φi ⊗ φj : i, j ∈ {1, . . . , n}}.

de T 02 (V ). Consistentemente con las formulas (2) y (3), escribimos vj =

∑ni=1 a

ijvi

donde los escalares aij definen la matriz M(IdV , B ← B).

Teorema 3.3 Sea T ∈ T 02 (V ) y tomemos sus coordenadas (tij)i,j y (tk,l)kl de T en B0

2

y B02 resp., esto es:

T =n∑

i,j=1

tijφi ⊗ φj =

n∑k,l=1

tklφk ⊗ φl

Entonces:

tkl =n∑

i,j=1

aikajltij,

o, matricialmente, poniendo P = M(IdV , B ← B):

MB(T ) = P t ·MB(T ) · P.

Demostracion. (En adelante, el rango de variacion de los ındices es siempre 1, . . . , n.)Simplemente, tengase en cuenta:

tkl = T (vk, vl) = T (∑i

aikvi,∑j

ajlvj) =∑i,j

aikajlT (vi, vj)

donde se sabe que T (vi, vj) = tij. Finalmente, para obtener la forma matricial P t ·(MB(T ) · P ), reagrupese la ultima expresion como

∑i a

ik

(∑j tija

jl

). 2

7

3.2. Tensores 2-contravariantes

Un desarrollo analogo al que hemos hecho para T 02 (V ) se puede llevar a cabo para

T 20 (V ). Ası, dados dos vectores u, v ∈ V (≡ T 1

0 (V )) ahora tambien podemos considerarsu producto tensorial:

u⊗ v : V ∗ × V ∗ → R(φ, ψ) 7→ φ(u) · ψ(v).

En consecuencia, fijada una base B = (v1, . . . , vn) de V y su correspondiente base dualB∗ = (φ1, . . . , φn), podemos construir el conjunto B2

0 = {vi ⊗ vj : i, j ∈ {1, . . . , n}} demanera que se verifica:

Lema 3.4 Si T =∑n

i,j=1 tijvi ⊗ vj entonces tkl = T (φk, φl).

Teorema 3.5 El conjunto B20 es una base del espacio T 2

0 (V ).En consecuencia, dim T 2

0 (V ) = n2. Mas aun, la coordenada tkl de un tensor T en labase B2

0 coincide con T (φk, φl).

Observacion. Se suele usar tambien la notacion T 20 (V ) ≡ V ⊗ V (producto directo de

V por V ).

Para estudiar el cambio de coordenadas al tomar dos bases B,B, recordemos que sivj =

∑i a

ijvi (consistentemente con (2)), entonces las bases duales B∗ = (φ1, . . . , φn),

B∗

= (φ1, . . . , φ

n) verifican (aij)i,j = M(IdV ∗ , B

∗ ← B∗)t, esto es:

φi =n∑j=1

aijφj, ∀i ∈ {1, . . . , n}

por lo que llamando bij a los elementos de la matriz inversa de los aij (esto es, (bij)i,j =

M(IdV ∗ , B∗ ← B

∗)t) se tiene:

φi

=n∑j=1

bijφj, ∀i ∈ {1, . . . , n} (6)

Razonando ahora como en el caso 2-covariante se tiene:

Teorema 3.6 Sea T ∈ T 20 (V ) y tomemos sus coordenadas (tij)i,j y (tkl)k,l de T en B2

0

y B20 resp., esto es:

T =n∑

i,j=1

tijvi ⊗ vj =n∑

k,l=1

tklvk ⊗ vl

Entonces:

tkl =n∑

i,j=1

bkibljtij,

o, matricialmente, manteniendo P = M(IdV , B ← B):

MB(T ) = P−1 ·MB(T ) · (P−1)t.

Demostracion. Se tiene ahora:

tkl = T(φk, φl

)= T (

∑i

bkiφi,∑j

bl jφj) =

∑i,j

bkibljtij

Para la forma matricial, reagrupese la ultima expresion, p. ej.:∑

j

(∑i bkitij)bl j. 2

8

3.3. Tensores 1-covariantes, 1-contravariantes

Finalmente, consideremos el espacio vectorial T 11 (V ). Dados φ ∈ V ∗ y u ∈ V pode-

mos considerar su producto tenssorial

φ⊗ u : V × V ∗ → R(v, ψ) 7→ φ(v) · ψ(u).

Observacion. Segun la definicion general de producto tensorial que estamos conside-rando, se verifica φ⊗u = u⊗φ, por lo que se pueden considerara indistintamente ambasexpresiones.

Nuestro objetivo sera comprobar nuevamente que, fijada una base B y su dual B setiene entonces que

B11 = {φj ⊗ vi(= vi ⊗ φj) : i, j ∈ {1, . . . , n}}

es una base, ası como estudiar cambios de base. Para ellos, repasamos pasos analogosa los de los tensores 2-covariantes y 2-contravariantes, que se pueden completar comoejercicio.

Lema 3.7 Si T =∑n

i,j=1 tijφ

j ⊗ vi entonces tl k = T (vk, φl).

Observacion. Notese que la notacion tij no tiene que ver con que los ındices i y japarezcan antes o despues (mas a la izquierda o a la derecha) en la expresion φj ⊗ vi,puesto que esta expresion es equivalente a vi ⊗ φj.

Teorema 3.8 El conjunto B11 es una base del espacio T 1

1 (V ).En consecuencia, dim T 1

1 = n2. Mas aun, la coordenada tl k de un tensor T corres-pondiente al elemento φl ⊗ vk de la base B1

1 coincide con T (vl, φk).

Observacion. Este resultado justifica las notaciones V ⊗V ∗ o bien V ∗⊗V (productosdirectos) para T 1

1 (V ).Para el cambio entre bases B y B se tiene:

Teorema 3.9 Sea T ∈ T 11 (V ) y tomemos sus coordenadas (tij)i,j y (tkl)k,l de T en B1

1

y B11 resp., esto es:

T =n∑

i,j=1

tij φj ⊗ vi =

n∑k,l=1

tkl φl ⊗ vk

Entonces:

tkl =n∑

i,j=1

ajlbkitij,

o, matricialmente, manteniendo P = M(IdV , B ← B):

MB(T ) = P−1 ·MB(T ) · P.

Demostracion. El resultado se sigue de:

tkl = T(vl, φ

k)

= T (∑j

ajlvj,∑j

bkiφi) =

∑i,j

ajlbkiT (vj, φ

i) =∑i,j

bkitijajl. 2

Definicion 3.10 Dos matrices A,C ∈Mn(K) se dicen congruentes (resp. semejantes)cuando existe una matriz regular P tal que

C = P · A · P t (resp. C = P · A · P−1)

Del estudio hecho se deduce facilmente que, si A y C son congruentes (resp. semejantes)y A = MB(T ) para algun tensor T que sea

(02

)o(

20

)(resp.

(11

)) y alguna base B, entonces

existe una segunda base B tal que C = MB(T ).

9

3.3.1. Relacion con los endomorfismos

Del estudio anterior, se sabe que la dimension de cualquier espacio de tensores(sr

)con r+s = 2 es n2. En consecuencia, estos espacios son isomorfos a al espacio End(V ) detodos los endomorfismos de V (K). Una propiedad particular de los tensores

(11

)es que

existe un isomorfismo canonico entre los tensores(

11

)y End(V ), en un sentido similar

al de la existencia de un isomorfismo canonico entre V y V ∗∗, proporcionado por elTeorema de Reflexividad.

Recordemos que para cada endomorfismo f se definion en (5) un tensor(

11

)mediante

Tf (v, φ) := φ(f(v)).

Teorema 3.11 La aplicacion

End(V ) → T 11 (V )

f 7→ Tf

es un isomorfismo de espacios vectoriales. Ademas, se verifica

MB(Tf ) = M(f,B)

para cualquier base B de V .

Demostracion. Es facil comprobar que Taf+bf = aTf + bTf para todo a, b ∈ K yf, f ∈End(V ), lo que demuestra la linealidad. La inyectividad se sigue de que si Tf = T0

(tensor nulo) entonces, escogido v ∈ V , se tiene:

0 = T0(v, φ) = Tf (v, φ)) = φ(f(v)), ∀φ ∈ V ∗,

lo que implica que f(v) = 0 y, al ser v arbitrario, f es el endomorfismo nulo. ComoEnd(V ) y T 1

1 tienen la misma dimension, esto prueba que la aplicacion es un isomor-fismo. Sobre las bases, poniendo (tij)i,j = MB(Tf ) y (aij)i,j = M(f,B) se sigue:

tij = Tf (vj, φi) = φi(f(vj)) = φi(

∑k

akjvk) =∑k

akjφi(vk) = aij. 2

4. Tensores tipo(sr

)4.1. Bases y propiedades generales

Consideremos r formas lineales ψ1, . . . , ψr en V ∗ y s vectores u1, . . . , us en V . Usandola asociatividad de ⊗ puede escribirse inequıvocamente ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us ∈T sr (V ). Explıcitamente,

ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr ⊗ u1 ⊗ · · · ⊗ us : V r × (V ∗)s → R(w1, . . . , wr, ρ

1, . . . , ρs) 7→ ψ1(w1) · · ·ψr(wr) · ρ1(u1) · · · ρs(us).

Para construir una base de T sr (V ) consideramos una base B = (v1, . . . , vn) de V y subase dual B∗ = (φ1, . . . , φn) de V ∗. Definimos entonces

Bsr = {φi1 ⊗ · · · ⊗ φir ⊗ vj1 ⊗ · · · ⊗ vjs : i1, . . . , ir, j1, . . . , js ∈ {1, . . . , n}}.

Argumentos analogos a los del caso r + s = 2 permiten demostrar:

10

Lema 4.1 Si T ∈ T sr (V ) satisface

T =n∑

i1,...,js=1

ti1...isj1...jr· φj1 ⊗ · · · ⊗ φjr ⊗ vi1 ⊗ · · · ⊗ vis

entonces tk1...ksl1...lr= T (vl1 , . . . , vlr , φ

k1 , . . . , φks).

Teorema 4.2 Bsr es una base de T sr (V ).

En consecuencia, dim T sr (V ) = nr+s. Mas aun la coordenada ti1...isj1...jrde T en1 Bs

r

coincide con T (vj1 , . . . , vjr , φi1 , . . . , φis).

Para el cambio entre bases B y B se tiene:

Teorema 4.3 Sea T ∈ T sr (V ) y tomemos sus coordenadas ti1...isj1...jry tk1...ksl1...lr

T en Bsr y Bs

r

resp., esto es:

T =∑n

i1,...,js=1 ti1...isj1...jr

· φj1 ⊗ · · · ⊗ φjr ⊗ vi1 ⊗ · · · ⊗ vis=

∑nk1,...,ls=1 t

k1...ksl1...lr

· φl1 ⊗ · · · ⊗ φlr ⊗ vk1 ⊗ · · · ⊗ vksEntonces:

tk1...ksl1...lr=

n∑i1,...,js=1

aj1l1 . . . ajrlrbk1i1 . . . b

ksisti1...isj1...jr

4.2. Contraccion tensorial

Recordemos que la traza de f es la suma∑

i aii de los elementos diagonales de la

matriz M(f,B), y que resulta independiente de la base escogida B. Debido a la relacionestudiada en el Teorema 3.11 entre endomorfismos y tensores

(11

), se puede definir una

traza para estos tensores, sin mas que asignar a cada T ∈ T 11 (V ) la traza del unico

endomorfismo f tal que Tf = T . De hecho, si B = (v1, . . . , vn) es una base de V yB∗ = (φ1, . . . , φn) su base dual:

trazaTf := traza f =n∑i=1

φi(f(vi)) =n∑i=1

Tf (vi, φi),

Esto se puede hacer tambien directamente sin hacer mencion a los endomorfismos:

Proposicion 4.4 Sea T ∈ T 11 (V ), B una base y MB(T ) = (T (vi, φ

j))i,j. El valor de

C11(T ) :=

n∑i=1

T (vi, φi) (= traza(MB(T ))

es independiente de la base B escogida.

Demostracion. Para cualquier otra base B se tiene:

traza(MB(T )) = traza((P−1MB(T )) · P

)= traza

(P.(P−1MB(T ))

)= traza(MB(T )). 2

Esta proposicion puede interpretarse como sigue. Dado un tensor(

11

)se obtiene la

contraccion C11(T ) que es un tensor

(00

). Tal construccion se puede generalizar a cualquier

tensor T que sea(sr

)con r, s ≥ 1, sin mas que tener en cuenta la siguiente observacion.

Si fijamos los argumentos de todas las variables de T salvo la j-esima covariante y lai-esima contravariante, entonces se tiene un tensor

(11

)que se puede contraer en esas

variables. Ello asegura la consistencia de la siguiente definicion.

1Abusando del lenguaje se dira que los escalares ti1,...,isj1,...,jrson las coordenadas de T en B (en lugar

de en Bsr).

11

Definicion 4.5 Sea T ∈ T sr (V ) con r, s ≥ 1 y escojamos j ∈ {1, . . . , r}, i ∈ {1, . . . , s}.La contraccion de T con respecto a la j-esima variable covariante y la i-esima contra-variante es el tensor Ci

j(T ) ∈ T s−1r−1 (V ) definido por:

Cij(T ) (u1, . . . , ur−1, ψ

1, . . . , ψs−a) ==

∑nk=i T (u1, . . . , uj−i, vk, uj, . . . ur−1, ψ

1, . . . , ψi−1, φk, ψi, . . . , ψs−1)∀u1, . . . , ur−1 ∈ V, ∀ψ1, . . . , ψs−1 ∈ V ∗

donde B = (v1, . . . , vn) es cualquier base de V y B∗ = (φ1, . . . , φn) su base dual.

Ejercicio. Se considera el espacio vectorial P2(R) de todos los tensores de grado ≤ 2,sea B0 = (1, x, x2) su base usual y B = (1 + x, 1− x, x2).

(A) Se define la aplicacion:

T : P2(R)× P2(R)× P2(R)∗ → R (p1, p2, ϕ) 7→ p1(1)ϕ(p2)

1. Demostrar que T es un tensor y calcular sus coordenadas en las bases de tensoresapropiadas generadas a partir de las bases B0 y B.

2. ¿Se puede escribir T como producto tensorial de dos tensores?

3. Calcular C11(T ), C1

2(T ) y sus coordenadas en las bases de tensores generadas porB y B.

(B) Se considera la forma lineal Φ ∈ P2(R)∗ dada por Φ(p) =∫ 1

0p(x)dx para todo

p ∈ P2(R), y la aplicacion

T : P2(R)× P2(R)∗ → R(p, φ) 7→ φ(p′)

donde p′ denota la derivada de p.

1. Demostrar que T es un tensor y calcular las coordenadas de T ⊗ Φ en las basesde tensores generadas a partir de las bases B0 y B.

2. Calcular C11(T ⊗ Φ), C1

2(T ⊗ Φ) y C11(Φ ⊗ T ), ası como sus coordenadas en las

bases de tensores generada por B0.

5. Tensores simetricos y antisimetricos

5.1. Caso de tensores 2-covariantes

Definicion 5.1 (1) Diremos que un tensor T ∈ T 02 (V ) es simetrico si T (v, w) =

T (w, v), ∀v, w ∈ V . Denotaremos por T S2 (V ) al conjunto de todos los tensores simetri-cos sobre V .

(2) Diremos que un tensor T ∈ T 02 (V ) es antisimetrico si T (v, w) = −T (w, v),

∀v, w ∈ V . Denotaremos por T A2 (V ) al conjunto de todos los tensores antisimetricossobre V .

Observaciones. (1) En caso de tensores tipo(

20

)se puede dar una definicion analoga;

en cambio, para tensores tipo(

11

)esto no tiene sentido.

(2) Diremos que T ∈ T 02 (V ) es alternado si T (v, v) = 0 para todo v ∈ V . Es

facil comprobar que todo tensor alternado es antisimetrico (0 = T (v + w, v + w) =

12

T (v, v)+T (v, w)+T (w, v)+T (w,w) = T (v, w)+T (w, v)) y que el recıproco es cierto sila caracterıstica del cuerpo K es distinta de dos (si T es antisimetico, T (v, v) = −T (v, v)lo que implica 2T (v, v) = 0 donde 2:=1+1 y 1 es la unidad de K). En adelante, sesupondra siempre que la caracterıstica del cuerpo es distinta de 2.

Proposicion 5.2 T S2 (V ) y T A2 (V ) son subespacios vectoriales de T 02 (V ). Ademas:

T 02 (V ) = T S2 (V )⊕ T S2 (V )

Demostracion. Es inmediato comprobar que son subespacios vectoriales y que T S2 (V )∩T S2 (V ) = {0}. Para la expresion como suma, observese que 2T = T S + TA con T S ∈T S2 (V ), TA ∈ T A2 (V ) definidos por T S(v, w) = T (v, w) +T (w, v), TA(v, w) = T (v, w)−T (w, v) para todo v, w ∈ V . 2

Proposicion 5.3 Sea T ∈ T 02 (V ). Son equivalentes:

(i) T es simetrico (resp. antisimetrico).

(ii) Existe una base B = (v1, . . . , vn) de V tal que T (vi, vj) = T (vj, vi) (resp. T (vi, vj) =−T (vj, vi)), ∀i, j ∈ {1, . . . , n}.

(iii) Cualquier base verifica la propiedad (ii).

Demostracion. Las implicaciones (i)⇒ (iii) y (iii)⇒ (ii) son triviales. Para (ii)⇒ (i)tengase en cuenta que si v =

∑ni=1 a

ivi w =∑n

j=1 bjvj entonces:

T (v, w) = T

(n∑i=1

aivi,n∑j=1

bjvj

)

=n∑

i,j=1

aibjT (vi, vj) =n∑

i,j=1

aibjT (vj, vi) = T (y, x). 2

Definicion 5.4 Para cada T ∈ T 02 (V ) se define su tensor traspuesto T t : V × V → K

por:T t(v, w) = T (w, v) ∀v, w ∈ V.

Resulta inmediato demostrar las siguientes propiedades.

Proposicion 5.5 T t es un tensor 2-covariante y se verifica:(a) T es simetrico (resp. antisimetrico) si y solo si T = T t (resp. T = −T t).(b) Para cualquier T ∈ T 0

2 (V ), el tensor T + T t es simetrico (resp. T − T t esantisimetrico).

(c) La aplicacion trasposicion

t : T 02 (V )→ T 0

2 (V ) T 7→ T t

es lineal, verifica t ◦ t = IdT 02 (V ) (aplicacion identidad) y sus subsespacios propios son

V1 = T S2 (V ), V−1 = T A2 (V ).

Resulta incomediato comprobar que si φ, ψ ∈ V ∗ entonces el tensor φ ⊗ ψ + ψ ⊗ φ essimetrico mientras que el tensor φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ es antisimetrico.

13

Definicion 5.6 Si φ, ψ ∈ V ∗ se define su producto exterior como el tensor antisimetri-co φ ∧ ψ = φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ y su producto simetrizado como φ⊗s ψ = φ⊗ ψ − ψ ⊗ φ.

Construyamos a continuacion bases de tensores simetricos y antisimetricos a partir deuna B∗ = (φ1, . . . , φn) de V ∗. Definimos entonces los conjuntos

BS2 = {φi ⊗s φj = φi ⊗ φj + φj ⊗ φi : 1 ≤ i < j ≤ n} ∪ {φi ⊗ φi : 1 ≤ i ≤ n},

BA2 = {φi ∧ φj = φi ⊗ φj − φj ⊗ φi : 1 < i < j < n}

Teorema 5.7 BS2 y BA

2 son bases de los espacios T S2 (V ) y T A2 (V ), respectivamente.Por tanto, la dimension de T S2 (V ) es n(n+ 1)/2 y la de T A2 (V ) es n(n− 1)/2.

Observacion. El conjunto {φi ⊗s φj = φi ⊗ φj + φj ⊗ φi : 1 ≤ i ≤ j ≤ n} formatambien una base de que difiere de BS

2 solo en que cada elemento φi ⊗ φi de esta basese reemplaza por 2φi ⊗ φi.

6. Estudio especial de tensores antisimetricos

En esta seccion estudiaremos tensores antisimetricos, extendiendo nuestro estudiode los 2-covariantes a r-covariantes. Un estudio de los simetricos podrıa hacerse demanera similar. No obstante, nos centraremos en el caso antisimetrico por el especialinteres a posteriori del caso r = n.

Repaso sobre el grupo de permutaciones

Definicion 6.1 Sea S(r) = {1, 2, . . . , r} ⊂ N. Llamaremos permutacion de S(r) (ode r elementos) a toda aplicacion biyectiva σ : S(r) → S(r). Al conjunto de todas laspermutaciones de S(r) lo denotaremos por Sr.

Propiedades basicas:

(1) El conjunto de las permutaciones Sr junto con la operacion de composicion tieneestructura de grupo abeliano. Ademas, su cardinal es r!

(2) Toda permutacion σ ∈ Sr se puede escribir como composicion de trasposiciones,esto es, permutaciones que actuan sobre S(r) unicamente intercambiando dos desus elementos (dos “ındices”).

(3) Aunque, existen muchas maneras de escribir una misma permutacion σ comocomposicion de trasposiciones, se puede escoger un modo canonico tomando unnumero [σ] de trasposiciones “de ındices contiguos”, de modo que se vayan “reor-denando los ındices de menor a mayor”.

(4) Fijada una permutacion σ, cuando se escriba de dos maneras distintas como com-posicion de trasposiciones, el numero de trasposiciones necesarias de cada una delas dos maneras tendra siempre la misma paridad, esto es, o bien se requerira unnumero par de permutaciones en ambos casos o bien un numero impar.

(5) Se define entonces la signatura de σ como sig(σ) := (−1)[σ]. La permutacion σ sedice par (resp. impar) si sig(σ) = 1 (resp. sig(σ) = −1).

(6) La aplicacion sig : Sr → {−1, 1} es un homomorfismo de grupos.

14

6.1. Tensores antisimetricos r covariantes

Definicion 6.2 Diremos que un tensor r-covariante T ∈ T 0r (V ) es antisimetrico si

verifica:T (y1, . . . , yi, . . . , yj, . . . , yr) = −T (y1, . . . , yj, . . . , yi, . . . , yr)

1 ≤ i < j ≤ r, para todo y1, . . . , yr ∈ V , esto es, si T es antisimetrico respecto acualquier par (i, j), i < j de sus variables.

Es directo comprobar que el conjunto de todos los tensores r-covariantes es un subespa-cio vectorial de T 0

r (V ), que se denotara indistintamente Λr(V ) o Λr(V ). Esta notacionincluye Λ11(V ) = V ∗ y Λ0(V ) = R.

Proposicion 6.3 Sea T ∈ Λr(V ). Si el conjunto de r vectores (posiblemente repetidos){w1, . . . , wr} ⊂ V es linealmente dependiente entonces T (w1, . . . , wr) = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, se puede suponer que wr =∑r−1

i∗1 aiwi y portanto

T (w1, . . . , wr) = T (w1, . . . ,r−1∑i=1

aiwi) =r−1∑i=1

aiT (w1, . . . , wi) = 0,

la ultima igualdad porque, al ser T antisimetrico, tambien es alternado respecto a cadapar de ındices (i, r) (veanse las observaciones a la Definicion 5.1), con lo que cadasumando se anula. 2

El siguiente resultado es directo de las definiciones de tensor antisimetrico y sig-natura de una permutacion, y puede considerarse como una definicion alternativa detensor antisimetrico:

Proposicion 6.4 Si T ∈ Λr(V ) y σ ∈ Sr entonces, para cualesquiera w1, . . . , wr ∈ V :

T (wσ(1), . . . , wσ(r)) = sig(σ)T (w1, . . . , wr).

Se puede construir un tensor antisimetrico a partir de formas lineales como sigue:

Proposicion 6.5 Para cualesquiera ψ1, . . . , ψr ∈ V ∗:∑σ∈Sr

sig(σ)ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r) ∈ Λr(V )

Demostracion. Sea τ ∈ Sr la permutacion de dos ındices i 6= j, entonces:∑σ∈Sr sig(σ)ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r)(wτ(1), . . . , wτ(r)) =

∑σ∈Sr sig(σ)ψσ(1)(wτ(1)) . . . ψ

σ(r)(wτ(r))∑σ∈Sr sig(σ)ψτ◦σ(1)(w1) . . . ψτ◦σ(r)(wr) = −

∑σ∈Sr sig(τ ◦ σ)ψτ◦σ(1)(w1) . . . ψτ◦σ(r)(wr)

= −∑

σ∈Sr sig(σ)ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r)(w1, . . . , wr),

lo que demuestra que es antisimetrico respecto a cada par de variables i, j. 2Esta proposicion sugiere generalizar el producto exterior de dos formas lineales visto

en la seccion anterior (Definicion 5.6) al caso de r formas lineales como sigue:

ψ1 ∧ · · · ∧ ψr :=∑σ∈Sr

sig(σ)ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r)

Este producto exterior puede verse como un caso particular del producto exterior dedos tensores antisimetricos, cuyas propiedades se detallen en el apendice a esta seccion.Nos centraremos a continuacion unicamente en construir una base de Λr(V ) y estudiarsu dimension.

15

Proposicion 6.6 Sea B∗ = (φ1, . . . , φn) una base de V ∗, se verifican:

(i) El conjunto {φi1 ∧ · · · ∧ φir : 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n} es una base de Λr(V ).

(ii) Si T ∈ Λr(V ) entonces:

T =∑

1≤i1<···<ir≤n

ti1...irφi1 ∧ · · · ∧ φir ,

donde ti1...ir = T (vi1 , . . . , vir) y B = (v1, . . . , vn) tiene por base dual a B∗.

(iii) dim Λr(V ) =

(nr

)si r ≤ n, y 0 si r > n.

Demostracion. Obviamente, (ii) se deduce directamente de (i). Para comprobar la in-dependencia lineal del conjunto en cuestion, supongamos que∑

1≤i1<···<ir≤n

ai1...irφi1 ∧ · · · ∧ φir = 0.

Entonces, aplicando los dos miembros de la expresion al vector (vl1 , . . . , vlr), 1 ≤ l1 <· · · < lr ≤ n, obtenemos que al1···lr = 0.

Escribiendo como hasta ahora ti1···ir = T (vi1 , . . . , vir) la antisimetrıa de T implica:

tiσ(1)...iσ(r) = sig(σ)ti1...ir .

Por tanto, T se puede escribir como la combinacion lineal:

T =∑n

i1,...,ir=1 ti1,...,irφi1 ⊗ · · · ⊗ φir

=∑

1≤i1<···<ir≤n∑

σ∈Sr tiσ(1)...iσ(r)φiσ(1) ⊗ · · · ⊗ φiσ(r)

=∑

1≤i1<···<ir≤n∑

σ∈Sr sig(σ)ti1...irφiσ(1) ⊗ · · · ⊗ φiσ(r)

=∑

1≤i1<···<ir≤n ti1...irhr(φi1 ⊗ · · · ⊗ φir)

=∑

1≤i1<···<ir≤n ti1...irφi1 ∧ · · · ∧ φir ,

lo que prueba que el conjunto requerido es un sistema de generadores, concluyendose(i), ası como (ii). El punto (iii) es solo un ejercicio de combinatoria. 2

Ejercicio. Consideremos φ1, . . . , φr ∈ V ∗. Demuestrese que el conjunto {φ1, . . . , φr}es linealmente independiente si y solo si φ1 ∧ · · · ∧ φr 6= 0.

Llamaremos algebra exterior sobre V al espacio

Λ(V ) := (⊕nr=0Λr(V ),∧),

donde ⊕nr=0Λr(V ) no es mas que una notacion natural para el espacio cartesiano pro-ducto los espacios Λr(V ) y el producto exterior ∧ se supone definido para cualesquierapar de elementos de Λ(V ) (extendiendolo de manera natural por bilinealidad).

6.2. Apendice: Simetrizadores y producto exterior

Como extension del punto anterior, consideraremos ahora la posibilidad de simetri-zar o antisimetrizar tensores, ası como la de definir un produccto exterior para tensoresantisimetricos arbitrarios; esta construccion se puede extender facilmente a la de unproducto tensorial simetrizado para cualesquiera tensores simetricos.

16

Definicion 6.7 Se define el antisimetrizador de orden r ∈ N para el espacio vectorialV como la aplicacion

hr : T 0r (V ) → T 0

r (V )T 7→

∑σ∈Sr sig(σ)T σ,

donde T σ(y1, . . . , yr) := T (yσ(1), . . . , yσ(r)) para todo y1, . . . , yr ∈ V .

No es difıcil comprobar las siguientes propiedades:

Propiedades:

(1) hr es lineal y hr(T σ) = sig(σ)hr(T ).

(2) Imhr ⊂ Λr(V ), y si T ∈ Λr(V ) entonces hr(T ) = r!T .

(3) Para todo T ∈ T 0r (V ), T ′ ∈ T 0

r′ (V ) se tiene

hr+r′(hr(T )⊗ T ′) = r!hr+r

′(T ⊗ T ′),

hr+r′(T ⊗ hr′(T ′)) = r′!hr+r

′(T ⊗ T ′).

(4) hr+r′(T ⊗ T ′) = (−1)r·r

′hr+r

′(T ′ ⊗ T ).

Definicion 6.8 Se definen los siguientes productos exteriores:

∧ : Λr(V )× Λr′(V ) → Λr+r′(V )(T, T ′) 7→ T ∧ T ′ = 1

r!r′!hr+r

′(T ⊗ T ′)

∧ : Λr(V )× Λr′(V ) → Λr+r′(V )(T, T ′) 7→ T∧T ′ = 1

(r+r′)!hr+r

′(T ⊗ T ′).

Es inmediato comprobar que estos productos pueden expresarse del siguiente modo:

T ∧ T ′ = 1k!k′!

∑σ∈Sr+r′

sig(σ)(T ⊗ T ′)σ =∑

σ∈σr,r′sig(σ)(T ⊗ T ′)σ

T∧T ′ = 1(k+k′)!

∑σ∈Sr+r′

sig(σ)(T ⊗ T ′)σ,

donde σr,r′ = {σ ∈ Sr+r′ : σ(1) < · · · < σ(r) y σ(r + 1) < · · · < σ(r + r′)}.Propiedades: Los productos exteriores ∧, ∧ son:

(1) bilineales (obviamente),

(2) asociativos (para lo cual resulta esencial la eleccion hecha de los factores r!r′! o(r + r′)!), y

(3) antisimetricos, en el siguiente sentido:

T ∧ T ′ = (−1)r.r′T ′ ∧ T, T∧T ′ = (−1)r.r

′T ′∧T,

para T ∈ Λr(V ), T ′ ∈ Λr′(V ).

Nota. A lo largo de todo nuestro desarrollo, se escoge siempre el producto exterior ∧.

17

7. Tensores antisimetricos con r = n

7.1. Elementos de volumen

De nuestro desarrollo anterior se sabe que, si la dimension de V (K) es n ∈ N (conn ≥ 1)), entonces la dimension de Λn(V ) es igual a 1.

Definicion 7.1 Dada una base (ordenada) B = (v1, . . . , vn) y su correspondiente basedual B∗ = (φ1, . . . , φn) llamaremos tensor determinante en la base B a

detB := φ1 ∧ · · · ∧ φn (∈ Λn(V )).

Proposicion 7.2 (i) {detB} es una base de Λn(V ).(ii) Sean w1, . . . , wn ∈ V . Entonces detB(w1, . . . , wn) coincide con el determinante

de la matriz que tiene por columnas, ordenadamente, las coordenadas de w1, . . . , wn enla base B (esto es, la matriz cuya columna j-esima esta formada por las coordenadasde wj en B, para todo j).

(iii) Sea ω ∈ Λn(V ). Entonces

ω = ω(v1, . . . , vn) detB.

(iv) Si B = (v1, . . . , vn) es otra base ordenada entonces

detB = det(M(IdV , B ← B)) · detB. (7)

donde M(IdV , B ← B) es la matriz de cambio de base de B a B (esto es, la matriz encuyas columnas aparecen, ordenadamente, las coordenadas de los elementos de la baseB en B).

Demostracion. (i) Puesto que dim(Λn(V ) = 1, basta con comprobar que detB 6= T0

(tensor n-covariante nulo). Pero

detB(v1, . . . , vn) = φ1 ∧ · · · ∧ φn(v1, . . . , vn) = 1 6= 0.

(ii) Si wj =∑

i aijvi entonces

detB (w1, . . . , wn) == detB(

∑ni1ai11 vi1 , . . . ,

∑ninainn vin) =

∑ni1,...,in=1 a

i11 . . . a

inn detB(vi1 , . . . , vin)

=∑

1≤i1<...,<in≤n∑

σ∈Sn aiσ(1)1 . . . a

iσ(n)n detB(viσ(1) , . . . , viσ(n))

=∑

σ∈Sn aσ(1)1 . . . a

σ(n)n detB(vσ(1), . . . , vσ(n)) =

∑σ∈Sn sig(σ) a

σ(1)1 . . . a

σ(n)n

donde el ultimo miembro es el determinate de la matriz (aij)i,j.(iii) Inmediato del punto (i) anterior y de la Proposicion 6.6(ii).(iv) Aplıquese primero el punto (iii) y despues el (ii) anteriores. 2

Definicion 7.3 Llamaremos elemento de volumen de V a todo ω ∈ Λn(V ) no nulo.

El nombre “elemento de volumen” sugiere que |ω(w1, . . . , wn)| mide el volumen del“paralelepıpedo” generado por w1, . . . , wn.

18

7.2. Orientacion en un espacio vectorial real

El siguiente concepto tiene sentido en un espacio vectorial real, por lo que que enesta seccion V (R) denotara un espacio vectorial de dimension n ∈ N sobre el cuerpo R.

Consideremos el conjunto B de todas las bases (ordenadas) de V (R), y se considerala relacion binaria:

B ∼ B ⇐⇒ det(M(IdV B ← B)

)> 0, ∀B, B ∈ B. (8)

Resulta inmediato comprobar:

Proposicion 7.4 (1) La relacion ∼ es de equivalencia.(2) Existen exactamente dos clases de equivalencia, a saber [B] y [B−] donde B =

(v1, v2, . . . , vn) y B− := (−v1, v2, . . . , vn).

Ello permite introducir el siguiente concepto.

Definicion 7.5 Una orientacion en el espacio vectorial real V (R) es una eleccion deuna de las dos clases. Una vez hecha una tal eleccion [B], llamaremos al par (V (R), [B])espacio vectorial orientado, de todas las bases B tales que B ∈ [B] (resp. B 6∈ [B])diremos que estan positivamente ordenadas (resp. negativamente ordenadas).

El concepto de orientacion permite formalizar ideas intuitivas de clasificar las bases deV (R) con n = 1, 2, 3 mediante conceptos tales como:

n = 1: bases que “apuntan a la derecha” y bases que “apuntan a la izquierda”,n = 2: bases ordenadas segun el “sentido opuesto al giro de las agujas del reloj” y

bases ordenadas segun el sentido contrario.n = 3 bases ordenadas segun el “sentido de giro de un sacacorchos” y bases ordena-

das segun el sentido contrario.

Como ejercicio, el lector puede comprobar que se puede introducir el concepto de orien-tacion en V (R) de un modo completamente equivalente mediante elementos de volumencomo sigue:

(a) Consideremos la relacion de equivalencia en Λn(V )− {0} definida por: ω1 ∼ ω2

si y solo si w1 = aw2, a > 0.(b) Llamamos orientacion en V a cada una de las dos unicas clases de equivalencia

definidas por ∼. Fijada una de estas clases, [ω], al par (V, [ω]) le llamaremos espaciovectorial orientado.

(c) Sea (V, [ω]) un espacio vectorial orientado. Diremos que una base (ordenada)B = (v1, . . . , vn) esta positivamente orientada (resp. negativamente orientada) si sucorrespondiente base dual B∗ = (φ1, . . . , φn) verifica detB := φ1 ∧ · · · ∧ φn ∈ [ω] (resp.detB 6∈ [ω]).

(d) Fijada [ω], las bases positivamente ordenadas para (V, [ω]) constituyen una delas dos clases de equivalencia definidas segun (8). Recıprocamente, si se fija una deestas dos clases de equivalencia [B] entonces la clase del elemento de volumen [detB] esindependiente del representante B ∈ [B] que se escoja.

8. Consecuencias para los endomorfismos

8.1. Aplicacion inducida sobre espacios tensoriales

Con el objetivo de dar una definicion intrınseca de determinante de un endomorfismoen la proxima seccion, justifiquemos a continuacion como es posible usar los homomor-fismos entre espacios vectoriales para transportar tensores r-covariantes (en particular

19

los antisimetricos). Usando la traspuesta de esa aplicacion se puede, como ejercicio, ha-cer un estudio paralelo para tensores s-covariantes (y combinando ambos estudios paratensores (r, s) arbitrarios). En adelante, V (K) y V ′(K) seran dos espacios vectorialessobre el mismo cuerpo K.

Definicion 8.1 Sea f : V → V ′ lineal y T ′ ∈ T 0r (V ′). Se define el tensor inducido o

pull-back f ∗T ′ : V r → K de T ′ por f como

f ∗T ′(w1, . . . , wr) = T ′(f(w1), . . . , f(wr)), ∀w1, . . . wr ∈ V.

La siguiente proposicion es un ejercicio simple que resume las propiedades del pull-back.

Proposicion 8.2 Se verifica:

(1) f ∗T ′ ∈ T 0r (V ), la aplicacion f ∗ : T 0

r (V ′) → T 0r (V ) es lineal y, en particular, se

verifica para los tensores antisimeticos f ∗(Λr(V′)) ⊂ Λr(V ).

(2) Si f = IdV entonces f ∗ = IdTr,0(V ).

(3) Si se tiene otra aplicacion lineal g : V ′ → V ′′ entonces (g ◦ f)∗ = f ∗ ◦ g∗.

(4) Si f es biyectiva entonces (f−1)∗ = (f ∗)−1. En particular, f ∗ es biyectiva yf ∗(Λr(V

′)) = Λr(V ).

Se define entonces f∗ = (f−1)∗ y, en el caso de que g tambien sea biyectiva, verifica(g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗.

(5) f ∗(T ′1 ∧ T ′2) = f ∗(T ′1) ∧ f ∗(T ′2).

8.2. Determinante de un endomorfismo

El hecho de que Λn(V ) tenga dimension 1 permite redefinir el determinante de unendomorfismo f de manera independiente del estudio de matrices. Para ello, observeseprimero que, de la primera propiedad del pull-back antes estudiada, f induce un endo-morfismo de Λn(V ) y este nuevo endomorfismo debe ser un multiplo de la identidad,precisamente porque dim(Λn(V ))=1.

Definicion 8.3 Sea f un endomorfismo de V (K), y consideremos el correspondienteendomorfismo

f ∗ : Λn(V ) → Λn(V )ω 7→ f ∗ω

del espacio vectorial monodimensional Λn(V ). Llamamos determinante de f al unicoescalar det f ∈ K que verifica

f ∗ = det f · IdΛn(V ).

Comprobemos a continuacion que esta definicion coincide, para cualquier base B =(v1, . . . , vn), con la del determinante usual de la matriz M(f,B) cuya columna j-esimaesta formada por las coordenadas de f(vj) en B.

Proposicion 8.4 Si f es un endomorfismo de V y B = (v1, . . . , vn) es una baseordenada suya, entonces el valor de det f (segun la Definicion 8.3) verifica

det f = det(M(f,B)),

con independencia de la base B escogida.

20

Demostracion. De acuerdo con la Definicion 8.3,

f ∗(detB) = det f · detB

y aplicando ambos miembros sobre B = (v1, . . . , vn)

det f = detB(f(v1), . . . , f(vn)) = det(M(f,B)).

la ultima igualdad por la Proposicion 7.2(ii). 2Como una consecuencia sencilla, se prueban la siguiente propiedades de los deter-

minantes, que serıa difıcil demostrar de otro modo.

Proposicion 8.5 (1) Sean f, g ∈ End(V ). Entonces det (f ◦ g) = detf · detg.(2) Sean A,C ∈Mn(K). Entonces det (A · C)= detA· det C.

Demostracion. (1) De la Definicion 8.3, para cualesquiera ω ∈ Λn(V ), w1, . . . , wn ∈ V :

det(f ◦ g) · ω(w1, . . . , wn) = (f ◦ g)∗ω(w1, . . . , wn) = ω(f(g(w1)), . . . , f(g(wn)))= (f ∗ω)(g(w1), . . . , g(wn)) = [g∗[(f ∗ω)](w1, . . . , wn)= detg · [(f ∗ω)](w1, . . . , wn)= detg · detf · ω(w1, . . . , wn)

(9)por lo que escogiendo ω y los wi con ω(w1, . . . , wn) 6= 0 se obtiene la igualdad.

(2) Considerese Kn(K) con su base usual B0, y sean f, g ∈ End(Kn los endomorfismosque verifican A = M(f,B0), C = M(g,B0), de modo que A·C = M(f ◦g,B0). Entonces:

det(A · C) = det(f ◦ g) = detf · detg = detA · detC,

donde en la primera y ultima igualdades se usa la Proposicion 8.4 y en la segunda elapartado (1) anterior. 2

Observacion 8.6 (1) Es de remarcar que en la segunda lınea de (9) se esta implıcita-mente probando que la aplicacion (f ◦ g)∗ : Λn(V )→ Λn(V ) verifica (f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f ∗(lo cual ya se habıa establecido con mas generalidad en la Proposicion 8.2 (3)), y queesta igualdad junto a la Definicion 8.3 conduce directamente al resultado.

(2) En la demostracion del resultado para matrices, se podrıa escoger cualquierespacio vectorial de dimension n sobre K y cualquier base suya B en lugar de Kn(K) yB0, y la demostracion permanecerıa inalterada.

Ejercicio. Sea V (R) un espacio vectorial real. Se dice que f ∈End V preserva lasorientaciones (resp. invierte las orientaciones) si para cualquier base ordenada B =(v1, . . . , vn) se verifica que (f(v1), . . . , f(vn)) es una base ordenada en la misma (resp.distinta) orientacion que B. Demostrar que equivalen:

(a) f preserva (resp. invierte) las orientaciones.(b) detf > 0 (resp. detf < 0).(c) Existe una base ordenada B = (v1, . . . , vn) tal que (f(v1), . . . , f(vn)) es una base

ordenada en la misma (resp. distinta) orientacion que B.(d) Existe un elemento de volumen ω tal que f ∗ω determina la misma (resp. distinta)

orientacion que ω.(e) Para todo elemento de volumen ω se tiene que f ∗ω determina la misma (resp.

distinta) orientacion que ω.

En particular, concluir que f verifica una de las siguientes tres posibilidades excluyentes:(i) no es un automorfismo, (ii) es un automorfismo que preserva las orientaciones, (iii)es un automorfismo que invierte las orientaciones.

21