TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Técnicas motivacionales para la asignatura deMatemáticas

Jaime Martín Fernández Cestau

MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS

Tutor: Roberto Castellanos FonsecaFacultad de Letras y de la Educación

Curso 2010-2011

MATEMÁTICAS

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012

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Técnicas motivacionales para la asignatura de Matemáticas, trabajo final deestudios

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 Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja 

   

Técnicas motivacionales 

para la asignatura de 

Matemáticas 

 

Proyecto Fin de Máster 

Jaime M. Fernández Cestau 

 

2010/2011

  

ÍNDICE  

 

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………….. 3  

MARCO TEÓRICO………………………………………………………………………………….4  

Teorías sobre el aprendizaje ………………………………………………………………....5 

Perspectiva Pedagógica ………………………………………………………………….….….8 

Perspectiva Psicológica ……………………………………………………………………..…11 

Perspectiva Sociológica …………………………………………………………………..…...13 

 

UNIDAD DIDÁCTICA 3º E.S.O: SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD………………………………………………………………………………….14    

Eje Organizador………………………………………………………………………………………….14 

Objetivos……………………………………………………………………………………………………15 

Contenidos………………………………………………………………………………………………...16 

Competencias Básicas………………………………………………………………………………..18 

Actividades…………………………………………………………………………………………………19 

 

              De Iniciación y Motivación…………………………………………………………….....19 

  De Desarrollo y Aprendizaje………………………………………………………..……21 

  De Refuerzo y Ampliación…………………………………………………………….....23 

  De Resumen y Síntesis……………………………………………………………………..26 

  De Evaluación……………………………………………………………………………………28 

 

Recursos materiales…………………………………………………………………………………29 

Metodología……………………………………………………………………………………………30 

Educación en valores e interdisciplinariedad……………………………………………32 

Criterios de evaluación…………………………………………………………………………….33 

1  

  

PROYECTO DE INNOVACIÓN………………………………………………………………34  

Objetivos e Iniciación Educativa…………………………………………………………………………..36 

Metodología………………………………………………………………………………………………………..41 

 

  Realización de Juegos y experimentos probabilísticos………………………………….42 

  Los inicios de la probabilidad. Fermat y Pascal……………………………………….……..45 

  Lectura de textos divulgativos y debate posterior…………………………………….….49 

  Metodología de trabajo para el profesor……………………………………………………...51 

  Metodología de trabajo para el alumno…………………………………………………..……52 

 

Evaluación………………………………………………………………………………………………………….53 

 

REFLEXIONES FINALES………………………………………………………………………60  

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….61  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2  

  

INTRODUCCIÓN  

Este proyecto pretende  aportar  técnicas más o menos novedosas para  aumentar el 

interés de los alumnos hacia la asignatura de matemáticas. Con las ideas explicadas se 

pretende  trabajar  más  competencias  básicas  y  en  mayor  profundidad  que  sólo 

ciñéndonos al método clásico de enseñanza. No obstante, no es un método sustitutivo 

de  la  idea  clásica  del  proceso  de  enseñanza‐aprendizaje,  sino  que  explicamos  unas 

técnicas que pueden sumarse a las tradicionales para mejorar dicho proceso. 

Para realizar la defensa, este proyecto se ha dividido en tres partes. 

En  la primera de ellas,  se  realiza un estudio del marco  teórico en el que  se basará, 

atendiendo  a  criterios  pedagógicos,  psicológicos  y  sociológicos.  A  continuación,  se 

reproduce una unidad didáctica correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria 

para terminar con el proyecto de innovación que consiste en unas técnicas que pueden 

sumarse a  la unidad didáctica del apartado anterior para una mejora del método de 

enseñanza. 

 

 

 

 

 

 

 

 

3  

  

MARCO TEÓRICO  

  A la hora de planificar y ejecutar una unidad didáctica o toda una programación 

de  aula  a un  grupo de  alumnos,  afrontamos una decisión difícil de  tomar. Y es que 

existen varias teorías pedagógicas y, seamos o no conscientes de su existencia, nuestra 

manera de impartir clases se acercará en mayor o menor medida a una de ellas. 

  Como es lógico, un docente estará mejor preparado para su labor en el aula si 

conoce  los  diferentes  enfoques  desde  los  que  se  puede  estructurar  la  enseñanza, 

siendo  a  su  vez  capaz  de  realizar  un  análisis  crítico  a  los mismo.  Esta  capacidad  le 

permitirá elegir el enfoque que mejor se ajuste a las características de su alumnado en 

cada momento, teniendo en cuenta el contexto educativo en el que se encuentre. 

  Este proyecto  intenta aumentar  la motivación que sienten  los alumnos por  la 

asignatura de matemáticas. La falta de motivación es, en nuestra opinión,  la principal 

razón de los casos de fracaso escolar que se dan en nuestros centros de estudio, por lo 

que intentaremos explicar cómo afrontar este problema, concretando nuestro modelo 

a la unidad didáctica de Sucesos Aleatorios y Probabilidad de 3º E.S.O.  

  Para evaluar el modelo  tanto  sociológico,  como pedagógico  y psicológico del 

alumnado, se tomará en cuenta los grupos de 3º A y 3º B del IES Duques de Nájera, por 

ser en  los que se  impartió  la unidad didáctica correspondiente durante el periodo de 

prácticas correspondientes al Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja. 

 

 

4  

  

Teorías sobre el aprendizaje  

  Aunque  las  creencias  acerca  de  la  enseñanza  en matemáticas  que  cada  uno 

tenemos influyen, como es lógico, en nuestra manera de impartir clase a un grupo de 

alumnos,  podemos  hablar,  principalmente,  de  dos  diferentes  teorías  sobre  el 

aprendizaje: la teoría conductista o de absorción y la teoría constructivista. 

Modelo conductista  

  La  teoría  de  la  absorción,  como  su  propio  nombre  indica,  se  basa  en  la 

memorización  de  conceptos.  El  conocimiento  es  adquirido  por  almacenamiento  de 

información  aislada  entre  sí.  Esta  teoría  se  basa  en  la  repetición  de  procesos 

mecánicos y por un aprendizaje acumulativo.  

  El día a día en el aula, suele ser una sucesión de clases magistrales por parte del 

profesor, donde la participación del alumnado es escasa. Además, en la evaluación se 

premia  la  respuesta  correcta  y  no  el  camino  que  se  ha  seguido  para  llegar  a  esa 

conclusión.  

  Por último, cabe destacar, que el libro de texto es un arma muy poderosa para 

los seguidores de esta teoría, ya que funciona como saber oficial y como organizador 

de las unidades didácticas a impartir. 

Críticas al modelo  

  Los críticos a esta teoría argumentan que prima el individualismo y la pasividad 

del alumno. Se prefiere una mecánica y rápida, que un proceso  lógico‐argumentativo 

para  llegar a una conclusión. Además, como se basa en  la acumulación de conceptos, 

5  

  

en ocasiones es  complicado diferenciar aprendizaje  con  simple memorización  y, por 

tanto, el alumno puede responder mecánicamente a algunas preguntas sin que haya 

una  comprensión  real  del  conocimiento  implicado  en  su  solución.  Por  último,  cabe 

señalar, que esta teoría concibe  la enseñanza como una ciencia aplicada y al docente 

como un portador de conocimientos especiales sobre ella, dando excesiva relevancia al 

libro de  texto,  como  si  fuera del  libro no hubiera  cosas que mereciesen  la pena  ser 

aprendidas. 

Modelo constructivista  

  El constructivismo expone que el  individuo es una construcción propia que se 

va  produciendo  día  a  día  por  la  interacción  del  ambiente  y  de  sus  disposiciones 

internas.  Según  esta  teoría,  la  enseñanza  no  es  solamente  una  transmisión  de 

conocimientos, sino que es una organización de métodos de apoyo que permitan a los 

alumnos construir su propio saber. Por tanto, trata a alumno como alguien que tiene 

comprensión  y  medios  suficientes  para  abordar  situaciones  novedosas.  Es  lógico 

pensar  por  lo  ya  expuesto,  que  un  buen  ambiente  para  el  proceso  de  enseñanza‐

aprendizaje será aquel en el que exista una  interacción dinámica entre  los alumnos y 

los profesores, siendo esencial la existencia de actividades dentro de esa relación que 

den la oportunidad al alumnado de crear su propia verdad. Se pretende que el nuevo 

conocimiento  se  adquiera  pensando,  construyendo,  creando  relaciones  con  un 

conocimiento  previo,  a  ser  posible  incentivando  la  curiosidad  del  alumnado  y 

proponiendo retos interesantes. Como esta teoría asume que cada individuo construye 

su  conocimiento  de manera  diferente,  la  atención  a  la  diversidad  es  un  elemento 

esencial que disminuye el impacto del libro de texto. A la hora de evaluar se tiene más 

6  

  

en  cuenta  el  camino  recorrido  que  la  solución  a  la  que  se  llegue,  valorando  así  la 

argumentación y el pensamiento. 

Críticas al modelo  

  Los críticos a esta teoría, argumentan que presupone la autonomía del alumno 

y  su  voluntad  por  aprender  y minimiza  el  papel  del  esfuerzo  y  la memoria  en  el 

aprendizaje,  vaciando  de  contenido  significativo  los  aprendizajes  y  reduciéndolos  a 

sólo procedimientos. También, se le achaca que su fruto no es inmediato ni sencillo de 

medir, y que el contemplar cada alumno como un mundo es difícil de llevar a cabo sin 

invertir  una  enorme  cantidad  de  tiempo  y  recursos  de  los  que  raramente  se  suele 

disponer, o sin fomentar la disgregación en el aula. Pese a que en los últimos años se 

ha intentado la implantación de esta teoría de aprendizaje en varios países europeos, 

recientemente  está  en  entredicho  a  raíz  de  importantes  críticas  que  ha  sufrido  por 

parte de  varios pedagogos que han  llevado  a que por ejemplo el Reino Unido haya 

desterrado este modelo de sus sistemas de enseñanza. 

 

 

 

 

 

 

 

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PERSPECTIVA PEDAGÓGICA  

  Como ya hemos dicho, los grupos en los que impartimos la unidad didáctica de 

Sucesos Aleatorios y Probabilidad en el IES Duques de Nájera fueron 3º A y 3º B. En la 

memoria  de  prácticas  de mi  estancia  en  este  centro,  había  un  apartado  donde  se 

describía  a  cada  uno  de  los  grupos  en  los  que  impartí  clase. Así  pues,  recopilamos 

aquella información, para describir pedagógicamente los grupos de 3º A y de 3º B. 

 

3º A – E.S.O.  

  El grupo de 3º A de E.S.O. está formado por 31 alumnos, de  los cuales 18 son 

chicos y 13 chicas. De los 31 estudiantes, 6 se encuentran repitiendo curso. 

  En  general,  es  un  grupo  donde  impartir  clase  es  una  tarea  complicada.  Si 

decíamos  que  en  el  grupo  anterior  había  tres  alumnos  que  interrumpían  las 

explicaciones, molestaban a  sus compañeros y no mostraban mucho  respeto por  las 

normas cívicas que se deben seguir en un aula, en este grupo, ese número de alumnos 

que dificultan el proceso de enseñanza‐aprendizaje es bastante superior. En torno a un 

tercio de  los alumnos, o no  siguen  las explicaciones, o hablan continuamente con el 

compañero, o interrumpen haciendo comentarios jocosos, o combinan las actuaciones 

anteriores. 

  Pese a  todo, es un grupo de alumnos capaz de absorber con  facilidad nuevos 

conocimientos y creo que con un poco más de atención en las explicaciones de clase y 

potenciando  la confianza en ellos mismos se reduciría el alto nivel de suspensos que 

obtienen en sus calificaciones. Durante el tiempo que  impartí  la unidad didáctica que 

se explicará más adelante en esta memoria, contestaban bien a las cuestiones que les 

lanzaba y realizaban preguntas desafiantes e inteligentes. 

8  

  

  No obstante,  el número de  alumnos que han dejado de  trabajar en  clase es 

preocupante y, de hecho, en  los exámenes que  realizaron durante mi estancia en el 

instituto, siempre había seis o siete alumnos que optaban por no contestar a ninguna 

pregunta. 

  De todas formas, así como decíamos que un tercio de los alumnos son bastante 

alborotadores,  también hay varios alumnos  realmente  interesados por  la asignatura, 

que estudian, se esfuerzan y tienen inquietudes para con las matemáticas. Cuando les 

fotocopié  el  artículo  publicado  en  El  País  titulado  “El  ‘anumerismo’  también  es 

incultura”,  algunos  de  estos  alumnos  reconocieron  haberlo  leído  y me  preguntaron 

cuestiones, que quizás escapaban al nivel matemático adecuado para  su edad, pero 

que demostraban su interés por las matemáticas. 

 

3º B – E.S.O.    

Este grupo, a principio de curso, estaba formado por 30 alumnos, pero a  lo  largo del 

mismo  cuatro  alumnos  cambiaron  de  centro  de  estudios  y  un  alumno  se  incorporó 

durante mi sexta semana en el  instituto. Así pues, ahora mismo son un grupo de 27 

alumnos,  de  los  cuales  3  están  repitiendo  curso.  Hay  un  número  de  alumnas  que 

duplica  al de  alumnos  (y  con  ese dato  el  lector podrá,  fácilmente,  saber  el número 

exacto de  chicos y de chicas). En el grupo hay  tres alumnos  inmigrantes y, como ya 

venía  observando  en  experiencias  anteriores  en  un  aula,  el  respeto  que muestran 

estos alumnos por sus profesores es magnífico. 

  Es  un  grupo  que,  a  diferencia  de  sus  compañeros  de  curso,  muestra  un 

comportamiento  intachable.  Siempre  atentos,  muestran  mucho  interés  por  la 

asignatura, y realizan preguntas inteligentes y con sentido. 

  No obstante, pese a que es un grupo trabajador, no tienen  la misma facilidad 

para absorber conocimientos como el grupo anterior, pero subsanan ese problema con 

su  esfuerzo,  entrega  y  ganas de  aprender.  Este  esfuerzo  al que hacemos  referencia 

hace que el porcentaje de aprobados en esta clase sea superior que en la otra, siendo 

las pruebas a las que se enfrentan, en muchos casos idénticas. 

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  Como única pega que se le puede poner a este grupo de 3º E.S.O. es que son un 

poco  dependientes  de  la  figura  del  profesor  en  su  aprendizaje.  No  es  algo  muy 

preocupante a su edad, pero en ocasiones lanzaban preguntas antes de que mi tutora 

o  yo  mismo  hubiésemos  terminado  la  explicación.  Siempre  es  de  agradecer  la 

participación en clase, pero creo que antes de preguntar una cuestión hay que esperar 

a escuchar la explicación entera, por si en ella se halla respuesta a la misma. 

  Pero, como decíamos, es un grupo magnífico, donde dar clase se convierte en 

una tarea mucho más sencilla gracias a su comportamiento, su interés y su motivación. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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PERSPECTIVA PSICOLÓGICA  

  Los grupos a los que impartimos docencia, como ya hemos dicho, pertenecen a 

grupos de tercero de ESO, por lo que nos encontramos mayoritariamente con alumnos 

de entre catorce y quince años. Esto provoca un desajuste de  los chicos y  las chicas 

pertenecientes  a  los  grupos,  ya  que  mientras  que  los  primeros  se  encuentran 

finalizando en  su mayoría  la  fase de adolescencia  temprana,  las  segundas ya habrán 

alcanzado la adolescencia media. 

  Teniendo  en  cuenta  este  hecho,  es  importante  que  conozcamos  las 

características más relevantes de estas dos etapas, que hemos obtenido del material 

didáctico que recibimos a lo largo del máster en el que nos encontramos: 

Adolescencia temprana: 

  Durante  la adolescencia temprana  los cambios físicos provocan desconcierto y 

es usual que se produzca decepción, disgusto y sentimiento de rechazo por el nuevo 

aspecto  físico.  A  nivel  afectivo,  la  vitalidad  y  la  energía  favorecen  la  inclinación 

entusiasta  por  casi  todo  y  la  conducta  apasionada,  pero  también  el  desequilibrio 

emocional y  la aparición de reacciones emocionales primarias como son  la  inquietud, 

la ira o el miedo. Socialmente tienden a distanciarse de la familia y a abrirse al mundo 

que hay fuera de ella, y es normal que aparezcan malos modales y faltas de respeto. 

  La  respuesta educativa  recomendada  incluye el establecimiento de normas  y 

límites e  intentar entender el  fenómeno de  la pubertad y aceptar al adolescente  tal 

como  es.  Se  debe mantener  la  serenidad  y  no  dramatizar,  y  objetivar  las  nuevas 

conductas viéndolas como manifestaciones normales del desarrollo evolutivo, además 

11  

  

de dar un  trato diferenciado en  función del sexo,  tipo de carácter, edad, aptitudes e 

intereses y escuchar  lo que tenga que decir, creando un ambiente de adaptación a sí 

mismo y a la realidad en la que vive. 

 

Adolescencia media: 

  Durante la adolescencia media, por el contrario, los cambios psíquicos son más 

profundos: se produce el descubrimiento del yo, el adolescente se observa y analiza a 

sí mismo.  Esta  etapa  se  caracteriza  por  la  introspección  y  el  autoconocimiento  al 

advertir  la diferencia entre  lo que es  y  lo que quisiera  ser, además de  ser  capaz de 

autoevaluar  su pensamiento,  formular hipótesis  y  contrastarlas  con  la  realidad para 

deducir  sus  consecuencias.  Nace  además  el  sentido  del  deber,  favorecido  por  la 

evolución  moral  y  por  el  hecho  de  que  las  normas  ya  no  sean  vistas  como  algo 

coercitivo, sino como valores a respetar. 

  En  esta  etapa,  la  respuesta  educativa  debe  basarse  en  la  aceptación  del 

adolescente, animándole a que actúe con sus propias conductas, sin sustituirlo en  la 

forma de decisiones y valorando esos comportamientos y sus soluciones. También hay 

que exigir que afronten las consecuencias de sus actos, debe acostumbrarse a pensar y 

a informarse antes de decidir mediante la participación en situaciones en las que tenga 

que  valerse  por  sí mismo,  además  de  aprender  a  sustituir  la  confrontación  por  el 

diálogo y la negociación. 

 

 

12  

  

PERSPECTIVA SOCIOLÓGICA  

 

  También explicamos en  la memoria de prácticas correspondiente a  la estancia 

en el centro, cómo era el contexto socio‐económico‐cultural del alumnado.  

 

  Pudimos  trazar,  por  los  resultados  de  la  encuesta,  un  perfil  medio  del 

alumnado. El alumno medio vive en una familia de clase media compuesta por cuatro 

miembros,  ambos  padres  tienen  estudios  medios  (aunque  hay  un  porcentaje 

significativo con estudios universitarios), trabajan y van de viaje con sus hijos. Poseen 

vivienda en propiedad, equipada con biblioteca y medios informáticos. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13  

  

UNIDAD DIDÁCTICA 3º ESO: 

SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD  

   

EJE ORGANIZADOR  

  El lenguaje cotidiano está lleno de expresiones que hacen referencia al lenguaje 

probabilístico: “por suerte”, “es previsible que”, “casi seguro que”… El análisis de  las 

condiciones  que  deben  darse  en  una  situación  cercana  a  los  alumnos  para  que  sea 

factible cuantificar las diferentes posibilidades que pueden surgir es una buena manera 

de presentar los contenidos de la unidad. Los alumnos se sorprenden de que contextos 

en  los  que  interviene  el  azar  sean  susceptibles  de  tratamiento  matemático  por 

asignación  de  la  correspondiente  probabilidad.  Con  ello  adquieren  una  mayor 

capacidad  de  abstracción,  incorporan  a  su  lenguaje  habitual  los  términos  y 

propiedades  del  cálculo  de  probabilidades  y  pueden  adoptar  actitudes  críticas  ante 

determinados fenómenos en los que interviene el azar. 

Las  posibles  dificultades  de  los  contenidos  planteados  en  la  unidad  son 

fundamentalmente  de  tipo  conceptual,  ya  que  los  procedimientos  incorporan 

operaciones aritméticas muy sencillas y  los conocimientos previos no van más allá de 

un  relativo  dominio  de  las  operaciones  con  fracciones,  de  los  porcentajes  y  de  las 

propiedades de la proporcionalidad numérica. Por ello insistiremos en cada momento 

en  los conceptos clave, analizando su significado en cada actividad que se proponga, 

para facilitar su comprensión. 

 

14  

  

OBJETIVOS  

Distinguir experiencias deterministas de experiencias aleatorias. 

Reconocer  sucesos  elementales,  los  sucesos  seguro  e  imposible,  y  el  suceso 

contrario de otro dado en un experimento aleatorio. 

Valorar cuantitativamente la probabilidad de que ocurran determinados sucesos. 

Asignar probabilidades a sucesos asociados a experimentos aleatorios. 

Reconocer  sucesos  equiprobables  y,  en  su  caso,  aplicar  la  regla  de  Laplace  para 

calcular su probabilidad. 

Aplicar las propiedades para determinar la probabilidad del suceso contrario, de la 

unión de dos sucesos, compatibles o incompatibles, y de otros casos sencillos. 

Utilizar el  lenguaje propio de  la probabilidad para describir  la posibilidad de que 

ocurra un determinado suceso. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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CONTENIDOS 

 

Conceptos 

Experimento aleatorio. 

Espacio muestral. 

Sucesos elemental y compuesto. 

Sucesos seguro, imposible, contrario. 

Espacio de sucesos. Unión e intersección.  

Sucesos compatibles e incompatibles. 

Frecuencias absoluta y relativa de un suceso. 

Probabilidad de un suceso. 

Regla de Laplace. 

Propiedades de la probabilidad. 

Sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad de la unión de sucesos.  

Experimentos compuestos. 

Sucesos dependientes e independientes. 

Probabilidad experimental 

Números aleatorios y simulación 

Procedimientos 

Obtención del espacio muestral, de  los sucesos elementales, del suceso seguro y del suceso imposible de un experimento aleatorio.  

Cálculo de operaciones con sucesos. 

Detección de sucesos compatibles, incompatibles y contrarios. 

Utilización de la regla de Laplace para determinar la probabilidad de un suceso. 

Utilización  de  las  propiedades  del  cálculo  de  probabilidades  para  determinar  la probabilidad de un suceso. 

Asignación  de  probabilidades  a  la  unión  de  dos  sucesos,  compatibles  o incompatibles. 

Asignación de probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos compuestos. 

Cálculo  de  la  probabilidad  de  la  intersección  de  dos  sucesos,  dependientes  o independientes. 

16  

  

Actitudes 

 

Reconocimiento  de  la  aplicación  del  cálculo  de  probabilidades  cuando  se  tienen que predecir resultados de fenómenos relacionados con situaciones cotidianas. 

Interés por describir de forma precisa y con el lenguaje adecuado los resultados de un experimento aleatorio. 

Valoración  crítica  de  la  información  recibida  sobre  experiencias  en  las  que interviene el azar. 

Valoración  positiva  del  trabajo  en  equipo  al  planificar  y  desarrollar  actividades relacionadas con el cálculo de probabilidades.  

Valoración de la matemática como un instrumento necesario en el conocimiento y desarrollo de otras áreas del pensamiento humano.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17  

  

COMPETENCIAS BÁSICAS  

 

- Analizar  las características de un experimento para determinar si  los sucesos son 

aleatorios o no. (C2) 

- A partir del conocimiento de la probabilidad de un suceso comprender la mecánica 

de los juegos de azar. (C2, C3) 

- Relacionar  el  cálculo  de  probabilidades  con  la  predicción  de  ciertos  fenómenos 

habituales como el clima, las enfermedades, las tendencias de moda…. (C2, C3, C6) 

- Conocer  el  lenguaje  específico  del  cálculo  de  probabilidades  para  analizar 

correctamente los sucesos aleatorios. (C2, C4)  

- Tener  sentido  crítico  ante  las  informaciones  que  recibimos  diariamente  y  que 

contienen términos probabilísticos. (C2, C4, C5, C8) 

 

 

C2: Competencia Matemática. 

C3: Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 

C4: Tratamiento de la información y competencia digital. 

C5: Competencia social y ciudadana. 

C6: Competencia cultural y artística. 

C8: Autonomía e iniciativa personal. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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ACTIVIDADES  

 

Actividades de iniciación y motivación  

  Las actividades de iniciación y motivación se llevarán a cabo de manera 

espaciada entre las sesiones de la unidad didáctica, como ya hemos explicado en la 

metodología. No obstante, la mayoría de ellas se plantearán en la primera sesión para 

captar la atención del alumnado. 

Actividades 

 

1.‐ Dos señores han apostado 4 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar una 

moneda y cada vez que sale cara el primero de ellos gana una partida y, por el 

contrario, si sale cruz es el otro señor el que gana una partida. Habían pactado que el 

primero que ganara 10 partidas sería el ganador del juego y, por tanto, se llevaría todo 

el dinero, pero el juego se interrumpe cuando el primero de los dos señores lleva 8 

partidas ganadas y el segundo 7. ¿Cómo deben repartirse el dinero? 

 

2.‐ El Caballero de Meré escribió una carta a los matemáticos Pascal y Fermat 

preguntándoles a cerca de la siguiente cuestión: Si lanzamos un dado cuatro veces, 

¿debo apostar a que no saldrá ningún seis o por el contrario, a que si saldrá algún seis 

en alguna de las tiradas? 

 

3.‐ Demuestra que la probabilidad de que dos personas asistentes a una comida en la 

que hay 23 comensales cumplan años el mismo día del año es superior al 50%. 

 

 

 

 

19  

  

4.‐ Un verdugo aficionado al juego le explica a un preso un juego del que dependerá su 

vida. El verdugo pone a disposición del preso dos urnas vacías y posteriormente 5 

bolas blancas y 5 negras. El preso debe colocar las bolas dentro de las urnas de tal 

manera que, primero haciendo una selección al azar entre las dos urnas y luego 

introduciendo la mano y sacando una bola al azar de la urna seleccionada, si obtiene 

una bola blanca salvará su vida mientras que por el contrario, si la bola extraída es 

negra será condenado a muerte. ¿Cómo debe el preso organizar las bolas en las urnas 

para que sus posibilidades de supervivencia sean mayores? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20  

  

Actividades de desarrollo y aprendizaje  

  Las actividades de desarrollo son la base de la unidad, pues ejercitan los 

contenidos de la misma. La selección de las actividades se ha realizado en función al 

tipo de conocimiento trabajado y en lo atractivas que pueden resultarles a los 

alumnos. 

 

Actividades 

 

1.‐ Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios: 

Número de personas que suben a un autobús en una parada. 

Aplicar el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo. 

Conocer el ganador de la Liga de Campeones. 

Calcular la raíz cuadrada de un número. 

 

2.‐ Se lanza un dado cúbico. Indica el espacio muestral. Indica también los sucesos 

elementales que forman cada uno de estos sucesos. 

Sacar un múltiplo de 3. 

Sacar un número menor que cuatro. 

Sacar un cero. 

Sacar un número primo mayor que 3. 

Sacar un número menor que 7. 

3.‐Sonia tiene 2 pantalones de deporte, 4 camisetas y 3 pares de zapatillas. ¿De 

cuántas maneras se puede vestir para hacer ejercicio? 

4.‐En una urna hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. Se extrae una bola al azar. Calcula 

la probabilidad de que la bola extraída: 

Sea un número par. 

Sea un número que termina en 0. 

Sea un múltiplo de 5. 

No sea múltiplo de 3. 

21  

  

5.‐Se lanza un dado al aire y se consideran estos sucesos: 

  A=”sacar un número par”. 

  B=”sacar menos que 3”. 

  C=”sacar un cinco”. 

Forma los siguientes sucesos y halla su probabilidad 

A U B 

B Λ C 

Ᾱ U B U C  A U B Λ C 

B Λ Ᾱ 

 

6.‐Una bolsa contiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extraen, sin devolución, 2 

bolas de la bolsa. Calcula la probabilidad de estos sucesos. 

Se extraen las dos rojas. 

No se extrae ninguna bola verde. 

Se extraen dos bolas del mismo color. 

Se extraen dos bolas de distinto color considerando que ha habido 

devolución a la urna de la bola extraída. 

7.‐ ¿De cuántas formas diferentes se pueden rellenar los quince partidos de una 

quiniela con 1, X, 2? 

8.‐ En una bolsa hay seis monedas de 50 céntimos, 4 de un euro y 5 de dos euros. 

Sacamos una moneda al azar y, sin devolverla a la bolsa, sacamos una segunda 

moneda. Calcula la probabilidad de sacar en total: 

Cuatro euros. 

Más de un euro. 

Menos de cuatro euros. 

9.‐ En una nevera hay 6 tomates verdes, 4 tomates rojos, 3 limones y 5 naranjas. 

Sacamos una pieza al azar. Halla la probabilidad de: 

Sacar un tomate verde 

No sacar un tomate 

Sabiendo que es un tomate, que sea rojo. 

 

22  

  

Actividades de refuerzo y ampliación  

  Responden a las medidas de atención a la diversidad que hay que poner en 

práctica a la hora de explicar una unidad didáctica. No todos los alumnos tienen la 

misma facilidad y con este tipo de actividades habrá que conseguir motivar a los 

alumnos que adquieren conocimientos con facilidad y a la vez potenciar las aptitudes 

de los alumnos que hayan tenido más dificultados con los conceptos explicados. 

 

Actividades de refuerzo 

 

1.‐ Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas y se consideran los 

sucesos: 

A=”sacar una copa”. 

B=”sacar un rey”. 

C=”sacar una carta menor que cinco”. 

Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades: 

A U B, A U C y B U C. 

A Λ B, A Λ C y B Λ C 

A U B U C y A Λ B Λ C 

El suceso contrario de C 

El suceso contrario de la unión de los sucesos A y B. 

La unión del suceso contrario de A y del suceso contrario de C. 

 

2.‐ Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras. 

¿Cuál es la probabilidad de que no sea negra? 

 

3.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja 

española. 

 

23  

  

4.‐ ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una ficha de dominó al azar, la suma de sus 

puntos sea 12?¿Y de que sea 5?¿Y de que no aparezca el 6 en ninguno de los dos 

cuadrados? 

 

5.‐ Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: 

Sacar 3 cruces. 

Obtener al menos una cara. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Actividades de ampliación 

 

1.‐ En una lotería primitiva se extraen de un bombo bolas numeradas del 1 al 49. Se 

extrae la primera bola. 

¿Es más probable que acabe en 5 que en 10? 

¿Es más probable que sea un número par o que sea menor que 24? 

¿Es más probable que sea un número de dos cifras que empiece por tres o que 

sea un número múltiplo de tres? 

 

2.‐ Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0.3 y P(B)=0.2. ¿Es posible que P(A U B)=0.6? 

 

3.‐ Calcula la probabilidad del suceso A, sabiendo que 2*P(A) + P(Ᾱ)=1,4. 

 

4.‐ Si A y B son dos sucesos tales que P(A)=2/3, P(B)=1/2 y P(Ᾱ Λ B)=1/5, calcula P(A U B). 

 

5.‐ Lanzamos dos dardos sobre una diana de forma cuadrada que tiene dibujada su 

circunferencia inscrita. Cuando el dardo entra dentro de la circunferencia obtenemos 

un punto, y si entra en el cuadrado pero no en la circunferencia obtenemos dos 

puntos. Calcula la probabilidad de obtener tres puntos. 

 

  Cabe señalar que las actividades que incluimos como de motivación, encajan 

también en el perfil de ampliación. Al fin y al cabo, la labor fundamental de las 

actividades de ampliación es la de motivar a los alumnos con mayor facilidades a la 

hora de absorber los conocimientos de la unidad didáctica. 

 

 

 

25  

  

Actividades de resumen y síntesis  

  Son las actividades cuya función es la de potenciar el aprendizaje adquirido a lo 

largo de la unidad didáctica. La selección de estas actividades debe cubrir todos los 

contenidos expuestos y los objetivos marcados en esta unidad. 

 

Actividades 

 

1.‐ Se lanza un dado. Determina la probabilidad de que haya salido un 2, sabiendo que 

ha salido un número menor que cinco. 

 

2.‐ En un garaje hay 4 coches de la marca A, de los cuales 2 son negros, y 6 coches de la 

marca B, de los cuales 4 son negros. Calcula la probabilidad de que al elegir un coche al 

azar: 

Sea de la marca A 

Sea negro 

Sea negro de la marca A 

Sea de la marca B, pero no negro 

Sabiendo que es negro, sea de la marca B. 

Sabiendo que es de la marca A, sea negro. 

 

3.‐ Un bombo tiene 3 bolas numeradas del 1 al 3 y un segundo bombo tiene 5 bolas 

numeradas del 1 al 5. Se saca una bola del primer bombo y, a continuación, una bola 

del segundo. Calcula la probabilidad de que salga: 

El número 34. 

Un número mayor que 15. 

Un número menor que 30. 

 

4.‐ Calcula la probabilidad de obtener un as o un oro al extraer una carta de una baraja 

española. 

 

26  

  

 

5.‐ Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 verdes y 9 azules. Determina la probabilidad de 

que al extraer una bola al azar: 

Sea verde. 

Sea roja o azul. 

 

6.‐ Expresa el espacio muestral y el espacio de sucesos asociado a cada uno de estos 

experimentos aleatorios: 

Se lanza una moneda y se anota el resultado de su cara superior. 

Se lanza un dado de quinielas que tiene tres caras con un 1, dos con una X y una 

con un 2, y se anota el resultado de la cara superior. 

Se extrae, sin mirar, una bola de una urna que contiene ocho bolas numeradas 

del 1 al 8. 

 

7.‐ Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número de la cara 

superior. Determina estos tres sucesos y sus contrarios. 

  A=”salir impar”, B=”salir número menor que 4” y C=”salir número mayor que 

8”. 

Se extrae una carta de una baraja española, y se lanza un dado tetraédrico y una 

moneda. ¿Cuántos resultados diferentes podemos obtener? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27  

  

Actividades de evaluación  

Un modelo de prueba para medir los conocimientos adquiridos por los alumnos a lo 

largo de la unidad didáctica sería el siguiente: 

Actividad 1(1,5 puntos): Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios. 

1. El resultado de un partido de baloncesto 

2. El lanzamiento de un dado. 

3. El cálculo del área de la superficie de un triángulo. 

4. El precio de una llamada de teléfono. 

Actividad 2(1,5 puntos): En un experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una 

baraja española, se consideran los siguientes sucesos: 

  A=”sacar un rey”, B=”sacar una copa” y C=”sacar un número menor que 3”. 

Determina estos sucesos y calcula sus probabilidades: 

El contrario de C 

A U B 

B Λ C 

A Λ C 

Actividad 3(1,5 puntos): Una pareja tiene tres hijos. Halla la probabilidad de estos sucesos: 

Los tres son chicos 

El mayor es chico y los otros dos chicas 

El segundo es chico 

Sabiendo que uno de ellos es chico, que el mayor sea chica. 

Actividad 4(1,5 puntos): Si A y B son dos sucesos tales que P(B)=0.4, P(Ᾱ)=0.3 y P(A Λ B)=0.2, calcula  P(A U B). 

Actividad 5(2,5 puntos): Considera los números de 5 cifras. 

¿Cuántos son capicúas? 

¿Cuántos son impares? 

¿Cuántos tienen las cinco cifras distintas? 

¿Cuántos son pares, capicúas y mayores que 50000? 

Actividad 6(1,5 puntos): En una caja hay un número desconocido de bolas blancas y una bola 

negra. Se extraen de la caja simultáneamente dos bolas al azar, sin reemplazamiento. Si la 

probabilidad de que ambas sean blancas es 0,5, calcula el número de bolas blancas que hay en 

la caja. 

 

 

28  

  

RECURSOS MATERIALES  

Libro de texto. 

Pizarra y tizas. 

Urnas y pelotas de pimpón blancas y negras. 

Artículo de El País: El ‘anumerismo’ también es incultura añadido en el anexo II. 

Ordenador y proyector de video. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29  

  

METODOLOGÍA  

  En la primera sesión, lo primero que hacemos es dictarles los dos problemas 

históricos con los que algunos historiadores opinan que nació la probabilidad y que 

están explicados en la sección de actividades de motivación dentro de esta misma 

unidad didáctica. Les explicamos que una vez estudiada esta unidad, podrán ser capaz 

de resolverlos. 

  A lo largo de las seis primeras sesiones, alternaremos las explicaciones de los 

contenidos ya expuestos, con la resolución de las actividades de iniciación y 

motivación y las actividades de desarrollo y aprendizaje. En una de esas sesiones, 

mandamos a un tercio de nuestro alumnado realizar una pequeña biografía de Laplace, 

a otro tercio de Fermat y al último tercio de Pascal. 

  Aprovechando que una de esas sesiones estaba programada para un día que 

era viernes, ocupamos la última media hora realizando el ejercicio del verdugo y el 

preso (explicado en la sección de actividades de refuerzo y motivación), resolviendo los 

dos problemas históricos planteados, leyendo las biografías de los tres matemáticos ya 

citados, y leyendo y comentando el artículo de El País añadido en el anexo II. 

  La séptima sesión va destinada a realizar las actividades de resumen y síntesis. 

Además, se utiliza el ordenador y el proyector para visualizar una escena de la serie de 

televisión Numbers, en la que aparece el problema de Monty Hall, que en el artículo de 

El País, lo titulan Saber y Ganar. 

  Por último, en la última sesión se terminan las actividades de refuerzo y 

ampliación para las que no hemos tenido tiempo en sesiones anteriores y se realiza 

30  

  

una batería de preguntas cortas con el objetivo de que los conceptos teóricos 

aprendidos se aprendan mejor. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31  

  

EDUCACIÓN EN VALORES E INTERDISCIPLINARIEDAD 

 

Recurso matemático  

  El aprendizaje de los contenidos expuestos, supone adquirir herramientas  muy 

utilizadas en otras ciencias y ramas del conocimiento como pueden ser la física, la 

química, la biología, la psicología, la medicina, la economía…etc. 

 

Nociones históricas  

  Al estudiar esta unidad didáctica, los alumnos conocen la figura de tres 

matemáticos ilustres como son Laplace, Fermat y Pascal, pudiéndolos localizar en el 

tiempo y al realizar sus biografías, conocer un poco del convulso periodo de la historia 

francesa en el que le tocó vivir al primero de ellos. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32  

  

CRITERIOS DE EVALUACIÓN  

1. Distinguir  experimentos  aleatorios  de  los  que  no  lo  son.  Obtener  el  espacio 

muestral  utilizando  técnicas  de  recuento  y,  en  su  caso,  describir  los  sucesos 

elementales que conforman un suceso. 

2. Realizar operaciones con sucesos. 

3. Asignar  probabilidades  a  un  suceso  basándose  en  la  regla  de  Laplace  y  en  las 

propiedades del cálculo de probabilidades. 

4. Determinar  la  probabilidad  de  sucesos  en  experimentos  compuestos  para  casos 

sencillos. 

5. Distinguir  cuándo  dos  sucesos  son  dependientes  o  independientes,  y  asignar 

probabilidades a sucesos en ambos casos. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33  

  

PROYECTO DE INNOVACIÓN  

  Es  frecuente  encontrarse  ante  grupos  de  alumnos  que  han  perdido  la 

motivación  por  la  asignatura  de  matemáticas.  Son  muchos  los  estudiantes  que 

consideran  las matemáticas  como  un  ente  cerrado,  estático,  aburrido  y  sin  utilidad 

práctica,  lejos de mi creencia de que  las matemáticas son una ciencia y un arte cuya 

presencia se nota en  la mayoría de ramas del conocimiento humano, siendo a su vez 

una ciencia en continuo cambio y/o ampliación. 

  La idea para la realización de este trabajo de innovación me surgió recordando 

una experiencia que  tuve  con un  alumno durante mi periodo de prácticas en el  IES 

Duques de Nájera. Este alumno opinaba que en matemáticas no había nada nuevo que 

descubrir y que no servían para nada. Su segunda afirmación fui refutándola durante 

las siguientes jornadas lectivas con problemas de la vida cotidiana que se resolvían con 

matemáticas, más  concretamente  con  resultados  probabilísticos  ya  que  esa  era  la 

unidad didáctica en  la que nos encontrábamos. Para hacerle ver  lo equivocada de su 

primera afirmación  le mandé buscar  la biografía de Kurt Gödel y más concretamente 

que  leyera acerca de sus dos teoremas de  incompletitud. Mostrar a este alumno que 

se puede demostrar matemáticamente que existen problemas expresados en lenguaje 

matemático  que  no  se  pueden  demostrar  con matemáticas me  pareció  una  bonita 

manera de hacerle ver su error. 

  Por eso mismo, en este  trabajo de  innovación  la historia de  las matemáticas 

juega  un  papel  importante,  porque,  en  mi  opinión,  a  menudo  la  asignatura  de 

matemáticas se reduce a aprender fórmulas, hacer ejercicios y realizar problemas, sin 

34  

  

entrar  a  valorar  el  porqué  de  las  cosas  ni  el  cómo  surgieron,  cuestiones  que me 

parecen fundamentales para un buen aprendizaje de cualquier conocimiento. 

  A  parte  de  la  historia  de  las  matemáticas,  usamos  otras  dos  herramientas 

principales para intentar aumentar la motivación de los alumnos. Uno es el empleo de 

juegos, siempre que sea posible, para cubrir los contenidos conceptuales, actitudinales 

y  procedimentales  de  la  unidad  didáctica.  El  otro  es  la  lectura  de  algunos  textos 

divulgativos, con  lo que  intentaremos aumentar  la participación y fomentar el  interés 

por el tema que nos ocupa.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35  

  

OBJETIVOS E INTENCIÓN EDUCATIVA  

  Como hemos comentado en la introducción de este proyecto de innovación, lo 

que buscamos con él es aumentar la motivación de los alumnos en la asignatura de 

matemáticas.  

  Este ambicioso objetivo, lo intentaremos cumplir mediante el uso de tres 

técnicas principales: juegos donde aparezcan contenidos de la unidad didáctica, 

análisis del surgimiento de la probabilidad e interpretación de los matemáticos que 

aparecen más fuertemente ligados al inicio de esta rama de las matemáticas, y lectura 

y posterior debate en torno a determinados textos divulgativos que sean ricos en 

cuanto a conclusiones extraíbles de ellos y que, obviamente, sean apropiados para el 

nivel de 3º E.S.O. que es el que nos ocupa. 

 

Uso de juegos : 

  El uso de juegos como elemento para el proceso de enseñanza‐aprendizaje es 

un recurso con el que buscaremos una mayor atención por parte del alumnado al 

desarrollo de la clase. A menudo, las matemáticas se ven en desigualdad de 

condiciones frente a otras asignaturas científicas como son la física, la química o la 

biología debido a que en la ciencia que nos ocupa no se suelen hacer trabajos de 

laboratorio y eso reduce la motivación del alumnado. Los juegos nos permiten 

igualarnos a esas materias a las que hacíamos referencia anteriormente. 

  Si tomamos un problema y pedimos a los alumnos que busquen una solución 

por medio de los canales tradicionales (bolígrafo y papel) obtendremos, en general, 

36  

  

peores resultados que si presentamos ese mismo problema como un juego ya que el 

aprendizaje se realizará de una manera más atractiva para el alumno.  

  En ese sentido, podemos, como profesores, aprovecharnos de la 

competitividad que tienen los alumnos entre sí a estas edades, y fomentar así una sana 

competitividad por obtener la solución a un problema. Además, los juegos en los que 

interviene el azar son una importante medida de atención a la diversidad ya que en 

ocasiones alumnos que tradicionalmente obtienen malos resultados pueden ganar a 

los que destacan en la asignatura. 

  Es importante, bajo nuestro punto de vista, realizar los experimentos en clase 

ya que, por la unidad didáctica en la que nos encontramos, van a ser juegos donde no 

se gane seguro, sino que el objetivo será tener las mayores probabilidades de ganar. 

Esto nos inicia en la teoría de la decisión y hará ver a los alumnos que una buena 

decisión nos puede llevar a una derrota y una mala decisión nos puede llevar a la 

victoria. Es fundamental que esta idea cale en las mentes del alumnado porque es un 

principio básico de la probabilidad. 

  No obstante, el uso de juegos o la realización de experimentos no deben ser 

tomados como una receta mágica contra la falta de motivación del alumnado y no 

debemos, por tanto, abusar de su uso. Pero combinar las explicaciones con la 

resolución de problemas y la realización de experimentos en su justa medida, hará que 

el alumno aprenda mientras se divierte. 

 

 

37  

  

Análisis del inicio de la probabilidad : 

  Creemos que cuando se estudia una teoría o una rama del conocimiento es 

importante saber cómo esta surgió. No es necesaria una explicación detallada de los 

inicios de la probabilidad moderna, pero es interesante que los alumnos adquieran 

conocimientos históricos básicos de las matemáticas ya que así se muestra el aspecto 

humano de las mismas. Además, dar una idea de los inicios de la probabilidad nos 

permite dar una idea de lo dinámicas que son las matemáticas y también establecer 

una relación interdisciplinar entre nuestra materia y otras que estudian nuestros 

alumnos. Así, por ejemplo, se puede mencionar la Revolución Francesa al hablar de la 

ley de Laplace y al comentar la relación que hubo entre este matemático y Napoleón 

Bonaparte se huye de esa idea preconcebida y falsa que nuestros alumnos pueden 

tener de que las matemáticas están totalmente alejadas del resto de materias que 

estudian. 

  No obstante, la explicación histórica del inicio de la probabilidad no será el eje 

transversal de este punto, sino que lo que buscaremos será que nuestros alumnos se 

pongan en la piel de los considerados padres de la probabilidad: Fermat y Pascal. Lo 

que se pretende es, a parte de desentrañar los dos problemas del caballero de Meré, 

explicar el modo de actuar de Fermat con otros matemáticos de la época. Como éste 

tenía por afición enviar cartas a otros pensadores coetáneos suyos, retándoles a que 

resolvieran problemas para los que él ya tenía la solución, intentaremos motivar a 

nuestros alumnos de la misma manera, alternando ellos el papel de retador (Fermat) y 

retado (Pascal). 

 

38  

  

Lectura de textos divulgativos y debates posteriores: 

  En general, el tiempo ajustado y la necesidad de cumplir con un programa dado 

en ese tiempo hace complicado que en clases de matemáticas se puedan dar 

discusiones acerca de determinados temas, conceptos o problemas. Los alumnos 

pueden tener la idea preconcebida de que en matemáticas no hay debate, sino que 

hay problemas y soluciones, acertadas o erróneas, a esos problemas. Lo que se 

pretende con la incorporación de estos textos divulgativos al desarrollo de la unidad 

didáctica de probabilidad es que el alumnado deje de pensar que su opinión no cuenta 

frente a la opinión del profesor y que piensen sobre los conceptos adquiridos de una 

manera más pura que utilizándolos para la resolución de actividades y problemas.  

  Creemos que la comprensión de los textos aquí seleccionados o de otros que 

los alumnos hayan podido encontrar, hará mucho más fuerte la asimilación de 

conceptos por parte del alumnado, y además permitirá un enriquecimiento personal, 

no sólo de los alumnos, sino también del profesor al escuchar y valorar las opiniones 

del resto de participantes en el debate. 

  Además, se intenta fomentar otra idea que consideramos de vital importancia, 

que es que los alumnos sepan “hablar en matemáticas”, incrementando así su 

capacidad lingüística, dado que deberán entender textos matemáticos y saber 

expresar sus propias ideas de manera oral para que otros compañeros puedan 

asimilarlas. 

  Por último, pero no por ello menos importante, la probabilidad es una rama de 

las matemáticas que está muy presente en nuestro día a día. Es muy común, que 

veamos un telediario o abramos un periódico y nos aborden con porcentajes y cifras 

39  

  

que tienen su origen en datos estadísticos. Con la incorporación de estos textos se 

intenta que los alumnos adopten un mayor cumplimiento de competencias básicas 

como son el tratamiento de información, fomentando una predisposición crítica ante 

cualquier información que reciban haciendo con ello que estén mejor formados como 

ciudadanos. No se pretende realizar una crítica gratuita al trabajo de otros gremios, 

pero sí estar alerta ante el posible mal uso, por desconocimiento o con alevosía, de las 

matemáticas en general y de la probabilidad en particular por algunos individuos que 

se dedican a determinadas profesiones. 

  Además, con todo esto, se fomenta la lectura a una generación nacida ya en la 

era digital. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40  

  

METODOLOGÍA  

  El modelo que  se presenta en este  trabajo concibe el proceso de enseñanza‐

aprendizaje  como una  interacción  fluida entre  los alumnos  y entre  los alumnos  y el 

profesor a través de determinadas actividades que en principio serán diseñadas por el 

docente,  todo ello para alcanzar  los objetivos marcados en una unidad didáctica de 

una manera más amena y divertida que con el método tradicional. 

  La búsqueda de este objetivo se realiza mediante el  intento de  incrementar  la 

motivación que los alumnos tienen por la asignatura de matemáticas, ya que opinamos 

que el proceso de aprendizaje es mucho más fluido si los alumnos están interesados en 

el tema a estudiar, y eso llevará a una mayor motivación del docente para realizar de 

una manera óptima su labor educativa. 

  Como ya hemos comentado con anterioridad, pero creemos que es importante 

remarcarlo, no es un modelo sustitutivo al método tradicional de enseñanza, sino que 

en este trabajo pretendemos dar armas a los docentes para aumentar la motivación de 

los alumnos. Si  todas  las clases de  la asignatura de matemáticas  se convierten en  la 

realización de  actividades  como  las que mostraremos más  adelante, probablemente 

las  técnicas  que  aquí  se  presentan  para  aumentar  la  motivación  del  alumnado 

perderán su potencia y propósito.  

  No vamos a ser, por tanto, muy estrictos en lo que a la metodología se refiere, 

sino que plantearemos técnicas que el futuro docente puede implementar a su antojo 

en función del contexto educativo en el que se encuentre. 

41  

  

  Ya  hemos  explicado  en  el  apartado  anterior,  que  intentaremos  buscar  ese 

aumento de la motivación por la asignatura de matemáticas en nuestros alumnos con 

tres técnicas. 

 

1.­ REALIZACIÓN DE JUEGOS Y EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS  

  La  realización de experimentos y el uso de  los  juegos matemáticos puede ser 

enfocada  de  diversas maneras.  El  docente  que  lleve  a  la  práctica  esta  técnica  de 

motivación tendrá que valorar, en función de las características de su alumnado, cómo 

realizar la organización de estos juegos. 

  En mi  caso,  durante mi  estancia  de  prácticas  en  el  I.E.S.  Duques  de  Nájera 

contaba con dos cursos de 3º E.S.O. Para la realización de los experimentos y juegos en 

el grupo de 3º A, opté porque la mayoría de los experimentos fuesen realizados en la 

mesa  del  profesor  y  los  alumnos  saliesen  al  frente  de  la  clase  para  probar  sus 

estrategias frente a los problemas propuestos. En cambio, en las clases con el grupo de 

3º  B,  los  alumnos  se  distribuyeron  en  parejas  o  en  grupos  de  varios  estudiantes 

(dependiendo del juego) y yo, como docente en prácticas, me iba desplazando por los 

distintos grupos aconsejando y escuchando sus ideas. 

  Esta variedad de estrategias  se debía al mal  comportamiento que en general 

mostraban  los alumnos del grupo A, por  lo que  temía que una clase planteada en el 

grupo  A  con  la misma  organización  que  en  el  grupo  B  se  convirtiera  en  un  caos 

absoluto. No  obstante,  nos  inclinamos  a  pensar  que  el modelo  de  organización  del 

grupo B es mejor para la labor que nos ocupa. 

42  

  

JUEGO 1: LA CARRERA DE F1 

  Este es un juego pensado para cuatro jugadores, por lo que organizaremos a los 

alumnos en grupos de cuatro. No obstante, no hay inconveniente en que algún grupo sea de 

3 ó 5 estudiantes. Es un  juego que cubre varios de  los objetivos programados para  la unidad 

didáctica explicada en este trabajo.  

Dado un tablero como el que se muestra, dos dados cúbicos y cuatro fichas de coches 

de carreras, cada jugador elegirá un número de los que hay en el tablero teniendo en 

cuenta que cada vez que se tire el dado y la suma de lo obtenido en ambos dados sea 

ese número,  la ficha que haya en ese número avanzará una casilla. Gana el jugador 

que primero llegue a la meta. 

12              META 

7              META 

13              META 

1              META 

6              META 

2              META 

9              META 

4              META 

10              META 

3              META 

8              META 

11              META 

5              META 

 

   

 

 

 

 

43  

  

JUEGO 2: TRES DADOS DIFERENTES 

  Este  es  un  juego  para  dos  jugadores  y,  al  igual  que  el  anterior,  es  un  juego 

donde la estrategia es fundamental. También cubre varios de los objetivos que hemos 

marcado para la unidad didáctica. 

Tenemos tres dados de distinto color: el rojo tiene en sus caras los números 2, 4 y 9, 

los tres duplicados; el azul los números 3, 5 y 7, también duplicados, y el blanco los 

números 1, 6 y 8, repetidos los tres como en los otros dos dados. El juego, para dos 

jugadores,  consiste  en  elegir  un  dado  cada  uno  y  luego  tirar  los  dados  elegidos 

ganando el que obtenga mayor puntuación. 

JUEGO 3: LOS TRES PISTOLEROS 

  Este es un juego para tres jugadores en el que los alumnos tienen que descubrir 

cuál es la estrategia ganadora para su “supervivencia”. Cada alumno en cada grupo de 

tres se pondrá en la piel de un pistolero y decidirá su estrategia para vivir. El juego se 

modeliza con un dado cúbico. A acierta si obtiene un 5 o un 6, B acierta si obtiene un 3, 

un 4, un 5 o un 6 y C acierta siempre. 

Tres pistoleros A, B y C se retan en un duelo a tres bandas. Han decidido que como A 

es el menos hábil con la pistola ya que acierta una de cada tres veces sea el primero 

en disparar. B, que acierta dos de cada tres veces, será el segundo en disparar a no 

ser que haya muerto  cuando  llegue  su  turno  y C que es un hábil  tirador y acierta 

siempre  será  el  último  en  caso  de  llegar  su  turno.  El  duelo  termina  cuando  sólo 

quede un pistolero vivo. 

 

44  

  

2.­ LOS INICIOS DE LA PROBABILIDAD. FERMAT Y PASCAL.  

  Con esta técnica motivacional pretendemos que los alumnos vean el aspecto 

humano de las matemáticas y con ello incrementar sus ganas por aprender. Además, el 

desarrollo histórico ayuda a ordenar los temas en el currículo y, es posible, que los 

alumnos sientan bienestar al realizar la comprensión de conceptos y no sólo mediante 

problemas y actividades. 

  Es interesante en el tema que nos ocupa, que los alumnos entiendan que el 

inicio de la teoría de la probabilidad es la primera vez en la historia de la humanidad en 

la que se hicieron predicciones acerca del futuro con verdadera base científica aunque 

esas predicciones eran sólo referidas a cómo terminarían determinados juegos de azar. 

  Y es que los juegos de azar siempre han sido muy populares. Ya desde la 

Antigüedad se conocen representaciones preciosas de juegos de dados. Con frecuencia 

se jugaba por dinero, y con frecuencia entre victorias y derrotas se desenvolvía una 

reñida pugna. 

  En el siglo XVII surgió la siguiente pregunta: si un juego consistente en varias 

rondas se interrumpe antes de tiempo, ¿cómo se reparten las apuestas? Esta cuestión 

la planteó Antoine Gombaud, conocido como el Caballero de Méré, en el año 1654, y 

para ello se topó con la persona idónea, Blaise Pascal, el cual debatió ese interrogante 

durante un célebre intercambio epistolar con Pierre de Fermat, en el curso del cual se 

establecieron las bases de la teoría de la probabilidad. 

45  

  

  Una vez contado el inicio de la probabilidad, nos parece importante contar 

algunas anécdotas sobre el tema que, creemos, hará que aumente la atención de los 

alumnos hacia el profesor. 

  Así, se puede contar que el matemático italiano Girolamo Cardano ya había 

intentado un siglo antes dar solución a este problema basándose en los aciertos que 

llevaba cada uno de los jugadores. 

  También se puede contar que tanto Fermat como Pascal “aparecen” en la 

película española “La habitación de Fermat”, intentando fomentar así el gusto del 

alumno por otras artes. 

  Y por último, es importante decir que el matemático Pierre de Fermat se 

divertía en su tiempo resolviendo problemas y retando por correspondencia a otros 

matemáticos (principalmente ingleses) a que los resolvieran. 

  Esta última anécdota es importante porque nos introduce en lo que hemos 

llamado el juego del retador contra el retado. Organizando a los alumnos por parejas, 

daremos a cada uno de ellos un problema de los que se mostraran a continuación. Así, 

para el problema que le ha sido asignado el alumno tomará el papel de Fermat o 

retador, mientras que el otro alumno será Pascal o el matemático retado. Cada alumno 

tiene que resolver dos problemas, el que le han asignado para no ser cazado por su 

compañero si este consigue la solución, y el que le han asignado a su compañero para 

ser capaz de dar una solución al problema con el que le han retado. 

  Estos problemas pueden quedar pendientes como trabajo para el alumno fuera 

del aula y así estos pueden disponer de más tiempo para su resolución que el que 

46  

  

tendrían en clase. No obstante, es importante que los alumnos luego intenten explicar 

sus soluciones al resto de la clase, ya que un objetivo de estas técnicas es el 

enriquecimiento de la capacidad lingüística en matemáticas de los estudiantes. 

  A continuación, mostramos tres parejas de problemas que pueden servir como 

ejemplos para la realización de este juego, aunque sería ideal que los alumnos, 

motivados por esta técnica de trabajo, inventaran o buscaran sus propios problemas 

para retar a sus compañeros. 

PAREJA NÚMERO 1: LOS PROBLEMAS DEL CABALLERO DE MÉRÉ 

a) ¿Es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que, por lo menos, 

aparece un seis en cuatro tiradas de un dado? 

 

b) Dos personas se juegan 10 euros cada uno a un juego que consiste en lanzar 

una moneda, anotándose un punto el primer jugador en caso de salir cara, y 

haciendo lo propio el segundo jugador al salir cruz. El juego debe terminar 

cuando uno de los dos llegue a los 10 puntos, pero, por diversas causas, se 

interrumpe al llevar el primer jugador 8 puntos y el segundo 7. ¿Cómo deben 

repartirse el dinero?   

 

  PAREJA NÚMERO 2: DE APUESTAS Y ANIVERSARIOS 

 

a) Un  jugador apuesta siempre a par o  impar en una ruleta  ( si acierta gana una 

cantidad  igual  a  lo  apostado  y  si  pierde  se  queda  sin  lo  apostado)  y  decide 

jugar de la siguiente forma: empieza con 100 euros y decide apostar 10 veces 

47  

  

una cantidad de 10 euros cada vez. Si el resultado es que gana en cinco de las 

ocasiones, ¿tendrá más, menos o el mismo dinero con el que empezó? 

 

b) ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  en  una  fiesta  que  reúne  a  23  personas,  al 

menos dos de ellas cumplan años el mismo día del año? 

 

  PAREJA NÚMERO 3: EL PRISIONERO Y EL CONCURSO 

 

a) En el Castillo de If, un preso condenado a muerte puede salvar su vida 

jugando a un juego de azar. El verdugo ofrece al reo dos urnas y 12 bolas, 6 de 

ellas blancas y 6 rojas. El preso ha de organizar las bolas en las urnas a su 

antojo, sabiendo que, con los ojos vendados, tendrá que elegir primero una 

urna y luego obtener una bola de esa urna. Si el preso obtiene una bola blanca 

salva la vida mientras que si obtiene una roja será ejecutado. ¿Cómo ha de 

ordenar las bolas en las urnas? 

 

b) En un concurso de televisión, un concursante se enfrenta a un reto de 

elección. Tiene que elegir entre tres puertas sabiendo que detrás de dos de 

ellas hay una calabaza y detrás de la otra puerta hay un millón de euros. Una 

vez hecha su elección, el presentador elimina una de las puertas que no ha 

elegido el concursante y dónde no se encuentra el premio, y le ofrece al 

concursante la posibilidad de volver a elegir entre las dos puertas restantes. 

¿Hay alguna estrategia que le permita al concursante incrementar sus 

posibilidades de llevarse el dinero? 

48  

  

3.­ LECTURA DE TEXTOS DIVULGATIVOS Y DEBATE POSTERIOR  

  Con esta técnica motivacional se pretende que el alumno pase a tener un rol 

diferente al que tiene asignado en el transcurso de una clase impartida de manera 

tradicional. 

  Además, se intenta buscar la motivación del alumnado mediante textos que 

relaten hechos curiosos que fomenten las ganas del estudiante por seguir 

aprendiendo. 

  Aunque consideramos que la elección de los textos debe ser llevada a cabo por 

un docente ya que es una labor que quizás escape al conocimiento del alumno, 

fomentamos que el profesor intervenga lo menos posible en el debate posterior a la 

lectura del texto, ejerciendo el rol de moderador o de guía en caso de ser necesario. 

  No obstante, como, por su edad, los alumnos pueden mostrar cierto rechazo a 

expresar sus ideas en público por miedo a un fallo, hemos preparado un cuestionario 

básico sobre el texto titulado “Casualidades” de John Allen Paulos, el cual se encuentra 

entre los documentos anexos a este trabajo.  

 

 

 

 

 

49  

  

CUESTIONARIO GUÍA PARA EL TEXTO “CASUALIDADES” DE JOHN ALLEN PAULOS 

¿Has sido protagonista en alguna ocasión de una casualidad como la que 

comenta el autor que le ocurrió al encontrarse con ese individuo de 

Seattle? 

¿Te ha convencido el autor al argumentar que esas casualidades no son 

tan fascinantes como en principio creíamos? 

¿Qué opinas sobre el resultado de saber la probabilidad de que al 

menos dos personas de un grupo de 23 cumplan años el mismo día del 

año? ¿Te lo esperabas? En caso negativo, ¿por qué crees que no 

esperabas ese resultado? 

¿Crees que un mayor conocimiento matemático te hace menos 

vulnerable a ser engañado por “televangelistas, curanderos, etc” como 

opina el autor? 

¿Estás en desacuerdo con alguna de las ideas que presenta el autor en el 

texto? 

Otras observaciones 

 

 

 

 

 

 

 

50  

  

Metodología de trabajo del profesor:  

  En esta técnica de trabajo, el profesor tiene tres roles principales: 

  El primero de ellos será plantear y organizar los juegos, recopilar problemas 

para el juego de retador contra retado y buscar y seleccionar los textos divulgativos 

acorde con el tema estudiado y con el nivel de los alumnos. Es un rol, no obstante, que 

puede ser ejercido por determinados alumnos. Es más, si un alumno busca juegos para 

realizar en clase, inventa o selecciona problemas para retar a sus compañeros e, 

incluso, lee textos sobre el tema e invita a la clase a debatir sobre ellos, sabremos que 

con ese alumno habremos conseguido nuestro objetivo de motivación. 

  El segundo rol principal del profesor es guiar a los alumnos en las actividades 

propuestas, ya sea dando pistas en la búsqueda de estrategias ganadoras para los 

juegos y problemas como realizando preguntas a la clase para fomentar la 

participación de los estudiantes en los debates. 

  El tercero de sus roles va ligado al proceso de evaluación. Y es que el docente 

deberá recopilar datos sobre la participación de sus alumnos en los debates, sobre su 

esfuerzo por resolver los problemas y por encontrar estrategias ganadoras a los juegos 

planteados para que el proceso de evaluación sea completo. Deberá también, como es 

obvio, estudiar las soluciones que plantean los alumnos y resolver las cuestiones que 

hagan surgir dudas en ellos. 

 

 

51  

  

Metodología de trabajo del alumno: 

 

  Los alumnos deberán, ya sea en grupo o individualmente dependiendo del 

contexto en el que nos encontremos, resolver las propuestas del profesor. En caso de 

que surgiesen bloqueos, deberán hacer partícipe de ello al docente para tratar de 

reconducir tal situación. Para que las técnicas explicadas tengan éxito, es fundamental 

que el alumno se involucre en ellas, facilitando el desarrollo de las clases. Por último, 

los alumnos deberán evaluar el proceso de aprendizaje experimentado así como la 

actuación docente del profesor. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52  

  

EVALUACIÓN  

  El proceso de evaluación es una parte fundamental de cualquier proceso de 

enseñanza‐aprendizaje. En líneas generales, es usado por el alumno para reorientar su 

programación de estudio, y en ese sentido es un arma muy poderosa en manos de un 

buen docente que quiera fomentar un aprendizaje más ambicioso o un cambio en las 

conductas de su alumnado. 

  El método que hemos presentado, como ya hemos dicho, no es un método 

sustitutivo de la manera tradicional de impartir clases, pero sí que creemos que es un 

buen complemento a esta estrategia pedagógica con el fin de motivar a los alumnos. 

No obstante, por diversas presiones, y aunque es una lástima, el alumno, en general, 

dará más importancia a lo que le suponga un mayor beneficio en la nota final, y esto 

hay que tenerlo en cuenta a la hora de programar nuestro sistema de evaluación 

utilizando el proyecto de innovación ya explicado. 

  Por tanto, programaremos nuestro sistema de evaluación teniendo muy en 

cuenta la participación del alumno en las diversas actividades motivacionales que 

hemos explicado en el apartado de metodología. No tendría sentido de otra forma ya 

que el sistema que hemos ideado se basa en el trabajo diario y en la actitud del 

alumno frente a la asignatura de matemáticas. 

  En la unidad didáctica en la que hemos implantado nuestro proyecto de 

innovación no es especialmente importante realizar una evaluación diagnóstica que 

mida los conocimientos previos del alumnado, ya que estos se reducen al manejo de 

53  

  

los quebrados y sus operaciones, conceptos que son exigibles a un alumno que curse la 

asignatura de matemáticas de 3º ESO.    

  La evaluación que vamos a llevar a cabo en esta unidad didáctica será 

formativa, sumativa y continua.  

  Será formativa porque lo que queremos averiguar es si los objetivos de la 

enseñanza están siendo alcanzados. No tiene sentido una evaluación formativa como 

proceso no continuo ya que el docente debe ir adecuando las actividades a las 

aptitudes que los alumnos vayan adquiriendo. Por tanto, la participación en los 

debates, la entrega de las memorias de los experimentos, la buena respuesta a las 

actividades de retador vs. retado, y, en general, la participación y buena actitud en las 

clases será muy tenida en cuenta y valdrá un 35% de la nota asignada a los alumnos en 

esta unidad didáctica. El otro 65% de la nota dependerá de un examen final, en el que 

habrá actividades y problemas de una dificultad similar a los realizados en clase, por lo 

que los alumnos que hayan seguido diariamente la asignatura no deberían tener 

excesivas dificultades. Además, el hecho de que ese examen no equivalga a la nota 

final total, hará que el alumnado se sienta más relajado a la hora de realizarlo, ya que 

es frecuente encontrarse con alumnos que dominan los conceptos pero que el día del 

examen, por nervios, presión u otros problemas, no lo demuestran. Por lo ya 

explicado, queda claro que será una evaluación sumativa, ya que es necesario una 

calificación numérica para juzgar el conocimiento adquirido por los alumnos, pero esta 

calificación también reflejará su esfuerzo y su actitud en la asignatura. 

  Para medir el grado de satisfacción tanto del alumnado como de los docentes 

hacia la incorporación de estas técnicas descritas en el proceso de enseñanza‐

54  

  

aprendizaje, hemos realizado unos cuestionarios que tienen como objetivo detectar las 

carencias y reforzar los puntos fuertes que existen en el sistema. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL ALUMNO 

 

¿Qué te ha parecido el hecho de realizar experimentos y juegos en las clases? 

 

 

¿Qué ventajas y qué  inconvenientes ves en esta forma de resolver problemas, 

frente a la manera tradicional de hacerlo? 

 

 

¿Crees  que  tu  aprendizaje  se  ha  visto  reducido  frente  a  otras  unidades 

didácticas  explicadas  por métodos más  tradicionales,  o  por  el  contrario  has 

asimilado mejor los conceptos que en esta unidad se explicaban? 

 

 

¿Crees  que  te  ha  sido  útil  conocer  el  origen  de  la  probabilidad?  ¿Te  ha 

resultado interesante el juego de retador vs. retado? 

 

 

 

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¿Te han resultado interesantes los textos seleccionados por el profesor para la 

realización de los posteriores debates? 

 

 

¿Crees que los debates posteriores a la lectura de los textos, te han ayudado a 

entenderlos mejor? 

 

 

Escribe otras observaciones que quieras hacer: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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EVALUACIÓN: CUESTIONARIO PARA EL PROFESOR 

 

¿Crees  que  la  respuesta  del  alumnado  ha  sido  positiva  ante  las  técnicas 

implementadas en el desarrollo de la unidad didáctica? 

 

 

¿Te ha resultado excesivamente costoso preparar los experimentos y los textos 

teniendo en cuenta la aceptación que han despertado en el alumno? 

 

 

¿Crees que  los alumnos han asimilado mejor  los conceptos que con métodos 

empleados en anteriores ocasiones, o por el contrario no ha habido diferencia 

o el aprendizaje ha sido peor? 

 

 

¿Has  notado  un  cambio  de  actitud  para mejor  de  los  alumnos  frente  a  las 

matemáticas? 

 

 

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¿Crees  que  el  sistema  de  evaluación  es  equilibrado  y  refleja  bien  tanto  las 

actitudes como las aptitudes del alumno? 

 

 

¿Han  mejorado  los  resultados  obtenidos  por  los  alumnos  frente  a  sus 

calificaciones en otras unidades didácticas? 

 

 

Escribe otras observaciones que quieras hacer: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59  

  

REFLEXIONES FINALES  

  Pese a que algunas de las técnicas explicadas en el proyecto de innovación no 

las hemos llevado a la práctica, podemos prever algunos posibles puntos fuertes y 

débiles que pudieran producirse. 

 

  Si los alumnos consideran que se han divertido aprendiendo, si consideran que 

han aprendido más que con el método tradicional de enseñanza, si las lecciones les 

han resultado más interesantes y si, en definitiva, se ha producido un fenómeno de 

mayor aprendizaje unido a mayor diversión por parte del alumnado, estas técnicas 

habrán tenido el resultado que esperábamos.  

 

  No obstante, hay que tener en cuenta algunas dificultades que pudieran surgir, 

como es la ralentización del ritmo del profesor, que puede ocasionarle un desajuste en 

su programación de aula. También es posible que el grupo de alumnos se volviera más 

difícil de controlar, por lo que el docente tiene que interpretar en cada contexto qué 

técnicas de las aquí explicadas son adecuadas y cómo llevarlas a cabo. Por último, la 

selección de problemas y textos requiere un mayor esfuerzo por parte del docente. 

   

 

 

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REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA  

Material recibido durante el curso 2010‐2011 del Máster en Profesorado de la 

Universidad de La Rioja 

Material recibido por el I.E.S. Duques de Nájera durante el periodo de prácticas 

del Máster en Profesorado de la Universidad de La Rioja en el curso 2010‐2011. 

José R. Vizmanos, Máximo Anzola, Manuél Bellón y Juan Carlos Hervás. Libro Esfera 

para Matemáticas 3º E.S.O. Editorial SM. 

Jordi Deulofeu. Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Editorial RBA. 

Enigmas y juegos de ingenio. Para romperte la cabeza. Traducción de Emilio 

Muñiz. 

Michael Blastland y Andrew Dilnot. El tigre que no está. Un paseo por la jungla 

de la estadística. Colección Noema. 

Albrecht Beutelspacher. Matemáticas: 101 preguntas fundamentales. Alianza 

editorial. 

John Allen Paulos. El hombre anumérico. Tusquets Editores S.A. 

John Allen Paulos. Más allá de los números. Meditaciones de un matemático. 

Tusquets Editores S.A. 

Simon Singh, El enigma de Fermat. 

Otros títulos que pueden encontrarse en http://www.librosmaravillosos.com/ 

 

 

 

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ANEXOS 

Coincidencias

Las coincidencias nos fascinan. Parece como si nos obliga­ran a buscarles un significado. Sin embargo, más a menudo de 10 que alguna gente piensa, son completamente esperables y no precisan una explicación especial. Seguramente no se puede ex­traer ninguna conclusión cósmica del hecho de que hace poco y por pura casualidad me encontrara a alguien en Seatt1e cuyo padre había jugado en el mismo equipo de béisbol del institu­to de Chicago que el mío, y cuya hija tiene la misma edad y se llama igual que la mía. Por improbable que fuera este suceso par­ticular (como lo son siempre los sucesos particulares), es muy probable que algún suceso de esta clase tan vagamente defmida se produzca de vez en cuando.

Concretando más, puede demostrarse, por ejemplo, que si dos extraños se sientan juntos en un avión, más del 99 O/o de las veces estarán unidos de alguna manera por dos o menos inter­mediarios. (La relación con el compañero de curso de mi padre era más sorprendente. Sólo había un intermediario, mi padre, y contenía otros elementos.) Quizá, por ejemplo, .e1 primo de uno de los pasajeros conozca al dentista del otro. La mayoría de las veces la gente no descubre estas relaciones porque en una conver­sación casual nadie suele hacer un repaso de sus aproxima­damente 1500 conocidos ni de los conocidos de .sus conocidos. (Imagino que al popularizarse cada vez más los ordenadores de sobremesa podrían comparar sus respectivas bases de datos per­sonales y también los de las personas conocidas. Quizás inter­cambiar bases de datos podría convertirse pronto en algo tan corriente como dejar la tarjeta de presentación. Tejiendo una red electrónica. Infernal.)

Sin embargo, hay una tendencia a buscar conocidos comu­nes. Tales conexiones se descubren pues con una frecuencia su-

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ficiente, de modo que los chillidos de sorpresa que siguen a esos descubrimientos son injustificados. Igual de poco convincente es el sueño «profético» que tradicionalmente sale a la luz después de que se haya producido algún desastre natural. Si tenemos en cuenta que Estados Unidos tiene quinientos millones de horas de sueño cada noche -2 horas por noche por 250 millones de personas- es perfectamente esperable.

O consideremos también el famoso problema del cumple­años en teoría de la probabilidad. Habría que reunir 367 perso­nas (una más que los días de un año bisiesto) para estar segu­ros de que al menos dos de ellas celebran el cumpleaños en el mismo día. Pero si se quiere tener sólo una probabilidad del 50 % de que esto ocurra basta con reunir 23 personas. En otras palabras, si imaginamos una escuela con. miles de clases, cada una de las cuales tiene 23 alumnos, entonces aproximadamente la mitad de las clases tiene dos estudiantes que nacieron el mismo día. No hay que perder ni un minuto en tratar de expli­car el significado de estas u otras coiI)cidencias. Simplemente ocurren.

Un ejemplo un poco distinto es el del editor de un boletín bursátil que manda 64 000 cartas en las que ensalza las posibili­dades de su base de datos, sus contactos y sus sofisticados mode­los econométricos. En 32 000 de estas cartas predice una alza de determinado índice bursátil para la semana siguiente, y en las 32 000 restantes predice una baja del mismo índice. Ocurra lo que ocurra, manda una segunda carta, pero sólo a los 32 000 que recibieron una «predicción» correcta. En 16000 de ellas pre­dice una alza para la semana siguiente y en 16 000 una baja. y otra vez, ocurra lo que ocurra, habrá enviado dos predicciones correctas consecutivas a 16000 personas. Iterando este procedi­miento de concentrarse exclusivamente en la lista reducida de personas que han recibido sólo predicciones acertadas, puede crear en ellos la ilusión de que sabe de qué va la cosa. Al fm y al cabo, las 1 000 personas que habrán recibido 6 predicciones acertadas y ninguna equivocada (por coincidencia) tienen bue­nos motivos para desembolsar los 1 000 dólares que les pide el editor del boletín: quieren seguir recibiendo estas declaraciones «proféticas» .

Repito que una cuestión importante que hay que tener en cuenta al hablar de las coincidencias es la distinción entre cla-

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ses genéricas de sucesos y sucesos concretos. En muchas oca­siones la realización de un suceso particular es algo bastante raro -que a determinada persona le toque la lotería o que me llegue una determinada mano de bridge- mientras que el resultado ge­nérico -que a alguien le toque la lotería o que salga esa mano de bridge- no tiene nada de extraordinario. Volvamos al pro­blema del cumpleaños. Si sólo pedimos que 2 personas cum­plan años el mismo día sin precisar cuál es este día particular, entonces bastan 23 personas para que el suceso tenga una proba­bilidad de 1/2. Por contra, hacen falta 253 personas para tener probabilidad 1/2 de que una de ellas tenga una fecha de cum­pleaños determinada, el 4 de julio, pongamos por caso. Los su­cesos concretos explicitados de antemano son, por supuesto, muy dificiles de predecir. Así pues, no es sorprendente que las pre­dicciones de los televangelistas, curanderos, etc. suelan ser vagas y amorfas (hasta que se han producido los sucesos en cuestión, claro está, pues en ese instante los pronosticadores suelen afrrmar que precisamente esos resultados son los que habían predicho).

Esto me recuerda el llamado efecto Jeane Dixon, por el cual las pocas predicciones acertadas (ya sea de los psíquicos, de los boletines bursátiles de pacotilla o de quien sea) se anuncian a bombo y platillo, mientras que las aproximadamente 9 800 predic­ciones fallidas hechas anualmente son óportunamente ignoradas. Se trata de un fenómeno muy general que contribuye a la tenden­cia que tenemos todos a dar a las coincidencias más importancia de la que en realidad merecen. Nos olvidamos de> todas las premoniciones fallidas de desastres que hayamos tenido y recor­damos vívidamente las que parecen acertadas. Cualquier de nues­tros conocidos ha oído hablar de ejemplos de telepatía; el número incomparablemente mayor de veces en los que no se ha producido es demasiado banal para ser tenido en cuenta.

Hasta nuestra biología parece conspirar para que las coinci­dencias parezcan más significativas de lo que realmente son. Como el mundo natural de rocas, plantas y ríos no parece ofrecer muchas pruebas de coincidencias superfluas, el hombre primiti­vo tenía que ser muy sensible a todas las anomalías y sucesos improbables imaginables a medida que iba construyendo la cien­cia y su progenitor, el «sentido común». Al fm y al cabo, las coincidencias «son» a veces muy importantes y significativas. Sin embargo, en nuestro complicado y, en gran parte, artificial mundo

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de hoy, la plétora de relaciones entre nosotros parece haber so­breestimulado la tendencia innata de mucha gente a notar la coincidencia y 10 improbable, y les lleva a postular causas y fuer­zas allí donde no hay nada. La gente conoce más nombres (ade­más de los de los familiares~ los de compañeros de trabajo y la gente famosa), fechas (desde artículos periodísticos hasta citas personales y programas), direcciones (ya sea de direcciones rea­les o números de teléfono, números de despacho, etc.) yorgani­zaciones y acrónimos (desde el FBI al IMF, del SIDA al ASEAN) que en ningún otro momento del pasado. Por tanto, aunque sea muy dificil de cuantificar, el ritmo al que se producen las coin­cidencias probablemente ha aumentado en el último siglo. Y, a pesar de todo, no tiene mucho sentido buscar una explicación a la mayoría de ellas.

En realidad, la coincidencia más asombrosamente increíble que se pueda imaginar es la falta absoluta de coincidencias~

[Breves deducciones de los enunciados del cumpleaños (véase también la entrada sobre Probabilidad): (1) La probabilidad de que 2 personas tengan distinto cumpleaños es 364/365; la de que 3 personas tengan distinto cumpleaños es (364/365 x 363/365); la de que 4 personas (364/365 x 363/365 X 362/365); la de que 23 (364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 344/365 x 343/365), pro­ducto que resulta ser igual a 1/2. Por tanto, la probabilidad com­plementaria de que por 10 menos dos personas tengan el mismo cumpleaños es también 1/2 (1 menos el producto anterior). (2) La probabilidad de que alguien no cumpla los años el 4 de julio es 364/365; la probabilidad de que de 2 personas ninguna cum­pla años el 4 de julio es (363/365)2; la probabilidad con 3 perso­nas es (363/365)3, y con 253 personas es (363/365)253, que resul­ta ser 1/2. Por tanto, la probabilidad complementaria de que al menos una de las 253 personas cumpla años el 4 de julio es también 1/2, 1--(363/365)253.]

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Probabilidad

Todo el mundo tiene una idea intuitiva de la probabilidad. A veces tan primitiva como la del barbero que una vez me con­taba su estrategia para la lotería: «Tal como yo 10 veo, puedo ganar o perder, mis posibilidades son pues mitad y mitad». Sin embargo, a pesar de que hay muchos aspectos mal comprendi­dos (véase la entrada sobre Coincidencias), las aftrmaciones vis­cerales de la gente relativas a la probabilidad suelen ser consi­derablemente más sofisticadas. Soltamos fácilmente frases como «la probabilidad de que salga cara», «la probabilidad de que Marta se case con Jorge» y «la probabilidad de que llueva ma­ñana durante el partido», y la mayoría parece tener claro su sig­nificado. Sólo si preguntamos qué es efectivamente la probabili­dad nos encontramos totalmente desconcertados y perplejos.

La pregunta no es fácil de contestar, aunque se haya dado una serie de respuestas tentativas. Algunos han con~bido la pro­babilidad como una relación lógica, como si sólo con echar una mirada a un dado, apreciar su simetría y emplear métodos lógi-

. cos, se pudiera decidir que la probabilidad de que salga 5 ha de ser 1/6. Otros han sugerido que la probabilidad es simplemente una cuestión de creencia subjetiva, nada más que una expre­sión de una opinión personal. Según otros, la clave del análisis es la frecuencia relativa, y la probabilidad de un suceso sería una manera abreviada de indicar el porcentaje de veces que se produce a largo plazo, aunque no suelan explicar qué significa «a largo plazo».

Hay aún otras variantes y otras versiones, pero ninguna de ellas es universalmente convincente. La historia ha acabado fi­nalmente así: los matemáticos se han retirado y se han declara­do victoriosos al mismo tiempo. Han observado que, como cual­quier defmición razonable de probabilidad ha de tener ciertas

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propiedades formales, la probabilidad se defme como aquello que tenga precisamente dichas propiedades. No es muy gratificante filosóficamente hablando, pero al menos es matemáticamente li­berador.

N ótese que esto es parecido a 10 que ocurrió en geometría con las rectas y los puntos. Euclides dio unas defmiciones va­cías de estos conceptos que en realidad nunca usó, mientras que otras aproximaciones más modernas a la geometría del plano, siendo axiomáticas, defmen los puntos y las rectas como cual­quier cosa que cumpla las propiedades indicadas por los axio­mas. El matemático ruso A.N. Kolmogorov es el padre de esta formulación abstracta de la teoría de la probabilidad. En vez de describir su elegantemente escueto formalismo, presentaré algu­nas propiedades y teoremas fundamentales, la mayoría de los cuales son conocidos desde que, en sus orígenes en el siglo XVD, la teoría de la probabilidad iba de la mano de los juegos de azar.

Para empezar, la probabilidad es un número comprendido entre O y 1. El O indica imposibilidad, el 1, certeza, y los valores intermedios, grados intermedios de probabilidad. Equivalente­mente, podemos tomar el dominio de valores entre el O % Y el 100 %. Si dos o más sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos se obtiene sumando sus probabilidades individuales. As~ la probabilidad de que un terrestre elegido al azar sea chino, indio o norteamericano es aproximadamente del 45 o/o (25 o/o de que sea chino más el 15 %

de que sea indio más el 5 % de que sea norteamericano). . Dados dos sucesos arbitrarios (con tres o más sucesos valen

fórmulas análogas), la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos es algo más dificil de obtener: primero se suman las probabilidades individuales y luego se resta del resultado la pro­babilidad de que ocurran ambos a la vez. Si en un gran edi­ficio de apartamentos de Nueva York el 62 o/o de los inquilinos lee The New York Review oi Books, el 24 % lee el National Inquirer y el 7 % lee ambas revistas, la probabilidad de que un inquilino tomado al azar lea al menos una de dichas revistas es del 79 % (62 % + 24°/0-7 %). La probabilidad de que un suceso no se produzca es el 100 % menos la probabilidad de que sí se produzca. Por tanto, una probabilidad del 79 % de leer una de las revistas al menos significa una probabilidad del 21 % de no leer ninguna de ellas.

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El concepto de independencia tiene una importancia crucial en la teoría de la probabilidad. Se dice que dos sucesos son in­dependientes si el hecho de que se produzca uno de ellos no influye sobre la probabilidad de que se produzca el otro. Si lan­zamos dos veces una moneda al aire, cada tirada es indepen­diente de la otra. Si tiramos un par de dados, 10 que sale en uno es independiente de 10 que sale en el otro. Si escogemos dos personas del listín telefónico, la altura de una es indepen­diente de la de la otra.

Calcular la probabilidad de que se produzcan dos sucesos in­dependientes es cosa fácil: basta simplemente con multiplicar sus probabilidades respectivas. Así, la probabilidad de que sal­gan dos caras es 1/4 (1/2 x 1/2). La probabilidad de que al tirar dos dados salga 2, esto es, (1,1), es 1/36 (1/6 x 1/6), mientras que la de que salga 7 es 6/36, pues hay seis maneras mutuamente excluyentes de que los números que salgan en los dos dados sumen 7 [(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)] y cada una de ellas tiene una probabilidad de 1/36 (1/6 x 1/6). La probabi­lidad de que dos personas tomadas al azar de un listín telefóni­co midan más de 2 metros se obtiene elevando al cuadrado la probabilidad de que una sola persona escogida por el mismo pro­cedimiento mida más de 2 metros.

Esta regla del producto de la probabilidad puede generalizarse y aplicarse en sucesiones de sucesos. La probabilidad de sacar un 3 con un dado cuatro veces consecutivas es de (1/6)4; la de que, al tirar una moneda, salga cara seis veces seguidas es de (1/2)6; la de que alguien sobreviva a tres disparos en la ruleta rusa es de (5/6)3. Si tomamos un libro que sea juzgado positivamente sólo por ellO % de sus lectores (y el 90 o/o 10 encuentre abominable) y 10 sometemos a una docena de críticos, la probabilidad de que todos y cada uno de ellos hagan críticas negativas es (0,9)12, o 0,28, y por tanto, la probabilidad de que el libro guste al menos a uno de los doce es 1 - 0,28, o 0,72. Así, incluso con un «mal» libro, la posibilidad de recoger unas cuantas críticas favorables aumenta con el número de críticos, 10 cual, unido al esmero en extractar lo más conveniente de críticas poco entusiastas, nos da una explicación de los «estilo ágil y directo», «increíble fuer­za», ... en las sobrecubiertas de los libros.

Naturalmente, ocurre a menudo que los sucesos no son. in­dependientes; el hecho de que se produzca uno hace que el otro

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sea más o menos probable. Si hemos sacado un 6 con el primer dado, la probabilidad de que la suma de las caras de los dos dados sea 10, 11 o 12 es mayor que si no conociéramos dicho resultado. Si sabemos que una persona mide más de 2 metros, disminuye la probabilidad de que pese menos de 60 kilos. Si en un cierto vecindario hay un gran número de Mercedes, proba­blemente habrá pocas personas sin hogar en él. Estos pares de sucesos son todos dependientes.

Lo que nos interesa determinar en tales casos es la probabi­lidad condicional de que ocurra o haya ocurrido uno de los su­cesos sabiendo que el otro se producirá o se ha producido ya. La probabilidad condicional de que la suma de los dados sea 10, 11 o 12 habiendo salido 6 en el primer dado es 1/2. Hay seis posibilidades igualmente probables [(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)] y tres de ellas suman 10 o más. Y me atreviría a decir que la probabilidad condicional de que uno pese menos de 60 kilos sabiendo que mide más de 2 metros no excede el 5 0/0, considerablemente menos que la probabilidad de que una persona tomada al azar pese menos de 60 kilos.

Al tratar con probabilidades condicionales hay que ser muy cuidadoso. Nótese, por ejemplo, que la probabilidad condicional de que uno hable español sabiendo que tiene nacionalidad es­pañola es aproximadamente del 95 0/0, mientras que la probabili­dad condicional de que uno sea ciudadano español sabiendo que habla español no es mucho más del 10 %. O considérese la es­cena siguiente, que es una aclaración de otra sacada de mi libro El hombre anumérico sobre la que he recibido un gran nú­mero de cartas. Se sabe que en cierto vecindario curiosamente «normal» de los años cincuenta vive una familia de cuatro per­sonas en cada casa: el padre, la madre y dos hijos. Uno escoge una casa al azar, toca el timbre y abre una chica. (Supondremos que en los años cincuenta, la chica de la casa, si la hay, es la que siempre abre la puerta.) Suponiendo lo dicho, ¿cuál es la probabilidad condicional de que esta familia tenga un hijo y una hija? La respuesta, que quizá pueda sorprender, no es 1/2 sino 2/3. Hay tres posibilidades igualmente probables -el mayor es chico y la menor, chica; la mayor es chica y el menor, chico; y las dos son chicas- y en dos de ellas hay un hijo en la familia. La cuarta posibilidad -dos chicos- queda descartada por la sen­cilla razón de que nos ha abierto una chica.

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El recuento de probabilidades de sucesos complejos no es, en general, dificil si nos dan las probabilidades de los sucesos simples que los constituyen. Podemos usar los axiomas de Kol­mogorov (probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes, su­cesos independientes, etc.), descomponer los sucesos complejos en subsucesos mutuamente excluyentes y calcular. O, si esto re­sulta demasiado complicado, podemos simular la situación con un ordenador y determinar empíricamente la respuesta (véase la entrada sobre El método de simulación de Montecarlo).

La asignación de probabilidades a los sucesos elementales es, sin embargo, una tarea considerablemente más ardua. Existe el problema de que las percepciones de la gente acerca de la de­lincuencia o de la enfermedad, por ejemplo, se han formado más a partir de las escenas dramáticas de los telediarios que de las mismas estadísticas sobre delincuencia o salud. Sumemos las pro­babilidades de que cualquiera de los cinco mil millones y pico de habitantes del mundo le mate a usted. El resultado, triste­mente alto en Estados Unidos, todavía es menor que la pro­babilidad de que usted se suicide. O bien considere que, dado un habitante medio de Estados Unidos, es un cuarto de millón de veces más probable que muera de una enfermedad cardíaca que de botulismo, intoxicación mortal por ingerir conservas en mal estado. No hace falta decir que un asesinato o un caso de bo­tulismo son fácilmente noticiables, mientras que el suicidio y los ataques de corazón no 10 son (a menos que se trate, natu­ralmente, de un personaje famoso). El problema no es mera­mente académico. La incapacidad de tasar los riesgos que nos acechan y de ponerlos en una perspectiva global lleva gene­ralmente. a una ansiedad personal paralizante e infundada o a demandas inasequibles y económicamente prohibitivas de un entorno libre de riesgos.

Y, sin embargo, incluso cuando calculamos y estimamos pro­babilidades en la más ideal de las situaciones, permanece la cues­tión ftlosófica: ¿qué es la probabilidad?

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