*Tasa de Inters Nominal

y

Tasa de Inters Efectiva

*Tasa Nominal y Tasa EfectivaImplican la misma relacin bsica del inters simple e inters compuesto.Se aplican cuando se calcula el inters compuesto ms de una vez al aoEjemplo: Si una tasa de inters es de 1.5% mensual, se deben tomar en cunta los trminos nominal y efectivo para la tasas de inters.

*Frecuencias Comunes de Inters CompuestoEl inters puede calcularse (componerse):Anualmente Una vez al ao(al final).Cada 6 meses 2 veces al ao (semestral).Cada trimestre 4 veces al ao (trimestral).Cada mes 12 veces al ao (mensual).Diariamente 365 veces al ao (diariamente).Continuamente nmero infinito de periodos compuestos al ao.

*Cotizacin de Tasas de Inters Las tasas de inters pueden cotizarse en ms de una forma.Ejemplo:El inters equivale a 5% por 6 meses.El inters es 12% (12% en qu tiempo?).El inters es 1% mensual.El inters es 12.5% anual, compuesto mensualmente.

*Formas Comunes de CotizacinLas tasas de inters pueden cotizarse (declararse comunicarse) en dos formas:1.Cotizacin con una tasa de inters nominal.2.Cotizacin con una tasa de inters peridico efectivo.Las tasas de inters nominal y efectivo son comunes en negocios, finanzas e ingeniera econmica.Es preciso entender cada tipo para resolver los distintos problemas en que se enuncia el inters de diversos modos.

*Concepto de Tasa de Inters Nominal (r)Es una tasa de inters que no incluye ninguna consideracin de capitalizacin (inters compuesto).

r = tasa de inters por periodo x nmero de periodos r% por periodo de tiempo t

Ejemplo: r = 1.5 mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 aos

Una tasa nominal r puede fijarse para cualquier periodo: 1 ao, 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 da, etc.Nominal significa: slo de nombre,no es la tasa real.

*Ejemplos Tasas de Inters Nominal 2.5% mensual por 12mesesEs lo mismo que: (2.5%)(12) = 30% por ao.1.5% mensual por 12 mesesEs lo mismo que (1.5%)(12 meses) = 18%/ao.2.0% mesual por 6 mesesEs lo mismo que: (2.0%)(6 meses) = 12%/6 meses o periodo semestral.1% semanal por 1 aoEs lo mismo que: (1%)(52 semanas) = 52% anual.1.2% mensual x 3 meses Es lo mismo que : (1.2%)(3 meses) = 3.6% trimestral

*Concepto de Tasa de Inters EfectivaEs la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido.Toma en cuenta la acumulacin del inters durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Se expresa como tasa anual efectiva ia, pero se puede utilizar cualquier periodo como base.La frecuencia de capitalizacin de la tasa efectiva se incluye en el enunciado de la tasa nominal.Si la frecuencia de capitalizacin no se menciona explcitamente, se considera que es la misma que el periodo de r, en cuyo caso las tasas nominal y efectiva poseen el mismo valor.

*Tasa de Inters EfectivaCuando se cotiza por periodo una tasa de inters efectiva es una tasa de inters peridica real.Tasa que se aplica para un periodo declarado.Es convencional usar el ao como la unidad de tiempo. As, a menudo se hace referencia a la i como la tasa de inters anual efectiva (ia ). Ejemplo:12 por ciento anual, compuesto mensualmente.Apartemos este enunciado:12% anual es la tasa nominal.Compuesto mensualmente indica la frecuencia de la capitalizacin durante el ao. En este ejemplo: 12 periodos de capitalizacin durante un ao.

*Tasa de Inters EfectivaObservemos los siguientes enunciados correspondientes a tasas nominales.15% anual, compuesto mensualmente (composicin ms frecuente que el periodo establecido)8% anual, compuesto trimestralmente (composicin ms frecuente que el periodo establecido)5% trimestral, compuesto mensualmente (composicin ms frecuente que el periodo establecido)7% semestral, compuesto semanalmente (composicin ms frecuente que el periodo establecido)2% trimestral, compuesto trimestralmente (composicin igual al periodo establecido)Todas estas tasas mencionan la frecuencia de capitalizacin.Tienen la forma r% por periodo de tiempo t, compuesto m-mente. Donde m corresponde a un mes, un trimestre, una semana o alguna otra unidad de tiempo.

*La Tasa Efectiva Anual y la Tasa NominalLa tasa efectiva anual se aade a una tasa nominal informando al usuario la frecuencia del inters compuesto en un ao.Notacin: Es una convencin usar la siguiente notacin para la tasa anual efectiva.ia o,iLa tasa efectiva anual es una extensin de la tasa nominal r.

*Enfoque en las diferencias Tasas nominales:Formato: r% por periodo, t.Ejemplo: 5% por 6 meses.Tasas de inters efectivas:Formato: r% por periodo, compuesto m veces al ao.m denota o infiere el nmero de veces por ao que el inters es compuesto.Ejemplo: 18% anual, compuesto mensualmente.La Tasa Efectiva y la Tasa Nominal

*Cul usar? : r o i?Algunos problemas pueden indicar solamente la tasa de inters nominal.Recordemos: Aplique siempre la tasa de inters efectiva al resolver problemas.Las tablas de inters publicadas, el valor tiempo en forma cerrada de la frmula de dinero y la funcin hoja de clculo suponen que en los clculos se aplica nicamente la tasa de inters efectiva. Para tomar en cuenta debidamente el valor del dinero en el tiempo, todas las frmulas de inters, factores, valores tabulados y relaciones de hoja de clculo deben incluir la tasa de inters efectiva.

*Periodos de Tiempo Asociados al IntersPeriodo de Tiempo, t Es la unidad fundamental del tiempo de la tasa de inters. sta corresponde a la literal t en el enunciado de r% por periodo de tiempo t. La unidad de tiempo de un ao es la ms comn.t=1 ao. Se da por supuesta a menos que se establezca otra unidad.

Periodo de Composicin o de Capitalizacin, tc o PC Es la unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto del inters (Lapso entre operaciones de inters compuesto). Se define por el trmino de composicin en el enunciado de la tasa de inters r% por periodo de tiempo t, compuesto m-mente. Si no se determina el periodo, se supone que es de un ao. PC = 1 ao.

Periodo de Pago, tp o PP frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transaccin de flujo de efectivo (Lapso en el cual los flujos de efectivo no se reconocen, excepto como flujos de efectivo al final de periodo).

*Periodo de Composicin y Periodo de PagoEs importante distinguir entre estos dos periodos, ya que muchas veces no coinciden.Ejemplo:Una compaa deposita dinero cada mes en una cuenta que da rendimientos con una tasa de inters nominal de 14% anual, con un periodo de composicin semestral, el periodo de pago es de un mes, mientras que el periodo de composicin es de 6 meses.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 MesesPP1 mesPC6 mesesPC6 mesesr = nominal al 14% anual; compuesto semestralmenteUna persona deposita dinero cada ao en una cuenta de ahorros con un inters compuesto trimestral, el periodo de pago es de un ao, mientras que el periodo de composicin es de 3 meses.

*Frecuencia de Capitalizacin m Suponga un periodo representado por t.Sea m el nmero de veces que el inters es calculado (compuesto) en el periodo t.Sea PC el periodo de capitalizacin.Normalmente, PC es un ao!El ao es la unidad estndar para t.La frecuencia de composicin o capitalizacin es el nmero m, es decir, el nmero de veces que se lleva a cabo la composicin durante el periodo t.Ejemplo8% anual, compuesto mensualmente, tiene una frecuencia de composicin de m = 12 veces por ao.8% anual, compuesto semanalmente, tiene una frecuencia de m = 52, con base en un estndar de 52 semanas por ao.

*Tasa Efectiva por Periodo de Capitalizacin PCLa frmula de la tasa de inters efectiva por periodo de capitalizacin, PC es la siguiente: r% por periodo de tiempo t rTasa efectiva por PC = = m periodos de composicin por t m r i = mEjemplo:Dado r = 9% anual, compuesto mensualmente.Tasa mensual efectiva: 0.09/12 = 0.0075 = 0.75%/mes Aqu, m cuenta meses, o sea, m = 12 periodos de capitalizacin en un ao.Importante: Observar que el cambio del periodo fundamental t no altera el periodo de composicin que en este caso es un mes.

*EjemploDeclaracin del 9% anual, compuesto mensualmente r = 9% (tasa nominal). Compuesto mensualmente significa m =12. La tasa real (efectiva) mensual es:0.09/12 = 0.0075 = 0.75% mensual.Un ao de duracin (12 meses). r i = mTasa Efectiva por Periodo de Capitalizacin PC

*Ejemplo Considerando el 9% anual, compuesto trimestralmente.Trim. 1Trim. 2Trim. 3Trim. 4Un ao = 4 trimestres = m.PC es igual a un trimestre (3 meses).Cul es la tasa efectiva por trimestre? iTrim. = 0.09/4 = 0.0225 = 2.25%/trimestre. La tasa de 9% es una tasa nominal; El 2.25% es una tasa efectiva trimestral real. r i = mTasa Efectiva por Periodo de Capitalizacin PC

*Ejemplo:Declaracin del 4.5% por 6 meses, compuesto semanalmente Tasa nominal: r =4.5%.Periodo: t = 6 meses.Compuesto semanalmente: mSuponga 52 semanas al ao.Entonces, 6 meses es igual a 52/2 = 26 semanas por 6 meses, o sea m= 26 semanas La tasa efectiva semanal real es:(0.045/26) = 0.00173 = 0.173% por semana. r i = mTasa Efectiva por Periodo de Capitalizacin PC

*Puede ser poco claro si una tasa declarada o establecida es una tasa nominal o una tasa efectiva.

Se presentan tres declaraciones de inters diferentes o tres formas de expresar las tasas de inters.Tasa Nominal o Tasa Efectiva

*Declaracin de la Tasa de IntersTasa de Inters Nominal Establecida, Periodo de Composicin Establecido.Ejemplo:8% anual, compuesto trimestralmente

La tasa nominal es declarada: 8%.La frecuencia de capitalizacin es dada.Compuesto trimestralmente.La tasa trimestral real es 0.08/4 = 0.02 2% trimestral. Aqu se debe calcular la tasa efectiva trimestral!Tasa Nominal o Tasa Efectiva r i = m

*2- Declaracin de la Tasa de IntersTasa Efectiva Declarada o Establecida.Ejemplo:Tasa efectiva = 8.243% anual, compuesto trimestralmente

No se da la tasa nominal.Periodos compuestos m = 4.

No es necesario calcular la tasa efectiva real!Ya est dada: 8.243% anual!

Tasa Nominal o Tasa Efectiva

*3- Declaracin de la Tasa de Inters Slo se Declara la Tasa de Inters Establecida; no se Establece el Periodo de Composicin.Ejemplo:8% anual.Nota:No hay informacin sobre la frecuencia de capitalizacin.Se debe suponer que es por un ao!m se supone igual a 1.

Suponemos que el 8% anual es una tasa efectiva anual real!Tasa Nominal o Tasa Efectiva

*Tasas de Inters Efectivas Anuales Cmo calcular las tasas de inters anuales, efectivas, reales?

Suponemos que un ao es la unidad de medida para el tiempo, por lo tanto, el periodo fundamental t ser de un ao.

El ao puede estar formado por diversos nmeros de periodos de capitalizacin o de composicin (dentro del ao), cualquier periodo menor a un ao.

*Frecuencias Tpicas de Capitalizacin Dado que un ao es la unidad: m = 1: compuesto anualmente (al final del ao); m = 2: compuesto semestralmente (cada 6 meses); m = 4: compuesto trimestralmente (cada 3 meses); m = 12: compuesto mensualmente (cada mes); m = 52: compuesto semanalmente (cada semana); m = 365: compuesto diariamente (cada da).

Se podra subdividir el ao en periodos cada vez ms pequeos.Tasas de Inters Efectivas Anuales

*Tasas de Inters Efectivas AnualesEs la tasa anual real con una frecuencia de capitalizacin dada durante el ao.

Notacinr = tasa de inters nominal anual.m = nmero de periodos de capitalizacin o composicin por ao. i = tasa de inters efectiva por periodo de capitalizacin o de composicin (PC) = r/m ia = tasa de inters efectiva anual (es la tasa efectiva real, dado el valor de m).

*Derivacin de la Frmula para la Tasa de Inters Efectiva Anual (ia )Suponga $1 de principal en el tiempo t = 0.El clculo de valor futuro periodo por periodo, F = P(1 + i)n. Considere un periodo de un ao.tasa de inters (i) anual.$P = $1.00$F=$P(1+i)1Un ao despus, F = P(1+i)1 . NotacinEl inters i se puede capitalizar varias veces durante el ao.As, i puede representar tambin la tasa de inters efectiva anual real ia !

*m1Derivacin iaEl inters podra ser compuesto ms de una vez en el ao!Suponga que el ao es dividido ahora en m periodos de capitalizacin.2345Reemplace i con ia puesto que ahora m > 1.F = P + P(ia).Ahora la tasa i por PC tiene que ser compuesta en todos los m periodos para obtener F. O sea, debe capitalizarse durante todos los m periodos para obtener el efecto total de la capitalizacin al final del ao.Reescriba como:F = P + P(ia) F = P( 1 + i )n F = P(1 + ia) F = P( 1 + i )m

*Tenemos dos expresiones para FF = P(1 + ia)F = P( 1 + i )m Igualando las dos expresiones;P(1 + ia) = P( 1 + i )m;P(1 + ia) = P( 1 + i )m;

Resolvemos para ia en trminos de i.Derivacin ia1 + ia = (1+i)mia = (1 + i )m 1Calcula la tasa de inters anual efectiva para cualquier nmero de periodos de composicin cuando i es la tasa para un periodo de composicin.

*

Dada una tasa nominal, r. i PC = r/m ia se calcula como;ia = (1 + r/m)m - 1. i = ( 1+ ia)1/m 1.Derivacin iaSi la tasa anual efectiva ia y la frecuencia de composicin m tienen valores conocidos, se resuelve para i y se determina la tasa de inters efectiva por periodo de composicin (PC).Entonces: Tasa nominal rr = (i)(m).r = (i% por PC) (nm. de PCs por ao)

*Ejemplo:Dada una tasa nominal (r) encuentre la tasa de inters anual real (ia)El inters es 8% anual, compuesto trimestralmente. = (1 + 0.08/4)4 1. = (1.02)4 1 = 0.0824 = 8.24%/ao. ia = (1 + r/m)m - 1. Clculo de la Tasa de Inters i = 0.08/4 = 0.02 = 2.0% trimestral2.0% trimestral es una tasa efectiva trimestral, o sea por periodo de capitalizacin.La tasa efectiva anual es entonces:

r i = m, por periodo de capitalizacin( PC)

*Ejemplo: Cul es la tasa de inters efectiva anual real para una tasa de 18%/ao, compuesta mensualmente? i = 0.18/12 = 0.015 = 1.5% mensual.1.5% al mes es una tasa efectiva mensual, o sea por periodo de capitalizacin.La tasa efectiva anual es entonces:ia = (1 + r/m)m - 1. = (1 + 0.18/12)12 1 = 0.1956ia = 19.56%/ao. r i = m, por periodo de capitalizacin( PC)Clculo de la Tasa de Inters

*NotacinDel ejemplo anterior (para una tasa de 18% anual, compuesto mensualmente), podemos observar lo siguiente:La tasa nominal es 18%; rLa tasa efectiva mensual real es 1.5%/mes; iPCLa tasa efectiva anual real es 19.56%/ao; ia

Podemos decir entonces que una tasa nominal crea dos (2) tasas efectivas:Una tasa peridica y una tasa efectiva anual.

*Tasa de Inters Efectiva Anual (ia ) para 18% m = 1ia = (1 + 0.18/1)1 1 = 0.18 (18%) m = 2 (compuesto semestralmente).ia = (1 + 0.18/2)2 1 = 18.810% m = 4 (compuesto trimestralmente).ia = (1 + 0.18/4)4 1 = 19.252% m = 12 (compuesto mensualmente).ia = ( 1 + 0.18/12)12 1 = 19.562% m = 52 (compuesto semanalmente).ia = (1 + 0.18/52)52 1 = 19.684%m = 365 (compuesto diariamente).ia = ( 1 + 0.18/365)365 1 = 19.714% m = 365(24) (compuesto por hora).ia = (1 + 0.18/8760)8760 1 = 19.72%Se podra subdividir el ao en periodos ms pequeos.Nota: Hay un lmite aparente cuando m se hace cada vez ms grande llamado compuesto continuo.

*Ejemplo:12% nominal para diversos periodos compuestos.

*Recuerde:CP es el periodo de capitalizacin o de composicin.PP es el periodo de pago Frecuencia de los pagos o ingresos; es decir, el periodo de transaccin de flujo de efectivo. Por qu CP y PP?A menudo la frecuencia con que se depositan fondos o se hacen pagos no coincide con la frecuencia de capitalizacin.Tasas de Inters Efectivas para Cualquier Periodo

*Tasas de Inters Efectivas para Cualquier PeriodoPara evaluar aquellos flujos de efectivo que se presentan con mayor frecuencia que la anual, es decir PP < 1 ao, en las frmulas de la ingeniera econmica debe utilizarse la tasa de inters efectiva durante el PP. La frmula de la tasa de inters anual efectiva se generaliza fcilmente para cualquier tasa nominal, sustituyendo la tasa de inters del periodo por r/m.ia = (1 + i )m - 1ia = (1 + r/m)m - 1. donde,r = tasa de inters nominal por periodo de pago (PP)m = nmero de periodos de composicin por periodo de pago (PC por PP)

*Comparaciones:Ejemplo: Tres planes distintos de cargos de intereses. Los pagos de un prstamo se efectan cada 6 meses. Se presentan tres planes de intereses:9% anual, compuesto trimestralmente.3% por trimestre, compuesto trimestralmente.8.8% anual, compuesto mensualmente.Qu plan tiene la tasa de inters anual ms baja? 9% anual, compuesto trimestralmentePagos hechos cada seis meses. PC-4PC-1PC-2PC-3Periodo de pago (PP) 1Periodo de pago (PP) 29%, c.t. = 0.09/4 = 0.0225 por 3 meses = 2.25% por 3 mesesRegla: La tasa de inters debe coincidir con el periodo de pago! r i = m

*Regla de CompatibilidadEl inters debe ser consistente con el periodo de pago!Necesitamos una tasa efectiva de 6 meses y luego calcular la tasa efectiva real a 1 ao! Para comparar los 3 planes:Calcule la tasa efectiva a 6 meses, real, oCalcule la tasa efectiva real a 1 ao.As se pueden comparar los 3 planes!La tasa de inters debe coincidir con el periodo de pago!

*Comparacin de 3 planes: Plan 19% anual, compuesto trimestralmentei = (0.09/4) = 0.0225 = 2.25%/trimestre Pagos hechos cada 6 meses. La tasa de inters efectiva real a 6 meses: = (1.0225)2 1 = 0.0455 = 4.55% por 6 meses.La tasa de inters efectiva real durante 1 ao: = (1.0225)4 1 = 9.31% anualia = (1 + i )m 1 r i = mm = 2 para 6 meses y 4 para 1 ao

*Comparacin de 3 planes: Plan 23% por trimestre, compuesto trimestralmente3%/trimestre = r = iEncuentre ia para 6 mesesm = 2 para 6 meses y 4 para 1 aoCalcule:ia = (1 + i )m 1 La tasa de inters efectiva real por 6 meses: = (1.03)2 1 = 0.0609 = 6.09% por 6 mesesLa tasa de inters efectiva real durante 1 ao: = (1.03)4 1 = 12.55%/ao r i = m

*Comparacin de 3 planes: Plan 3 8.8% anual, compuesto mensualmente r = 8.8%. anual m = 12Pagos dos veces al ao.

Tasa nominal r de 6 meses = 0.088/2 =4.4%/6 meses r = 0.044 por 6 mesesLa tasa de inters efectiva real por 6 meses: = (1 + 0.044/6)6 1 = (1.0073)6 1= 4.48%/ 6 mesesLa tasa de inters efectiva real durante 1 ao: = (1 + 0.088/12)12 1 = 9.16%/ao

ia = (1 + r/m)m - 1. r i = mm = 6 para 6 meses y 12 para 1 ao

*Resumiendo los 3 planes El plan 3 presenta la tasa de inters ms baja.

Plan nm.6 meses1 ao14.55%9.31%26.09%12.55%34.48%9.16%

* Puede ser confuso?Los 3 planes declaran el inters en forma diferente.Es difcil determinar cul es el mejor plan con una simple inspeccin.Cada plan debe evaluarse por medio de:Clculo de la tasa efectiva mensual, real por 6 meses.OClculo de la tasa efectiva anual, real por 12 meses (1 ao).Luego se pueden comparar los 3 planes usando la i o la ia

* ResumiendoMuchas aplicaciones usan y aplican el inters compuesto efectivo y nominal.Dada una tasa nominal debe hacer que la tasa de inters se ajuste a la frecuencia de los pagos.Aplique la tasa de inters efectiva por periodo de pago.

Todos los factores de inters del valor del dinero en el tiempo requieren el uso de una tasa de inters efectiva peridica (real).La tasa de inters, i, y los periodos de pago o flujo de efectivo deben tener la misma unidad de tiempo.