IMA-300; OPTIMIZACIÓNAPUNTE№1 – “GAMS”Segundo Semestre 2013

Instrucciones:

• Responda cada ítem claramente, genere conclusiones en el caso que corresponda, muestre a través deimpresiones de pantalla como obtuvo los resultados claramente.

• Tareas iguales se dividen la nota.

• Se citara a defender la tarea, en esta instancia deben llevarlos programas utilizados y someterse alinterrogatorio, de lo contrario la tarea será evaluada con nota mínima.

Modelación

1. Proponga un modelo de programación lineal que resuelva cada uno de los problemas siguientes, iden-tifique y defina claramente las variables, las restricciones, la función objetivo, plantee el modelo com-pleto luego de las definiciones.

a) Una empresa de limpieza de casas posee 3 métodos de aseo. Porcada método existe un costoasociado medido en pesos ($) el cual está dado por la siguiente tabla:

Personal Insumo Equipo

Método 1 500 100 200

Método 2 650 250 200

Método 3 450 350 450

Además dependiendo de la cantidad dem2 de la casa se debe realizar un método específico delimpieza, esto está dado por la siguiente tabla:

m2 de la casa Método a utilizar

30≤ m2<45 Método 1

45≤ m2<50 Método 1 o 2

50≤ m2< 60 Método 2

60≤ m2< 90 Método 2

90≤ m2< 120 Método 3

120≤ m2 Método 3

La empresa debe cumplir a fin de mes con las siguientes condiciones, puesto que sino no podríacompetir con las otra empresas en el mercado de limpieza de casas, estas condiciones son lassiguientes, se deben limpiar al menos 6 casas mayores a 120m2, no más de 20 casas de más de90 m2, entre 10 y 35 casas de menos de 60m2, no más de 10 casas de 50m2. Los precios(enpesos $) de cada método de limpieza se rigen por la siguiente tabla:

1

30≤ m245 45≤ m2< 50 50≤ m2

< 60 60≤ m290 90≤ m2< 120 120≤ 120

Método 1 1000 1200 1300 1400 1550 1700

Método 2 1200 1300 1500 1650 1800 2000

Método 3 1300 1400 1550 1700 1950 2150

Formule un problema de programación lineal que permita maximizar las ganancias de la empre-sa.

b) Un empresario cuenta con tres millones de pesos para invertir en una microempresa de pro-ducción de mermelada que tiene en mente. Para empezar, fabricará mermelada de frutilla yframbuesa, ya que son las de mayor demanda en la zona. Un estudio de mercado le indica que,para satisfacer la demanda de la localidad deberá producir las siguientes cantidades mensualesde mermelada, expresada en kilos en la siguiente tabla:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Frutilla 500 300 250 250 200 200

Frambuesa 400 400 450 350 400 300

Además, ha descubierto que la calidad de la fruta varía dependiendo la época del año, lo cualhace que el kilo de fruta rinda una cierta cantidad de kilos demermelada, cosa que se aprecia enla siguiente tabla:

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Frutilla 0.5 0.55 0.6 0.6 0.65 0.65

Frambuesa 0.6 0.55 0.45 0.4 0.4 0.3

Como la frambuesa se va deteriorando en el tiempo, el individuo ha evaluado la opción de con-gelar frambuesa para usar los meses siguientes, aunque cadames que la frmabuesa se mantengacongelada, pierde un 10 % de eficinecia en l ageneración de mermelada. El empresario ha esti-mado que el precio del kilo de frutilla será de mil pesos y el deframbuesa mil quinientos, loscuales irá comprando mes a mes con el capital inicial más las ganancias obtenidas. Si los preciosde venta que tiene contemplado son de dos mil pesos para el kilo de mermelada de frutilla y tresmil para el de frambuesa, realice un modelo de programación lineal que entregue la máximaganancia posible a lo largo de los seis meses.

2. Compare los resultados obtenidos y concluya, resolviendo los siguientes problemas de programaciónlineal a través de los software:

• Matlab. Utilice linprog, muestre claramente todas las componentes ingresadas al software[A, Aeq, b, beq,C, limites], indique el punto óptimo, si existe; el número de iteraciones, la funciónevaluada en el punto.)

• WinQSB. Indique el punto óptimo si existe, el valor de la función objetivo en el punto, la solu-ción gráfica si es posible, la última tabla final del método simplex.

• AMPL. Indique en cada caso el punto óptimo, si existe; la función objetivo evaluada en el punto,muestre además el código utilizado en cada caso [archivo de texto], utilice el formato indicandoen cada caso. El solver es de libre elección.

• Excel. Muestre apropiadamente para para los ejercicios ay b, cada paso realizado en Excel,indicando claramente la función objetivo, las restricciones y los valores de las variables.

2

a)

Max z = −x1 + x2

S .a

x1 + x2 ≤ 8

−x1 + x2 ≥ 10

2x1 + x2 ≤ 1

b)

Max z = x1 − 2x2 + x3 + 4x4 + 3x6 − 2x7

S .a

x1 + x2 + x4 + x5 ≤ 19

x1 + x2 − 3x4 + 5x5 − 2x7 ≤ 130

5x1 + x2 − x3 + x4 + x6 ≥ 10

x1 + x2 + x3 + x4 + 12x6 + 5x7 ≤ 8

x1 − 2x3 + x5 + 2x6 − x7 = 35

x1, x2 ≥ 0

c)

Min z = x1 − x2 + x3 + x4

S .a

x2 + x4 + x5 = 9

x1 + x2 − x4 ≥ 6

x2 − x3 + x4 − x5 ≤ 8

x1 + x2 ≥ 10

x1, x2, x4 ≥ 0

d)

Max z = x1 + x2 − 5x3

S .a

x1 + x3 + x5 ≤ 4

x2 + x4 + x5 ≥ 8

x1 + x2 − x3 − x4 + 2x5 ≤ 10

x1 + x2 − x3 + x5 = 14

x1 ≥ 0

x2, x3 ≤ 0

x4, x5 ∈ ℜ

3. Escriba los siguientes modelos a través de AMPL.

a) Este es un modelo se asignación de empleos. Donde la variable xi j indica si al empleado i se leasigna la tarea j yci j indica una estimación del desempeño del empleado i para realizar la tarea j.

Min z =n∑

i=1

m∑

j=1

ci j xi j

S .an∑

i=1

xi j = 1;∀ j ∈ {1, ...,m}

m∑

j=1

xi j = 1;∀i ∈ {1, ..., n}

xi j ≥ 0;∀ j ∈ {1, ...,m}, i ∈ {1, ..., n}

b) Un sistema consta de varias cuerdas y vigas conectadas de unmodo particular. Varias cargasexternas actúan en el punto medio de algunas vigas. El problema consiste en determinar lacarga total admisible que puede soportar tal sistema sin colapsar, bajo equilibrio de fuerzas y demomentos, si se supone que el peso de las cuerdas y las vigas esdespreciable.

Los datos son:

I: Conjunto de cargas

S: Conjunto de cuerdas

B: Conjunto de vigas

Ts: Carga máxima permitida en la cuerdas ∈ S

ωb: Conjunto de cargas aplicadas en el punto medio de la vigab ∈ B

Ψb: Conjunto de cuerdas que soportan la viga b.

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Θb: Conjunto de cuerdas que cuelga de la viga b.

dli: distancia de la carga i al punto izquierdo de la viga donde actúa.

drs: distancia de la cuerda s al punto izquierdo de la viga b que soporta

Las variables del problam son:

seaxi la carga i

seats la tensión generada en la cuerda s bajo la acción de del conjunto de las cargasxi, ∈ I

Las restricciones son las siguientes:

La condición de equilibrio de fuerzas en cada viga, lleva al conjunto de ecuaciones:∑

s∈Ψb

ts =

∑

i∈ωb

xi +

∑

s∈Θb

ts, ∀b ∈ B

La condición de equilibrio de momentos (tomados con respecto a los extremos izquierdosde cada viga) es:

∑

s∈Ψb

drsts =

∑

i∈ωb

dlixi +

∑

s∈Θb

drsts, ∀b ∈ B

También se debe respetar la tensión máxima permitida en cadacuerda:

0 ≤ ts ≤ Ts, ∀s ∈ S

y la no negatividad de las cargas.

xi ≥ 0, ∀i ∈ I

4. Resuelva los modelos programados en el ítem anterior, para las siguientes instancias.

a) Considere queci j =

1 2 1

2 2 1

b) Considérese el sistema descrito en la fgura donde las cargas x1 y x2 se aplican en los puntosmedios de las vigas 2 y 3, respectivamente. Las cuerdas A y B pueden soportar una carga máximade 300; C y D, 200; y E y F , 100.

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